Wykład 3
Wykład 3
Przekształcenia izometryczne w sieci
Przekształcenia izometryczne w sieci
krystalicznej
krystalicznej
krystalicznej
krystalicznej
1. Przekształcenia izometryczne
2. Operacje symetrii mo\
liwe w sieci
3. Iloczyn przekształceń
3. Iloczyn przekształceń
4. Symbole elementów symetrii
Struktura naturalnego klatrasilu
Struktura naturalnego klatrasilu
(melanoflogit)
(melanoflogit)
Pseudokryształy - Daniel Shechtman Nagroda
Nobla 2011
Icosahedron srebro/aluminium quasicrystal
Przekształcenia izometryczne
Przekszta łcenie izometryczne (z grec. izo- ten sam, metri 
odległość;) to przekształcenie, które w wyniku jego
odległość;) to przekształcenie, które w wyniku jego
zastosowania nie powoduje zmian odległości między dwoma
dowolnymi, przekształcanymi punktami:
�ł
�ł
�ł
�ł
ćł rćł = ćł ćł
ćł ćł ćł ćł
ćł ćł ćłT(r)ćł
ćł ćł ćł ćł
gdzie:








ćł rćł - odległość między dowolnymi dwoma punktami,
ćł ćł
ćł ćł
ćł ćł
�ł
�ł
�ł
�ł
ćłT(r)ćł - odległość między tymi samymi punktami po przekształceniu T
ćł ćł
ćł ćł
ćł ćł
Translacja i operacje symetrii
Translacja i operacje symetrii
Otwarte
Zamknięte
1. oś śrubowa (obrót +
1. oś śrubowa (obrót +
1. oś obrotu
1. oś obrotu
translacja)
2. centrum inwersji (symetrii)
2. płaszczyzna poślizgowa
3. płaszczyzna symetrii
(odbicie + translacja)
4. oś inwersyjna (obrót i
odbicie w centrum)
Obrót wokół osi
Osie obrotu w sieci
Osie obrotu w sieci
CD = k�AB
CD = k�AB
gdzie:
k - liczba całkowita,
CD = CE + EF + FD
natomiast:
EF = AB
z definicji funkcji cosinus oraz ujemnej
wartości tej funkcji w przedziale kątowym
180-270o:
CE = FD = -AB�cos�
CE = FD = -AB�cos�
�
�
�
�
�
�
z powy\
szych równań mo\
na
wyprowadzić zale\
ność:
k�AB = AB + 2�(-AB�cos�
�)
�
�
co łatwo mo\
na przekształcić w:
k�AB = AB(1-2cos�
�)
�
�
skąd:
cos� = (1-k)/2
�
�
�
 Projekcja stereograficzna
bieguna ściany (hkl)
Właściwa oś symetrii X Działanie właściwej osi
symetrii X na element  R przekształcanego względem
właściwej osi symetrii X
Krotność osi
dozwolona w sieci
�= 360o
�= 180o k krotność osi
cos�
�
3 -1 180o 2
2 -� 120o 3
1 0 90o 4
0 � 60o 6
�= 120o
-1 1 3600 1
�= 90o
�= 60o
Współistnienie osi w sieci
Współistnienie osi w sieci
Centrum inwersji (symetrii)
Płaszczyzna symetrii
Iloczyn operacji symetrii
iloczyn dwóch operacji symetrii jest równie\
operacją symetrii
 Projekcja stereograficzna bieguna
ściany (hkl) przekształcanego
Działanie inwersyjnej osi symetrii X
na element  R względem inwersyjnej osi symetrii X
Inwersyjne
osie symetrii
Zamknięte operacje symetrii
Zamknięte operacje symetrii
Operacje symetrii Elementy symetrii
PROSTE
obrót o 360o oś jednokrotna
obrót o 180o oś dwukrotna
obrót o 180o oś dwukrotna
obrót obrót o 120o oś trójkrotna
obrót o 90o oś czterokrotna
obrót o 60o oś sześciokrotna
odbicie względem płaszczyzny płaszczyzna symetrii
odbicie względem centrum
centrum inwersji
inwersji (inwersja)
ZA
OśONE
ZA
OśONE
obrót o 360o i inwersja
oś jednokrotna inwersyjna a"
a" centrum
a"
a"
obrót z obrót o 180o i inwersja
inwersji
inwersją obrót o 120oi inwersja
oś dwukrotna inwersyjna a"
a" płaszczyzna
a"
a"
obrót o 90o i inwersja
symetrii
obrót o 60o i inwersja
oś trójkrotna inwersyjna
oś czterokrotna inwersyjna
oś sześciokrotna inwersyjna
Symbole elementów symetrii
występujących w sieci przestrzennej
Symbol Kreutza  Hermanna -
Element symetrii Schoenfliesa
graficzny: Zaremby Mauguina
Oś jednokrotna- identyczność
L1= E C1 1
(obrót o 360o)
Oś jednokrotna inwersyjna
Oś jednokrotna inwersyjna
C i
1
ć%
(obrót o 360o i inwersja)
Oś dwukrotna
L2z C2 2
(obrót o 180o)
Oś dwukrotna inwersyjna 
płaszczyzna zwierciadlana Py Cs m
(obrót o 180o i inwersja)
Oś trójkrotna
L3z ,L3111 C3 3
(obrót o 120o)
Oś trójkrotna inwersyjna
A3 S3
3
(obrót o 120o i inwersja)
(obrót o 120 i inwersja)
Oś czterokrotna
L4z C4 4
(obrót o 90o)
Oś czterokrotna inwersyjna
A4z S4
4
(obrót o 90o i inwersja)
Oś sześciokrotna
L6z C6 6
(obrót o 60o)
Oś sześciokrotna inwersyjna
A6z S6
6
(obrót o 60o i inwersja)