WydziaÃl Mechaniczny PK - ćwiczenia - zadania
Zadania z egzaminów
Znaleźć asymptoty funkcji:
f ( x) = ( x − 1) exp( 1 ),
x
f ( x) = x ln 2 x ,
x− 2
f ( x) = x exp( 1 ),
3 −x
f ( x) = x exp 1 ,
x 2 − 4
f ( x) = x − 2 arctg x,
f ( x) = ln x
√ ,
x
f ( x) = x ln( e + 1 ),
x
f ( x) = x − arcsin 1 ,
x
f ( x) = 3 x + arctg x
.
1 −x 2
Obliczyć granice:
lim x→∞( π − arctg x) 1
ln x
2
lim x→π (tg x) 2
cos 2 x
4
√
lim
1 − 1 −x
x→ 0
(bez użycia twierdzenia de l’Hospitala)
sin 4 x
1
lim x→ 0+( 2 arccos x) x 2
π
lim x→π (tg x)tg 2 x
4
lim x→ 0+(tg x) −x
Zadania inne:
lim x→ 1 −(1 − x)tg( πx)1
lim x→ 0(cos(sin x)) x 2
√
√
lim
π− arccos x
x→− 1+
√x+1
lim x→ 1 sin( x − 1) tg πx 1
lim x→−∞( π + arctg x)1+ x
2
lim x→ 0+( 1 )sin x
x
lim
ln(1+ x) −x
x→ 0
tg2 x
lim x→ 0+(sin x) x 2
lim x→∞( 2 arctg x) x
π
lim x→∞(( x+1)2 ) x 2
x 2+1
lim x→∞( x 2+3 x+1) x+2
x 2+1
Znaleźć ekstrema funkcji i określić ich charakter:
1
f ( x, y) = x 2 + y 2 − 8 ln( xy), f ( x, y) = e 2 x( x + y 2 + 2 y), f ( x, y) = 16 ln( y + 2 x) − 8 x − y 2, f ( x, y) = yx 2 − xy + 3 y 2 − 6 y, 2
2
f ( x, y) = x 3 + y 3 − 18 x − 4 y − 1, f ( x, y) = x 2 + y 2 − 50 ln y,
√
f ( x, y) = x y − x 2 − y + 6 x, f ( x, y) = 3 ln x + x 2 y 2 − y 2 − 5 x, f ( x, y) = 1 x 2 + 1 y 3 − 2 y 2 − xy + 6 y, f ( x, y) = x 2 + 2 xy + 2 y 2 + 6 x + 3, 2
3
f ( x, y) = x + 1 + y, f ( x, y) = ( x + y)2 − ( x + 5 y + xy), y
x
f ( x, y) = ln( x + y) − x 2 − y 2.
Obliczyć caÃlki: (powstaÃle przy rozwi¸azywaniu zadań z egzaminów) R
R
R
R
cos 2 x
dx ,
sin 2 x dx ,
1
dx,
cos x dx,
cos4 x+sin4 x
1+sin2 x
3+5 cos x
1+cos x
R
R
R
R
3 sin x+2 cos x dx,
1+tg x dx,
1
dx,
1
dx.
2 sin x+3 cos x
1 − tg x
1+3 cos2 x
3 sin2 x+5 cos2 x
Obliczyć caÃlki: (s¸a to tematy z egzaminów)
R
R
R
R
1
√
dx,
1
√
dx,
1
dx,
xexdx,
1 −x−x 2
x 1+ln x
x 2+ x+1
R
R
R
R
x 4+ x 3 − 6 x 2+2 x+1 dx, 1
dx,
1+sin x− cos x dx, cos x sin xdx, x 2+ x− 6
4 − 4 sin x+3 cos x
1 − sin x+cos x
R
R
R
R √
( x − 1) e− 2 xdx, (9 − 1 cos2 x − 1 sin2 x) dx, 1
dx,
x 1 + 4 x 2 dx,
2
16
4
x 2+2 x+10
R
R √
R
R
x sin nxdx,
x 2 + 16 dx,
1
dx,
1
dx,
x 2+ x− 2
x 2( x+1)
R
p
1
x dx.
x 2
x+1
Obliczyć caÃlki podwójne:
R R
D
Obliczyć pole obszaru ograniczonego krzywymi y = 4 , y = 4 x, dla y ≥ 0, x ≥ 0.
x 2
Obliczyć pole obszaru ograniczonego krzywymi y = 8 −x 2, y − 8 x− 16 = 0, y +8 x− 16 = 0.
