Instytut Inżynierii Chemicznej i Urządzeń Cieplnych
Politechniki Wrocławskiej
Termodynamika procesowa – Laboratorium
Ćwiczenie nr 1: Pomiar lepkości gazu
opracował : Jacek Kapłon
Wrocław 2005
W jednofazowym układzie termodynamicznie zrównoważonym nie występują gradienty
prędkości, temperatury ani aktywności składników, a parametry stanu zachowują wartości stałe, niezależne od czasu. Jeśli jednak układ nie jest w stanie równowagi termodynamicznej, to przy braku bodźców zewnętrznych dążyć będzie do wyrównania wartości parametrów stanu przez przenoszenie pędu, masy i energii między poszczególnymi częściami układu. Te tzw. zjawiska przenoszenia (lub transportu) pędu, ciepła i masy mogą być wynikiem przekazywania pędu i energii lub zamiany miejsc pomiędzy poszczególnymi, podlegającymi ruchom termicznym cząsteczkami (przenoszenie molekularne) lub też unoszenia większych grup cząsteczek (elementów objętości płynu) w wyniku makroskopowych ruchów płynu (przenoszenie konwekcyjne).
Molekularne przenoszenie pędu obserwujemy jako lepkość płynu; molekularne przenoszenie ciepła nazywamy przewodzeniem ciepła, a molekularne przenoszenie masy – dyfuzją.
Podczas przepływu płynów rzeczywistych obserwuje się zjawisko lepkości (tarcia wewnętrz-nego) płynu. Zjawisko to polega na tym, że dla podtrzymania gradientu prędkości dw/dy nie-zbędne jest przyłożenie siły ścinającej F , przy czym naprężenie styczne τ ( stosunek siły ścinają-
cej F do powierzchni A, na którą ta siła działa) jest tym większe, im większy jest gradient pręd-kości. Lepkość płynów (cieczy i gazów) definiowana jest na podstawie równania Newtona, które opisuje zależność stycznie przyłożonej siły od wielkości powierzchni, do której została przyło-
żona i od gradientu prędkości powstającego w płynie w kierunku prostopadłym do tej powierzchni.
dw
F = η ⋅ A
(1)
dy
lub
dw
τ = η
(2)
dy
gdzie: F - siła styczna do powierzchni, N,
η - współczynnik lepkości dynamicznej, Pa⋅s,
A - pole powierzchni, do której została przyłożona siła, m2,
dw
- gradient prędkości płynu w kierunku prostopadłym do powierzchni, 1/s,
dy
τ - naprężenie ścinające, Pa.
Dla większości płynów wartość współczynnika lepkości dynamicznej η jest niezależna od wielkości naprężenia stycznego (płyny niutonowskie). Jest on lepkości jest ważną wielkością, charakteryzującą zachowanie się płynu. Jego jednostką w układzie CGS jest Puaz i ma miano 1P = 1 dyna*s/cm2 = 1 g/(cm*s). W układzie SI jednostka lepkości (paskalosekunda, Pa*s) ma 2
miano 1 N*s/m2 i jest równa 104 puazów.
Stosunek
lepkości dynamicznej do gęstości płynu nazywa się współczynnikiem lepkości ki-
nematycznej (lepkością kinematyczną) ν = η / ρ. Jednostką lepkości kinematycznej w układzie CGS jest stokes, 1 St = 1 cm2/s, natomiast w układzie SI jednostka lepkości kinematycznej (bez nazwy) wynosi 1 m2/s i jest 104 raza większa od 1 St.
2. Obliczanie lepkości w oparciu o teorię kinetyczną gazów.
Traktując cząsteczki gazu jako kule sprężyste nie oddziałujące na siebie i dostatecznie od siebie oddalone można uzyskać zależności opisujące średnią prędkość ruchu termicznego cząsteczek, liczbę zderzeń cząsteczek ze ścianką oraz średnią drogę swobodną cząsteczek. Na tej podstawie można wyprowadzić wzór opisujący lepkość gazu:
2 mkT
η =
(3)
3
2
2
3π d
gdzie: m – masa cząsteczki, k – stała Boltzmana, T – temperatura bezwzględna, d – średnica cząsteczki.
Równanie (3) wskazuje, że lepkość gazu powinna być niezależna od ciśnienia i wprost pro-porcjonalna do pierwiastka z temperatury bezwzględnej. Pierwszy wniosek okazuje się słuszny dla gazów pod niskimi ciśnieniami (do ok. 10 barów), tj. wówczas, gdy założenia poczynione przy wyprowadzaniu równania (3) są w przybliżeniu spełnione; drugi wniosek jest słuszny tylko w sensie jakościowym, nie jest natomiast spełniony ilościowo.
