AF 2012/2013, 2. Przestrzenie unormowane
6
§ 2.
Przestrzenie unormowane
Przestrzenie liniowe możemy rozpatrywać z różnymi topolo-giami. Jeśli wprowadzona topologia zapewnia ciag lość dzia lań, to
‘
uzyskana przestrzeń nazywamy przestrzenia liniowo-topologiczna
‘
‘
‘
(p.l.t.). Niektóre klasy p.l.t. przedstawia poniższy rysunek.
przestrzenie liniowo-topologiczne
przestrzenie lokalnie-wypukłe
przestrzenie unormowane
przestrzenie Banacha
przestrzenie Hilberta
przestrzenie
euklidesowe
Normy i seminormy
Niech X p.liniowa. Funkcje (funkcjona l) ϕ : X → R nazywamy
‘
norma na X, jeśli:
‘
(1) ϕ(x) ≥ 0
nieujemność,
(2) ϕ(x + y) ≤ ϕ(x) + ϕ(y)
nierówność trójkata,
‘
(3) ϕ(λx) = |λ|ϕ(x)
jednorodność,
(4) ϕ(x) = 0 ⇔ x = 0
warunek zerowania sie.
‘
Jeśli ϕ ma w lasności (1) - (3), to ϕ nazywamy seminorma.
‘
Każda norma jest seminorma ale nie odwrotnie.
‘
Przyk lady
(a) ϕ(x) = |x|, x ∈ R, jest norma w R.
‘
(b) ϕ(x) = supt |x(t)|, x ∈ X, jest norma na C([0, 1]). ϕ
‘
1(x) =
|x(0)| jest seminorma na C([0, 1]).
[CW]
‘
(b) ϕ(x) = R 1 |x(t)| dt jest norma na C([0, 1]) i tylko seminorma 0
‘
‘
na L1([0, 1])
= {x ∈ R[0,1] : x mierzalna Lebesgue’a, R 1 |x(t)| dt < ∞}.
0
AF 2012/2013, 2. Przestrzenie unormowane
7
Jeśli ϕ jest norma, to piszemy ||x|| zamiast ϕ(x) oraz || · || zamiast
‘
ϕ. Pare (X, || · ||) nazywamy przestrzenia unormowana. Aksjo-
‘
‘
‘
maty normy maja zatem postać:
‘
(1) ||x|| ≥ 0,
(2) ||x + y|| ≤ ||x|| + ||y||,
(3) ||λx|| = |λ| · ||x||,
(4) ||x|| = 0 ⇔ x = 0.
Ponadto |||x|| − ||y||| ≤ ||x − y||. Funkcja d(x, y) = ||x − y||, x, y ∈ X, jest metryka na X oraz ||x|| = d(x, 0). d nazywamy
‘
metryka normy.
‘
Przyk lady
(a) Normami w Rk, k = 1, 2, . . . , sa funkcje:
‘
||x||e = px21 + . . . + x2, norma euklidesowa,
k
||x||tax = |x1| + . . . + |xk|, norma taksówkowa,
||x||max = max{|x1|, . . . , |xk|}, norma maksimum.
(b) Norma w przestrzeniach l∞, c i c
‘
0 jest funkcja:
||(tk)|| = sup |tk|, norma supremum.
k∈N
(c) Norma w C([a, b]) jest funkcja ||x|| = sup{|x(t)| : t ∈ [a, b]}.
‘
Norma jest tu także funkcja ||x|| = R b |x(t)| dt.
‘
a
Uwagi
1. Z p.semiunormowanej (X, ϕ) możemy zawsze utworzyć przestrzeń unormowana:‘
Y = {z ∈ X : ϕ(z) = 0} jest podprzestrzenia liniowa.
‘
‘
ϕ(x − y) = 0 ⇔ x − y ∈ Y .
x ∼ y ⇔ ϕ(x − y) = 0 jest relacja równoważności w X.
‘
˜
X = X/∼ = X/Y = {[x] : x ∈ X} jest p.liniowa.‘
˜
ϕ([x]) = ϕ(x) jest norma na ˜
X.
