Czyste zginanie
Czyste zginanie
x
z
z
Dodatni moment zginający
Dodatni moment zginający
Czyste Zginanie
Założenia:
" Zgięcie proste  obciążenie wyłącznie w jednej z głównych
płaszczyzn belki.
" W przekrojach belki działa wyłącznie moment zginający, bez udziału
" W przekrojach belki działa wyłącznie moment zginający, bez udziału
siły poprzecznej i siły normalnej .
" Przekroje płaskie po zgięciu, pozostają płaskie.
" Długość osi belki nie ulega zmianie.
" Odkształcenia belki są małe.
" Belka jest wykonana z materiału jednorodnego i izotropowego oraz
podlega prawo Hooke a.
Siły wewnętrzne w zginanej belce
Twierdzenia
Twierdzenia
Schwedlera-Żurawskiego
2
d M
dT
g
= = -qx
dx dx2
Siły wewnętrzne w zginanej belce - przykład
Czyste zginanie
ds + "ds ds
=
r + z r
ds + "ds r + z z
z
= 1+ � = = 1+
x
ds r r
� = �z
x
Czyste zginanie
� = E� � = �z �(z)= const
� = E� � = �z �(z)= const
Wzdłuż wysokości belki:
Wzdłuż wysokości belki:
� = E�z
Moment statyczny względem osi obojętnej
E� zdA = 0
+"
(z=0) zeruje się, czyli oś obojętna pokrywa się
A
z osią główną przekroju.
Czyste zginanie
M = z2dA =E�I
g y
+"�zdA = E�+"
A A
M
� =
EI
EI
y
M
� = E�z = z
I
y
M M J
y
� = zmax � =
W =
max max
y
I W
zmax
y y
Warunek bezpieczeństwa i warunek sztywności
k
w d" f
� d"
max dop
max
n
M
g
� = z
max max
I
I
y
Dla materiałów o różnych własnościach
po stronie dodatnich i ujemnych naprężeń:
M
M k
k
g
-
g c
+
r
� = z d"
� = z d"
max 1
max max
I n
I n
y
y
Momenty bezwładności i wskaz
niki
3
4
bh
Ąd
I =
z
I = I =
z y
12
64
2
3
bh
Ąd
W =
z
W = W =
z Y
6
32
4 4
3
Ą(D - d )
bh
I = I =
z y
I =
z
64
36
3 3 2
Ą(D - d ) bh
W = W = W =
z Y z
24
32D
Energia zginania
E 1 P"L 1
Ś = = = ��
1
L = E = P"L
2
V 2 AL 2
1 �2
Ś =
� = E�
� = E�
2 E
2 E
2
M
1 �2 1 �2 1
g
E = dV = dxdydz = z2dAdx
+"ŚdV = +" +"+"+" +"+"+" 2
2 E 2 E 2 EI
V V V V
y
2 2
L L
M M
1 1
g g
E = dx z2dA = dx
+" 2 +" +"
2 EI 2 EI
0 A 0
y y
Energia zestawienie
L 2
1 N
" Rozciąganie/ściskanie
E = dx
+"
2 EA
0
L 2
1 M
s
E = dx
+"
+"
" Skręcanie
" Skręcanie
2 GI0
2 GI0
0
0
L 2
1 T
E = dx
+"
2 GA
0
" Ścinanie
2
L
M
1
g
E = dx
+"
" Zginanie
2 EI
0
y
Równanie różniczkowe linii ugięcia belki
w''
� = - H" -w''
EJ � = M 3
y g
2
2
[1+ (w') ]
2
d w
d w
EJ = -M
EJ = -M
y g
dx2
dw
� = -
dx
Warunki brzegowe
w `" 0
�P `" 0
w = 0
�L `" 0
� `" 0
�L `" �P
w = 0
� `" 0 w = 0
� = 0
w = 0
w = 0
� `" 0
� = 0
Przykład
Przykład
dw
= � =
dx
�(x)