Niech S bedzie zbiorem możliwych stan w środowiska, D zbiorem możliwych do podjecia
decyzji, zaś R zbiorem rezultat w, kt re zależa zar wno od stanu środowiska jak i podjetej
decyzji. Naturalnym jest zdefiniowanie funkcji G : S D R wzorem r = G (s, d).
Przestrzeń probabilistyczna (S, A, PS) nazywamy modelem niepewności. Dla ustalonego
d " D odwzorowanie G dzieki PS indukuje pewien rozklad prawdopodobieństwa możliwych
do uzyskania rezultat w.
Przyk ad
Zal żmy, że D = {O, I}, S = {T, C}, P (C) = 0, 7, P (T) = 0, 3, R = E, G, B, A gdzie
E = G (C, O), G = G (C, I), B = G (T, I), A = G (T, 0). W wczas dla decyzji d =  O
r E G B A r E G B A
mamy , zaś dla decyzji d =  I otrzymujemy .
0, 7 0 0 0, 3 0 0, 7 0, 3 0
Powstaje zatem pytanie kt ry z rozklad w wybrać, tzn. jaka podja ć decyzje. Jedna
z metod wyznaczania optymalnego rozkladu polega na maksymalizacji oczekiwanej
r A B G E
użyteczności. Zal żmy, że użyteczność decydenta dana jest przez tabele .
u 0 2 5 10
Dla d =  O oczekiwana użyteczność wynosi 10 � 0, 7 + 0 � 0, 3 = 7, zaś dla d =  I oczekiwana
użyteczność r wna jest 5 � 0, 7 + 2 � 0, 3 = 4, 1. W myśl tej zasady decydent powinien podja ć
decyzje  O .
Niech (R, B) bedzie przestrzenia mierzalna podzbior w wszystkich możliwych rezultat w.
Dla ustalonej decyzji d definiujemy odwzorowanie Gd : S R wzorem Gd (s) = G (s, d).
Zakladamy, że Gd jest odwzorowaniem mierzalnym wzgledem pary �-cial A, B. Wtedy
odwzorowanie Gd definiuje element losowy, kt rego rozklad prawdopodobieństwa określony jest
wzorem Pd (C) = PS G-1 (C) , C " B. Bedziemy zakladać dalej, że dana jest pewna rodzina
d
rozklad w PD = {Pd : d " D} na przestrzeni rezultat w. W zwiazku z tym nie bedzie potrzeby
określać relacji preferencji na zbiorze rezultat w, ale relacje preferencji na zbiorze rozklad w
możliwych rezultat w.
Definicja
Relacje w zbiorze R nazywamy relacja preferencji, jeśli
(i) "r ,r2"R r1 r2 (" r2 r1
1
(ii) "r ,r2,r3"R [(r1 r2 '" r2 r3) =�! r1 r3].
1
Oznaczmy przez ! zbi r wszystkich możliwych rozklad w prawdopodobieństwa na R.
Ryzykiem nazywamy każdy rozklad prawdopodobieństwa P " ! (lub każda dystrybuante
rozkladu prawdopodobieństwa P " !, lub każda zmienna losowa X o rozkladzie P " !).
W szczeg lności ryzykami sa wszystkie elementy z PD.
1
Zdefiniujmy relacje <" wzorem "r ,r2"R r1 <" r2 �!�! (r1 r2 '" r2 r1). Relacja <" jest
1
relacja r wnoważności. Innym przykladowym sposobem zdefiniowania relacji jest r1 z" r2 �!�!
[r1 r2'" <" (r2 r1)]. W og lnym przypadku relacja preferencji wprowadzana jest zazwyczaj
za pomoca pewnego funkcjonalu definiowanego na zbiorze ryzyk. Miara ryzyka nazywamy
dowolny funkcjonal � : ! , gdzie ! jest zbiorem ryzyk. W wczas relacje preferencji
możemy zdefiniować jako "P ,P2"! P1 P2 �!�! � (P1) d" � (P2).
�
1
Przyk ad
Niech F bedzie zbiorem dystrybuant na . W wczas przykladowymi miarami ryzyk sa:
(i) (F) = xdF (x)
(ii) � (F) = (x - (x))2 dF (x)
(iii) ł (F) = a (F) + b� (F), a, b "
(iv) � (F) = U (x) dF (x), gdzie U jest pewna funkcja. W wczas � jest oczekiwana
użytecznościa.
0 "
(v)  (F) = [g (1 - F (x)) - 1] dx + g (1 - F (x)) dx, gdzie g : [0, 1] [0, 1] jest funkcja
-" 0
rosnaca, g (0) = 0, g (1) = 1. W szczeg lności gdy g jest identycznościa w wczas otrzymujemy
przypadek (i).
(vi) � (F) = F-1 (1 - ą) jest rodzajem skladki V aRą.
Przyk ad
Niech X = (X1, ..., Xn), gdzie Xi oznacza zwroty z inwestycji jednostkowej w i-ty instrument
finansowy. Problem wyboru portfela sprowadza sie do takiej alokacji jednostki kapitalu,
aby uzyskać optymalny wzgledem danej relacji preferencji zwrot z inwestycji portfela. Jeżeli
Xi, i = 1, ..., n sa liniowe, to Y = y1X1+...+ynXn jest zyskiem portfela, gdzie yi jest procentem
udzialu kapitalu zainwestowanego w i-ty instrument. Zbiorem możliwych rezultat w jest
n
n
S �" , D = (y1, ..., yn) : yi e" 0, yi = 1 , zaś R �" oraz � (FY ) = f (y). Zatem problem
i=1
wyboru optymalnego portfela polega na szukaniu minimum (badz
maksimum) funkcji f (y).
Przyk ad
Niech Ą bedzie miara ryzyka. Dobieramy Ą w taki spos b, by dla straty X o dystrybuancie FX
obliczona skladka wynosila P = Ą (X). Niech ! bedzie zbiorem ryzyk nieujemnych. W wczas
Ą : ! *" {"}. Najprostszym przypadkiem jest Ą (X) = EX.
+
R żnice Ą (X) - EX e" 0 nazywamy ladowaniem ubezpieczenia.
2
Niech X, Y , Z e" 0 beda wielkościami ryzyk. W wczas miara ryzyka Ą może mieć
nastepujace wlasności:
1. Ą (X) e" EX
2. "ae"0 Ą (a) = a - brak nieuzasadnionego ladowania ubezpieczenia
3. "ae"0 Ą (X + a) = Ą (X) + a - zgodność
4. "ae"0 Ą (aX) = aĄ (X) - proporcjonalność
5. Ą (X + Y ) d" Ą (X) + Ą (Y ) - subaddytywność
6. Ą (X + Y ) = Ą (X) + Ą (Y ) - addytywność (zwykle żadana dla ryzyk niezależnych)
7. X d"st Y =�! Ą (X) d" Ą (Y )
8. "a"(0,1) [Ą (X) = Ą (Y ) =�! Ą (aX + (1 - a) Z) = Ą (aY + (1 - a) Z)].
Podstawowe rodzaje skladek to:
1. Ą (X) = EX
2. Ą (X) = (1 + a) EX, a e" 0 - skladka wartości oczekiwanej
3. Ą (X) = EX + aV arX, a e" 0
"
4. Ą (X) = EX + a V arX, a e" 0
5. Ą (X) = EX + aV arX, a e" 0, EX > 0
EX
1
ln EeaX a > 0
a
6. Ąa (X) = .
EX a = 0
Lemat (nier wność Lapunowa)
1 1
v w
Niech X e" 0 i 0 < v < w < ". Wtedy (EXv) d" (EXw) , przy czym nier wność jest ostra
gdy X ma rozklad niezdegenerowany.
Dow d
w
v
Zastosujemy nier wność Jensena dla funkcji h (x) = x i Y = Xv. Mamy
w 1 1
v w v
EXw = Eh (Y ) e" h (EY ) = (EXv) =�! (EXw) e" (EXv) ,
przy czym r wność w nier wności Jensena zachodzi wtedy i tylko wtedy, gdy Y ma rozklad
jednopunktowy, czyli gdy X ma rozklad jednopunktowy.
Twierdzenie
0
Zal żmy, że X e" 0 bedzie takie, że Eea X < " dla pewnego a0 > 0. Wtedy
1. Ąa jest ściśle rosnaca funkcja a dla a " (0, a0], o ile X ma rozklad niezdegenerowany
2. lim Ąa (X) = EX
a0+
3. Jeżeli EeaX < " dla wszystkich a > 0, to lim Ąa (X) = rF := sup {t " : FX (t) < 1}.
a"
3
Dow d
1. Z nier wności Lapunowa dla 0 < v < w < a0 mamy
1 1
v w
EXv < EXw
1 1
Ąv (X) = ln EXv < ln EXw = Ąw (X), gdzie X = eX.
v w
2. Dla a " (0, a0] mamy ln (1 + x) = x + o (x), gdzie limo(x) = 0. Stad
x
x0
1 1
ln EeaX = E eaX - 1 + o E eaX - 1 =
a a
o E eaX - 1
a0+
1
= E eaX - 1 1 + EX.
a
E [eaX] - 1
�!a0+
1
3. Dla a > 0 mamy
F F F
X d" rF =�! eaX d" ear =�! EeaX d" Eear =�! ln EeaX d" ln Eear = arF =�!
1
=�! Ąa (X) = ln EeaX d" rF.
a
0 X d" �
Dla 0 < � < rF zdefiniujmy X = . Z definicji X wynika, że X d" X. Stad
� X > �
eaX d" eaX =�! EeaX d" EeaX '" P (X d" �) + ea�P (X > �) e" ea� (1 - FX (�)) =�!
1 1
=�! a� + ln (1 - FX (�)) d" ln EeaX =�! � + ln (1 - FX (�)) d" ln EeaX = Ąa (X).
a a
Zatem lim Ąa (X) e" �. Z dowolności � < rF nier wność zachodzi dla rF, tzn. lim Ąa (X) e" rF.
a" a"
"
1
p
Skladka proporcjonalna do hazardu nazywamy skladke postaci Ą (X) = [1 - FX (t)] dt,
0
1
1
v
v
p e" 1. Oznaczmy FX (t) = 1 - [1 - FX] = 1 - F . W wczas jeżeli X <" fX, to
mX(t)
d
mX (t) = - ln FX (t) = .
dt p
Skladka V aR nazywamy skladke postaci Ą (X) = V aR� (X) = F-1 (1 - �), gdzie
F-1 (y) = inf {t " : F (t) e" y}.