‘
AF 2012/2013, 2. Przestrzenie unormowane 8
2. Dla seminormy ϕ(x) = R 1 |x(t)| dt w L1([a, b]) mamy: 0
ϕ(x − y) = 0 ⇔ R b |x(t) − y(t)| dt = 0 ⇔ x(t) = y(t) p.w.
a
Zatem stosowana może być identyfikacja przestrzeni L1([a, b]) z L1([a, b])/∼ i traktowanie (L1([a, b]), ϕ) jako przestrzeni unormowanej - gdy identyfikujemy funkcje równe sobie p.w.
3. ϕ((tk)) = P∞ |t
na l1. ϕ(x) = R b |x(t)| dt jest
1
k| jest norma‘
a
seminorma na L1([a, b]).
‘
4. Określenie normy lub seminormy w lp i Lp([a, b]) = {x ∈
R[0,1] : x mierzalna Lebesgue’a, R 1 |x(t)|p dt < ∞}, dla p > 1 jest 0
bardziej z lożone niż w przypadku p = 1.
Niech p, q > 1. Jeśli 1/p + 1/q = 1, to p i q nazywamy wyk lad-nikami sprze żonymi. Dla dowolnych wyk ladników sprzeżonych
‘
‘
i dowolnych a, b > 0 zachodzi nierówność Younga: ab ≤ ap/p + bq/q.
Interpretacja geometryczna
x
x=tp-1 iff t=xq-1
v
t
u
Wykres funkcji x = tp−1 jest identyczny z wykresem f.odwrotnej t = x1/(p−1) = xq−1. Mamy: pole prostokata = uv, pole dolnego
‘
obszaru = R u tp−1 dt = up/p, pole górnego = R v xq−1 dx = vq/q.
0
0
Dowód 1. Dla x = up/vq, x1/p ≤ x/p + 1/q, x > 0. Dalej badamy monotoniczność funkcji f (x) = x1/p − x/p − 1/q, x > 0.
[CW]
Dowód 2. Funkcja f (x) = ln x jest wkles la na (0, ∞), tzn. dla
‘
dowolnych α, β ∈ [0, 1] takich, że α + β = 1 i dowolnych x, y ∈
[0, ∞], f (αx + βy) ≥ αf (x) + βf (y) (równoważnie, f ′′(x) ≤ 0
dla x ∈ [0, ∞]. Zatem mamy ln(ap/a + bq/q) ≥ (1/p) ln ap +
(1/q) ln bq = ln(ab).
AF 2012/2013, 2. Przestrzenie unormowane
9
Z pomoca nierówności Younga można uzyskać ważne w zas-
‘
tosowaniach nierówności Höldera.
Nierówności Höldera (NH). Niech p, q - wyk ladniki sprzeżo-
‘
ne. Dla dowolnych (tk), (sk) ∈ Rn
n
n
n
(a)
P |t
P
P
ksk | ≤ (
|tk|p)1/p · (
|sk|q)1/q.
k=1
k=1
k=1
Dla dowolnych (tk) ∈ lp i (sk) ∈ lq
∞
∞
∞
(b)
P |t
P
P
ksk | ≤ (
|tk|p)1/p · (
|sk|q)1/q.
k=1
k=1
k=1
Dla dowolnych x ∈ Lp[0, 1] i y ∈ Lq[0, 1]
(c)
R 1 |x(t)y(t)| dt ≤ (R 1 |x(t)|p dt)1/p · (R 1 |y(t)|q dt)1/q.
0
0
0
Dla p = q = 2 otrzymujemy z (a) nierówność Schwarza:
n
2
n
n
P |t
P
P
ksk |
≤ (
|tk|2) · (
|sk|2).
k=1
k=1
k=1
Dowód. (a) Stosujemy (*) dla k = 1, . . . , n przyjmujac
‘
|t
|s
u =
k|
,
v =
k |
.
(Pn |t
(Pn |s
1
k|p)1/p
1
k|q )1/q
Sumujemy stronami i uwzgledniamy 1/p + 1/q = 1. Z (a) przy
‘
n → ∞ otrzynujemy (b). (c) Stosujemy (*) dla:
|x(t)|
|y(t)|
u =
,
v =
.
(R 1 |x(t)|p dt)1/p
(R 1 |y(t)|q dt)1/q
0
0
i ca lkujemy stronami.
