Definicje
Relację R nazywamy częściowo porządkującą w zbiorze A wtedy i tylko wtedy, gdy jest ona zwrotna, przechodnia i na wpół antysymetryczna.
Zbiór, w którym określono relację częściowego porządku nazywamy zbiorem częścio-
wo uporządkowanym.
Przykłady
Relacja mniejszy lub równy (≤ ) określona w zbiorze liczb jest częściowym porządkiem,
gdyż:
a) dla każdej liczby a mamy a ≤ a , relacja ≤ jest zwrotna,
b) jeśli tylko a ≤ b oraz b ≤ c, to oczywiście a ≤ c , relacja ≤ jest przechodnia, c) jeśli tylko a ≤ b i b ≤ a, to oczywiście a = b, relacja ≤ jest na wpół antysymetryczna.
Relacja podzielności (tzn zdefiniowana warunkiem a | b ⇔ a jest dzielnikiem b ) określo-
na w zbiorze liczb naturalnych jest częściowym porządkiem, gdyż:
a) dla każdej liczby a mamy a | a , relacja | jest zwrotna,
b) jeśli a jest dzielnikiem b oraz b jest dzielnikiem c, to oczywiście a jest dzielnikiem liczby c, czyli relacja | jest przechodnia,
c) jeśli tylko a jest dzielnikiem b i b jest dzielnikiem a, to oczywiście a = b, relacja | jest na wpół antysymetryczna.
Relacja S określona warunkiem x S y ⇔ x – y jest liczbą parzystą określona w zbiorze
liczb całkowitych nie jest częściowym porządkiem, gdyż
a) dla każdej liczby a mamy a S a, bo a – a = 0 , czyli różnica jest liczbą parzystą, a to znaczy, że S jest relacją zwrotną,
b) S jest relacją przechodnią, bo jeśli tylko a S b (czyli różnica a - b jest liczbą parzystą)
oraz b S c, (czyli różnica b – c jest liczbą parzystą), to oczywiście a S c , bo suma
(a – b) + (b – c) = a – c jako suma liczb parzystych jest liczbą parzystą. Zatem relacja S
jest przechodnia.
c) S nie jest relacją na wpół antysymetryczną, bo jeśli 6 – 2 jest liczbą parzystą oraz 2 – 4
jest liczbą parzystą, ale nie prawda, że 6 = 6.
W praktyce szkolnej z zagadnieniami porządkowania zbiorów (konkretnych przedmio-
tów, wyrazów, liczb, dzieci) uczniowie spotykają się bardzo często. Pojawiają się one w sytu-
acjach zabawowych, gdy pojawia się potrzeba ustawienia dzieci w różny sposób, m.in. wg
wzrostu, alfabetycznie bądź losowo, gdy wskazuje się mu miejsce w szeregu. Porządkuje się
również litery, wyrazy (lista alfabetyczna), wytwory (np. prace plastyczne).
Pełne ukształtowanie pojęcia liczby naturalnej wymaga rozumienia jej aspektu porząd-
kowego, który wyraźnie ujawnia się, gdy należy określić „z którym z kolei elementem mamy
do czynienia”. Dziecko obiera kolejność przeliczania elementów (ustala konkretny porządek)
i stwierdza, który liczebnik wypowie jako ostatni podczas liczenia.
Jeden i ten sam zbiór można porządkować rozmaicie, tzn. można w nim zdefiniować
porządek na wiele różnych sposobów. Fakt ten nie jest jednak tak oczywisty dla dzieci.
Literatura
T. Sawicki, R. Reclik, J. Nowik, Matematyka, Wydawnictwo Nowik, Opole 1997;
s. 57.
Ćwiczenia
1. Uzasadnij, że relacja zawierania się zbiorów ( ⊂ ) jest relacją częściowo porządkującą
zbiór podzbiorów zbioru {1, 3, 5, 7}.
2. Zbadaj, czy zbiór uczniów pewnej klasy wraz z relacją:
a) … nie jest starszy niż … ,
b) miesiąc urodzenia ucznia A jest wcześniejszy niż miesiąc urodzenia B
jest zbiorem częściowo uporządkowanym.
3. Wiemy, że zbiór { 2, 3, 4, 6} jest zbiorem częściowo uporządkowanym przez relację
R, której niepełny graf przedstawia rysunek. Dorysuj brakujące strzałki.
2
6
3
4
4. Osoby o inicjałach: Marek B., Jakub N., Jan C., Wojciech A., Wanda S., Krystyna A.,
Monika B. stoją:
a) w jednej kolejce zgodnie z zasadą: najpierw alfabetycznie kobiety, potem alfabe-
tycznie mężczyźni, b) w dwóch kolejkach, w jednej alfabetycznie kobiety, w drugiej
alfabetycznie mężczyźni, c) wszyscy w jednej kolejce wg porządku alfabetycznego.
W którym przypadku uporządkowano częściowo zbiór tych osób ?
5. Zaproponuj sposób uporządkowania:
a) zestawu kart jednej tali,
b) domów jednej ulicy wybranego miasta,
c) ulic miasta Kielc, wykorzystaj plan miasta,
d) zestawu klocków logicznych Dienesa,
e) uczniów pewnej klasy spożywających obiad w stołówce, w której są stoliki cztero-
osobowe.