Lemat
Jeżeli F : jest dystrybuanta, to
1. F-1 jest niemalejaca
2. F jest prawostronnie ciagla
3. F-1 (y) d" x �!�! y d" F (x).
Twierdzenie
Jeżeli X <" F oraz Z jest zmienna losowa o rozkladzie jednostajnym na przedziale [0, 1] dla
pewnej przestrzeni probabilistycznej (&!, F, P), to F-1 (Z) ma rozklad o dystrybuancie F.
Dow d
Z faktu, że F-1 (y) d" x �!�! y d" F (x) mamy P (F-1 (Z) d" x) = P (Z d" F (x)) = F (x).
4
Uwaga
1
EX = EF-1 (Z) = F-1 (t) dt.
0
Przypuśćmy, że danej wartości pienie żnej x indywidualnie dla każdego decydenta przypisana
jest użyteczność v, kt ra jest funkcja rosnaca. Postuluje sie r wnież, że v jest wkesla
(użyteczność dla malych przyrost w prowadzi do wiekszych przyrost w wartości pienie żnej
oraz dla malych x otrzymujemy wiekszy przyrost niż dla dużych). Niech zysk z inwestycji
opisany bedzie dwiema zmiennymi losowymi X, Y o wartościach rzeczywistych. Dla dw ch
decyzji X i Y możemy por wnać użyteczności E [v (X)] d" E [v (Y )]. Decyzja prowadzaca do
wiekszej użyteczności jest lepsza. Każda funkcje v : (b1, b2) rosnaca i wklesla nazywać
bedziemy funkcja użyteczności. Jeżeli X i Y sa stratami, to użyteczności maja postać v (-X),
v (-Y ). Zakladajac, że sa to wielkości losowe możemy policzyć ich średnie Ev (-X) e" Ev (-Y ).
Zdefiniujmy funkcje pomocnicza w (X) = -v (-X) bedaca funkcja rosnaca i wypukla. Każda
rosnaca i wypukla funkcje w : (b1, b2) , gdzie (b1, b2) �" nazywamy funkcja straty.
Definicja
Relacje z" w zbiorze � nazywamy cze ściowym porzadkiem, jeżeli
(i) "x"� x z" x
(ii) "x,y"� x z" y '" y z" x =�! x = y
(iii) "x,y,z"� x z" y '" y z" z =�! x z" z.
W prowadzonych dalej rozważaniach jako � przyjmować bedziemy zbi r ryzyk na .
Definicja
Niech X, Y beda zmiennymi losowymi o wartościach rzeczywistych.
(i) Powiemy, że zmienna losowa X jest stochastycznie mniejsza od Y (poprzedza Y w porzadku
stochastycznym) i napiszemy X d"st Y jeśli nier wność
(") Eg (X) d" Eg (Y )
zachodzi dla wszystkich rosnacych funkcji g : , dla kt rych wartości oczekiwane Eg (X),
Eg (Y ) istnieja i sa skończone.
(ii) Niech EX+ < " oraz EY+ < ". Powiemy, że zmienna losowa X jest mniejsza od
Y w porzadku stop-loss (X poprzedza Y w porzadku stop-loss) i napiszemy X d"sl Y jeśli
(") zachodzi dla wszystkich rosnacych i wypuklych funkcji g : , dla kt rych wystepujace
w (") wartości oczekiwane istnieja i sa skończone.
(iii) Niech E (-X)+ < " oraz E (-Y )+ < ". Powiemy, że zmienna losowa X poprzedza Y
w porzadku rosnacym wkleslym i napiszemy X d"icv Y jeśli (") zachodzi dla wszystkich
rosnacych i wkleslych funkcji g : , dla kt rych wartości oczekiwane w (") istnieja
i sa skończone.
5
Umowa
W dalszym ciagu bedziemy oznaczali X d" Y jeżeli X i Y sa zmiennymi losowymi określonymi
na tej samej przestrzeni probabilistycznej (&!, F, P) oraz P (X d" Y ) = 1.
Twierdzenie o couplingu dla porzadku stochastycznego
Nastepujace warunki sa r wnoważne:
(a) X d"st Y
(b) istnieje przestrzeń probabilistyczna (&! , F , P ) oraz istnieja zmienne losowe X , Y określone
d d
na tej przestrzeni takie, że X = X, Y = Y oraz X d" Y
(c) "x" FX (x) e" FY (x).
Dow d
(a) =�! (c) . Niech x " . Wystarczy przyja ć g (t) = 1(x,") (t). Wtedy
P (Y > x) = E1(x,") (Y ) = Eg (Y ) e" Eg (X) = E1(x,") (X) = P (X > x).
Stad FX (x) e" FY (x).
(c) =�!(b) . Niech (&! , F , P ) := ((0, 1], B ((0, 1]) , ), Z (�) = �. Mamy
-1 -1
P (Z d" x) =  ((0, x]) = x, zatem Z <" U (0, 1). Zdefiniujmy X = FX (Z), Y = FY (Z).
d d
Z odpowiedniego twierdzenia wynika, że X = X, Y = Y . Niech � " (0, 1). Wtedy
-1
X (�) = FX (Z (�)) = inf {x " : FX (x) e" Z (�)} d" inf {x " : FY (x) e" Z (�)} =
-1
= FY (Z (�)) = Y (�).
Zatem X d" Y .
(b) =�! (a) . Niech g : bedzie funkcja rosnaca taka, że Eg (X), Eg (Y ) istnieja i sa
d d
skończone. Z zalożenia wynika istnienie X , Y takich, że X = X, Y = Y oraz X d" Y .
Ponieważ X d" Y oraz g jest rosnaca, wiec g (X ) d" g (Y ), a wiec
Eg (X) = Eg (X ) d" Eg (Y ) = Eg (Y ).
Twierdzenie
Nastepujace warunki sa r wnoważne:
(a) X d"sl Y
(b) "x" E (X - x)+ d" E (Y - x)+.
Dow d
(a) =�! (b) . Niech x " . Rozważmy g (t) = (t - x)+, t " . Zauważmy, że g jest
funkcja rosnaca i wypukla. Zatem na mocy (a) E (Y - x)+ = Eg (Y ) e" Eg (X) = E (X - x)+.
Z dowolności x otrzymujemy, że E (X - x)+ d" E (Y - x)+.
(b) =�! (a) . Niech g : bedzie funkcja rosnaca i wypukla taka, że Eg (X), Eg (Y )
istnieja i sa skończone. Rozważmy przypadki:
6
(i) g (-") > -". Wtedy
x x t x x
g (x) = g (-") + g+ (t) dt = g (-") + dg+ (u) dt = g (-") + dtdg+ (u) =
-" -" -" -" u
x
= g (-") + (x - u) dg+ (u).
-"
Stad
" x
Eg (X) = g (-") + (x - u) dg+ (u) dFX (x) =
-" -"
" " " "
= g (-") + (x - u)+ dg+ (u) dFX (x) = g (-") + (x - u)+ dg+ (u) dFX (x) =
-" -" -" -"
" " "
(b)
= g (-") + (x - u)+ dFX (x) dg+ (u) = g (-") + E (X - u)+ dg+ (u) d"
-" -" -"
"
d" g (-") + E (Y - u)+ dg+ (u) = Eg (Y ).
-"
(ii) g (-") = -". Zdefiniujmy ciag funkcji gn (x) = max {-n, g (x)}. Sa to funkcje rosnace
i wypukle. Z (i) mamy Egn (X) d" Egn (Y ). Z twierdzenia Lebesgue a o zbieżności
monotonicznej mamy lim Egn (X) d" lim Egn (Y ) =�! Eg (X) d" Eg (Y ).
n" n"
Twierdzenie o couplingu dla porzadku stop-loss
Nastepujace warunki sa r wnoważne:
(a) X d"sl Y
(b) istnieje przestrzeń probabilistyczna (&! , F , P ) oraz zmienne losowe X , Y określone na tej
d d
przestrzeni takie, że X = X, Y = Y oraz X d" E [Y |X ].
Dow d
(b) =�! (a) . Niech x " . Mamy
E (X - x)+ = E (X - x)+ d" E (E [Y |X ] - x)+ d" E E (Y - x)+ |X =
= E (Y - x)+ = E (Y - x)+.
Dow d implikacji przeciwnej pominiemy ze wzgledu na jego trudność.
Lemat
"
Niech h : bedzie taka funkcja calkowalna, że h (t) dt e" 0. Jeżeli h (t) d" 0 t < t0,
-"
"
gdzie t0 " oraz h (t) e" 0 dla t > t0, to "x" h (t) dt e" 0.
x
Dow d
"
Definiujac g : wzorem g (x) = h (t) dt mamy, że g jest ciagla. Ponadto g (-") e" 0
x
oraz g (") = 0. Ponieważ g jest rosnaca dla t < t0 oraz malejaca dla t > t0, wiec "x" g (x) e" 0.
7
Twierdzenie (lemat Ohlina, kryterium Karlina, kryterium Karlina-Novikoffa
jednego przeciecia)
Zal żmy, że X, Y sa takimi calkowalnymi zmiennymi losowymi, że EX d" EY . Jeżeli dla
pewnego t0 " FX (t) d" FY (t) dla t < t0 oraz FX (t) e" FY (t) dla t > t0, to X d"sl Y .
Dow d
Niech h : , h (t) = FX (t) - FY (t) = FY (t) - FX (t). Wtedy h (t) d" 0 dla t < t0 oraz
h (t) e" 0 dla t > t0. Mamy
" 0 " 0 "
h (t) dt = h (t) dt + h (t) dt = [FX (t) - FY (t)] dt + FY (t) - FX (t) dt =
-" -" 0 -" 0
0 " 0 "
= - FY (t) dt + FY (t) dt - - FX (t) dt + FX (t) dt = EY - EX e" 0.
-" 0 -" 0
" "
Z lematu "x" h (t) dt e" 0. Zatem "x" FY (t) - FX (t) dt e" 0, czyli
x x
" "
(") "x" FY (t) dt e" FX (t) dt.
x x
Pokażemy, że (") r wnoważna jest z definicja porzadku stop-loss, tzn.
("") "x E (X - x)+ d" E (Y - x)+.
Mamy
" " " " y " x
FY (t) dt = �Y (dy) dt = dt�Y (dy) = (y - x)+ �Y (dy) + (y - x)+ �Y (dy) =
x x t x x x -"
"
= (y - x)+ �Y (dy) = E (Y - x)+.
-"
Wniosek
Warunkiem wystarczajacym, aby X d"sl Y jest warunek (").
Twierdzenie
Niech X bedzie dowolnym ryzykiem o skończonej wartości oczekiwanej �. Wtedy
Y <" 1[�,") := �� d"sl FX.