Nierówności Minkowskiego (NM) Niech p ≥ 1. Dla dowolnych (tk), (sk) ∈ Rn
n
n
n
(a)
( P |t
P
P
k + sk |p)1/p ≤ (
|tk|p)1/p + (
|sk|p)1/p.
k=1
k=1
k=1
Dla dowolnych (tk), (sk) ∈ lp
AF 2012/2013, 2. Przestrzenie unormowane 10
∞
∞
∞
(b)
( P |t
P
P
k + sk |p)1/p ≤ (
|tk|p)1/p + (
|sk|p)1/p.
k=1
k=1
k=1
Dla dowolnych x, y ∈ Lp[0, 1]
1
1
1
(c)
(R |x(t) + y(t)|p dt)1/p ≤ (R |x(t)|p dt)1/p + (R |y(t)|p dt)1/p.
0
0
0
Dowód. Dla p = 1 nierówności sa oczywiste. Niech p > 1. Na
‘
podstawie nierówności trójkata i NH dla q sprzeżonego z p mamy:
‘
‘
n
n
P |t
P
k + sk |p ≤
|tk + sk| · |tk + sk|p−1 ≤
k=1
k=1
n
n
P |t
P
k | · |tk + sk |p−1 +
|sk| · |tk + sk|p−1 ≤
k=1
k=1
n
n
( P |t
P
k|p)1/p · (
|tk + sk|q(p−1))1/q+
k=1
k=1
n
n
( P |s
P
k|p)1/p · (
|tk + sk|q(p−1))1/q.
k=1
k=1
Ponieważ q(p − 1) = p, to otrzymujemy NM. (b) otrzymujemy z (a) przy n → ∞. (c) uzyskujemy podobnie jak (a).
Wnioski
(1) Funkcja ϕ((tk)) = (P∞ |t
na lp, p ≥ 1.
k=1
k |p)1/p jest norma‘
(2) ϕ(x) = (R b |x(t)|p dt)1/p jest seminorma na Lp([a, b]), p ≥ 1.
a
‘
(3) ϕ([x]) = (R b |x(t)|p dt)1/p jest norma na Lp([a, b])/∼, gdzie: a
‘
x ∼ y ⇔ x(t) = y(t) p.w.
Dla wyk ladników sprzeżonych p i q mamy:
‘
(4)
(tk) ∈ lp i (sk) ∈ lq ⇒ (tksk) ∈ l1.
[CW]
(5)
x ∈ Lp[a, b] i y ∈ Lq[a, b] ⇒ xy ∈ L1[a, b].
[CW]
Zbie żność w przestrzeniach unormowanych
Zbieżność w przestrzeni unormowanej (X, || · ||) określana jest tak samo jak w przestrzeni metrycznej i ma postać:
AF 2012/2013, 2. Przestrzenie unormowane 11
xn → x ⇔ d(xn, x) → 0 ⇔ ||xn − x|| → 0.
W konsekwencji:
(a) Ciag zbieżny jest ograniczony, tj. ∃M > 0 ∀n ||x
‘
n|| ≤ M .
(b) Norma jest funkcja ciag la, tj. x
‘
‘ ‘
n → x ⇒ ||xn|| → ||x||.
(c) Każda p.unormowana jest p.l.t.
Dowód. (a) Niech xn → x. Wtedy ||xn|| ≤ ||xn − x|| + ||x|| ≤
1 + ||x|| dla p.w. n. (b) 0 ≤ |||xn|| − ||x||| ≤ ||xn − x|| → 0, gdy xn → x. (c) Ciag lość dzia lań wynika z nierówności: 0 ≤
‘
||xn +yn −x0 −y0|| ≤ ||xn −x0||+||yn −y0||, 0 ≤ ||λnxn −λ0x0|| ≤
|λn| ||xn − x0|| + |λn − λ0| ||xn||.
Zbieżność w przestrzeniach z seminorma określana jest podob-
‘
nie. Każda seminorma ϕ : X → R generuje semimetryke d(x, y) =
‘
ϕ(x − y).
(1) Zbieżność w seminormie określa warunek:
xn → x ⇔ ϕ(xn − x) → 0.
(2) Każda seminorma ma w lasność: |ϕ(x) − ϕ(y)| ≤ ϕ(x − y).
(3) Każda seminorma jest funkcja ciag la bo 0 ≤ |ϕ(x
‘
‘
‘
n) − ϕ(x)| ≤
ϕ(xn − x) → 0, gdy xn → x.
(4) Każda p.semiunormowana (X, ϕ) jest p.l.t..