4. CZYSTE ZGINANIE 1
�� �� Ł�
4.
4. Czyste zginanie
4.1 Podstawowe definicje
Momentem M siły P względem punktu O nazywamy iloczyn wektorowy wektora wodzącego r oraz
wektora siły P.
.
Śą Śą (4.1)
M =r�P
Śą
Wektor r jest promieniem wodzącym dowolnego punktu linii działania siły (prostej, na której leży wektor siły)
o początku w punkcie O. Przedstawia to rysunek 4.1.
Z
Y
a
M
P
r0
r
O
X
Rys. 4.1. Moment statyczny siły względem punktu.
Wartość bezwzględna momentu siły wynosi
,
(4.2)
M =P�"r sinśą�ąźą
gdzie a jest kątem zawartym między wektorami r i P, a r  rzutem wektora r na prostą prostopadłą do
0
wektora P, czyli ramieniem siły. Wektor M jest prostopadły do płaszczyzny, na której leżą wektory r i P, a
jego zwrot określa reguła śruby prawoskrętnej. Reguła ta mówi, że przy obrocie wektora r zgodnie z
obrotem śruby prawoskrętnej o kąt a mniejszy od 1800 do pokrycia się z wektorem P, śruba postępuje w
kierunku wektora M. Na rysunku 4.2 obrót wektora r w kierunku wektora P został przedstawiony za pomocą
strzałki. Moment siły względem punktu nazywamy momentem statycznym. Zależy on od położenia punktu
O, względem którego moment ten obliczamy, nie zależy natomiast od przesunięcia siły wzdłuż jej linii
działania. Moment M układu sił dowolnie rozmieszczonych na płaszczyz
nie względem dowolnego punktu O
jest równy sumie momentów poszczególnych sił względem tego punktu.
W. Bernat, A. Chorowska, M. Paszczak, T. Terlecki, A. Zielona, H. Qaraqish, D. Woz
niak, AlmaMater
M. Tomaszewski, J. J. Skoryna
4. CZYSTE ZGINANIE 2
Z
Y
a
M
P
r
O
X
Rys. 4.2. Reguła śruby prawoskrętnej.
Jeżeli siła P znajdowałyby się w przestrzeni to w takim przypadku oblicza się moment siły względem osi.
Wartość bezwzględna momentu wynosi
M =P '�"r0 , (4.3)
w którym P' jest rzutem siły P na płaszczyznę P prostopadłą do osi natomiast r jest ramieniem siły P'.
0
Przedstawia to rysunek 4.3.
P
P
P'
r0
Rys. 4.3. Moment statyczny siły względem osi.
Parą sił nazywamy dwie siły P równoległe i równe co do wartości, ale przeciwnie skierowane. Moment pary
sił względem punktu O jest równy sumie momentów poszczególnych sił P względem punktu O. Przedstawia to
rysunek 4.4.
W. Bernat, A. Chorowska, M. Paszczak, T. Terlecki, A. Zielona, H. Qaraqish, D. Woz
niak, AlmaMater
M. Tomaszewski, J. J. Skoryna
4. CZYSTE ZGINANIE 3
O
P
P
Rys.4.4. Para sił.
Jako dodatni został przyjęty moment, który kręci zgodnie ze wskazówkami zegara. Momenty statyczne
poszczególnych sił wynoszą
,
M =P�"x
1
(4.4.)
.
(4.5)
M =-Pśą x�ąaźą
2
Momenty statyczne obu sił zostały przedstawione na rysunku 4.5. Zamiast wektora momentu, który były
niewidoczny zastosowano strzałki, które pokazują jak kręciłaby się śruba prawoskrętna. Moment M jest
1
dodatni więc wektor jego wkręcałby się w kartkę. Moment M jest ujemny więc jego wektor wykręcałby się z
2
kartki. Moment M jako ujemny został narysowany ze zwrotem przeciwnym do ruchu wskazówek zegara,
2
natomiast jako opis wektor została podana wartość bezwzględna tego momentu.
O
M =P�"x
1
M =P śąx�ąaźą
2
P
P
Rys. 4.5. Momenty statyczne poszczególnych sił względem punktu O.
W. Bernat, A. Chorowska, M. Paszczak, T. Terlecki, A. Zielona, H. Qaraqish, D. Woz
niak, AlmaMater
M. Tomaszewski, J. J. Skoryna
x
a
x
a
4. CZYSTE ZGINANIE 4
Całkowity moment statyczny wynosi
.
