Głos Wielkopolski, 5.01.2010
Wyrażenia algebraiczne
Zadanie 1. Znajdź dziedzinę funkcji
x3 + 27
f (x) = x3 + 2x2 + 3x + 6 −
.
x3 − 2x2 + 3x − 6
x3 − 27
Rozwiązanie.
1◦
x3 − 2x2 + 3x − 6 , 0
(1)
x2(x − 2) + 3(x − 2) , 0
(2)
(x − 2)(x2 + 3) , 0
x − 2 , 0
oraz
x2 + 3 , 0
(3)
x , 2
oraz
x ∈ R
x , 2
2◦
x3 − 27 , 0
(4)
(x − 3)(x2 + 3x + 9) , 0
(5)
x − 3 , 0
oraz
x2 + 3x + 9 , 0
∆ = 32 − 4 · 1 · 9 = −27 < 0
(6)
x , 3
oraz
x ∈ R
x , 3
Odpowiedź. Dziedziną funkcji f jest zbiór D f = (−∞, 2) ∪ (2, 3) ∪ (3, +∞).
(7)
Objaśnienia.
(1) Do dziedziny funkcji f należą te wartości x, dla których mianowniki obu wyrażeń występujących w jej wzorze są różne od zera, rozwiązujemy więc dwie nierówności: (1) i (4).
(2) Z pierwszych dwóch składników wyłączyliśmy czynnik x2, a z pozostałych dwóch – czynnik 3. Moglibyśmy też pogrupować składniki inaczej:
x3 + 3x − 2x2 − 6 , 0
x(x2 + 3) − 2(x2 + 3) , 0
(x2 + 3)(x − 2) , 0
(3) Wyrażenie x2 + 3 przyjmuje wyłącznie wartości dodatnie, bowiem x2 > 0
dla wszystkich x ∈ R, a więc x2 + 3 > 3 > 0 dla x ∈ R. Moglibyśmy też wyliczyć wyróżnik trójmianu kwadratowego x2 + 3:
∆ = 02 − 4 · 1 · 3 = −12 < 0,
a zatem trójmian ten nie ma miejsc zerowych (nigdy nie jest równy zeru).
(4) Mianownik drugiego wyrażenia również nie może być zerem.
(5) Korzystamy ze wzoru skróconego mnożenia na różnicę sześcianów:
a3 − b3 = (a − b)(a2 + ab + b2).
(6) Sytuacja jest podobna do opisanej w punkcie (3).
(7) Mianownik tak jednego, jak i drugiego składnika musi być różny od zera, więc spełnione muszą być obie rozpatrywane nierówności: (1) i (4).
Dziedzinę funkcji f moglibyśmy też zapisać w ten sposób: D f = R \ {2, 3}.
Zadanie 2. Doprowadź do najprostszej postaci wyrażenie
a + 1
a2 + 1
a2
−
:
.
a − 1
a2 − 1
a − 1
Rozwiązanie. Założenia: 1◦ a − 1 , 0,
2◦ a2 − 1 , 0,
3◦ a2
a−1 , 0.
(1)
1◦
a , 1
2◦
(a − 1)(a + 1) , 0
a − 1 , 0
oraz
a + 1 , 0
a , 1
oraz
a , −1
3◦
a2 , 0
oraz
a − 1 , 0
(2)
a , 0
oraz
a , 1
Zakładamy więc, że a < {−1, 0, 1}.
(3)
a + 1
a2 + 1
a2
(a + 1)(a + 1)
a2 + 1
a2
−
:
=
−
:
=
(4)
a − 1
a2 − 1
a − 1
(a − 1)(a + 1)
(a − 1)(a + 1)
a − 1
= a2 + 2a + 1 − (a2 + 1)
a2
:
=
(5)
(a − 1)(a + 1)
a − 1
=
2a
·
(a − 1) =
(6)
2
(a − 1)(a + 1)
a
=
2
(7)
a(a + 1)
Odpowiedź. Dane w zadaniu wyrażenie (przy a ∈ R \ {−1, 0, 1}) można zapisać jako
2
.
(8)
a(a+1)
Objaśnienia.
(1) Zarówno mianowniki obu wyrażeń w nawiasie, jak i dzielnik nie mogą być równe zeru.
(2) Mianownik nie może się zerować, by wyrażenie a2 miało określoną war-a−1
tość. Licznik zaś nie może się zerować, aby wartość ta nie była zerem (czyli aby można było przez nie dzielić).