W celu uzyskania ściślejszej zależności ilościowej trzeba uwzględnić siły oddziaływania mię-
dzycząsteczkowego w gazie. Siłę działającą pomiędzy dwiema cząsteczkami gazu można opisać za pomocą funkcji ϕ (r), określającej energię potencjalną układu złożonego z tych dwóch cząsteczek pozostających w odległości r od siebie.
Dla
cząsteczek jednoatomowych, a w przybliżeniu także wieloatomowych o kształcie zbliżonym do kulistego i pozbawionych momentu dipolowego, funkcję ϕ dobrze opisuje wzór Lennar-da-Jonesa:
12
6
σ
σ
ϕ (r) = 4ε − (4)
r
r
w którym pierwszy wyraz w nawiasie kwadratowym opisuje siłę odpychania działającą przy małych odległościach między cząsteczkami, drugi zaś – siłę przyciągania międzycząsteczkowego. Stałe σ i ε zależą od rodzaju cząsteczek i można je obliczyć następującymi wzorami empi-rycznymi:
3
1
= 77
,
0
T
3
σ =
V
833
,
0
(5)
kr
k
kr
gdzie : k – stała Boltzmana, Tkr , Vkr – parametry krytyczne;
ε
1
= ,
1 T
21
3
σ = 18
,
1 V (6)
wrz
k
m c
,
gdzie Twrz i Vm,c – odpowiednio temperatura wrzenia i objętość molowa cieczy w temperaturze wrzenia oraz
ε
1
=
T
92
,
1
3
σ = ,
1 22V (7)
t
k
m,t
gdzie Tt i Vm,t – odpowiednio temperatura topnienia i objętość molowa ciała stałego w temperaturze topnienia.
We wzorach (5-7) temperaturę należy podstawiać w kelwinach, objętość molową w cm3/mol; wartość σ otrzymuje się w angstremach, zaś stosunek ε/k w kelwinach.
Bromley i Wilke zmodyfikowali powyższe zależności i podali następujące wyrażenia: η = 3,33∗10-6 (MT 1/
2 / 3
kr) 2 V −
f
kr
1(1,33Tr) (8)
η = 4,19∗10-7 1/2
M
2/3
p
1/ 6
T− f
kr
kr
1(1,33Tr) (9)
gdzie f1(1,33Tr) = f1(T*) jest stabelaryzowaną funkcją temperatury zredukowanej Tr. Wartości funkcji f1 można znaleźć w literaturze [1]. We wzorach tych wykorzystano przybliżoną zależ-
ność:
∗
kT
T =
≈
T
33
,
1
(10)
r
ε
Parametry krytyczne są wyrażone odpowiednio w kelwinach, barach i cm3/mol, masa cząstecz-kowa w g/mol, lepkość w jednostkach SI. Dokładność tych wzorów wynosi dla gazów niepolar-nych ok. 5%, dla gazów polarnych – do 15%. Nie można ich stosować dla wodoru i helu.
Wzory Bromleya i Wilkego umożliwiają szybkie i łatwe przeliczanie lepkości danego gazu na inną temperaturę wg zależności:
η
f (T*)
T
1
1
1
=
(11)
η
f (T*)
T
1
2
2
Bardzo dobre wyniki dają wzory Stiela i Thodosa o ogólnej postaci:
M1/2p2/3
kr
η =
f (T , z ) (12)
T1/6
r
kr
kr
gdzie zkr – współczynnik ściśliwości gazu w stanie krytycznym; pozostałe oznaczenia i miana są takie same jak poprzednio. Postać funkcji f (Tr, zkr) zależy od rodzaju gazu. Tabele z wyrażeniami określającymi tą funkcję można znaleźć w literaturze [2].
4
Wszystkie przytoczone wyżej wzory opisują lepkość gazów czystych pod niskim ciśnieniem (w obszarze, w którym lepkość gazu jest niezależna od ciśnienia). Lepkość gazów pod wysokimi ciśnieniami oblicza się zwykle za pomocą uogólnionych wykresów opartych na teorii stanów odpowiadających sobie.
Wykres Watsona i Uyehary podaje zależność lepkości zredukowanej ηr = η/ηkr od parametrów zredukowanych Tr i pr. Aby skorzystać z wykresu, oprócz wartości ciśnienia krytycznego i temperatury krytycznej gazu trzeba znać jeszcze jego lepkość krytyczną ηk. Wielkość tą można wyznaczyć dwojako – z wykresu Watsona i Uyehary, jeśli zna się przynajmniej jedną wartość lepkości danego gazu (w innych warunkach ciśnienia i temperatury) lub za pomocą przybliżonych wzorów empirycznych:
1/ 2
1/ 2
− M
T
η
6
kr
k =
16
,
6
×10
(13)
2 / 3
Vkr
1/ 2 2 / 3
− M
p
η
7
kr
k =
61
,
7
×10
(14)
1/ 6
Tkr
Parametry krytyczne w tych wzorach są wyrażane odpowiednio w K, barach i cm3/mol, M w g/mol, lepkość w jednostkach SI.