(4.6)
M =P�"x-Pśąx�ąaźą=-P�"a
Jak widać wartość bezwzględna momentu pary sił jest równa iloczynowi wartości siły razy odległość sił
między sobą. Jest on niezależny od punktu odniesienia i ma zawsze tą samą wartość. Para sił charakteryzuje
się więc określonym momentem, który nazywa się momentem obrotowym. Moment pary sił przedstawionej
na rysunkach 4.4, 4.5 oraz 4.6 jest więc ujemny czyli przeciwny do ruchu wskazówek zegara.
O
M = P�"a
P
P
Rys. 4.6. Moment obrotowy pary sił.
4.2 Pręt zginany momentem M
Rozpatrzmy prostoliniowy pręt pryzmatyczny o długości L wykonany z materiału jednorodnego i
izotropowego. Pręt jest obciążony momentami obrotowymi M na obu swoich końcach. Oba wektory
momentów leżą na płaszczyz
nie przekroju pręta. Wektory momentów będą prostopadłe do tak zwanej
płaszczyzny obciążenia (w tym przypadku płaszczyzną obciążenia jest kartka papieru). Przedstawia to
rysunek 4.7.
M
M
L
Rys. 4.7. Pryzmatyczny pręt obciążony momentami obrotowymi M.
Aby dowolna część pręta była w równowadze w dowolnym przekroju musi się pojawić moment obrotowy
zależny od współrzędnej x M(x) nazywany momentem zginającym. Równowagę odciętej części pręta
przedstawia rysunek 4.8. Układ XYZ jest globalnym układem związanym z lewym końcem pręta.
W. Bernat, A. Chorowska, M. Paszczak, T. Terlecki, A. Zielona, H. Qaraqish, D. Woz
niak, AlmaMater
M. Tomaszewski, J. J. Skoryna
x
a
4. CZYSTE ZGINANIE 5
M
M(x)
X
Z
x
Rys. 4.8. Równowaga odciętej części pręta.
Jak widać z rysunku 4.8 moment zginający M(x) w dowolnym przekroju pręta równa się zewnętrznemu
momentowi obrotowemu M. Na rysunku tym zaznaczono moment zginający M(x) jako dodatni. Dodatni
moment zginający będzie więc powodował rozciąganie dolnych włókien pręta. Przedstawia to rysunek 4.9.
M(x)
P
P
Rys. 4.9. Dodatni moment zginający M(x).
Rozważamy teraz czyste zginanie jednorodnego pręta wywołane przez moment zginający M(x). Ograniczymy
się do przekrojów dostatecznie oddalonych od końców pręta a pominiemy ewentualne zaburzenia (zasada de
Saint-Venanta). Pod wpływem momentu zginającego nastąpi wygięcie pręta (w konfiguracji aktualnej czyli
konfiguracji odkształconej) w wyniku czego część włókien jest ściskana, a druga część rozciągana. Włókna
ściskane ulegają skróceniu, a rozciągane wydłużeniu. Granicę obu części pręta stanowi pewna powierzchnia
utworzona z włókien obojętnych, których odkształcenie liniowe wynosi zero  powierzchnia obojętna.
Dodatkowym założeniem jest prawo płaskich przekrojów Bernouliego. Mówi ono, że przekrój płaski i
prostopadły do włókien (podłużnej osi) pręta przed odkształceniem, pozostaje nadal płaski i prostopadły do
wygiętych włókien (podłużnej osi) pręta po odkształceniu. Bliższe obserwacje wykazują, ze przekrój pręta w
procesie deformacji obraca się o kąta f. Pokazuje to rysunek 4.10.
Konfiguracja
początkowa
Konfiguracja
aktualna
f
Rys. 4.10. Konfiguracja początkowa i aktualna pręta.
W. Bernat, A. Chorowska, M. Paszczak, T. Terlecki, A. Zielona, H. Qaraqish, D. Woz
niak, AlmaMater
M. Tomaszewski, J. J. Skoryna
4. CZYSTE ZGINANIE 6
Ponieważ rozważany pręt jest jednorodny i pryzmatyczny, więc osie obrotu każdego dowolnego przekroju są
do siebie równoległe. W konfiguracji aktualnej (odkształconej) każde włókno jest krzywą płaską równoległą do
płaszczyzny zginania. Płaszczyzna zginania tworzy pewien kąt z wektorem momentu zginającego. Wybierzmy
pewien punkt A należący do włókna obojętnego w konfiguracji początkowej. W konfiguracji aktualnej
(odkształconej) przemieści się on do punktu a. Pokazuje to rysunek 4.11. Ponieważ włókna obojętne nie
zmieniają swojej długości więc po odkształceniu pręt będzie krótszy niż w konfiguracji początkowej.