Uwaga
Jeżeli v jest rosnaca i wklesla funkcja użyteczności, to z nier wności Jensena mamy
" "
v (x) dF (x) = E [v (X)] d" v (EX) = v (x) d�� (x) = Ev (Y ).
-" -"
8
Definicja
Funkcje v : nazwiemy 2-wklesla jeśli v jest ograniczona z g ry oraz
+
"
2
"x" v (x) = v (") - (t - x)2 d� (t), gdzie (t - x)2 = (t - x)+ , zaś � jest funkcja
+
+ +
-"
"
niemalejaca, prawostronnie ciagla taka, że t2d� (t) < " lub v jest granica monotonicznego
-"
ciagu takich funkcji.
Twierdzenie
Jeżeli v : jest funkcja 2-wklesla, zaś X jest dowolnym ryzykiem nieujemnym
+
o dystrybuancie F i skończonych momentach � = EX oraz �2 = EX2, to
" " "
�2 �2
v (x) dFm (x) d" v (x) dF (x) d" v (x) d�� (x), gdzie Fm (x) = 1 - �0 + � .
�(2) �(2) �(2)
�
0 0 0
Dow d
Zauważmy, że
" " " " "
v (x) dF (x) = v (") - (t - x)2 d� (t) dF (x) = v (") - (t - x)2 d� (t) dF (x) =
+ +
0 0 -" 0 -"
" " " t
= v (") - (t - x)2 dF (x) d� (t) = v (") - (t - x)2 dF (x) d� (t).
+
-" 0 -" 0
t t
Pokażemy, że (t - x)2 dF (x) d" (t - x)2 dFm (x). Rozważmy przypadki:
0 0
t
�(2) �2
(i) t < . Wtedy (t - x)2 dFm (x) = t2 1 - . Ponadto
� �(2)
0
" t
E (t - X)2 = (t - x)2 dF (x) = (t - x)2 dFm (x).
+ + +
0 0
�(2)
(ii) t e" . Wtedy
�
t
2
�2 �(2) �2
(t - x)2 dFm (x) = t2 1 - + t - � =
�(2) � �(2)
0
2
�2 �2 �(2) �2 �(2) �2
= t2 - t2 � + t2 � - 2t � � + � = t2 - 2t� + �(2).
�(2) �(2) � �(2) � �(2)
Ponadto
t " " "
(t - x)2 dF (x) d" (t - x)2 dF (x) = t2 - 2t xdF (x) + x2dF (x) = t2 - 2t� + �(2).
0 0 -" -"
Pokażemy teraz, że
�2
(") E (t - X)2 d" t2 1 - .
�(2)
�2 �
1
Zauważmy, że dla z = (") jest r wnoważna z E (1 - zX)2 d" 1 - dla z > =: z0.
+
t �(2) �(2)
Mamy
z>z0
2
E (1 - zX)2 d" E (1 - z0X)2 d" E (1 - z0X)2 = 1 - 2z0EX + z0EX2 =
+ +
� �2 �2 �2 �2
= 1 - 2 � � � + � �(2) = 1 - 2 � + = 1 - .
2
�(2) �(2) �(2) �(2)
�(2)
( )
Stad wnioskujemy, że zachodzi (").
9
Definicja
Niech v : bedzie ściśle rosnaca funkcja użyteczności. Skladke Ą (X) za ryzyko X
nazywamy skladka zerowej użyteczności jeżeli
(1) E [v (Ą (X) - X)] = v (0).
Twierdzenie
Skladka zdefiniowana jako rozwiazanie (1) ma nastepujace wlasności:
1. nieujemne ladowanie bezpieczeństwa
2. brak nieuzasadnionego ladowania bezpieczeństwa
3. jeżeli X d"sl Y , to Ą (X) d" Ą (Y ).
Dow d
1. v (0) = E [v (Ą (X) - X)] d" v (Ą (X - EX)), a wiec 0 d" Ą (X) - EX.
2. E [v (Ą (x) - x)] = v (0) =�! v (Ą (x) - x) = v (0) =�! Ą (x) - x = 0 =�! Ą (x) = x.
3. X d"sl Y wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdej funkcji rosnacej i wypuklej g mamy
Eg (X) d" Eg (Y ). Pol żmy g (x) = -v (c - x), c " . Mamy
v (0) = Ev (c - X) e" Ev (c - Y ) = v (0) =�! Ą (X) d" Ą (Y ).
Przyk ad
1
Rozważmy v (x) = (1 - e-ax), a > 0. Zakladamy, że EeaX < ". Mamy v (0) = 0 oraz
a
1 1
Ea [1 - exp {-a (Ą (X) - X)}] = 0 =�! e-aĄ(X)EeaX = 1 =�! Ąa (X) = ln E eaX .
a
Zatem skladka wykladnicza jest skladka zerowej użyteczności dla wykladniczej funkcji
użyteczności. Dla ryzyk niezależnych mamy ponadto Ąa (X + Y ) = Ąa (X) + Ąa (Y ).
Dla ustalonych b > 0 oraz p " [0, 1] rozważmy ryzyko Xb o rozkladzie dwupunktowym:
p�b + (1 - p) �0. Oznaczmy przez �b (p) skladke zerowej użyteczności za ryzyko Xb, tzn.
�b (p) = Ą (Xb) = Ą (p�b + (1 - p) �0), czyli
(2) Ev (�b (p) - Xb) = 0 �!�! pv (�b (p) - b) + (1 - p) v (�b (p)) = 0.
Lemat
Dla ustalonego b > 0 funkcja �b : [0, 1] jest klasy C2.
+
Dow d
Rozważmy funkcje F : [0, 1] określona r wnaniem
+
(") F (x, y) = xv (y - b) + (1 - x) v (y).
Zauważmy, że F " C2, gdyż v " C2. Ponadto
Fy = xv (y - b) + (1 - x) v (y) = v (y) + x (v (y - b) - v (y)) > 0.
e"0
>0 e"0
Stad funkcja uwiklana dana r wnaniem (") istnieje i jest klasy C1. Zatem �b jest klasy C2.
10
Lemat
Zal żmy, że spelnione sa zalożenia twierdzenia. Jedynym rozwiazaniem r wnania
(3) v (h + t) - v (t) v (t) - v (h) v (t) - av (h) v (t) = 0
jest funkcja
1
(1 - e-ax) a > 0
a
(4) v (x) = .
x a = 0
Dow d (szkic)
Latwo sprawdzić, że v dana przez (4) spelnia (3). Rozważmy przypadki:
1. a > 0. Zauważmy, że "t>0 v (2t) d" 2v (t). Istotnie,
1 1 1 1 1
v (t) = v � 2t + � 0 e" v (2t) + v (0) = v (2t) =�! 2v (t) e" v (2t).
2 2 2 2 2
v(2t)-av2(t) 2v(t)-av2(t) av(t)
Wynika stad, że v (t) = d" = 1 - .
2v(t) 2v(t) 2
Kladac h = t > 0 w (3) mamy
v (2t) - 2v (t) v (t) - av2 (t) = 0
v(h+t) v(h)v (t)
- v (h) - - av (h) = 0.
v(t) v(t)
Przechodzac z t " mamy
1 - v (h) - 0 - av (h) = 0, czyli 1 - v (h) - av (h) = 0.
R wnanie to ma dokladnie jedno rozwiazanie takie, że v (0) = 0. Zatem rozwiazaniem tym
1
musi być funkcja (1 - e-ax). W polaczeniu z przykladem otrzymujemy teze dla a > 0.
a
2. a = 0. Przypuśćmy, że v jest ograniczona. Rozważania jak w punkcie 1. doprowadzaja
nas do r wnania 1 - v (h) = 0. Rozwiazaniem jest v (h) = h, nie bedaca funkcja ograniczona.
t"
v(h)v (t)
W szczeg lności v nie jest ograniczona z g ry. Zauważmy, że 0. Ponadto
v(t)
v(h) v(t+h)
v (t) + v (h) e" v (t + h) e" v (t) =�! 1 + e" e" 1.
v(t) v(t)
t"
v(t+h)
Z twierdzenia o trzech funkcjach 1.
v(t)
Twierdzenie
Zal żmy, że v : jest funkcja użyteczności klasy C2 oraz v (0) = 0, v (0) = 1,
v (0) = -a dla pewnego a e" 0. Niech Ą bedzie skladka zerowej użyteczności zdefiniowana
przez (1) dla ryzyk nieujemnych. Jeżeli Ą jest addytywna dla niezależnych ryzyk X, Y , tzn.
Ą (X + Y ) = Ą (X) + Ą (Y ), dla kt rych wielkości te istnieja i sa skończone, to
1
ln EeaX a > 0
a
Ą (X) = .
EX a = 0
Dow d (szkic)
R żniczkujac po p r wnanie pv (�b (p) - b) + (1 - p) v (�b (p)) = 0 mamy
v (�b (p) - b) + pv (�b (p) - b) � b (p) - v (�b (p)) + (1 - p) v (�b (p)) � b (p) = 0.
Kladac p = 1 mamy v (�b (1) - b) + v (�b (1) - b) � b (1) - v (�b (1)) = 0.
Wiedzac, że �b (1) = b mamy v (0) + v (0) � b (1) - v (b) = 0. Stad
11
(5) � b (1) = v (b).
Dla ryzyk niezależnych Xb <" p�b +(1 - p) �0, b > 0 oraz Xt <" q�t +(1 - q) �0, t > 0 z zalożenia
wynika, że Ą (Xb + Xt) = �b (p) + �t (q). Mamy
pqv (�b (p) + �t (q) - b - t) + p (1 - q) v (�b (p) + �t (q) - b) +
+ (1 - p) qv (�b (p) + �t (q) - t) + (1 - p) (1 - q) v (�b (p) + �t (q)) = 0.
R żniczkujemy otrzymane r wnanie najpierw po p a nastepnie po q. Kladziemy p = q = 1
i korzystamy z r wnania (5) otrzymujac r wnanie (3).
Analogiczne rozumowanie należy przeprowadzić dla h, t < 0.
Dokonajmy nastepujacej modyfikacji zasady zerowej użyteczności.
1. Niech v : bedzie ściśle rosnaca funkcja użyteczności. Jeżeli u jest kapitalem
poczatkowym, w wczas szukamy Ą (X) takiej, aby Ev (u + Ą (X) - X) = v (u). W wczas
Ą (X) nazywamy skladka jednakowej użyteczności.