Obliczyć pole obszaru leż¸acego mi¸edzy krzyw¸a y =
1
i jej asymptot¸a.
x 2+2 x+10
Obliczyć pole obszaru ograniczonego krzywymi y =
1
, y = 0, dla x ≥ 1.
x 2( x+1)
Obliczyć obj¸etości bryÃl opisanych warunkami:
2
{ x 2 + y 2 ≤ z ≤ 2 − x 2 − y 2 },
{z = 0 , z = 2 − x 2 − y 2 , x 2 + y 2 = 1 },
{x 2 + y 2 + z 2 = 4 , x 2 + y 2 = 3 z, z ≥ 0 }, p
{z = 8 −
x 2 + y 2 , z + 2 + x 2 + y 2 , x 2 + y 2 ≥ 1 , x ≥ 0 , y ≥ 0 },
√
{z = 4 − x 2 , y = 2 x, x + y = 2 , z = 0 , y = 0 }, {x 2 + y 2 = 1 , z = 0 , x + y + z =
2 },
{z = 1 + x 2 + y 2 , z = 9 − x 2 − y 2 }, {z ≤ 9 − x 2 − y 2 , x 2 + y 2 ≤ 1 , z ≥ − 1 }, p
{ arctg
x 2 + y 2 , z = 0 , x 2 + y 2 = 4 , y ≥ 0 }, {x 2 = y 2 + z 2 ≤ 4 , 3 z ≥ x 2 + y 2 },
{z + 4 − x 2 − y 2 , 2 z = 2 + x 2 + y 2 }, {z = x 2 + y 2 , z + 8 − x 2 − y 2 , x ≥ 0 , y ≤ 0 },
{x 2 + y 2 = z 2 , x 2 + y 2 + z 2 = 8 , z ≥ 0 , x 2 + y 2 ≤ z 2 }, p
{y ≥ 0 , x 2 + y 2 ≤ 1 , 0 ≤ z ≤ arctg x 2 + y 2 },
{x 2 + y 2 + z 2 = 18 , z 2 = x 2 + y 2 , z ≥ 0 }, {z = x 3 y, x 2 + y 2 = 4 , z ≥ 0 },
{z = x 2 + y 2 , x 2 + y 2 = 16 , z = 0 }, {z = x 2 + y 2 , y = x 2 , y = 1 , z = 0 }, p
p
{z =
x 2 + y 2 , z = 4 x 2 + y 2 , x 2 + y 2 = 9 , x ≥ 0 , y ≥ 0 , z ≥ 0 },
{x 2 + y 2 − z 2 = 0 , x 2 + y 2 = 2 x, z ≥ 0 },
{x + y + z = 10 , x 2 + y 2 = 4 , x = 0 , y = 0 , z = 0 },
{x 2 + y 2 + z 2 ≤ 8 , x 2 + y 2 ≤ z 2 , x ≥ 0 , y ≥ 0 , z ≥ 0 },
√
powstaÃlej w wyniku obrotu wokóÃl osi 0 X wykresu funkcji y =
x − 1 e−x
√
powstaÃlej w wyniku obrotu wokóÃl osi 0 X krzywej y =
arctg x.
Obliczyć caÃlki nieskierowane:
Obliczyć dÃlugość Ãluku krzywej C danej równaniami x = ( t 2 − 2) sin t + 2 t cos t, y =
(2 − t 2) cos t + 2 t sin t, t ∈ [0 , π].
R p
Obliczyć
x 2 + y 2 dl po krzywej K danej równaniami x = cos t + t sin t, y = sin t −
K
t cos t, z = ln 5, t ∈ [0 , π].
Obliczyć mas¸e krzywej c danej równaniem y = 1( ex+ e−x), x ∈ [0 , 1], o g¸estości ρ( x, y) = 1 .
2
y
R
Obliczyć caÃlk¸e
9 xydl, gdzie K jest Ãlukiem elipsy x 2 + y 2 = 1, leż¸acym w pierwszej K
4
ćwiartce pÃlaszczyzny.
