Kolokwium z Analizy matematycznej 20 IV 2004
1. Obliczy¢:
(a)
Z
(ln x)2dx
(b)
Z
(x2 + 2)(x3 + 6x + 3)10dx 2. Obliczy¢:
(a)
Z
√
x 3 x2 + 1 dx
(b)
Z
sin x
dx
cos3 x − cos x
3. Obliczy¢:
Z
∞
dx
−∞ 2 − 2x + x2
4. Rozwin¡¢ w szereg Fouriera w przedziale (−π, π) fukcj¦ f(x) = x sin x.
5. Pokaza¢, »e funkcja
−1
e x4+y2
dla (x, y) 6= (0, 0) f (x, y) =
x4+y2
0
dla (x, y) = (0, 0) jest ci¡gªa.
Dodatkowe.
Pokaza¢, »e je±li P (x, y) jest wielomianem, który przyjmuje warto±ci nie-ujemne, oraz P (x, y) = 0, tylko wtedy gdy (x, y) = (0, 0), to funkcja
−1
e x2+y2
dla (x, y) 6= (0, 0) f (x, y) =
P (x,y)
0
dla (x, y) = (0, 0) jest ci¡gªa.
Kolokwium z Analizy matematycznej 20 IV 2004
1. Obliczy¢:
(a)
Z
x ln xdx
(b)
Z
(x2 − 1)(x3 − 3x + 3)8dx 2. Obliczy¢:
(a)
Z
√
x 3 x2 + 4 dx
(b)
Z
1
dx
sin x cos4 x
3. Obliczy¢:
Z
∞
dx
x2 + 2x + 1
0
4. Rozwin¡¢ w szereg Fouriera w przedziale (−π, π) fukcj¦ f(x) = x2.
5. Pokaza¢, »e funkcja
−1
e x2+y2
dla (x, y) 6= (0, 0) f (x, y) =
x2+y2
0
dla (x, y) = (0, 0) jest ci¡gªa.
Dodatkowe.
Pokaza¢, »e je±li P (x, y) jest wielomianem, który przyjmuje warto±ci nie-ujemne, oraz P (x, y) = 0, tylko wtedy gdy (x, y) = (0, 0), to funkcja
−1
e x2+y2
dla (x, y) 6= (0, 0) f (x, y) =
P (x,y)
0
dla (x, y) = (0, 0) jest ci¡gªa.
Kolokwium z Analizy matematycznej 20 IV 2004
1. Obliczy¢:
(a)
Z
ex sin xdx
(b)
Z
(2x − 1)(x2 − x + 1)3dx 2. Obliczy¢:
(a)
Z
x + 1
dx
(x2 + 1)(x2 + 9)
(b)
Z
sin x sin 2xdx
3. Obliczy¢:
Z
∞
x
dx
−∞ x2 + 1
4. Rozwin¡¢ w szereg Fouriera w przedziale (−π, π) fukcj¦
(x dla x 6 0
f (x) =
1 dla x > 0.
5. Wyznaczy¢ dziedzin¦ funkcji f(x, y) = ln(y2 − 4x + 8). Okre±li¢ czy jest ona zbiorem otwartym / domkni¦tym / ograniczonym.
Dodatkowe.
Niech f : [0, +∞) b¦dzie funkcj¡ ci¡gª¡ tak¡, »e limx→+∞ f(x) = A ∈ R.
Znale¹¢
1 Z x
lim
f (t)dt.
x→+∞ x
0
Kolokwium z Analizy matematycznej 20 IV 2004
1. Obliczy¢:
(a)
Z
xe−xdx
(b)
Z
(2x + 1)(x2 + x + 1)3dx 2. Obliczy¢:
(a)
Z
x − 1
dx
(x2 + 1)(x2 + 4)
(b)
Z
sin4 x dx
cos x
3. Obliczy¢:
Z
∞
dx
−∞ x2 + 2x + 2
4. Rozwin¡¢ w szereg Fouriera w przedziale (−π, π) fukcj¦
(1 dla x 6 0
f (x) =
x dla x > 0.
5. Wyznaczy¢ dziedzin¦ funkcji f(x, y) = arcsin(x + y). Okre±li¢ czy jest ona zbiorem otwartym / domkni¦tym / ograniczonym.
Dodatkowe.
Niech f : [0, +∞) b¦dzie funkcj¡ ci¡gª¡ tak¡, »e limx→+∞ f(x) = A ∈ R.
Znale¹¢
1 Z x
lim
f (t)dt.
x→+∞ x
0