Innym wykresem jest wykres Carra, zwany również wykresem Comingsa lub Reida
i Sherwooda. Podaje on zależność stosunku lepkości gazu pod wysokim ciśnieniem do jego lepkości w tej samej temperaturze pod niskim ciśnieniem od parametrów zredukowanych Tr i pr.
Wykorzystanie tego wykresu jest łatwiejsze niż wykresu Watsona i Uyehary, ponieważ ponieważ lepkość gazu pod niskim ciśnieniem możemy obliczyć za pomocą któregokolwiek z podanych poprzednio wzorów. Dokładność obu wykresów jest rzędu 10 %.
Lepkość mieszanin gazowych pod niskim ciśnieniem oblicza się za pomocą półempirycznego równania Wilkego:
n
x η
η =
(15)
m
∑
i
i
n
i=1 ∑ x Φ
j
ij
=
j 1
gdzie : ηm – lepkość mieszaniny, n – liczba składników, xi (xj) – ułamek molowy składnika i(j), Mi (Mj) – masa molowa składnika i(j) oraz:
2
1
− / 2
1/ 2
1/ 4
1
M
η M
i
i
j
Φ =
1+
1
+
(16)
ij
2 2
M
η
M
j
j
i
Należy zwrócić uwagę, że Φii = 1 oraz Φji ≠ Φij . Dla mieszanin dwuskładnikowych można korzystać z wykresów podających zależność Φ1,2 od η1/η2 i M1/M2 podanych w literaturze [2].
Nieco mniej dokładne wyniki daje prostszy wzór empiryczny Herningsa i Zipperera: 5
∑η x M T
i
i (
i kr i, )1/ 2
i=
η = 1
(17)
m
n
∑ x M T
i (
i kr,i )1/ 2
i=1
gdzie Tkr,i – temperatura krytyczna składnika i [K], pozostałe oznaczenia są takie same jak poprzednio.
Lepkość mieszaniny gazowej pod wysokim ciśnieniem można obliczać dwoma sposobami.
Pierwszy z nich polega na obliczeniu lepkości mieszaniny pod niskim ciśnieniem (wg wzoru Wilkego) i użyciu wykresu Carra z wykorzystaniem parametrów pseudokrytycznych mieszaniny obliczonych wg reguły Kaya, tzn.
n
n
'
p
=
x p
oraz '
T
=
x T (18)
kr,m
∑
kr,m
∑ i kr i,
i kr i,
i=1
i=1
Drugi sposób (mniej dokładny) polega na użyciu wykresu Watsona i Uyehary z wykorzystaniem parametrów pseudokrytycznych mieszaniny (obliczonych jak wyżej) i lepkości pseudokry-tycznej, obliczonej ze wzoru:
n
η'
=
x
(19)
kr,m
∑ η
i
kr i,
i=1
3. Doświadczalne wyznaczanie lepkości gazu
Współczynnik lepkości dynamicznej η zdefiniowany równaniem (1) jest siłą potrzebną do wywołania ruchu warstewki płynu o jednostkowej powierzchni z prędkością o jednostkę większą od prędkości drugiej warstewki, odległej o jednostkę i równoległą do pierwszej. Rozważmy rurkę o długości l i promieniu R. Przepływ płynu przez taką rurkę z jednostajną prędkością zacho-dzi wtedy, gdy spadek ciśnienia ∆p na długości l równoważy opór tarcia płynu na tej długości.
Opór tarcia związany z cylindryczna warstewką różniczkową płynu określony jest, zgodnie z równaniem (1), wyrażeniem:
dv
opór tarcia = (
η 2πrl)−
............ ..(20)
dr
Znak ujemny został wprowadzony, aby nadać oporowi tarcia wartość dodatnią, gdy gradient prędkości jest ujemny. W przypadku przepływu stacjonarnego siła ∆p/πr2 równa jest oporowi tarcia:
dv
p
∆
− (
η 2πrl)
=
(21)
2
dr
r
π
Po przekształceniu i scałkowaniu tego równania w granicach od v =0 do v oraz od r = R do r otrzymuje się równanie opisujące rozkład prędkości w cylindrycznej warstwie płynu między ścianką rurki (r = R) a jej osią (r = 0):
6
∆
v =
( 2 2
R − r ) (22)
4 l
η
Objętościowe natężenie przepływu przez rurę wyznacza się drogą całkowania iloczynu powierzchni przekroju poprzecznego cylindrycznych elementów przez prędkość elementu. W ten sposób otrzymuje się równanie Poiseuille’a dla przepływu laminarnego:
•
R
π∆
4
pR
V = ∫ 2πrvdr =
(23)
0
η
8 l
Praktycznym zastosowaniem tego równania do pomiaru lepkości gazu jest metoda jego wypływu przez kapilarę. Gaz jest wypompowywany z kolby przez kapilarę do zbiornika, w którym panuje próżnia (p ≈ 0). Wyznacza się zależność ciśnienia gazu w kolbie od czasu wypływu przez kapilarę. Wykorzystując równanie Poiseuille’a można ją przedstawić w postaci:
4
1
πR τ
1
kτ
1
=
−
=
−
(24)
p
16 Vl
η
p
η
p
0
0
gdzie: p – ciśnienie w kolbie po czasie τ, p0 – ciśnienie początkowe w kolbie, τ - czas wypływu, V – objętość kolby, l – długość kapilary, R – promień kapilary, k – stała układu pomiarowego.
