Literatura
1. E. Panek, Ekonomia matematyczna , Wydawnictwa Akademii Ekonomicznej Poznań, 2003
2. E. Panek, Elementy ekonomii matematycznej - statyka , Wydawnictwo PWN, 1993
3. H. N. Varian, Mikroekonomia , Wydawnictwo PWN, 1997
4. R. Hall, J. Taylor, Makroekonomia , Wydawnictwo PWN, 1997
5. D. Romer, Makroekonomia dla zaawansowanich , Wydawnictwo PWN, 2000
6. E. Kwiatkowski, R. Milewski, Podstawy ekonomii , Wydawnictwo PWN, 2005
7. E. Kwiatkowski, Bezrobocie. Podstawy teoretyczne , Wydawnictwo PWN, 2005
8. W. Debski, Rynek finansowy i jego mechanizmy , Wydawnictwo PWN, 2005
9. A. Slawiński, Rynki finansowe , Wydawnictwo PWE, 2006
10. J. Bermond, M-M. Salort, Odkrywanie ekonomii , Wydawnictwo PWN, 1994
11. J. Bermond, M-M. Salort, J.-F. Couet, Kompendium wiedzy z ekonomii , Wydawnictwo PWN, 2005
12. Serwisy ekonomiczne gazet (Rzeczpospolita - dodatek Ekonomia i rynek), portali internetowych
(NBPortal.pl, Money.pl)
Plan przedmiotu
I Elementy teorii ekonomii
1. Przedmiot, metodologia i matematyzacja ekonomii
2. Wybrane modele teorii konsumenta
3. Wybrane modele teorii producenta
4. Pewne modele r wnowagi rynkowej
5. Podstawowe kategorie makroekonomii
6. R wnowaga makroekonomiczna i rola państwa w gospodarce
7. Wzrost gospodarczy
8. Integracja gospodarcza, globalizacja oraz Polska w Unii Europejskiej
9. Elementy myśli ekonomicznej (podstawowe doktryny ekonomiczne)
II Elementy teorii rynk w finansowych
1. Przedmiot, funkcje rynk w finansowych
2. Rynek pienie żny i system bankowy
3. Rynek kapitalowy
4. Rynek walutowy
III Komentowanie bieżacych zdarzeń gospodarczych (w szczeg lności dotyczacych polskiej gospodarki i rynku
pracy).
1
1. Przedmiot, metodologia i matematyzacja ekonomii
Ekonomia, podobnie jak psychologia i socjologia, należy do nauk spolecznych. Zajmuje sie badaniami
dotyczacymi czlowieka. Jest to nauka, kt ra analizuje, opiniuje i stawia diagnozy dotyczace zachowań, proces w,
zjawisk gospodarczych, a wiec proces w, kt re zwiazane sa z produkcja, wytwarzaniem i dystrybucja d br
materialnych, intelektualnych i innych.
ZASOBY POTRZEBY
(np.środki produkcji, (np. egzystencjalne)
<
surowce)
PODAŻ POPYT
Ekonomia
Ekonomia pozytywna Ekonomia normatywna
opisuje zjawiska gospodarcze stawia diagnozy oraz zalecenia,
i zależności miedzy r żnymi procesami normuje jak powinno sie postepować
Ekonomia
Statyka Dynamika
podejście kr tkookresowe do badania proces w podejście dlugookresowe do badania
gospodarczych, ujmuje strukture zjawisk proces w gospodarczych, zmienne
ekonomicznych, wartości strukturalne ekonomiczne sa zmiennymi zależnymi od czasu
Ekonomia
Mikroekonomia Makroekonomia
bada zjawiska gospodarcze dotyczace takich ujmuje procesy gospodarcze w pewna calość,
podmiot w jak konsumenci, producenci, zwykle w obrebie struktur państwa.
ich relacje miedzy soba. Zwykle analizuje Analizuje w dlugim okresie czasu
w kr tkim okresie czasu zjawiska gospodarcze. zjawiska gospodarcze
Zmienne mikroekonomiczne sa Zmienne makroekonomiczne sa
niezależne od czasu zmiennymi dynamicznymi
Ekonomia matematyczna jest to spos b opisu wykorzystujacy narzedzia matematyczne, strukture
matematyki do badania proces w gospodarczych.
