System algebraiczny (R, ⊕, ) nazywamy pierścieniem jeśli:
(1) (R, ⊕) jest grupą abelową,
(2) (R, ) jest półgrupą,
(3) działanie jest rozdzielne względem ⊕,
dodatkowo jeśli:
(4) działanie jest przemienne to pierścień nazywamy pierścieniem prze-
miennym.
Określimy teraz pewną ważną klasę pierścieni.
Twierdzenie 1 Niech m, n ∈ Z. Jeśli n > 0 to istnieje dokładnie jedna para
licz q, r, że:
m = qn + r, 0 ¬ r < n.
Liczbę r nazywamy resztą z dzielenia m przez n.
Przykład
1. m = 26, n = 6, wtedy mamy 26 = 4 · 6 + 2, więc reszta z dzielenia 26 przez
6 wynosi 2.
2. m = −26, n = 6, wtedy mamy 26 = (−5) · 6 + 4, więc reszta z dzielenia
-26 przez 6 wynosi 4.
3. m = 5, n = 7, wtedy mamy 5 = 0 · 7 + 5, więc reszta z dzielenia 5 przez 7
wynosi 5.
Niech Zn = {0, 1, . . . , n − 1}, gdzie n ∈ N, n > 0, wtedy w zbiorze Zn
możemy określić działania +n, ·n w następujący sposób:
a +n b = reszta z dzielenia a + b przez n,
a ·n b = reszta z dzielenia a · b przez n.
Twierdzenie 2 System algebraiczny (Zn, +n, ·n) jest pierścieniem przemien-
nym.
Jeśli działanie posiada element neutralny to oznaczamy go przez 1 i na-
zywamy jednością pierścienia. Pierścień, który posiada jedność nazywamy
pierścieniem z jednością.
Twierdzenie 3 Jeśli (R, ⊕, ) jest pierścieniem z jednością to:
(i) 0 x = x 0 = 0,
(ii) (−1) x = x (−1) = −x,
(iii) (−x) y = x (−y) = −(x y).
1
(i) Ponieważ 0 ⊕ 0 = 0 to korzystając z rozdzielności (własność (3)) mamy:
(3)
0 x = (0 ⊕ 0) x = 0 x ⊕ 0 x,
dodając stronami element przeciwny do 0 x otrzymujemy: 0 x = 0.
(ii) Wystarczy pokazać, że element (−1) x jest przeciwny do x. Rzeczywi-
ście:
(3)
x ⊕ (−1) x = 1 x ⊕ (−1) x =(1 ⊕ (−1)) x = 0 x = 0.
(iii) Dowód analogiczny jak dowód punktu (ii).
Element x ∈ R nazywamy dzielnikiem zera jeśli x 6= 0 i istnieje 0 6= y ∈ R,
że x y = 0.
Przykład Pierścień (Z, +, ·) jest pierścieniem bez dzielników zera. Natomiast
w pierścieniu (Z4, +4, ·4) element 2 jest dzielnikiem 0.
Element u ∈ R pierścienia z jednością nazywamy elementem odwracal-
nym jeśli jest odwracalny względem , a więc:
∃u0 ∈ R u u0 = u0 u = 1.
Zbiór wszystkich elementów odwracalnych oznaczamy przez R∗.
Przykład W pierścieniu Z8 elementy 1, 3, 5, 7 są odwracalne, bo 3 ·8 3 = 1,
5 ·8 5 = 1, 7 ·8 7 = 1.
Twierdzenie 4 Jeśli (R, ⊕, ) jest pierścieniem z jednością to (R∗, ) jest
grupą.
Dowód Wystarczy udowodnić, że zbiór R∗ jest zamknięty ze względu na .
Jeśli u, v ∈ R∗ to istnieją u0, v0, że:
u u0 = u0 u = 1, v v0 = v0 v = 1,
wtedy element v0 u0 jest odwrotny do u v. Zatem u v ∈ R∗.
Pierścień (R, ⊕, ) przemienny z jednością nazywamy ciałem jeśli R∗ =
R − {0}, tzn. każdy niezerowy element jest odwracalny.
Przykłady
1. (Z, +, ·) nie jest ciałem,
2. (R, +, ·) jest ciałem,
3. (Z2, +2, ·2) jest ciałem,
4. (Z4, +4, ·4) nie jest ciałem.
Twierdzenie 5 W ciele nie ma dzielników zera.
2
Dowód Jeśli R jest ciałem i a, b ∈ R są elementami, takimi że a 6= 0 i ab = 0
to istnieje a−1. Mnożąc równanie obustronnie przez a−1 otrzymujemy:
a−1ab = 0
Stąd b = 0 i a nie jest dzielnikiem zera.
Niech p ∈ Z, mówimy, że p jest liczbą pierwszą jeśli p jest podzielna tylko
przez 1 i przez siebie i p > 1.
Twierdzenie 6 Jeśli n nie jest liczbą pierwszą to Zn nie jest ciałem.
Dowód Jeśli n nie jest liczbą pierwszą to istnieją k 6= 1, l 6= 1, takie że
n = kl. Wtedy k i l są dzielnikam izera w pierścieniu Zn i na podstawie
poprzedniego twierdzenia Zn nie jest ciałem.
Mówimy, że liczba n dzieli m jeśli reszta z dzielenia m przez n wynosi 0.
Piszemy wtedy n|m, czyli:
n|m ⇐⇒ ∃k ∈ Z m = nk
Mówimy, że liczba d jest największym wspólnym dzielnikiem liczb całkowi-
tych a, b i piszemy d = NWD(a, b) jeśli d|a, d|b i jeśli c|a, c|b to c ¬ d.
Twierdzenie 7 Jeśli a, b ∈ Z, NWD(a, b) = d to równanie ax + by = d ma
rozwiązanie całkowite x, y ∈ Z.
Dowód Rozważmy zbiór X = {as + bt; s, t ∈ Z}. Zbiór ten posiada ele-
menty dodatnie bo np. a2 + b2 ∈ X. Niech c będzie najmniejszym ele-
mentem dodatnim w zbiorze X, czyli c = ax + by dla pewnych x, y ∈ Z.
Element c|a bo jeśli nie to: a = qc + r, gdzie 0 < r < c, wtedy mamy
r = a − qc = a − q(ax + by) = a(1 − qx) + (−qy)b, zatem r ∈ X, co przeczy
minimalności c, podobnie można stwierdzić, że c|b. Zatem c = NWD(a, b).
Twierdzenie 8 Niech a ∈ Zn. Element a jest odwracalny w Zn wtedy i tylko
wtedy gdy NWD(a, n) = 1.
Dowód Jeśli NWD(a, n) = 1 to na podstawie poprzedniego twierdzenia
istnieją liczby całkowite x, y takie, że ax + ny = 1. Wtedy liczba y jest
odwrotna do a modulo n. Niech teraz a będzie elementem odwracalnym.
Wtedy istnieje b, że a ·n b = 1. To oznacza, że liczba ab dzieli się przez n z
resztą 1, mamy więc ab = kn + 1, wtedy NWD(a, n) = 1.
Wniosek 1 Pierścień (Zn, +n, ·n) jest ciałem wtedy i tylko wtedy gdy n jest
liczbą pierwszą.
Dowód Wynika to bezpośrednio z poprzedniego twierdzenia.
3