1. Wykazać zbieżność ciągu an = 2n , wykorzystując jego monotoniczność i n!
ograniczoność.
2. Obliczyć granice ciągów:
• an = 1+4+7+...+(3n−1) n2
• bn = n2
(n+1)
n−1
• cn = 4·3n+1+2·4n 5·2n+4n+2
1+ 1 + 1 +...+ 1
• d
2
4
2n
n = 1+1+1+...+ 1
3
9
3n
√
√
• en =
n4 + n2 −
n4 − n2
√
• fn = n( 3 n3 + n − n) 3. Korzystając z twierdzenia o trzech ciągach, obliczyć granice:
√
• an = n 2 · 3n + 4 · 7n
• bn = n( 1 + 1 + . . . + 1 ) 1+n2
2+n2
n+n2
4. Obliczyć granice ciągów:
• an = (3n−1)n+4
3n+1
• bn = (n2+3)2n2+5
n2+1
• cn = n[ln (n + 3) − ln n]
5. Rozwiąż równanie, którego lewa strona jest sumą nieskończonego ciągu geometrycznego: 1
x + x(1 + x) + . . . + x(1 + x)n + . . . = 2x
• lim
x4+3x2−4
x→−1
x+1
• lim
x5−1
x→1 x−1
√
• lim
x− x
x→0
√
x+ x
√
3
• lim
1+x−1
x→0
x
• limx→0 xctgx
• lim
16x
x→0 sin 3x+sin 5x
• lim
ln (1+x)
x→0
x
7. Obliczyć granice:
• limx→−∞ 5x5 − 4 1 + 3x3 − 2 1 + x x4
x2
• lim
3x2−4x+1
x→∞ √x4+x2
√
√
• limx→∞ x2 + 1 −
x2 − 1
• limx→∞ (3x−1)2x−5
3x+1
• limx→∞ arcsin x2−7
√
2 x4+1
8. Obliczyć granice jednostronne:
• f (x) = x w punkcie x = 2
x−2
• f (x) = tgx w punkcie x = 0
x
• f (x) = x − x w punkcie x = 0
|x|
9. Zbadać, czy istnieje granica limx→x f (x). Jeśli tak, obliczyć tę granicę.
0
• f (x) = 2x+1, x x2−1
0 = 1
• f (x) = |x−1|, x x−1
0 = 1