Od wiek w mamy do czynienia z matematyzacja nauk. W pierwszej kolejności dokonala sie matematyzacja
nauk przyrodniczych, nastepnie nauk technicznych, a na samym końcu nauk spolecznych, a nawet
humanistycznych. Można wyr żnić trzy poziomy matematyzacji nauki:
1. Matematyzacja rezultatu - najprostszy poziom matematyzacji, mierzenie rezultatu
2. Matematyzacja metod poznawczych danej nauki - stosowanie metod przynależnych matematyce innej
dyscyplinie naukowej
3. Matematyzacja danej dyscypliny naukowej - polega na upodabnianiu struktury danej nauki do struktury
matematyki. Przyjmowane sa pojecia pierwotne i poprzez metody dedukcyjne wyciagane sa wnioski dotyczace
danej dyscypliny naukowej. Matematyzacja to wyposażanie w aparat matematyczny danych dyscyplin.
2
Ekonomia matematyczna to budowanie modeli matematycznych proces w gospodarczych, kt re
polega na wyborze pewnych poje ć pierwotnych, pewnych zmiennych ekonomicznych i przypisaniu im
obiekt w matematycznych (o ustalonych wlasnościach wynikajacych z matematyki) i na stosowaniu regul
metodologicznych przynależnych matematyce po to, żeby uzyskiwać wnioski dotyczace badanego procesu czy
zjawiska ekonomicznego.
Historycznie rzecz ujmujac w matematyzacji ekonomii możemy wyr żnić nastepujace okresy:
1. okres marginalistyczny - oparty przede wszystkim na przyrostach i rachunku r żniczkowym zostal
zapoczatkowany przez Augusta Cournot, matematyka i ekonomiste fransukiego, kt ry w 1838 roku opublikowal
dzielo Badania nad zasadami matematycznymi teorii bogactwa . Nowość podejścia Cournot polegala na
tym, że jako pierwszy wprowadzil ciagle zmienne ekonomiczne, zależności funkcyjne miedzy tymi zmiennymi
i zapoczatkowal stosowanie regul matematycznych do wyciagania wniosk w dla modelowanej rzeczywistości
ekonomicznej.
2. ostatnie ćwierćwiecze XIX wieku to tzw. szkola lozańska w ekonomii (jej dw ch najwybitniejszych
przedstawicieli to Leon Walras oraz Vilfredo Pareto). Szkola lozańska dala nowoczesne podstawy, stosowane do
chwili obecnej, teorii wyboru konsumenta, teorii firmy oraz r wnowagi rynkowej.
3. poczawszy od lat 40. XX wieku przy badaniu zjawisk ekonomicznych wykorzystywano takie
dzialy matematyki jak teoria mnogości, programowanie liniowe i nieliniowe, analiza wypukla, teoria gier.
Najwybitniejsze postacie zwiazane z tym okresem to John von Neumann, Kenneth Arrow, John Nash oraz
Wasyl Leontiew.
4. ostatnie 30-40 lat XX wieku to intensywny rozw j modeli matematycznych wzrostu gospodarczego
i wyrafinowanej w sensie matematycznym teorii r wnowagi. Modele wzrostu gospodarczego wykorzystuja
matematyczna teorie sterowania zar wno deterministyczna jak i stochastyczna. Modele r wnowagi rynkowej
wykorzystuja zaawansowana topologie i analize nieliniowa (multifunkcje, teorie punktu stalego). Osoby zwiazane
z tym okresem to Robert Lucas oraz Paul Romer.
5. ostatnim etapem, kt ry mieści sie w szeroko rozumianej ekonomii matematycznej jest
matematyka finansowa (wycena instrument w finansowych, budowa optymalnych portfeli inwestycyjnych, etc.).
Najwybitniejsze postacie zaslużone dla tego okresu to Myron Scholes, Fischer Black, Harry Markowitz.
Nieco innym zastosowaniem aparatu matematycznego w naukach ekonomicznych jest dziedzina zwana
ekonometria. Wykorzystuje ona przede wszystkim statystyke matematyczna. Na podstawie danych
empirycznych z przeszlości ekonometria prognozuje zachowanie sie proces w gospodarczych metodami
statystyki.
