Równania Różniczkowe Zwyczajne

ZESTAW 3.

Równania typu y0 = f a 1 x+ b 1 y+ c 1

a 2 x+ b 2 y+ c 2

Zad.1 Rozwiązać równania:

(a) ( x + y + 2) dx − ( x − y − 4) dy = 0 , (b) y0 = 2 x+ y− 1 ,

4 x+2 y+5

(c) y0 = 2 x+3 y− 1 ,

− 3 x−y+5

(d) (3 x + 3 y − 1) + ( x + y + 1) y0 = 0 .

Zad.2 Wyznaczyć całkę szczególną równania ( x + y) dx + (3 x + 3 y − 4) dy = 0

z warunkiem początkowym y(1) = 0 .

Równania różniczkowe liniowe

Zad.1 Korzystając z metody uzmienniania stałej rozwiązać podane równania: (a) y0 + 2 y = e−x,

(b) y0 + y tg x =

1

,

cos x

(c) y0 cos x − y sin x = sin 2 x,

(d) y0 + y cos x = sin 2 x.

Zad.2 Znaleźć krzywą o tej własności, że pole trójkąta utworzonego przez oś OX, styczną poprowadzoną w dowolnym punkcie krzywej oraz promień wodzący punktu styczności jest stałe i wynosi a 2 .

Zad.3 Uzasadnić, że jeżeli funkcje ϕ( x) , ψ( x) są rozwiązaniami równania róż-

niczkowego liniowego niejednorodnego y0 + p( x) y = q( x) , to różnica ϕ( x) − ψ( x) jest rozwiązaniem równania różniczkowego liniowego jednorodnego y0 + p( x) y = 0 .