PODSTAWOWE CZŁONY DYNAMICZNE

BIEGUNY –

Jeśli mianownik transmitancji przyrównamy do zera, to otrzymamy tzw. równanie charakterystyczne. Pierwiastki tego równania są liczbami zespolonymi i noszą nazwę biegunów. Jest ich tyle, ile wynosi rząd równania.

Przykład:

6 s + 3

Wyznaczyć bieguny transmitancji G( s) = 2 2 s +11 s + 5

Równanie charakterystyczne M(s)=0 ma postać 2s2+11s+5=0. Jego pierwiastki to s1 = 0.5 oraz s2 =0.2

CHARAKTERYSTYKA SKOKOWA

h(t) przedstawia przebieg w czasie sygnału wyjściowego obiektu dynamicznego , gdy na jego wejście podany y( s)

zostanie sygnał skoku jednostkowego u(t)=1(t). Jeśli znana jest transmitancja tego obiektu G( s) =

oraz

u( s)

transformata sygnału wejściowego u(s) , to można wyznaczyć odpowiedz tego układu y(s)=G(s)*u(s) . Gdy na 1

G( s)

wejście podany zostanie skok jednostkowy, transformata u(s) jest równa u( s) = zaś h( s) =

.

s

s

k

Dla idealnego członu całkującego o transmitancji G( s) =

transformata h(s) będzie równa:

s

k

1

h( s) =

=

gdzie T

2

2`ì - stała czasowa całkowania

s

T ⋅ s

i

Po dokonaniu odwrotnego przekształcenia Laplace’a otrzymuje się przebieg sygnału wyjściowego w czasie h(t).

−1

−1

k

t

h( t) = L

h

{ ( s)} = L { } = k ⋅ t =

s 2

Ti

Zmiana wartości stałej czasowej całkowania wpływa na szybkość narastania sygnału wyjściowego, co ukazują charakterystyki skokowe wykonane dla różnych Ti . Stałą czasowa całkowania odpowiada czasowi, po którym sygnał wyjściowy zrównuje się z sygnałem wejściowym T

h( t = T )

i

=

= 1 = u( t)

i

Ti

u y

1

wejście

Ti1

Ti2

Ti3

t

2

5

8

10

12

Rys. Charakterystyki skokowe członów całkujących o wzmocnieniach k1=0.2 , k2=0.125 oraz k3=0.08

CHARAKTERYSTYKI CZĘSTOTLIWOŚCIOWE

Znając transmitancję operatorową Laplace’a G(s) można bez trudu wyznaczyć transmitancję widmową G(jω) podstawiając za operator s:=jω . Transmitancję widmową przedstawić można w dwóch postaciach: G(jω ) = P(ω ) + jQ(ω ) ϕ

G( jω ) = A ω

j

( ) ⋅ e

/ postać wykładnicza/

Logarytmiczna charakterystyka modułu Bode’a stanowi graficzne zobrazowanie zależności Lm=20logA , Q(ω )

gdzie

2

2

A = P + Q , zaś charakterystyka fazowa przedstawia zależność : ϕ (ω ) = arctg P(ω) Przykład:

Wyznaczyć charakterystyki częstotliwościowe Bode’a ideal*nego członu całkującego .

k

Rozwiązanie: Transmitancja widmowa tego członu jest równa G( s) =

. Po dokonaniu stosownego

s

podstawienia otrzymujemy: G( ω

k

j ) =

. Po pomnożeniu licznika i mianownika tej transmitancji przez j ω

j

otrzymujemy

k

G( ω

j )

k

= j ⋅

. Jak widać transmitancja ta posiada tylko część urojoną Q = − , tym samym 2

j ω

ω

moduł jest równy : G( ω

k

j ) =

zaś z zależności na charakterystykę fazową otrzymujemy ω

Q(ω)

o

ϕ(ω) = arctg

= arctg(

)

−∞ = 90

−

P(ω)

Częstotliwościową logarytmiczną charakterystykę modułu opisuje równanie ω

( ) = 20 log k

Lm

= 20log k − 20logω . Oś odciętych ( argumentem jest pulsacja ω) ma skalę ω

logarytmiczną. Przy dziesięciokrotnym wzroście pulsacji z ω1 do ω2 =10* ω1 wartośc logarytmu z modułu spada o 20 dB, co potwierdzają następujące obliczenia: Lm(ω1) = 20logk – 20log(ω1)

Lm(ω2) = 20logk – 20log(ω2) = 20logk – 20log(10ω1) = 20logk – 20log(ω1)-20 dB

∆Lm = Lm(ω1) - Lm(ω2)= -20 dB

a)

h(t)

c) dB LmG(jω)

2 0 lg k

2 0 lg k − 2 0 lg ω

h(t)=kt

lgω

0

1

ω=k

ω

tga=k

t

0

b)

d)

ϕ(ω)

Q(ω)

P(ω)

0

lg(ω)

ω

0o

0

∞

1

ω

-90o

ϕ(ω)=-90o

ω=0

Rys. Charakterystyki idealnego członu całkującego: a) skokowa b) amplitudowo-fazowa c) logarytmiczna amplitudowa d) fazowa

WYZNACZANIE PARAMETRÓW Z TRANSMITANCJI

+

Np. transmitancję

12 8 s

G( s ) =

można podzielić przez wyrażenie 2s+3 wówczas 24 s 2 + 36 s

otrzymamy

4

1

.

0 333

(

G s ) =

=

=

Przyrównując otrzymaną po uproszczeniu 12 s

s

3

s

transmitanmcję do postaci ogólnej otrzymamy, że Ti = 3, zaś k=0.333.