3
2. Wybrane modele teorii konsumenta
Przy modelowaniu zjawisk ekonomicznych staramy sie uwzgledniać najistotniejsze cechy danego zjawiska,
kt re maja zasadniczy na nie wplyw. Model matematyczny procesu ekonomicznego jest w gruncie rzeczy
modelem myślowym (mentalnym) opisywanej rzeczywistości ekonomicznej, do opisu kt rego stosujemy aparat
matematyczny. Wyciagane wnioski z tego modelu sa konfrontowane z modelowana rzeczywistościa i model jest
na tyle dobry, na ile wyciagane z niego wnioski pokrywaja sie z rzeczywistościa. Rzeczywistość ekonomiczna
jest bardzo zlożona i jej modelowanie musi uwzgledniać na og l nieliczne, ale istotne szczeg ly. Model zawsze
upraszcza modelowana rzeczywistość ekonomiczna. Modelowanie rzeczywistości ekonomicznej jest niezmiernie
trudne z tego wzgledu, że jest to de facto modelowanie zachowań ludzkich. W tych samych warunkach
zachowania r żnych ludzi moga być ze soba nawet wzajemnie sprzeczne. Model absolutnie nie może oderwać
sie od opisywanej rzeczywistości, bo inaczej sluży sam tylko sobie, a nie temu, czemu powinien slużyć.
W teorii wyboru konsumenta modelowanym podmiotem jest konsument. Przez konsumenta rozumieć
bedziemy nie pojedynczego czlowieka, lecz zwykle gospodarstwo domowe zwiazane wsp lnymi celami
i wsp lnymi ograniczeniami. Przez producenta rozumieć bedziemy zar wno pojedynczego wytw rce
(rzemieślnik, szewc, piekarz, rodzinne gospodarstwo rolne) jak i korporacje miedzynarodowa.
Modelujac zachowanie konsumenta nie interesuje nas skad sie biora towary na rynku. Zakladamy, że
konsument ma nieograniczony dostep do towar w (ograniczaja to tylko jego wlasne ograniczenia). Zakladamy,
że na rynku mamy skończona ilość n towar w, każdy towar jest doskonale podzielny i mierzalny. Niech wektor
n
x = (x1, ..., xn) " oznacza pewien koszyk towar w (w sensie ilościowym).
+
n
Niech funkcja d oznacza metryke w zbiorze postaci d(x1, x2) = max |x1 - x2| dla dowolnych koszyk w
+ i i
1d"id"n
n
x1 = (x1, x2, ..., x1), x2 = (x2, x2, ..., x2). Pare ( , d) nazywamy przestrzenia towar w. Cena wzgledna to
1 2 n 1 2 n +
por wnanie wszystkich innych cen do ceny wzorcowego jednego towaru. Odleglość d(x, 0) opisuje bogactwo
posiadacza koszyka X.
Zakladać bedziemy, że konsument jest charakteryzowany trzema (a w zasadzie dwoma) kategoriami:
n
1. Zbiorem konsumpcyjnym X - zakladamy, że X �" jest taki, że D " X, jest wypukly i domkniety
+
n
w ( , d).Faktycznie jest to zbi r możliwości zakupowych dla konsumenta. Teoretycznie wszystkie koszyki sa
+
dla niego dostepne.
2. Zbiorem jego ograniczeń B �" X - jesto to zbi r jego ograniczeń budżetowych. O zbiorze tym zakladamy
to co o zbiorze konsumpcyjnym X oraz dodatkowo, że B jest ograniczony.
3. Relacja jego preferencji - jest to dowolny podzbi r iloczynu kartezjańskiego X X. Zapis X1 X2
rozumiemy, że koszyk X1 jest niegorszy niż koszyk X2 lub koszyk X2 jest nielepszy niż koszyk X1.
Definicja
Pare (X, ) nazywamy polem preferencji konsumenta.
Uwaga
Relacje preferencji konsumenta nazywamy także relacja slabej preferencji.
Definicja
Niech dane bedzie pole preferencji (X, ). Relacje taka, że "x1 x1 x2 �!�! x1 x2 '" Ź(x2 x1)
,x2"X
nazywamy relacja ścislej preferencji indukowana (wyznaczana) przez relacje preferencji . Zapis x1 x2
rozumiemy, że koszyk x1 jest koszykiem lepszym od koszyka x2 lub koszyk x2 jest koszykiem gorszym od
koszyka x1.
4
Definicja
Niech dane bedzie pole preferencji (X, ). Relacje <" taka, że "x1 (x1 <" x2 �!�! x1 x2 '" x2 x1)
,x2"X
nazywamy relacja indyferencji lub obojetności.
Uwaga
Zapis x1 <" x2 rozumiemy, że koszyki x1, x2 sa tak samo dobre dla konsumenta.