(3) Wszystkie warunki 1◦–3◦ muszą być spełnione. Zapis „a < {−1, 0, 1}”, czyli
„a nie należy do zbioru {−1, 0, 1}”, jest jedną z wielu możliwości – można użyć np. notacji „a ∈ R \ {−1, 0, 1}” czy jeszcze innej.
(4) Moglibyśmy oczywiście napisać
a + 1
a2 + 1
−
= (a + 1)(a2 − 1) − (a − 1)(a2 + 1),
a − 1
a2 − 1
(a − 1)(a2 − 1)
ale gdy zauważymy, że a2 − 1 = (a − 1)(a + 1), a więc wystarczy rozszerzyć odjemną przez (a + 1) (jak w powyższym rozwiązaniu), zaoszczędzimy sobie pracy.
(5) W liczniku odjemnej skorzystaliśmy z tego, że (a + 1)(a + 1) = (a + 1)2, a na-stępnie zastosowaliśmy wzór skróconego mnożenia.
(6) Zamieniliśmy dzielenie na mnożenie przez odwrotność.
(7) Skróciliśmy a z a2 oraz (a − 1).
(8) Moglibyśmy też wymnożyć iloczyn w mianowniku i napisać 2 .
a2+a
W1(x) = x(x + 4)(x − a) − 12
oraz
√
√
W2(x) = x3 + 1 (3x − 2 − 2 10)(3x − 2 + 2 10)
3
są równe. Wyznacz a i znajdź pierwiastki wielomianu W1(x).
Rozwiązanie.
W1(x) = x(x + 4)(x − a) − 12 =
= (x2 + 4x)(x − a) − 12 =
(1)
= x3 − ax2 + 4x2 − 4ax − 12 =
= x3 + (4 − a)x2 − 4ax − 12
(2)
√
√
W2(x) = x3 + 1 (3x − 2 − 2 10)(3x − 2 + 2 10) =
3
√
=
h
x3 + 1 (3x − 2)2 − (2 10)2i =
(3)
3
= x3 + 1(9x2 − 12x + 4 − 40) =
(4)
3
= x3 + 1(9x2 − 12x − 36) =
3
= x3 + 3x2 − 4x − 12
( 4 − a = 3
(5)
−4a = −4
a = 1
x3 + 3x2 − 4x − 12 = 0
(6)
x2(x + 3) − 4(x + 3) = 0
(7)
(x + 3)(x2 − 4) = 0
(x + 3)(x − 2)(x + 2) = 0
(8)
x = −3
lub
x = 2
lub
x = −2
Odpowiedź. Szukana wartość a wynosi 1, zaś pierwiastkami wielomianu W1(x) są liczby −3, −2 oraz 2.
Objaśnienia.
(1) Zaczynamy od wymnożenia wszystkich czynników w wielomianie W1(x).
(2) Pogrupowaliśmy i zredukowaliśmy wyrazy podobne.
(3) Analogicznie przekształcamy wielomian W2(x). Najpierw skorzystaliśmy ze wzoru skróconego mnożenia (a − b)(a + b) = a2 − b2...
(4) ...a następnie (a − b)2 = a2 − 2ab + b2.
(5) Równość wielomianów W1(x) i W2(x) oznacza, że są one równych stopni (a tak jest, bowiem oba są stopnia 3) oraz że współczynniki przy odpowiednich potęgach zmiennej x w obu wielomianach są równe. Ponieważ współczynniki przy x3 i wyrazy wolne nie zawierają niewiadomej a (i są równe), nie ma po-trzeby wypisywać warunków 1 = 1 i −12 = −12.
Zauważmy, że otrzymaliśmy układ dwóch równań z jedną niewiadomą –
rozwiązujemy więc każde równanie z osobna i bierzemy rozwiązanie pod uwa-gę tylko wówczas, gdy jest ono wspólne dla obu równań.
(6) Pozostaje znaleźć pierwiastki wielomianu W1(x). Moglibyśmy oczywiście podstawić a = 1 do wzoru na W1(x) i wymnożyć czynniki, ale już to zrobi-liśmy na początku rozwiązywania zadania – prościej jest podstawić wyliczoną wartość a do wzoru (2), a jeszcze prościej – skorzystać z równości wielomianów W1(x) i W2(x) i wykorzystać końcową postać wielomianu W2(x), którą obliczyli-
śmy przed chwilą, a która musi być przecież taka sama, jak wielomianu W1(x).
(7) Podobnie jak w zadaniu 1, mogliśmy inaczej pogrupować składniki.
(8) Ponownie skorzystaliśmy ze wzoru na różnicę kwadratów.
Marcin Borkowski