3
Obliczyć mas¸e krzywej c danej równaniem x 2 + y 2 = 4 x, jeżeli g¸estość w każdym punkcie jest wprost proporcjonalna do kwadratu odlegÃlości tego punktu od pocz¸atku ukÃladu wspóÃlrz¸ednych.
Obliczyć mas¸e Ãluku krzywej C danej równaniami parametrycznymi x = et cos t, y =
et sin t, z = et, 0 ≤ t ≤ 1, jeżeli g¸estość dana jest wzorem ρ( x, y, z) = z.
Obliczyć mas¸e Ãluku krzywej C danej równaniem y = ln x, a ≤ x ≤ b, jeżeli g¸estość w każdym punkcie równa si¸e kwadratowi odci¸etej tego punktu.
R
Obliczyć caÃlk¸e
ydl, gdzie L jest Ãlukiem krzywej y = x 3 mi¸edzy punktami A = ( − 1 , − 1) L
i B = (1 , 1).
Obliczyć dÃlugość krzywej L danej równaniami parametrycznymi x = e 2 t cos t, y = e 2 t cos t, t ∈ [0 , 1 ln 2].
2
Obliczyć dÃlugość krzywej y = ln sin x, x ∈ [ π , π ].
4
2
Obliczyć mas¸e Ãluku krzywej C danej równaniami parametrycznymi x = R cos t, y =
2
√
R sin t, z = 3 R, t ∈ [0 , π ], gdzie g¸estość masy jest w każdym punkcie równa iloczynowi 2
2
2
wspóÃlrz¸ednych tego punktu.
Obliczyć caÃlki skierowane:
R
Obliczyć
( y 2 + 2 y) dx + ( ey + 2 x) dy po okr¸egu K = {( x − 1)2 + y 2 = 1 } zorientowanym K
dodatnio.
R
Obliczyć
( y + x) dx + ( x 2 − 1) dy po okr¸egu K = {x 2 + y 2 = x} zorientowanym dodatnio.
K
µ
¶
R ¡
p ¢
q
Obliczyć
arctg y +
y
dx +
arctg x +
x + 2 y dy, gdzie K jest odcinkiem danym K
1+ x 2
x
1+ y 2
y
równaniem y = x od punktu A = (1 , 1) do punktu B = (2 , 2).
R
Obliczyć caÃlk¸e
( x+ y) dx−xdy, gdzie C jest brzegiem trójk¸ata o wiezchoÃlkach O = (0 , 0), C
A = (1 , 2), B = (2 , 0), zorientowanym dodatnio.
R
p
p
Oblliczyć caÃlk¸e
[ y 2 + ln( y +
x 2 + y 2)] dx + [cos y + ln( x +
x 2 + y 2)] dy, gdzie C jest
C
okr¸egiem o równaniu ( x − 2)2 + y 2 = 4, zorientowanym ujemnie.
R p
p
Obliczyć caÃlk¸e
x 2 + y 2 dx + ( xy 2 + y ln( x +
x 2 + y 2)) dy, gdzie K jest brzegiem K
√
obszaru ograniczonego krzywymi y =
x, y = x 2 z orientacj¸a ujemn¸a.
R
Obliczyć caÃlk¸e
ydx − xdy, gdzie L jest krzyw¸a x 2 + y 2 = 4 y, skierowan¸a dodatnio.
L
4
Obliczyć caÃlk¸e
( −x 2 dx+ x 2 ydy), gdzie K jest brzegiem kwadratu o wierzchoÃlkach (1 , 1), K
(3 , 1), (3 , − 1) i (1 , − 1) zorientowanym dodatnio.
R
Obliczyć caÃlk¸e
( xy 2 + y 4 − y 3) dx + ( x 2 y + 4 y 3 x + x 3) dy, gdzie K jest krzyw¸a o równaniu K
x 2 + y 2 = 2 x, zorientowan¸a dodatnio.
R
Obliczyć caÃlk¸e
( exy + xyexy) dx+( x 2 exy + x) dy, gdzie K jest krzyw¸a o równaniu x 2+ y 2 =
K
2 x, zorientowan¸a dodatnio.