2. Jeżeli u : jest funkcja ściśle rosnaca i wypukla, w wczas Ą (X) spelniajace warunek
Eu (X - pĄ (X)) = u ((1 - p) Ą (X)), p " [0, 1] nazywamy skladka szwajcarska.
3. Ą (X) = EX + �E (X - aEX)+, � " (0, 1), a e" 1 nazywamy skladka holenderska.
E XeZ
[ ], gdzie Z jest pewna zmienna losowa nazywamy skladka Esschera.
4. Ą (X) =
E[eZ]
Zal żmy, że na rynku ubezpieczeniowym X1, ..., Xn sa ryzykami, kt rymi firmy
i
ubezpieczeniowe moga sie wymieniać w celu maksymalizacji użyteczności. Niech ui (w) = e-ą w
beda funkcjami użyteczności i-tej firmy ubezpieczeniowej. W warunkach r wnowagi, tzn.
w sytuacji gdy każdy z ubezpieczycieli maksymalizuje swoja użyteczność ryzyko wyceniane
E XeąZ
[ ], gdzie Z = X1 + ... + Xn oraz 1 = 1 + ... + 1 .
jest Ą (X) =
EeąZ ą ą1
ąn
Definicja
Zmienne losowe X, Y nazywamy komonotonicznymi, jeśli istnieje przestrzeń probabilistyczna
(&!, F, P) oraz zmienna losowa Z określona na tej przestrzeni i funkcje rosnace u, v :
d
takie, że (X, Y ) = (u (Z) , v (Z)).
Twierdzenie
Jeżeli Ą : � ma nastepujace wlasności:
+
1. Jest monotoniczna, tzn. "X,Y "� X (�) d" Y (�) =�! Ą (X) d" Ą (Y )
2. Brak nieuzasadnionego ladowania bezpieczeństwa
3. Jest addytywna dla ryzyk komonotonicznych - "X,Y "� X, Y - komonotoniczne, to
Ą (X + Y ) = Ą (X) + Ą (Y )
4. Jest ciagla, tzn. lim Ą (min {a, X}) = Ą (X) oraz lim Ą (max {X - a, 0}) = Ą (X),
a"
a0+
to istnieje funkcja g : [0, 1] [0, 1] niemalejaca taka, że g (0) = 0, g (1) = 1 oraz
"
Ą (X) = g FX (x) dx.
0
12
Uwaga
Jeżeli dodamy zalożenie subaddytywności, to g jest fukcja wklesla.
Jeżeli spelnione sa zalożenia 1.-4. oraz Ą (I � X) = Ą (I) � Ą (X) dla dowolnych mierzalnych
ryzyk I, X " � takich, że I <" b (1, p), to g (p) = pc.
Definicja
Skladke Ą : X nazywamy koherentna jeśli
1. Ą jest monotoniczna
2. Ą jest subaddytywna
3. Ą jest proporcjonalna
4. Ą jest zgodna.
Definicja
Skladka Conditional Tail Expectation (CTE) nazywamy skladke postaci
P(X>V aRX(ą))
CTEX (ą) = V aRX (ą) + E [X - V aRX (ą) |X > V aRX (ą)].
1-ą
Uwaga
Można pokazać, że CTE jest skladka koherentna oraz skladka Wanga dla
0 u < ą
g (u) = . Ponadto każda skladka Wanga z ciagla funkcja g jest skladka
u-ą
u e" ą
1-ą
koherentna.
Reasekuracja
Niech X bedzie ryzykiem, zaś h (X) retencja czyli ryzykiem, za kt re odpowiada cedent.
W wczas k (X) = X-h (X) jest ryzykiem, za kt re odpowiada reasekurator. O funkcji retencji
zakladamy zazwyczaj, że spelnia warunki:
1. "xe"0 0 d" h (x) d" x
2. x - h (x) jest rosnaca oraz x - x - h (x) jest rosnaca.
Przykladami reasekuracji sa:
1. reasekuracja proporcjonalna, tzn. h (x) = ax, a " (0, 1)
2. reasekuracja stop-loss, tzn. h (x) = min {X, a}, a > 0.
N
Niech X = Ui, gdzie U1, U2, ... > 0. Przypuśćmy, że dane sa hi (Ui), ki (Ui), i = 1, 2, ....
i=1
w wczas mamy do czynienia z reasekuracja lokalna. Zal żmy dalej, że v jest funkcja wypukla
i rosnaca. Jeżeli reasekurator przejmuje od cedenta pewne ryzyko za skladke Ą (X), to jego
N
użyteczność wynosila bedzie v Ą (X) - ki (Ui) . Jeżeli z kolei rozważamy reasekuracje
i=1
13
z funkcjami h (X) i k (X), to mamy m wimy o reasekuracji globalnej. W wczas funkcja
użyteczności reasekuratora bedzie przyjmowala wartość v (Ą (X) - k (X)). Powstaje pytanie
kt ry rodzaj reasekuracji jest korzystniejszy dla reasekuratora.
Twierdzenie
N
Niech X = Ui, gdzie Ui sa nieujemnymi niezależnymi zmiennymi losowymi o skończonej
i=1
wartości oczekiwanej, zaś N zmienna losowa niezależna od U1, U2, ... taka, że EN < ".
Jeżeli ki, i = 1, 2 sa funkcjami kompensacji, zaś v jest rosnaca i wklesla funkcja użyteczności
reasekuratora, to istnieje funkcja k taka, że
N
(1) Ek (X) = E ki (Ui)
i=1
N
oraz Ev Ą (X) - ki (Ui) d" Ev (Ą (X) - k (X)).
i=1
Dow d
Definiujemy
N
(3) k (x) := E ki (Ui) |X = x .
i=1
Z wlasności warunkowej wartości oczekiwanej wynika, że zachodzi (1). Istotnie
N N
E [k (X)] = E E ki (Ui) |X = E ki (Ui).
i=1 i=1
Z nier wności Jensena dla warunkowej wartości oczekiwanej mamy
N N
Ev Ą (X) - ki (Ui) = E E v Ą (X) - ki (Ui) |X d"
i=1 i=1
N
d" Ev Ą (X) - ki (Ui) |X = Ev (Ą (X) - k (X)).
i=1
Definicja
n
M wimy, że wektor losowy X o wartościach w jest stochastycznie mniejszy niż Y
n n
o wartościach w jeśli dla każdej funkcji mierzalnej g : /, kt ra jest funkcja rosnaca
każdego argumentu zachodzi Eg (X) d" Eg (Y ), o ile wartości oczekiwane istnieja i sa skończone.
Definicja
M wimy, że f : jest funkcja typu P lya 2 rodzaju (TP2), jeśli
+
f (x1 - y1) f (x1 - y2)
e" 0, x1 d" x2, y1 d" y2.
f (x2 - y1) f (x2 - y2)
n
W dalszym ciagu dla wektora losowego X = (X1, ..., Xn) " poprzez Xt oznaczali
n
bedziemy pewna zmienna losowa o takim samym rozkladzie jak rozklad X| Xi = t.
i=1
Lemat Efrona
Jeżeli f1, ..., fn sa gestościami nieujemnych zmiennych losowych X1, ..., Xn bedacymi funkcjami
typu TP2, to Xt d"st Xt dla t1 < t2.
1 2
14
Twierdzenie
n
Niech X = Ui, gdzie Ui, i = 1, ..., n sa nieujemnymi niezależnymi zmiennymi losowymi
i=1
o skończonej wartości oczekiwanej i gestościami typu TP2. Jeżeli ki sa funkcjami kompensacji,
to funkcja k zdefiniowana przez (3) jest funkcja kompensacji.
Dow d
n
Z lematu Efrona Ut d"st Ut dla 0 d" t1 d" t2. Ponieważ funkcja g (u1, ..., un) = ki (ui)
1 2
i=1
jest funkcja rosnaca każdego argumentu, wiec z definicji porzadku stochastycznego wynika, że
k (t1) d" k (t2). Mamy
n n
h (t) = t - k (t) = t - E ki (Ui) |X = t = E t - ki (Ui) |X = t =
i=1 i=1
n n n
= E Ui - ki (Ui) |X = t = E (Ui) - ki (Ui) |X = t .
i=1 i=1 i=1
n
Ponieważ g (u1, ..., un) = (ui - ki (ui)) jest funkcja rosnaca każdego argumentu, wiec
i=1
z definicji porzadku stochastycznego i lematu Efrona mamy h (t1) d" h (t2). Wystarczy pokazać,
że "xe"0 0 d" h (x) d" x ( �!�! 0 d" k (x) d" x). Mamy
n n
"te"0 0 d" k (t) = E ki (Ui) |X = t d" E Ui|X = t = t.
i=1 i=1
Arrow pokazal, że w klasie wszystkich reasekuracji z retencja h spelniajaca warunki
0 d" h (x) d" x oraz eh (X) = P = const optymalna forma reasekuracji w sensie maksymalizacji
oczekiwanej użyteczności dla ściśle rosnacej i ściśle wypuklej funkcji użyteczności cedenta jest
reasekuracja h" (x) = min (x, M), gdzie M jest jedynym rozwiazaniem r wnania Eh" (X) d" P.
Definicja
Dla ustalonego ryzyka X powiemy, że reasekuracja z funkcja retencji h jest zgodna formula
funkcji kalkulacji skladki Ą jeśli Ą (X) = Ą (h (X)) + Ą (X - h (X)).
Lemat
Jeżeli v, w : sa funkcjami rosnacymi i lewostronnie ciaglymi, to dla dowolnej
-1 -1 -1
zmiennej losowej Z o wartościach rzeczywistych Fv(Z)+w(Z) = Fv(Z) + Fw(Z), gdzie
F-1 (y) = inf {x " : f (x) e" y}.
Dow d
Zauważmy, że jeżeli f, g sa funkcjami rosnacymi i lewostronnie ciaglymi oraz
("") "x "t [f (x) d" t �!�! g (x) d" t],
to "x f (x) = g (x). Przypuśćmy, że spelnione sa zalożenia oraz istnieje x0 takie, że
f (x0) d" g (x0). Z lewostronnej ciaglości i monotoniczności funkcji wynika, że istnieje � > 0
f(x1)-g(x1)
x0-�+x0 �
taki, że f (x) < g (x) dla x " (x0 - �, x0]. Niech x1 = = x0 - i niech t1 = .
2 2 2
Wtedy f (x1) < g (x1) oraz f (x1) d" t1 i g (x1) > t1. Otrzymujemy zatem sprzeczność z ("").