A
a
L
Rys. 4.11. Włókna obojętne pręta zginanego.
W konfiguracji początkowej element pręta o długości dx przedstawia rysunek 4.12. Punkt A znajduje się na
powierzchni obojętnej. Dowolny punkt przekroju pręta ma współrzędną e.
Y0
A
dx
Z0
Rys.4.12. Element pręta w konfiguracji początkowej.
W konfiguracji aktualnej (odkształconej), przedstawionej na rysunku 4.13, włókna poza powierzchnią
obojętną ulegną wydłużeniu lub skróceniu. Włókna obojętne będą miały długość ds=dx. Dowolne włókna będą
miały teraz współrzędną e'. Przekrój początkowy oraz końcowy będą wyznaczały środek krzywizny pręta.
Powierzchnia obojętna w konfiguracji aktualnej jest więc powierzchnią walcową o środku w punkcie C i
przecina się z płaszczyzną, na której znajduje się przekrój pręta wzdłuż pewnej prostej nazywanej osią
obojętną, która jest zawsze prostopadła do płaszczyzny zginania. Z podobieństwa wycinków koła wynika
zależność
ds�ą�ą ds
r�ąe '
,
(4.7)
=
ds r
skąd
W. Bernat, A. Chorowska, M. Paszczak, T. Terlecki, A. Zielona, H. Qaraqish, D. Woz
niak, AlmaMater
M. Tomaszewski, J. J. Skoryna
e
4. CZYSTE ZGINANIE 7
�ą ds
e '
.
(4.8)
=
ds r
C
Y0
ds=dX
A
ds+Dds
Z0
Rys. 4.13. Element w konfiguracji aktualnej (odkształconej).
Lewa strona równania (4.8) przedstawia odkształcenie liniowe e . Po uwzględnieniu, że krzywizna elementu
X
wynosi
Ąą=1 , (4.9)
r
otrzymujemy podstawowy związek kinematyczny teorii zginania obowiązujący w konfiguracji aktualnej
(odkształconej)
.
ąX=Ąą�"e ' (4.10)
Odkształcenia liniowe rosną więc proporcjonalnie do odległości od osi obojętnej. Funkcje (4.10) przedstawia
pewną płaszczyznę nazywaną płaszczyzną odkształceń. Zgodnie z przyjętą hipotezą Bernouliego czyli
hipotezą płaskich przekrojów płaszczyzna odkształceń będzie miała w dowolnym układzie osi środkowych
Y Z równanie
0 0
ąX y0, z0 =a0�ąa1�"y0�ąa2�"z0 . (4.11)
śą źą
W. Bernat, A. Chorowska, M. Paszczak, T. Terlecki, A. Zielona, H. Qaraqish, D. Woz
niak, AlmaMater
M. Tomaszewski, J. J. Skoryna
r
'
e
4. CZYSTE ZGINANIE 8
Najczęściej przyjmujemy, że przemieszczenia i odkształcenia są bardzo małe. Wówczas rozróżnienie
konfiguracji początkowej i aktualnej nie jest konieczne. Można więc przyjąć, że
1. zmiany kształtu i wymiarów przekroju są pomijalnie małe,
2. osie obojętne w obu konfiguracjach są liniami prostymi i pokrywają się,
3. odległości e'=e,
4. kąty obrotu przekrojów są bardzo małe.
4.3 Wyznaczenie naprężeń w pręcie zginanym
Przyjmijmy, że pryzmatyczny pręt wykonany z materiału izotropowego oraz jednorodnego jest poddany
czystemu zginaniu momentem zginającym M, który w układzie osi środkowych Y Z posiada składowe M
0 0 Y0
oraz M . Wektor momentu zginającego M jest prostopadły do płaszczyzny obciążenia. Przedstawia to
Z0
rysunek 4.14.
Płaszczyzna
obciążenia
Y0
MY0
M
MZ0
Z0
Rys. .4.14. Przekrój pręta obciążony momentem zginającym M.
