Wykłady z matematyki finansowej i aktuarialnej
Wykład 11 – Funkcje komutacyjne, związki rekurencyjne.
Agnieszka Siłuszyk,
sil a@uph.edu.pl
Instytut Matematyki i Fizyki Styczeń, 7, 2013
Agnieszka Siłuszyk, sil a@uph.edu.pl
Wykłady z matematyki finansowej i aktuarialnej
Przy rozważaniu funkcji komutacyjnych posługujemy się zagregowanymi TTŻ.
Oznaczmy przez Nx funkcję komutacyjną dla renty na całe życie płaconą z dołu, wtedy
∞
X
Nx =
Dx+ k,
k=0
gdzie Dx = vx lx.
Agnieszka Siłuszyk, sil a@uph.edu.pl
Wykłady z matematyki finansowej i aktuarialnej
Fakt 11.1.
N
a
x+1
x =
(1)
D
,
x
N
¨ a
x
x =
(2)
Dx .
Dowód. Dla (1) wiemy, że
∞
X
∞
X D
N
a
x+ k
x+1
x =
v k kpx =
=
D
.
x
Dx
k=1
k=1
W podobny sposób można udowodnić zależność (2), wykorzystując związek
¨ ax = 1 + ax.
Agnieszka Siłuszyk, sil a@uph.edu.pl
Wykłady z matematyki finansowej i aktuarialnej
Fakt 11.2.
N
¨ a
x − Nx+ n x
(3)
: n| =
D
,
x
Nx+ n
n|¨
ax =
(4)
D
,
x
Nx+ n+1
n| ax =
(5)
D
.
x
Dowód. Przeprowadzenie dowodu nie jest skomplikowane i pozostaje do samodzielnego wyprowadzenia.
Agnieszka Siłuszyk, sil a@uph.edu.pl
Wykłady z matematyki finansowej i aktuarialnej
Fakt 11.3.
Mx = Dx − d · Nx .
Dowód. Przekształcając równanie 1
¨ a
− Ax
x =
d
uzyskujemy
Ax = 1 − d · ¨ ax .
Z równania (2) oraz z Ax = Mx otrzymujemy dalej Dx
Mx
N
= 1
x
D
− d ·
.
x
Dx
stąd otrzymujemy równość Mx = Dx − d · Nx cnp.
Agnieszka Siłuszyk, sil a@uph.edu.pl
Wykłady z matematyki finansowej i aktuarialnej
Dla składek rent rosnących wprowadzona zostaje nowa funkcja
∞
X
Sx =
Nx+ k
k=0
.
Fakt 11.4 Mamy
S
( Ia)
x+1
x =
(6)
Dx
S
( I ¨ a) x
x =
(7)
Dx
Dowód proszę przeprowadzić samodzielnie.
Agnieszka Siłuszyk, sil a@uph.edu.pl
Wykłady z matematyki finansowej i aktuarialnej