15
Zdefiniujmy teraz v(-1) (t) = sup {s " : v (s) d" t}. Jeżeli v jest rosnaca i lewostronnie ciagla,
to "x,y v(-1) (y) e" x �!�! y e" v (x). Ustalmy
-1
Fv(Z) (y) d" x �!�! y d" Fv(Z) (x) �!�! y d" P (v (Z) d" x) �!�! y d" P Z d" v(-1) (x) �!�!
-1 -1
�!�! y d" FZ v(-1) (x) �!�! FZ (y) d" v(-1) (x) �!�! v FZ (y) d" x �!�!
-1
�!�! v ć% FZ (y) d" x.
-1 -1
Z dowolności x, y pokazliśmy, że Fv(Z) = v ć% FZ . Analogicznie można pokazać, że
-1 -1 -1 -1
Fw(Z) = w ć% FZ i Fv(Z)+w(Z) = (v + w) ć% FZ . Zatem
-1 -1 -1 -1 -1 -1
Fv(Z)+w(Z) = (v + w) ć% FZ = v ć% FZ + w ć% FZ = Fv(Z) + Fw(Z).
Twierdzenie
Jeżeli h jest ciagla funkcja retencji, to reasekuracja odpowiadajaca h jest zgodna ze skladka
odchylenia przecietnego od mediany.
Dow d
Ponieważ h i k sa rosnace, wiec dla a e" 0 z lematu mamy
1
1
2
-1 -1
Ą (X) = Ą (h (X) + k (X)) = Fh(X)+k(X) (z) (1 - a) dz + Fh(X)+k(X) (z) (1 + a) dx =
1
0
2
1
1
2
-1 -1 -1 -1
= Fh(X) (z) + Fk(X) (z) (1 - a) dz + Fh(X) (z) + Fk(X) (z) (1 + a) dz =
1
0
2
= Ą (h (X)) + Ą (k (X)).
Kolektywna teoria ryzyka
Niech U1, ..., Un beda ryzykami nieujemnymi. Wtedy możemy zapisać FU = (1 - �) �0+�Fv ,
i i
n
vi > 0. Wtedy Xind = Ui. W modelu kolektywnym zakladamy, że U1, U2, ... sa ryzykami
i=1
N
dodatnimi oraz N jest zmienna losowa w zbiorze *" {0}. Wtedy Xkol = Ui przy konwencji
i=1
0
Ui = 0. W og lności jeżeli przyjmiemy, że U1, U2, ... e" 0, zaś N zmienna losowa o wartościach
i=1
N
w , to możemy zapisać X = Ui. Bedziemy zakladać zwykle, że U1, U2, ... sa i.i.d., zaś
i=1
N, U1, U2, ... sa niezależne. Ponadto
"
k"
1. Jeżeli N <" {pk : k " }, U1 <" FU , to można pokazać, że FX (x) = pkFU (x). Rozklad
1
1
k=0
tej postaci nazywamy rozkladem zlożonym wyznaczonym przez rozklady N, U1, U2, ....
2. Latwo pokazać, że �X = �N ć% ln �U , gdzie � jest funkcja generujaca momenty lub
1
transformata Laplace a.
3. EX = EN � EU1, o ile N, U1 sa calkowalne.
2 2
4. V arX = E (U1) V arN + V arU1 � EN, o ile U1 i N2 sa calkowalne.
16
Twierdzenie
Jeżeli X1, ..., Xn sa niezależnymi zmiennymi losowymi o zlożonych rozkladach Poissona
n n
i
z parametrami (i, Fi), to X1 + ... + Xn ma zlożony rozklad Poissona i = , Fi .

i=1 i=1
Lemat
n n
Jeżeli X = Ui, gdzie Ui, i = 1, 2, ... sa i.i.d. oraz X = Ui , gdzie U1, ..., Un sa i.i.d., to
i=1 i=1
i). jeżeli U1 d"st U1, to X d"st X .
ii). jeżeli U1 d"sl U1, to X d"sl X .
Twierdzenie
N N
Jeżeli X = Ui oraz X = Ui sa zmiennymi losowymi zlożonymi, to
i=1 i=1
i). jeżeli N d"st N oraz U1 d"st U1, to X d"st X .
ii). jeżeli N d"sl N oraz U1 d"sl U1, to X d"sl X .
Dow d
i). Zdefiniujmy h (x) = 1 {x>b} dla ustalonego b " oraz
n n
an := Eh Ui d" Eh Ui =: a n, n = 0, 1, .... Ciagi (an) i (a n) sa rosnace. Rozważmy
i=1 i=1
N " N " n
Eh Ui = E h Ui |N = n � P (N = n) = Eh Ui � pn =
i=1 n=0 i=1 n=0 i=1
" " N
Nd"stN "
= anpn d" anp n d" a np n = Eh Ui . Zatem X d"st X .
n=0 n=0 n=0 i=1
n
ii). Zdefiniujmy h (x) = (x - b)+ dla ustalonego b " oraz an := Eh Ui , n = 0, 1, ....
i=1
Zauważmy, że h jest funkcja wypukla i rosnaca, a zatem ciag (an) jest rosnacy, gdyż U1 e" 0.
n
Rozważmy funkcje pomocnicza k (x) = Eh Ui + x , x e" 0. Zauważmy, że jest to funkcja
i=1
wypukla. Istotnie, dla x, y e" 0 oraz  " (0, 1) mamy
n
k (x + (1 - ) y) = Eh Ui + x + (1 - ) y =
i=1
n n
= Eh  Ui + x + (1 - ) Ui + y d" k (x) + (1 - ) k (y).
i=1 i=1
k(x+y)-k(y) k(x)-k(0)
Ponadto z wypuklości k mamy e" =�! k (x + y) + k (0) e" k (x) + k (y).
x x
n+2 n n+1
Kladac x = Un+1, y = Un+2 mamy Eh Ui + Eh Ui e" 2Eh Ui . Zatem
i=1 i=1 i=1
an+2+an
e" an+1, n = 0, 1, .... Stad
2
N N " N
Eh Ui = E E h Ui |N = E h Ui |N = n � P (N = n) =
i=1 i=1 n=0 i=1
" (") " N
Nd"slN "
= anpn d" anp n d" a np n = Eh Ui , gdzie
n=0 n=0 n=0 i=1
" "
(") Ef (N) = f (n) pn d" f (n) p n dla funkcji wypuklej i rosnacej f.
n=0 n=0
Z odpowiedniej charakteryzacji porzadku stop-loss wynika, że X d"sl X .
17
Rozk ady lekkoogonowe
Zal żmy, że funkcja generujaca momenty MX (t) = E esX jest skończona dla
pewnego s = 0. Dla X <" F oznaczmy s+ = sup {x > 0 : MX (s) < "} oraz

F
s- = inf {s < 0 : MX (s) < "}. Funkcja MX : s-, s+ jest ściśle rosnaca i ciagla.
F F F
Ponadto
" "
MX (s) - 1 = esxdF (x) - 1 = (esx - 1) dF (x) =
-" -"
0 " 0 0 " x
= (esx - 1) dF (x) + (esx - 1) dF (x) = - sestdtdF (x) + sestdtdF (x) =
-" 0 -" x 0 0
0 x 0 t " "
= - sestdtdF (x) = - sestdF (x) dt + sestdF (x) dt =
-" -" -" -" 0 t
0 "
= - sestF (t) dt + sestF (t) dt.
-" 0
Twierdzenie
i) Jeżeli MX (s) jest skończona dla pewnego s0 > 0, to istnieje b > 0 takie, że
0
(1) "x>0 F (x) d" be-s x.
Ponadto jeżeli zachodzi (1), to MX (s) < " dla 0 < s < s0.
ii) Jeżeli MX (s) jest skończona dla pewnego s0 < 0, to istnieje b > 0 takie, że
0
(2) "x<0 F (x) d" be-s x.
Ponadto jeżeli zachodzi (2), to MX (s) < " dla s0 < s < 0.
Dow d
Zal żmy, że zachodzi (1). W wczas
" "
(2)
MX(s)-1
0
d" estF (t) dt d" estbe-s tdt = bs 1 < " dla s < s0.
s
0-s
0 0
Zal żmy teraz, że MX (s) < " dla pewnego s0 > 0. w wczas dla x > 0 mamy
0 x 0 x
MX(s0)-1
0 0 0 0
e" - es tF (t) dt + es tF (t) dt e" - es tdt + F (x) es tdt =
s0
-" 0 -" 0
1 1 1
0 0
= -s1 + F (x) � [es x - 1] e" -s1 + F (s0) es x - =�!
s0 s0 s0
0 0
0 0
=�! MX (s0) + 1 e" F (x) es x =�! F (x) d" [MX (s0) + 1] e-s x.
Wystarczy polożyć b = [MX (s0) + 1], by otrzymać teze.
Twierdzenie
i) Jeżeli a+ = lim inf -ln F(x) > 0, to s+ = a+.
F
x
x"
ii) Jeżeli a- = lim sup -ln F(x) < 0, to s- = a-.
F
x
x-"
18
Dow d
Niech � > 0 bedzie takie, że � < a+. Z definicji granicy dolnej istnieje x0 taki, że -ln F(x) e" a+-�
x
dla x > x0. Stad
+
"x>x F (x) d" e-(a -�)x.
0
Z dowolności � mamy
+
"x>x F (x) d" e-a x.
0
Zatem na mocy rozumowania z dowodu poprzedniego twierdzenia MX (s) < " dla 0 < s < a+.
Przypuśćmy, że MX (s) < " dla s > a+. Z dowodu poprzedniego twierdzenia
0
"x>0 F (x) d" be-s x
-ln F(x) e" -ln b + s0 x" s0.

x x
Zatem a+ = lim inf -ln F(x) e" s0.
x
x"
Zakladać bedziemy teraz, że zmienna losowa N ma rozklad geometryczny, tzn.
P (N = k) = (1 - p) pk, k = 0, 1, 2, .... Wtedy
" "
"(k-1)+1
FX (x) = (1 - p) pkFU = (1 - p) �0 + p (1 - p) pkF"(k+1) =
k=0 k=0
x
"
"k
= (1 - p) �0 + p (1 - p) pk � FU (x - y) dFU (y) =
k=0 0
x
"
"k
= (1 - p) �0 + p (1 - p) pkFU (x - y) dFU (y) = (1 - p) �0 + pFU " FX.
0 k=0
Zatem
(2) FX = (1 - p) �0 + pFU " FX.