Składowe M oraz M są wypadkowymi z iloczynu naprężenia normalnego, elementarnego pola powierzchni
Y0 Z0
dA oraz współrzędnej y oraz z czyli
0 0
M = �ąX y0 , z0 �"z0�"dA ,
+" śą źą
Y0
(4.12)
A
M =- �ą y0 , z0 �"y0�"dA .
+" śą źą
Z0 X (4.13)
A
Znak minus we wzorze (4.13) wynika z tego, iż dodatni moment zginający M powoduje powstanie naprężeń
Z0
normalnych ściskających (ujemnych) w pierwszej ćwiartce układu współrzędnych (współrzędne y oraz z w
0 0
tej ćwiartce są dodatnie). Ze wzorów (4.12) i (4.13) nie wynika prawo rozkładu naprężeń normalnych w
przekroju pręta. Możemy jednak wykorzystać fakt, iż w przekroju zginanym siła normalna równa się zero.
W. Bernat, A. Chorowska, M. Paszczak, T. Terlecki, A. Zielona, H. Qaraqish, D. Woz
niak, AlmaMater
M. Tomaszewski, J. J. Skoryna
4. CZYSTE ZGINANIE 9
N = �ą y0 , z0 �"dA=0 .
+" śą źą
X (4.14)
A
Wzory (4.12), (4.13) i (4.14) obowiązują w konfiguracji aktualnej (odkształconej). Zgodnie jednak z
przyjętymi założeniami, że odkształcenia i przemieszczenia są bardzo małe, co pozwala przyrównać
konfigurację pierwotną i aktualną. Naprężenia będziemy więc obliczać dla konfiguracji pierwotnej. Prawo
Hooke'a w przypadku pręta poddanego czystemu zginaniu będzie miało postać
�ą =E�"ąX . (4.15)
X
Zgodnie z prawem Bernouliego funkcję odkształceń liniowych przedstawia wzór (4.11). Jeżeli uwzględnimy
prawo Hooke'a (4.15) to funkcja naprężeń normalnych będzie miała postać
�ą y0 , z0 =b0�ąb1�"y0�ąb2�"z0 . (4.16)
śą źą
X
Po wstawieniu (4.16) do wzoru (4.12) moment zginający M będzie miał postać
Y0
M = b0�ąb1�"y0�ąb2�"z0 �"z0�"dA .
+"śą źą
Y0 (4.17)
A
Po rozwinięciu wyrażeń pod całką wzór (4.17) będzie miał postać
2
M = b0�"z0�ąb1�"y0�"z0�ąb2�"z0 �"dA .
+"śą źą
Y0 (4.18)
A
Całkę z sumy zamieniamy na sumę całek. Ponieważ b , b oraz b są pewnymi stałymi można je wyciągnąć
0 1 2
przed znak całki. Wzór (4.18) będzie miał postać
2
M =b0�" z0�"dA�ąb1�" y0�"z0�"dA�ąb2�" z0�"dA .
+" +" +"
Y0 (4.19)
A A A
Interpretując poszczególne całki wzór (4.19) będzie miał postać
.
M =b0�"SY0�ąb1�"I �ąb2�"I (4.20)
Y0 Y0Z0 Y0
W. Bernat, A. Chorowska, M. Paszczak, T. Terlecki, A. Zielona, H. Qaraqish, D. Woz
niak, AlmaMater
M. Tomaszewski, J. J. Skoryna
4. CZYSTE ZGINANIE 10
Po wstawieniu (4.16) do wzoru (4.13) moment zginający M będzie miał postać
Z0
M =- b0�ąb1�"y0�ąb2�"z0 �"y0�"dA .
+"śą źą
Z0 (4.21)
A
Po rozwinięciu wyrażeń pod całką wzór (4.21) będzie miał postać
2
M =- b0�"y0�ąb1�"y0�ąb2�"y0�"z0 �"dA .
+"śą źą
Z0 (4.22)
A
Całkę z sumy zamieniamy na sumę całek. Ponieważ b , b oraz b są pewnymi stałymi można je wyciągnąć
0 1 2
przed znak całki. Wzór (4.22) będzie miał postać
2
M =-b0�" y0�"dA-b1�" y0�"dA-b2�" y0�"z0�"dA .
+" +" +"
Z0 (4.23)
A A A
Interpretując poszczególne całki wzór (4.23) będzie miał postać
.