R
Obliczyć caÃlk¸e
2 xdx − ( x + 2 y) dy, gdzie C jest brzegiem trójk¸ata o wierzchokach A =
C
( − 1 , 0), B = (0 , 2), C = (2 , 0) zorientowanym ujemnie.
Rozwi¸azać równania różniczkowe:
y00 − 6 y0 + 9 y = −e 2 x + sin 2 x, 2 xyy0 + x = y 2
y00 − 2 y0 + y = x 2 + e 2 x, 2 x tg y + ( x 2 − 2 sin y) y0 = 0
y0 + y = 1 ,
xy0 − y = x tg y
x
x 2 y 2
x
y00 + 5 y0 + 6 y = cos 2 x + ex y00 + 4 y0 + 5 y = cos 2 x,
yxy− 1 dx + xy ln xdy = 0
y00 + 4 y0 + 4 y = e 2 x,
yy0 + y 2 = ex
y0 + 2 xy −
2
√
y 1 / 2 = 0 ,
2 y00 + y0 − y = − 3 xex
x 2+16
x 2+16
y00 + 4 y = e 2 x,
dx − x = 0
y
y 2
y00 + y0 + y = sin 3 x
Narysować krzyw¸a caÃlkow¸a równania 3 x 2(1 + ln y) dx + ( x 3 − 2 y) dy = 0, przechodz¸a przez y
punkt (0 , 1) ∈ R2
y0 + 2 xy = 2 x 3 y 3
Znaleźć rozwi¸azanie rówania różniczkowego y0 + y = y 2 ln x speÃlniaj¸ace warunek y(1) = 2
x
Znaleźć rozwi¸azanie rówania różniczkowego y00 − 4 y0 + 4 y = 8 e 2 x speÃlniaj¸ace warunki y(0) = 1, y0(0) = 1
y0 − y = x ,
y00 − 4 y0 + 3 y = x 2 + 1
x
x 2+1
y00 + y = sin2 x
y0 − 1 y = 1 y 2 ,
2 y00 − 5 y0 − 7 y = sin x
x
x
5
p
2 x(1 +
x 2 − y) dx =
x 2 − ydy
xy0 − 2 y = xe− 1
x ,
y00 + 4 y0 + 4 y = 2 e− 2 x
√
y0 − x y = xy
x 2 − 1
Znaleźć rozwi¸azanie rówania różniczkowego y00− 2 y0+2 y = 2 x 2 − 4 x+4 speÃlniaj¸ace warunki y(0) = 1, y0(0) = 2
y0 + y = y 2 ln x, y(1) = 2 , y00 − 4 y = x + e 3 x
x
y0 − 1 y = ln xy 3 ,
y00 + 2 y0 + y = e−x
x
x 2
y00 + 2 y0 + y = sin x + cos x, ( exx 2 + exy 2 + ex 2 x) dx + ( ex 2 y) dy = 0
y dx + y 3 ln xdy = 0 , y00 − 10 y0 + 25 y = − 5 x x
(ln x + y − 1) dx + ( x − y − y 2) dy = 0 , Znaleźć rozwi¸azanie rówania różniczkowego y00 +2 y0 = 3 e− 2 x speÃlniaj¸ace warunki y(0) = 1, y0(0) = 0
Rozwin¸ać w szereg Fouriera funkcje:
f ( x) = | cos x|, x ∈ [ −π, π], f ( x) = π − x wedÃlug cosinusów w przedziale [0 , π].
4
f ( x) = 1 − x wedÃlug cosinusów w przedziale [0 , π].
f ( x) = x wedÃlug cosinusów w przedziale [0 , π].
f ( x) = 2 x wedÃlug sinusów w przedziale [0 , π].
½ 0 , − π < x < 0
f ( x) =
x, 0 ≤ x < π
i narysować sum¸e szeregu.
½ 1 , 0 ≤ x ≤ 1
f ( x) =
0 , 1 ≤ x ≤ π
wedÃlug cosinusów w przedziale [0 , π].
6
0 ,
− π < x < 0
π
f ( x) =
2 , 0 < x <
2
π
0 ,
< x < π
2
i narysować sum¸e szeregu.
0 ,
− π < x < 0
π
f ( x) =
4 , 0 < x <
2
π
0 ,
< x < π
2
i narysować sum¸e szeregu.
7