Można udowodnić, że ograniczone rozwiazanie r wnania ze wzgledu na X jest wyznaczone
jednoznacznie. Wiadomo, że FX = lim Fn, gdzie Fn = (1 - p) �0 + pFU " Fn-1, zaś
n"
F0 jest dowolna dystrybuanta rozkladu skoncentrowanego na przedziale [0, "). Bedziemy dalej
zakladać, że istnieje rozwiazanie r wnania
1
(1) MU (s) = .
p
Jeżeli rozwiazanie dodanie istnieje, to nazywamy je wsp lczynnikiem dopasowania. Można
xą-
U
wykazać, że jeżeli ąU = lim sup- ln FU(x) > 0 oraz MU (x) ", to wsp lczynnik dopasowania
x
x"
istnieje. Oznaczmy dalej x0 = sup {x " : FU (x) < 1}.
Twierdzenie (oszacowanie Lundberga dla z ożonego rozk adu geometrycznego)
Przy dotychczasowych zalożeniach, jeżeli istnieje dodatnie rozwiazanie r wnania (1), to
a-e-łx d" FX (x) d" a+e-łx,
ełxFU(x) ełxFU(x)
gdzie a+ = sup , zaś a = inf .
" "
x"[0,x0)
ełydFU(y) ełydFU(y)
x"[0,x0)
x x
19
Dow d
x
Wiadomo, że Fi " U = Fi (x - y) dFU (y). Dow d przeprowadzimy w oparciu o indukcje.
0
Znajdziemy F0 tak, aby F1 wyznaczone ze wzoru (2) bylo takie, że F0 d" F1. Nastepnie
zakladajac, że Fn-1 d" Fn wykażemy, że Fn d" Fn+1. Jest tak, gdyż
Fn = (1 - p) �0 + pFn " Fn-1 d" (1 - p) �0 + FU " Fn = Fn+1.
Zatem stad i z pierwszego kroku indukcyjnego wynika, że ... e" Fn e" Fn-1 e" ... e" F0, a zatem
FX e" F0, czyli FX (x) d" F0 (x) dla x e" 0.
Przyjmijmy F0 (x) = 1 - ae-łx = (1 - a) �0 (x) + aG (x), gdzie G (x) = 1 - e-łx, x e" 0.
Z (2) mamy
x
F1 (x) = (1 - p) + p (1 - a) FU (x) + a G (x - y) dFU (y) =
0
x
= (1 - p) + p FU (x) - aFU (x) + aFU (x) - ae-łx ełydFU (y) .
0
Chcemy, aby
x
(1 - p) + p FU (x) - ae-łx ełydFU (y) e" 1 - ae-łx
0
x
-pFU (x) ełx - pa ełydFU (y) e" -a
0
x
a 1 - p ełydFU (y) e" pFU (x) ełx.
0
Jeżeli x > x0, to otrzymujemy 0 e" 0, co dowodzi prawdziwości tezy. Jeżeli x < x0, to z faktu,
" x "
1
iż MU (ł) = mamy p ełxdFU (x) = 1, czyli p ełxdFU (x) + p ełxdFU (x) = 1, a wiec
p
0 0 x
"
ap ełydFU (y) e" pFU (x) ełx
x
ełxFU(x)
a e" =: f (x).
"
ełydFU(y)
x
Stad a e" sup f (x) = a+. Zatem F1 e" F0 kladac a = a+. Po wykonaniu drugiego kroku
x"[0,x0)
indukcyjnego otrzymujemy teze dla nier wności g rnej. Dow d dla nier wności dolnej jest
analogiczny.
Uwaga
a- d" a+ d" 1.
Wniosek
Jeżeli U1 <" Exp (�), N <" Geo (p), to FX (x) = pe-�(1-p)x, x e" 0. Oznacza to, iz dla szk d
wykladniczych w nier wności Lundberga otrzymujemy r wność.
20
Zal żmy, że dla pewnego � " (0, 1) rozklad liczby szk d N spelnia warunek
(3) {pk}x d"st p0�0 + (1 - p0) TG (�),
gdzie Y <" TG (�) = P (Y = k) = �k-1 (1 - �), k = 1, 2, ...
"
Niech rj = pk. Zauważmy, że (3) zachodzi wtedy i tylko wtedy, gdy rj+1 d" (1 - p0) �j.
k=j
"
Istotnie, mamy rj+1 d" (1 - p0) �k-1 (1 - �). Można podać r wnież sam warunek
k=j+1
wystarczajacy zachodzenia (3). Okazuje sie, że (3) zachodzi, jeśli
(4) "j rj+1 < �rj.
"
W tym celu mamy r1 = 1 - p0 oraz rj+1 d" r1�j = (1 - p0) �k-1 (1 - �), a zatem na mocy
k=j+1
rekurencji mamy, że "j rj+1 < �rj.
Twierdzenie
1
Jeżeli zachodzi (3) oraz istnieje dodatnie rozwiazanie r wnania MU (ł) = , to
�
1-p0 ełxFU(x)
FX (x) d" a+e-łx, x e" 0, gdzie a+ = sup .
"
�
ełydFU(y)
x"[0,x0)
x
Dow d
Niech x e" 0. Mamy
" " k
"j "(j-1)
"k "0
FX (x) = pkFU (x) = pk FU (x) - FU + FU (x) =
k=0 k=0 j=1
" k-1 " k-1
"(j+1) "j "j "(j+1)
= 1 + pk FU (x) - FU (x) =�! FX (x) = pk FU (x) - FU (x) =
k=0 j=0 k=0 j=0
" " " "
"j "(j+1) "j "(j+1)
= pk FU (x) - FU (x) = FU (x) - FU (x) pk d"
j=0 k=j+1 j=0 k=j+1
" " "
"j "(j+1) "j "(j+1)
d" FU (x) - FU (x) (1 - p0) �j = FU (x) - FU (x) (1 - p0) �k-1 (1 - �) =
j=0 j=0 k=j+1
" k-1
"j "(j+1)
= (1 - p0) �k-1 (1 - �) FU (x) - FU (x) =
k=0 j=0
" k-1 "
1-p0 "j "(j+1)
1-p0
"0 "k
= �k (1 - �) FU (x) - FU (x) = �k (1 - �) FU (x) - FU (x) =
� �
k=0 j=0 k=0
" "
1-p0 1-p0 1-p0
"k "k
= �k (1 - �) 1 - FU (x) = 1 - (1 - �) �kFU (x) d" a+e-łx.
� � �
k=0 k=0
Wniosek
Przy odpowiednich zalożeniach, jeżeli {pk}k" jest logarytmiczno wklesly, tzn. pk+2pk d" p2
k+1
(1-p0)2
oraz p0 + p1 < 1, to FX (x) d" a+e-łx, gdzie ł jest dodatnim rozwiazaniem r wnania
1-p0-p1
-1
1-p0-p1
MU (ł) = .
1-p0
21
Dow d
rj+1
1-p0-p1 r2 1-p0-p1
Pokażemy, że {pk} spelnia (4) dla � = . Mamy = = �. Pokażemy, że jest
1-p0 r1 1-p0 rj
ciagiem malejacym. Mamy
"
pk+pj-pj
rj+1 k=j+1 pj
1
= = 1 - = 1 - pj+1 pj+2 =
" "
rj
1+ + +...
pk pk pj pj
k=j k=j
rj+2
1
= 1 - pj+1 p pj+1 p pj+2 pj+1 e" ,
rj+1
1+ +pj+2 � +pj+3 � � +...
pj j+1 pj j+2 pj+1 pj
rj+1
zatem ciag jest malejacy, a wiec zachodzi (4), a w konsekwencji (3), co daje teze dla
rj
1-p0-p1
� = .
1-p0
Uwaga
Można pokazać, że w oszacowaniach typu Lundberga ł nie jest optymalne.
Estymacja wsp czynnika dopasowania
Niech U1, U2, ... <" F beda zmiennymi losowymi i.i.d. Interesuje nas rozwiazanie r wnania
MU (ł) = c, c > 1. Jednym z pomysl w jest zastapienie dystrybuanty F dystrybuanta
n
1
empiryczna Fn (x) = 1 (Ui d" x). Nastepnie dla tej dystrybuanty znajdujemy funkcje
n
i=1
generujaca momenty MF (łn) = c, tzn.
n
n n
1 1
i i
MF (s) = esxdFn (x) = esU � = esU .
n
n n
i=1 i=1
Lemat
Jeżeli ąU > 0 oraz MU (ąU) = ", to dla każdego przedzialu domknietego I �" (-", ąU) mamy
p.n.
(k) (k)
"k" lim sup MU (s) - MF (s) = 0. Stad wynika, że łn ł.
n
n"
s"I
Twierdzenie
"
V ar ełU
d ( )
Jeżeli MU (2ł) < ", to n (łn - ł) N 0, .
(EUełU)2
Dyskretny model ryzyka
Niech X1, X2, ... beda zmiennymi losowymi i.i.d. o rozkladzie dyskretnym pk = P (X1 = k),
k " . Zakladamy, że w poszczeg lnych okresach skladki wplywaja w spos b ciagly w wysokości
n
1 oraz że rezerwy poczatkowe wynosza u e" 0, u " . Wtedy Rn = u+n- Xi. W wczas Rn
i=1
nazywamy procesem rezerw (dyskretnym procesem rezerw). Zdarzenie {R1 < 0}*"{R2 < 0}*"...
nazywamy ruina techniczna. Prawdopodobieństwo � (u) = P ({R1 < 0} *" {R2 < 0} *" ...)
nazywamy prawdopodobieństwem ruiny w nieskończonym horyzoncie czasu dla rezerw
22
poczatkowych u. Momentem ruiny nazywamy �d (u) = min {k : Rk < 0}. Wtedy
� (u) = P (�d (u) < "). Funkcje u � (u) nazywamy funkcja ruiny, zaś 1 - � (u)
funkcja przeżycia. Momentem ruiny w skończonym horyzoncie czasowym nazywamy
�d (u, n) = min {k d" n, Rk < 0}. Wtedy � (u, n) = P (�d (u, n) < ") jest
prawdopodobieństwem ruiny w skończonym horyzoncie czasu. Zamiast procesu rezerw
n n n
warto rozważać r wnież proces nadwyżki, tj. Sn = Xi - n = (Xi - 1) = Yi, n " .
i=1 i=1 i=1
Wtedy � (u) = P (S1 > u (" S2 > u (" ...) = P (max {S1, S2, ...} > u), gdzie max " = ". Niech
(") M = max {0, S1, S2, ...}.
Wtedy � (u) = P (M > u). Jeżeli zalożymy, że E |Y1| < ", to z Mocnego Prawa Wielkich
p.n.
Sn p.n.