M =-b0�"SZ0-b1�"I -b2�"I (4.24)
Z0 Z0 Y0Z0
Ponieważ osie Y oraz Z są osiami środkowymi więc momenty statyczne S i S są równe zero. Wzory
0 0 Y0 Z0
(4.20) oraz (4.24) będą tworzył układ równań
M =b1�"I �ąb2�"I
Y0 Y0Z0 Y0
.
(4.25)
{
M =-b1�"I -b2�"I
Z0 Z0 Y0Z0
Rozwiązaniem układu równań (4.25) są wartości stałych b i b
1 2
M �"I �ąM �"I
Y0 Y0Z0 Z0 Y0
,
b1=-
2
(4.26)
I �"I -I
Y0 Z0 Y0Z0
M �"I �ąM �"I
Y0 Z0 Z0 Y0Z0
.
b2=
(4.27)
2
I �"I -I
Y0 Z0 Y0Z0
W. Bernat, A. Chorowska, M. Paszczak, T. Terlecki, A. Zielona, H. Qaraqish, D. Woz
niak, AlmaMater
M. Tomaszewski, J. J. Skoryna
4. CZYSTE ZGINANIE 11
Po wstawieniu (4.16) do wzoru (4.14) siła normalna będzie wynosiła
N = b0�ąb1�"y0�ąb2�"z0 �"dA=0 .
+"śą źą
(4.28)
A
Całkę z sumy zamieniamy na sumę całek. Ponieważ b , b oraz b są pewnymi stałymi można je wyciągnąć
0 1 2
przed znak całki. Wzór (4.28) będzie miał postać
N =b0�" dA�ąb1�" y0�"dA�ąb2�" z0�"dA=0 .
+" +" +"
(4.29)
A A A
Interpretując poszczególne całki wzór (4.29) będzie miał postać
.
N =b0�"A�ąb1�"SZ0�ąb2�"SY0=0 (4.30)
Ponieważ osie Y oraz Z są osiami środkowymi więc momenty statyczne S i S są równe zero. Stała b
0 0 Y0 Z0 0
będzie w tej sytuacji równa zero. Ostatecznie wzór na obliczenie naprężeń normalnych w przekroju zginanym
będzie miał postać
M �"I �ąM �"I M �"I �ąM �"I
Y0 Y0Z0 Z0 Y0 Y0 Z0 Z0 Y0Z0
�ą =- y0�ą z0 .
(4.31)
X
2 2
I �"I -I I �"I -I
Y0 Z0 Y0Z0 Y0 Z0 Y0Z0
Jest to ogólny wzór na naprężenia normalne wywołane przez moment zginający M o składowych M i M w
Y0 Z0
układzie dowolnych osi środkowych. Jeżeli przyrównamy naprężenia normalne do zera otrzymamy równanie
osi obojętnej w postaci
M �"I �ąM �"I
Y0 Y0Z0 Z0 Y0
z0= y0 . (4.32)
M �"I �ąM �"I
Y0 Z0 Z0 Y0Z0
Rozkład naprężeń normalnych w przekroju przedstawia rysunek 4.15. Widać z niego. że oś obojętna w
ogólnym przypadku nie pokrywa się z wektorem momentu M. Ekstremalne naprężenia normalne występują w
punktach przekroju pręta najbardziej oddalonych od osi obojętnej.
Zależność (4.31) uprości się znacznie jeżeli układ Y Z będzie układem osi głównych Y Z , w którym moment
0 0 gl gl
dewiacyjny I wynosi zero. Wzór (4.31) będzie miał postać
YglZgl
M M
Zgl Ygl
�ąX=- ygl�ą zgl . (4.32)
I I
Zgl Ygl
W. Bernat, A. Chorowska, M. Paszczak, T. Terlecki, A. Zielona, H. Qaraqish, D. Woz
niak, AlmaMater
M. Tomaszewski, J. J. Skoryna
4. CZYSTE ZGINANIE 12
-
Y0
MY0
+
M
MZ0
Z0
Rys. 4.15. Naprężenia normalne w przekroju zginanym momentem zginającym M.
Równanie osi obojętnej w osiach głównych będzie miało postać
M �"IYgl .
Zgl
zgl= ygl (4.33)
M �"I
Ygl Zgl
Rozkład naprężeń w przekroju zginanym, w którym płaszczyzna obciążenia pokrywa się z jedną z osi
głównych (Z ) przedstawia rysunek 4.16. Jest to jeden z najczęściej występujących przypadków zginania,
gl)
występujący na przykład w belkach.