Równanie (24) przedstawia linię prostą w układzie 1/p = f(τ) o współczynniku nachylenia k/η.
W
układzie SI stała k jest bezwymiarowa. Przyjmując, że objętość kolby, długość oraz promień kapilary nie ulegają zmianie, można założyć, że wartość k nie zmienia się. Wyznaczenie stałej k dla danego układu pomiarowego polega na pomiarze w czasie zmiany ciśnienia gazu o znanej lepkości w danej temperaturze. Takim gazem wzorcowym może być powietrze, które musi być pozbawione wilgoci. Z równania (24) wynika, że stosunek lepkości gazu badanego η1
do lepkości gazu wzorcowego η2 jest równy stosunkowi współczynników nachylenia zależności 1/p = f(τ) w zakresie przepływu laminarnego:
η
tgα
1
2
=
(25)
η
tgα
2
1
Na początku wypływu gazu z kolby do próżni duża różnica ciśnień powoduje, że przepływ przez kapilarę jest burzliwy i nie można w tym zakresie korzystać z równania (24). Różnica ciśnień stopniowo maleje co powoduje wolniejszy przepływ. Przy zmianie ciśnienia w kolbie na pozio-mie 100-150 Pa/min. Przepływ jest laminarny i dla tego zakresu należy wyznaczać współczynnik nachylenia w równaniu (24).
4. Cel ćwiczenia
Celem
ćwiczenia jest wyznaczenie lepkości powietrza w podanej temperaturze i porównanie jej z wartością literaturową (z podaniem źródła w sprawozdaniu).
7
Schemat
układu pomiarowego przedstawiony jest na rys.1. Układ pomiarowy składa się
z kolby, połączonej poprzez system zaworów Z1, Z2, Z3 z wężownicą i kapilarą. Wężownica i kapilara umieszczone są w termostacie. Do kolby podłączony jest próżniomierz i rejestrator.
Utrzymanie odpowiedniego ciśnienia w aparaturze zapewnia układ próżniowy, składający się z pompy próżniowej, manostatu i zbiornika buforowego.
próżniomierz
R
P
Z2
kolba
Z1
Z3
Układ
próżniowy
wężownica
termostat
kapilara
Rys.1. Schemat aparatury doświadczalnej.
5. Wykonanie ćwiczenia
a) Włączyć rejestrator i nastawić podaną przez prowadzącego temperaturę na termome-trze kontaktowym.
b) Zamknąć zawory Z1 oraz Z3 i otworzyć zawór Z2. Otworzyć zawór w manostacie
i włączyć pompę próżniową. Po osiągnięciu odpowiedniego ciśnienia zamknąć zawór manostatu.
c) Zamknąć zawór Z2 i powoli otworzyć zawór Z1 w celu zapowietrzenia kolby.
d) Po osiągnięciu przez termostat odpowiedniej temperatury należy zamknąć zawór Z1
i otworzyć zawór Z3, równocześnie włączając rejestrację w czasie ciśnienia w kolbie.
6. Opracowanie wyników
Na podstawie zarejestrowanej w czasie zmiany ciśnienia w kolbie należy wykreślić zależność 8
1/p = f(τ) i wyznaczyć tgα tj. współczynnik nachylenia prostej w obszarze przepływu laminarnego. Używając podanej przez prowadzącego wartości stałej k należy obliczyć lepkość powietrza w temperaturze pomiaru (η = k/tgα) i porównać ją z wartością odczytaną
z odpowiednich tablic (podając źródło w sprawozdaniu).
Literatura
1. Bretsznajder S., Własności cieczy i gazów, WNT Warszawa 1962.
2. Pohorecki R., Wroński S., Kinetyka i termodynamika procesów inżynierii chemicznej, WNT Warszawa 1977.
9