Liczb wynika, że EY1. Zatem jeśli EY1 > 0, to Sn ", a stad wynika, że
n
n" n"
� (u) = 1. Można wykazać, że gdy EY1 = 0, to r wnież � (u) = 1. Natomiast gdy EY1 < 0,
p.n.
to Sn -". Wobec tego rozsadne jest przyjmowanie zalożenia, że EYi < 0, a wiec
n"
EXi < 1, czyli przecietna szkoda jest mniejsza od zebranej skladki. Można r wnież zauważyć,
że lim � (u, n) = � (u) oraz � (u, n) d" � (u).
n"
Twierdzenie
Przy dotychczasowych zalożeniach, jeśli EY1 < 0, u e" 0, to � (u) = P (M > u) dla
M = max {0, S1, S2, ...}.
Dow d
d
Pokażemy, że M = (M + Y )+ := max {0, M + Y }, gdzie Y jest niezależna kopia zmiennej
losowej Y . Rozważmy przypadki:
1. u < 0, to 0 = 0 = P (M d" u) = P (M + Y )+ d" u .
2. u e" 0, to
P (M d" u) = P (max {S1, S2, ...} d" n) = P max Y1, Y1 + S1, Y1 + S2, ... d" u =
= P (M + Y )+ d" u ,
gdzie S1 = Y2, S2 = Y2 + Y3, ....
Niech gM (s) = EsM, gX (s) = EsX beda funkcjami tworzacymi prawdopodobieństwo,
� = EX oraz X bedzie niezależna kopia zmiennej losowej X.
Twierdzenie
(1-�)(1-s)
i) gM (s) = , s " (-1, 1).
gX(s)-s
ii) M ma zlożony rozklad geometryczny, przy czym N ma rozklad geometryczny z parametrem
P(X>x)
�, zaś P (U = k) = , k " .
�
23
Dow d
"
+ +
i) gM (s) = EsM := Es(M+X-1) = s(k-1) P (M + X = k) =
k=0
" "
1
= s0P (M + X = 0) + sk-1P (X + M = k) = P (X + M = 0) + skP (X + M = k) =
s
k=1 k=1
nzl M,X
1 1
= P (M + X = 0) - P (M + X = 0) + gX+M (s) =
s s
gX(s)
s-1 1 s-1
= P (M + X = 0) + gX (s) gM (s) =�! P (M + X = 0) = gM (s) 1 - =�!
s s s s
(s-1)P(M+X=0)
=�! gM (s) = .
s-gX(s)
P(M+X=0)
Przechodzac do granicy z s 1- mamy z twierdzenia de l Hopitala 1 = . Ponadto
1-gX(1)
gX (s) = E XsX-1 |s=1 = EX = 1 - �. Zatem P (M + X = 0) = 1 - �, co daje teze.
" " " " i-1
1 1
ii) gU (s) = sk P(X>k) = sk P (X = i) = skP (X = i) =
� � �
k=0 k=0 i=k+1 i=1 k=0
" "
1 1-si 1 1
= P (X = i) � = 1 - p0 - pisi = {1 - gX (s)} =�!
� 1-s �(1-s) �(1-s)
i=1 i=1
=�! gX (s) = 1 - � (1 - s) gU (s).
N
(1-s)(1-�) 1-�
Z i) mamy gM (s) = = . Zatem M = Uj ma zlożony rozklad
(1-s)-(1-s)�gU(s) 1-�gU(s)
i=1
d
geometryczny (�, FU ). Wykażemy, że M = M. Zauważmy najpierw, że
n
Ui n
1
i=1
E sM|N = n = E s = E sU = [gU (s)]N.
"
Stad gM (s) = EsM = E E sM|N = E [gU (s)]N = (1 - �) [gU (s)]n �n = gM (s).
n=0
Otrzymaliśmy zatem r wność funkcji tworzacych, a zatem M, M maja ten sam rozklad. Wobec
tego � (u) = P (M > u).
Ciag y model ryzyka
Zakladamy, że szkody dodatnie zachodza w losowych momentach czasu 0 = �0 < �1 < ...,
zaś Tn = �n - �n-1, n = 1, 2, ... jest czasem oczekiwania na n-ta szkode. W wczas
T1+...+Tn = �n. Niech U1, U2, ... > 0 beda zmiennymi losowymi i.i.d. o rozkladzie warunkowym
"
X pod warunkiem X > 0, zaś N (n) = 1 (�k d" n). Można r wnież najpierw określić
k=1
1k = 1 (Xk > 0), k = 1, 2, ..., a nastepnie zdefiniować �0 = 0 oraz �n = n-{k > �n-1 : Ik = 1}.
N(n)
Przy danych oznaczeniach można pokazać, że Rn = u + n - Ui <" Rn, a także
i=1
"n R1, ..., Rn = (R1, ..., Rn), gdzie u e" 0 sa rezerwami poczatkowymi. Zal żmy dalej, że
skladki wplywaja w spos b ciagly ze stala intensywnościa > 0, tzn. skladka kt ra wplynela
w dowolnym okresie czasu o dlugości t wynosi t. Proces rezerw ma postać
N(t)
" "
R (t) = u + t - Ui1 (�i d" t) = u + t - Ui, gdzie N (t) = 1 (�i d" t), t e" 0.
i=1 i=1 i=1
Analogicznie jak w modelu dyskretnym można rozważać proces nadwyżki
24
N(t)
St = Ui - t, t e" 0 oraz � (u) = min {t e" 0 : Rt < 0} = min {t e" 0 : St > u}.
i=1
Wtedy � (u) = P (� (u) < ") i analogicznie � (u, x) = P (� (u) d" x) dla skończonego
horyzontu czasu dla pewnego momentu x. Bedziemy dalej zakladać, że U, U1, U2, ... sa i.i.d.
o dystrybuancie FU, T1, T2, ... sa i.i.d. oraz T1 <" Exp (). Ponadto zakladamy, że ciagi (Ti),
N(t)
(Ui) sa niezależne. Wtedy X (t) = Ui ma zlożony rozklad Poissona. Oznaczmy r wnież
i=1
M = max {t > 0 : S (t) > u}.
Definicja
Jeśli T1, T2, ... sa i.i.d. o rozkladzie wykladniczym z parametrem  > 0, to proces {N (t) : t e" 0}
"
określony jako N (t) = 1 (�i d" t), t e" 0 nazywamy jednorodnym procesem Poissona
i=1
z intensywnościa .
Twierdzenie
Jeżeli {N (t) : t e" 0} jest procesem szk d, to nastepujace warunki sa r wnoważne:
i. {N (t) : t e" 0} jest jednorodnym procesem Poissona z intensywnościa .
ii. {N (t) : t e" 0} jest procesem o przyrostach niezależnych i stacjonarnych oraz N (t) <" P (t).
Definicja
Rzeczywisty proces stochastyczny {X (t) : t e" 0}:
a. ma przyrosty niezależne, jeśli
"n=1,2,... "0d"t 0
b. ma przyrosty stacjonarne gdy
"n=1,2,... "0d"t 0 [X (t1 + h) - X (t0 + h) , ..., X (tn + h) - X (tn-1 + h)] rozklad nie
0
zależy od h.
Uwaga
Gdy proces ma przyrosty niezależne, to ma r wnież przyrosty stacjonarne.
Definicja
N(t)
Gdy N (t) jest procesem Poissona o intensywności t, to dla ustalonego t > 0 X (t) = Uk ma
k=1
zlożony rozklad Poissona z parametrami (t, FU). Proces {X (t) : t e" 0} nazywamy zlożonym
procesem Poissona (, FU).
Lemat
Jeśli {X (t) : t e" 0} jest zlożonym procesem Poissona, to
i. {X (t) : t e" 0} ma przyrosty niezależne i stacjonarne.
U
ii. MX(t) (s) = et(M (s)-1).
25
Dow d
Ustalmy n " , t1 < t2 < ... < tn oraz h > 0. Niech x1, ..., xn " . Mamy
+
P (X (t1 + h) - X (t0 + h) d" x1, ..., X (tn + h) - X (tn-1 + h) d" xn) =
N(t1+h) N(tn+h)
= P Ui d" x1, ..., Ui d" xn =
1 n
i1=N(t0+h)+1 in=N(tn-1+h)+1
N(t1+h) N(tn+h)
= P Ui d" x1, ..., Ui d" xn|
1 n
k1,...,kn" i1=N(t0+h)+1 in=N(tn-1+h)+1
N (t1 + h) - N (t0 + h) = k1, ..., N (tn + h) - N (tn-1 + h) = kn) �
�P (N (t1 + h) - N (t0 + h) = k1, ..., N (tn + h) - N (tn-1 + h) = kn) =
n
"kj
= FU (xj) P (N (t1 + h) - N (t0 + h) = k1, ..., N (tn + h) - N (tn-1 + h) = kn) =
k1,...,kn" j=1
n
"kj
= FU (xj) � P (N (tj) - N (tj-1) = kj) =
k1,...,kn" j=1
n
"kj
= FU (xj) P (N (tj) - N (tj-1) = kj) =
j=1 kj"
N(tj)
n
= P Ui d" xj|N (tj) - N (tj-1) = kj � P (N (tj) - N (tj-1) = kj) =
j
j=1 kj" ij=N(tj-1
)+1
N(tj)
n
= P Ui d" xj .
j
j=1
ij=N(tj-1
)+1
Model Cramera-Lundberga
N(t)
Zauważmy, że proces R (t) = u + t - Uk ma przyrosty stacjonarne i niezależne. Niech
k=1
R (t) = y. W wczas możemy patrzeć na to jako na nowy proces od czasu t z nowymi rezerwami
poczatkowymi y i takim samym rozkladem szk d, co wynika z niezależności i stacjonarności
n n
R (t). Zdefiniujmy Sn = (Un - Tk) = Yk, � (u) = P (M > u). Wiadomo, że
k=1 k=1
Sn n"
EY . Zatem dla EY > 0 lub EY = 0 prawdopodobieństwo ruiny wynosi 1. Rozważamy
n
zatem przypadki, w kt rych EY < 0, tzn.EU < ET. Przy zalożeniu, że zmienna losowa T
ma rozklad wykladniczy otrzymujemy, że � < . Oznaczmy � (u) = 1 - � (u), u " .
+
Twierdzenie (r wnanie ca kowo-r żniczkowe)
Przy wcześniejszych zalożeniach dla zlożonego procesu Poissona, w kt rym � < , funkcja
(1) (1)
� jest ciagla na oraz posiada pochodne jednostronne �+ , �- spelniajace zależności:
+
u
(1)
(1) �+ (u) =  � (u) - � (u - y) dFU (y)
0
u-
(1)
(2) �- (u) =  � (u) - � (u - y) dFU (y) .