Płaszczyzna obciążenia=
=Płaszczyzna zginania
-
M(x)
Y=Y0=Ygl
X Oś obojętna
M(x)=MYgl
+
Z=Z0 Z=Z0=Zgl sX
Rys. 4.16. Rozkład naprężeń w przekroju zginanym.
Naprężenia normalne oblicza się ze wzoru (M = 0)
Zgl
M
Ygl
�ą = zgl . (4.34)
X
I
Ygl
W. Bernat, A. Chorowska, M. Paszczak, T. Terlecki, A. Zielona, H. Qaraqish, D. Woz
niak, AlmaMater
M. Tomaszewski, J. J. Skoryna
obciążenia
Płaszczyzna
na
ęt
j
bo
o
ś
O
s
X
P
z
ła
g
s
i
na
z
c
z
n
y
i
a
z
n
a
4. CZYSTE ZGINANIE 13
Ekstremalne naprężenia normalne występują na krawędzi dolnej i górnej przekroju. Oblicza się je ze wzorów
M
d Ygl d
�ąśąX źą= zśągl źą ,
(4.35)
I
Ygl
M
gźą Ygl gźą
�ąśąX = zśągl , (4.36)
I
Ygl
(d) (g)
w których z oraz z oznaczają współrzędne z punktów krawędzi dolnej i górnej. Wzory (4.35) i (4.36)
gl gl gl
możemy zapisać w postaci
M
d Ygl
�ąśąX źą=
,
I
Ygl
(4.37)
d
zśągl źą
M
gźą Ygl
�ąśąX =
.
I
(4.38)
Ygl
gźą
zśągl
Wyrażenia w mianowniku ułamka nazywają się wskaz
nikami wytrzymałości na zginanie włókien dolnych i
górnych. Oblicza się więc ze wzorów
I
d Ygl
,
W =
Ygl
d
(4.39)
zśągl źą
I
g Ygl
.
W =-
(4.40)
Ygl
gźą
zśągl
Znak minus we zworze (4.40) wynika z tego. że współrzędna włókien górnych jest ujemna a wskaz
nik
wytrzymałości musi być dodatni. Wskaz
niki wytrzymałości przekroju na zginanie znajdują się w tablicach do
projektowania konstrukcji metalowych (należy zwrócić uwagę na oznaczenia osi w tablicach) i mogą być
pomocne w przyjęciu przekroju pręta, w którym płaszczyzna obciążenia pokrywa się z jedną z osi głównych..
Znając wartość momentu zginającego M i wartość naprężenia dopuszczalnego można wyznaczyć wartość
Ygl
minimalną (potrzebną) wskaz
nika wytrzymałości na zginanie
#"M #"
pot Ygl
.
W =
(4.41)
Ygl
�ądop
X
W. Bernat, A. Chorowska, M. Paszczak, T. Terlecki, A. Zielona, H. Qaraqish, D. Woz
niak, AlmaMater
M. Tomaszewski, J. J. Skoryna
4. CZYSTE ZGINANIE 14
Następnie w tablicach szuka się przekroju, który posiada wskaz
nik wytrzymałości na zginanie większy niż
obliczony ze wzoru (4.41). Ekstremalne naprężenia normalne oblicza się ze wzorów
M
d Ygl
,
�ąśąX źą=
śąd źą
(4.42)
W
Ygl
M
gźą Ygl
.
�ąśąX =-
(4.43)
śągźą
W
Ygl
Znak minus we wzorze (4.43) wynika z tego, że dodatni moment zginający wywołuje we włóknach górnych
naprężenia ujemne (ściskające), a wskaz
nik wytrzymałości ma zawsze wartość dodatnią. W innych
przypadkach projektowanie przekroju polega za zasadzie prób i błędów.
Tensor naprężenia w przypadku pręta zginanego momentem zginającym będzie miał postać
�ąX 0 0
.
�ą= (4.44)
0 0 0
[ ]
0 0 0
Wykorzystując prawo Hooke'a (4.15) można wyznaczyć odkształcenia liniowe. Tensor odkształcenia będzie
miał postać
ąX 0 0
.
ą= (4.45)
0 0 0
[ ]
0 0 0
4.4 Zależności energetyczne
Wyznaczmy wartość całki objętościowej z iloczynu tensorów naprężenia (4.44) i odkształcenia (4.45)
przy zginaniu pręta.
