Algebra liniowa z geometria dla informatyków
konspekt wykladu 2009/2010
Barbara Roszkowska-Lech
Paz
dziernik 2009
Po co komu, pytalo pachole,
Kola, elipsy, styczne, parabole?
Że sa potrzebne, musisz teraz wierzyć...
Przekonasz sie wkrótce, gdy świat zaczniesz mierzyć!
Adam Mickiewicz
1 Uklady równan liniowych.
Rozwiazywanie ukladów równań
W bardzo wielu zastosowaniach algebry podstawowa role odgrywaja uklady
równań liniowych. Rozpoczniemy nasz kurs algebry liniowej od przedstaw-
ienia metod rozwiazywania takich ukladów równań. Na poczatku ograniczymy
sie do ukladów o wspólczynnikach w zbiorze R wszystkich liczb rzeczywistych.
Pózniej przekonamy sie, że zaprezentowane tu metody mozna stosować w
przypadku ogólniejszym.
Definicja 1.1. Ukladem m równan liniowych o wspólczynnikach rzeczywistych
i niewiadomymi x1,, . . . , xn nazywamy uklad równan postaci
a11x1 + a12x2 + � � � + a1nxn = b1
a21x1 + a22x2 + � � � + a2nxn = b2
U :
.
.
.
am1x1 + am2x2 + � � � + amnxn = bm
gdzie wspólczynniki aij oraz bi dla 1 d" i d" m, 1 d" j d" n sa liczbami rzeczy-
wistymi.
1
Algebra liniowa z geometria- konspekt wykladu 2009/10 2
Uklad U nazywamy jednorodnym , jeśli b1 = b2 = � � � bm = 0. Rozwiazaniem
ukladu U nazywamy dowolny ciag liczb rzeczywistych s1, s2, � � � , sn, które po
podstawieniu za zmienne x1,, . . . , xn spelniaja wszystkie równania ukladu U,
to znaczy
"1d"id"m ai1s1 + � � � + ainsn = bi.
Uklad który nie ma rozwiazań nazywamy sprzecznym. Mówimy, ze uklad jest
niesprzeczny, jeśli zbiór jego rozwiazań jest niepusty.
Dwa uklady równań nazywamy równowaznymi, jeśli posiadaja takie same
zbiory rozwiazań.
Lemat 1.2. Nastepujace operacje przeprowadzaja uklad U na uklad równowazny:
1. Dodanie do równania innego pomnożonego przez liczbe.
2. Zamiana dwóch równań miejscami.
3. Pomnożenie rownania przez liczbe rózna od zera.
Operacje (1),(2),(3) nazywamy operacjami elementarnymi na ukladzie U.
Niech U i U beda równoważnymi ukladami równań liniowych o n niewiadomych.
Przypuścmy, że uklad U można przepisać w postaci
xj = c11x1 + . . . c1nxn + d1
1
.
.
U :
.
xj = ck1x1 + � � � + cknxn + dk,
k
przy czym j1 < j2 < � � � < jk oraz zmienne xj , . . . , xj nie wystepuja po
1 k
prawej stronie. Inaczej mówiac: po przeniesieniu, ze zmienionym znakiem,
wszystkich cijxj na lewa strone U staje sie takim ukladem równań w którym
dla kazdego jr " {j1, . . . jk} wszystkie wspólczynniki przy xj sa zerami z
r
wyjatkiem jedynki w r-tym równaniu. Mówimy wówczas, że uklad U zadaje
rozwiazanie ogólne ukladu U. W rozwiazaniu tym xj , . . . , xj nazywamy
1 k
zmiennymi zależnymi a pozostale xi nazywamy zmiennymi niezaleznymi albo
parametrami.
Zauwazmy, że jesli U jest rozwiazaniem ogólnym U, to kazde rozwiazanie
s1, . . . , sn ukladu U jest wyznaczone jednoznacznie przez podanie wartości sj
dla j nie nalezacych do zbioru {j1, . . . , jk}. Wartości pozostalych sj wylicza
sie ze wzorów U . Zatem wzory rozwiazania ogólnego opisuja zbiór wszystkich
rozwiazan ukladu U w nastepujacym sensie:
Algebra liniowa z geometria- konspekt wykladu 2009/10 3
" Każde podstawienie ciagu n - k liczb za parametry i wyliczenie po-
zostalych xj daje rozwiazanie.
" Róznym ciagom parametrów odpowiadaja rózne rozwiazania.
" Kazde rozwiazanie mozna otrzymać w ten sposób.
Opiszemy teraz metody znajdowania rozwiazań ukladów równan liniowych.
Macierze
Definicja 1.3. Macierza m � n (inaczej macierza o m wierszach i n kolum-
nach ) o wyrazach ze zbioru X nazywamy tablice
�ł łł
a11 a12 � � � a1n
�ł
a21 a22 � � � a2n śł
�ł śł
A = ,
�ł śł
. . . .
. . . .
�ł �ł
. . . .
am1 am2 � � � amn
gdzie aij " X dla 1 d" i d" m, 1 d" j d" n.
Rzedy poziome macierzy A nazywamy wierszami, rzedy pionowe kolum-
nami. Wyrazy ai1, ai2, � � � , ain tworza i-ty wiersz, a wyrazy a1j, a2j, � � � , amj
tworza j-ta kolumne macierzy A. Bedziemy też pisać A = [aij]. Inaczej
mówiac mozemy o macierzy A myśleć jak o funkcji
A : {1, � � � , m} � {1, � � � , n} X
A : (i, j) A(i, j) = aij.
Elementy aij nazywamy wyrazami macierzy A.
n
Zbiór wszystkich macierzy m�n o wyrazach ze zbioru X oznaczamy Mm(X).
Ukladowi równań
a11x1 + a12x2 + � � � + a1nxn = b1
a21x1 + a22x2 + � � � + a2nxn = b2
U :
.
.
.
am1x1 + am2x2 + � � � + amnxn = bm
Algebra liniowa z geometria- konspekt wykladu 2009/10 4
możemy przyporzadkować m � (n + 1) macierz
�ł łł
a11 � � � a1n b1
�ł śł
. . . .
. . . .
.
�ł �ł
. . . .
am1 � � � amn bm
Nazywamy ja macierza (albo macierza rozszerzona) ukladu U. Macierz
�ł łł
a11 � � � a1n
�ł śł
. . .
. . .
,
�ł �ł
. . .
am1 � � � amn
bedziemy nazywać macierza wspólczynników ukladu U.
n
Definicja 1.4. Niech A " Mm(R). Operacjami elementarnymi na wierszach
macierzy A nazywamy
1. Dodanie do wiersza innego wiersza pomnożonego przez liczbe.
2. Zamiana dwóch wierszy miejscami
3. Pomnożenie wiersza przez liczbe rózna od zera.
Analogicznie definiuje sie operacje elementarne na kolumnach macierzy
A. Bedziemy używali nastepujacych oznaczeń:
"
----

A r-+ arj A ,
i
jeśli macierz A otrzymana zostala z macierzy A przez dodanie do i-tego
wiersza wiersza j-tego pomnożonego przez a.
"
-
---r
A ri "! A ,
j
jeśli macierz A powstala z macierzy A przez zamiane kolejnosci wiersza
i-tego z j-tym
"
-

A ari A ,
jeśli macierz A powstala z macierzy A przez pomnorzenie i-tego wiersza
przez liczbe a.