0
26
Dow d
Niech h > 0. Mamy
N(t)
� (u) = P ("t>0 R (t) > 0) = P "te"0 u + t - Uk e" 0 =
k=1
N(t) N(t)
= P u + t - Uk e" 0|�1 > h P (�1 > h)+P u + t - Uk e" 0|�1 d" h P (�1 d" h) =
k=1 k=1
N(t)
= � (u + h) e-h + P u + t - Uk e" 0, �1 d" h =
k=1
N(t)
= � (u + h) e-h + P "t u + t - Uk e" 0, �1 d" h|U1 = y =
k=1
= � (u + h) e-h+
N(t)
+ P "t>� u + �1 - U1 + (t - �1) - Uk e" 0, �1 d" h, u + �1 - U1 e" 0, �1 d" h|
1
k=2
�1 = x, U1 = y) dFU (y) e-xdx =
1
h u+�x
= � (u + h) e-h + � (u + x - y) dFU (y) e-xdx = � (u).
1
0 0
Przechodzac z h 0 otrzymujemy ciaglość �. Zauważmy, że
h u+�x
�(u+�h)-�(u)
1 1
= 1 - e-h � (u + h) - � (u + x - y) dFU (y) e-xdx.
1
�h h h
0 o
Przechodzac z h 0 otrzymujemy
u
(1)
�+ (u) =  � (u) - � (u - y) dFU (y) .
0
u
Dla dowodu (2) niech spelniony bedzie warunek zysku netto, tzn. h < . Mamy
�
h u
� (u - h) = � (u) e-h + � (u - y) dFU (y) e-xdx
1
0 0
h u
1 1
- �(u-�h)-�(u) = e-h - 1 � (u) - � (u - y) dFU (y) e-xdx.
1
-�h h h
0 o
Przechodzac z h 0 mamy
u-
(1)
�- (u) =  � (u) - � (u - y) dFU (y) .
0
Uwaga
Ponieważ � jest ciagla oraz istnieja pochodne jednostronne, wiec � jest r żniczkowalna poza
zbiorem przeliczalnym, w kt rym dystrybuanta FU nie jest ciagla. Stad wynika, że � jest
absolutnie ciagla.
Przyk ad
 
Jeżeli U <" Exp (�), to � (u) = exp - � - u .
�� �
27
Twierdzenie
Przy zalożeniach modelu Cramera-Lundberga prawdopodobieństwo ruiny spelnia nastepujaca
zależność:
" u
� (u) =  FU (x) dx + � (u - x) FU (x) dx .
u 0
Dow d
x
Wiadomo, że � (x) =  � (x) - � (x - y) dFU (y) . Dzielac stronami przez  i calkujac
0
na przedziale (0, u] mamy
u u u x
Fubini
� �
� (u) - � (0) = � (x) dx = � (x) dx - � (x - y) dFU (y) dx =
 
0 0 0 0
u u u u u u-y
t=x-y Fubini
= � (x) dx - � (x - y) dx dFU (y) = � (x) dx - � (t) dtdFU (y) =
0 0 y 0 0 0
u u
x=u-t
= � (t) FU (u - t) dt = � (u - x) FU (x) dx.
0 0
Dla u " oraz z twierdzenia Lebesgue a o zbieżności dominowanej i ciaglości � mamy
"
�
1 - � (0) = FU (x) dx = �

0
�
� (0) = 1 -
�
�
� (0) =
�
u
� �
� (u) - 1 + = � (u - x) FU (x) dx
 �
0
" u
-�� (u) + FU (x) dx = [1 - � (u - x)] FU (x) dx

0 0
" u
�
� (u) - FU (x) dx = - [1 - � (u - x)] FU (x) dx

0 0
" u u
� (u) =  FU (x) dx - FU (x) dx + � (u - x) FU (x) dx =
0 0 0
" u
=  FU (x) dx + � (u - x) FU (x) dx .
u 0
Definiujemy transformate Laplace a jako
"
L� (s) = e-sx� (x) dx, s > 0.
0
Analogicznie mamy
"
1
L� (s) = e-sx 1 - � (x) dx = - L� (s), s > 0.
s
0
Twierdzenie
�-�
1
L� (s) =
�s- 1- lU(s)
( ), s > 0 oraz L� (s) = s - L� (s), gdzie lU (s) = Ee-sU.
28
Dow d
Z r wnania calkowo-r żniczkowego mamy
u
� (u) =  � (u) - � (u - y) dFU (y)
0
" "
e-su� (u) du = e-su� (u) |" + s e-su� (u) du = -� (0) + sL� (s)
0
0 0
" u " "
Fubini x=u-y
e-su � (u - y) dFU (y) du = e-su� (u - y) dudFU (y) =
0 0 0 y
" " " "
= e-s(x+y)� (x) dxdFU (y) = e-sydFU (y) e-sx� (x) dx =
0 0 0 0
= L� (s) lU (s) = L� (s) 1 - lU (s)
�
L� (s) s -  1 - lU (s) = � (0) = 1 - = - �
�
�-�
L� (s) =
�s- 1- lU(s)
( ).
x
S 1
Zal żmy, że spelnione sa wcześniejsze zalożenia. Definiujemy FU (x) = [1 - FU (t)] dt,
�
0
x e" 0. Tak zdefiniowana funkcja jest dystrybuanta.
Twierdzenie (wz r Pollaczka-Chinczyna)
W modelu Cramera-Lundberga, jeżeli spelniony jest warunek zysku netto, to
"
n
"n
� �
S
� (u) = 1 - FU (u), u e" 0.
� �
n=1
Dow d
Z r wnania calkowo-r żniczkowego mamy
u
� (u) =  � (u) - � (u - y) dFU (y)
0
" u " "
t=u-x
e-su � (u - x) FU (x) dxdu = e-su� (u - x) FU (x) dudx =
0 0 0 x
" "
= FU (x) e-s(t+x)� (t) dtdx = L� (s) LF (s)
U
0 0
L� (s) =  �LFS + L� (s) LF (s)
(s) U
U
�+LF S (s)
U
L� (s) =
�-LF (s)
U
" "
" "
Fubini "n
S S
L� (s) = e-su (1 - �) �n(FU )"n (u) du = (1 - �) �n e-su 1 - FU (u) du =
n=1 n=1
0 0
�ł łł
"
�ł śł
"
�ł1 śł
"n
S
= (1 - �)n �ł - e-su FU (u) duśł
�łs śł
n=1
�ł �ł
0
=I
n
" " "
"n "n "n
S S 1 S 1 S
I = e-su FU (u) du = -1e-su FU |" + e-sud FU (u) = e-sudFU (u)
0
s s s
0 0 0
29
�ł łł
"
S
n
" (1-�)� e-sudFU (u)
"
S 1 0
�ł� �ł.
L� (s) = (1 - �) �n 1 1 - e-sudFU (u) = -
"
s s
S
1-� e-sudFU (u)
n=1
0
0
Z drugiej strony mamy
�ł łł
" " " "
S S S S
(1-�)� e-sudFU (u) �-�2 e-sudFU (u)-� e-sudFU (u)+�2 e-sudFU (u)
1 0 1 0 0 0
�ł� �ł
L� (s) = - = =
" "
s s
S S
1-� e-sudFU (u) 1-� e-sudFU (u)
0 0
" " " " "
S 1 S S
1- e-sudFU (u) e-sudu- e-sudFU (u) e-sudu- e-suFU (u)du
s
(")
� 0 0 0 0 0
= � = � � = � � =
" " "
s
S S S
1-� e-sudFU (u) 1-� e-sudFU (u) 1-� e-sudFU (u)
0 0 0
�
LF S �LF S
U(s) U(s)
= = , gdzie
�
1- lF S(s) �-� lF S(s)
U U
" "
"
S S 1 S
(") e-suFU (u) du = -1e-suFU (u) + e-sudFU (u).
s s
0
0 0
Pokażemy, że �LFS (s) = LF (s). Mamy
U
U
" " s "
1
lF (s) = e-sudFU (s) = e-sud F (t) dt = e-su 1d F (s) .
U
� �
0 0 0 0
N(t)
Niech S (t) = Ui - t. W wczas możemy obliczyć
i=1
N(t)
s Ui
U
i=1
MS(t) (s) = EesS(t) = e-�tsEe = e-�tset[M (s)-1] =
= exp {t [ (MU (s) - 1) - s]} := exp {t� (s)}.
Jeśli MU (s0) < " dla s0 > 0, to MU " C". Mamy MUU (s) = E U2esU > 0. Zatem � jest
ściśle wypukla. Ponadto z warunku zysku netto mamy � (0) = MMU (0) - = � - < 0.
Jeżeli istnieje dodatnie rozwiazanie ł r wnania � (s) = 0, to nazywamy je wsp lczynnikiem
dopasowania (wsp lczynnikiem Lundberga).
Lemat
Jeżeli istnieje s" " *" {0} takie, że MU (s) < " dla s < s" oraz lim MU (s) = ", to
+
ss-
"
istnieje dodatnie rozwiazanie r wnania � (s) = 0.
Dow d
Dla s" < " dow d jest oczywisty.
Zal żmy teraz, że s" = ". Niech x > 0 bedzie taki, że FU (x ) < 1. Mamy
" "
MU (s) = esudFU (u) e" esudFU (u) e" esx FU (x ),
0 x
gdzie esx FU (x ) da ży do nieskończoności szybciej od pewnej funkcji wykladniczej. Zatem
MU (s) da ży do nieskończoności tak szybko jak pewna funkcja wykladnicza.
30
Twierdzenie (oszacowanie Lundberga dla prawdopodobieństwa ruiny)
Jeżeli istnieje wsp lczynnik dopasowania ł > 0, to
"ue"0 a-e-łu d" � (u) d" a+e-łu,
" "
ełx FU(y)dy ełx FU(y)dy
x x
gdzie a+ = sup , a+ = inf , x0 = sup {x " : F (x) < 1}.
" "
x"[0,x0)
ełyFU(y)dy ełyFU(y)dy
x"[0,x0)
x x
Zauważmy, że
" "
S
MU (s) - 1 = s esuFU (u) du = s� esudFU (u) = s�MFS (s)
U
0 0
MU(s)-1
1
= MFS (s) = =�!  [MU (s) - 1] - s = 0 =�! � (s) = 0.
�
s�
U
Zatem wsp lczynnik dopasowania zdefiniowany jako rozwiazanie r wnania � (s) = 0 jest r wny
1
wsp lczynnikowi dopasowania wyznaczonego z r wnania MU (s) = .
�
31