�ą�"ą�"dV = �ą �"ąX�"dV = �ą �"ąX�"dA ds ,
+" +" +"
X X (4.46)
[+" ]
V V s A
w którym s jest długością pręta, a ds jest elementem pręta mierzonym na osi pręta. Dla bardzo małych
odkształceń zgodnie z hipotezą płaskich można przyjąć zależność (4.10) jako (e=e')
.
ąX=Ąą�"e (4.47)
W. Bernat, A. Chorowska, M. Paszczak, T. Terlecki, A. Zielona, H. Qaraqish, D. Woz
niak, AlmaMater
M. Tomaszewski, J. J. Skoryna
4. CZYSTE ZGINANIE 15
Odkształcenia liniowe są wprost proporcjonalne do odległości od osi obojętnej, natomiast napręzenia normalne
mogą mieć dowolny rozkład (dowolne związki fizyczne). Ograniczymy się tylko do przypadku, w którym
wektor M=M . Przyjmujemy odległość osi obojętnej od osi środkowej jako c, więc e=z +c. Przedstawia to
Ygl gl
rysunek 4.17.
Płaszczyzna obciążenia=
=Płaszczyzna zginania
- -
Oś obojętna
Y=Y0=Ygl
M(x)=MYgl
+ +
eX sX
Z=Z0=Zgl
Rys. 4.17. Przekrój zginany.
Po tych wszystkich założeniach wzór (4.46) będzie miał postać
�ą�"ą�"dV = �ą �"ąX�"dA ds= �ą �"Ąą�"e�"dA ds= �ąX�"Ąą�" zgl�ąc �"dA ds .
+" +" +" +"
X X (4.48)
[+" ] [+" ] [+" śą źą ]
V s A s A s A
Ponieważ krzywizna jest stała na całym polu powierzchni przekroju A można więc ją wyciągnąć przed całkę
po polu powierzchni przekroju, wzór (4.48) będzie miał więc postać
�ą�"ą�"dV = Ąą �ą �" �ąc ds .
+" +"
X gl (4.49)
[+" śąz źą�"dA]
V s A
Całkę sumy zamieniamy na sumę całek (odległość c jako stałą można wyciągnąć przed znak całki)
�ą�"ą�"dV = Ąą �ą �"zgl�"dA�ąc�" �ą �"dA ds .
+" +" +"
X X (4.50)
[+" ]
V s A A
Ponieważ
�ą �"zgl�"dA=M ,
+"
X Ygl (4.51)
A
W. Bernat, A. Chorowska, M. Paszczak, T. Terlecki, A. Zielona, H. Qaraqish, D. Woz
niak, AlmaMater
M. Tomaszewski, J. J. Skoryna
c
e
gl
z
4. CZYSTE ZGINANIE 16
�ą �"dA=N =0 ,
+"
X (4.52)
A
otrzymamy
�ą�"ą�"dV = Ąą�"M śąsźąds .
+" +"
Ygl (4.53)
V s
Wzór (4.53) jest słuszny również dla nieliniowych zależności między naprężeniami i odkształceniami.
Porównując wzory (4.15) oraz (4.47) dla przypadku działania tylko momentu zginającego M otrzymano
Ygl
(współrzędne e=z , oraz c=0)
gl
�ą
X
.
(4.54)
Ąą�"e=Ąą�"zgl=
E
Uwzględniając (4.34) otrzymano
M
1
Ygl
Ąą�"e=Ąą�"zgl= zgl . (4.55)
E I
Ygl
Ostatecznie krzywizna pręta wynosi
M
Ygl
.
Ąą= (4.56)
E�"I
Ygl
Jeżeli pręt jest liniowo-sprężysty (czyli zależność pomiędzy naprężeniami a odkształceniami jest liniowa 
prawo Hooke'a), to energia sprężysta zawarta wewnątrz pręta wynosi
1
.
U = M �"Ąą�"ds
+" (4.57)
Ygl
2
s
Uwzględniając (4.56) otrzymano wzór na obliczenie energii sprężystej zawartej wewnątrz pręta
2
M
1
Ygl
.
(4.58)
U =U = ds
+"
M
2 E�"I
s Ygl
W. Bernat, A. Chorowska, M. Paszczak, T. Terlecki, A. Zielona, H. Qaraqish, D. Woz
niak, AlmaMater
M. Tomaszewski, J. J. Skoryna