Definicja
Niech dane bedzie pole preferencji (X, ) oraz pewien koszyk x0 " X. Definiujemy nastepujace zbiory:
(x0) = {x " X : x x0} - zbi r koszyk w niegorszych od koszyka x0
(x0) = {x " X : x x0} - zbi r koszyk w lepszych od koszyka x0
(x0) = {x " X : x x0} - zbi r koszyk w nielepszych od koszyka x0
z" (x0) = {x " X : x z" x0} - zbi r koszyk w gorszych od koszyka x0
<" (x0) = {x " X : x <" x0} - zbi r koszyk w indyferentnych wobec koszyka x0.
Podstawowe zalożenia jakie czynimy wobec relacji preferencji konsumenta. Niech dane bedzie pole preferencji
(X, ).
Z1 o relacji preferencji konsumenta zakladamy, że jest zupelna, tzn. "x1 (x1 x2 (" x2 x1).
,x2"X
Z2 (przechodniość) o relacji preferencji konsumenta zakladamy, że jest przechodnia, tzn.
"x1 (x1 x2 '" x2 x3 =�! x1 x3).
,x2"X
Z3 (lokalne nienasycenie konsumenta) niech dane bedzie pole preferencji (X, ). Zakladamy, że relacja ta
spelnia warunek zwany warunkiem lokalnego nienasycenia postaci
"x0 "�>0 "x"K(x0 x > x0.
"X ,�))"X
Zalożenie to wyklucza grube preferencje i z ekonomicznego punktu widzenia potwierdza regule
homo economicus. Zalożenie lokalnej nienasyconości Z3 możemy zastapić nieco silniejszym zalożeniem
monotoniczności preferencji.
Z3 (monotoniczność relacji preferencji) m wimy, że relacja preferencji jest monotoniczna, gdy spelnia
warunki:
"x1 (x1 e" x2) =�! x1 x2
,x2"X
"x1 (x1 > x2) =�! x1 x2.
,x2"X
Zalożenie to odzwierciedla regule homo economicus.
Z4 (ciaglość) zakladamy, że relacja preferencji jest ciagla, tzn. spelnia warunek
"x0 zbiory (x0) i (x0) sa domkniete.
"X
Z5 (wypuklość preferencji) niech dane bedzie pole preferencji (X, )
a. m wimy, że relacja preferencji konsumenta (X, ) jest wypukla, gdy spelnia warunek
"x1 "t"[0,1] (x1 x2 =�! t � x1 + (1 - t) � x2 x2)
,x2"X
b. m wimy, że relacja preferencji konsumenta (X, ) jest ściśle wypukla, gdy spelnia warunek
"x1 "t"(0,1) (x1 x2 =�! t � x1 + (1 - t) � x2 x2).
,x2"X
Z ekonomicznego punktu widzenia zalożenie wypuklości oznacza, że konsument bardziej preferuje koszyki
pośrednie miedzy koszykami skrajnymi.
5
Twierdzenie
Dla dowolnych x1, x2 " X mamy (x1 x2 (" x2 x1 (" x1 <" x2).
Twierdzenie
Niech dane bedzie pole preferencji konsumenta (X, ). Jeżeli relacja preferencji spelnia zalożenia
Z1, Z2, to odpowiadajaca jej relacja obojetności <" jest relacja r wnoważności, tzn. jest zwrotne, symetryczna
i przechodnia.
Wniosek
Zbi r konsumpcyjny X relacja indyferencji rozklada na zbiory rozlaczne koszyk w towar w.
Uwaga
Zalożenie ciaglości relacji preferencji z ekonomicznego punktu widzenia oznacza, że konsument majac dwa
dowolnie bliskie koszyki bedzie je tak samo preferowal wzgledem jakiegoś innego odleglejszego koszyka.
Z matematycznego punktu widzenia oznacza to, że jeżeli dany jest ciag koszyk w yn x0 '"yn y =�! y x0.
6
Funkcja użyteczności
n
Od tej pory zakladać bedziemy, że zbi r konsumpcyjny X = .
+
Definicja
n n
Niech dane bedzie pole preferncji ( , ). Funkcje u : taka, że
+ +
"x1 x1 x2 �!�! u(x1) e" u(x2) nazywamy funkcja użyteczności wyznaczona przez relacje preferencji.
,x2" n
+
Przy zalożeniu Z1 i Z2 z definicji funkcji użyteczności wnosimy, że "x"<"(x0 u(x) = constans = u(x0).
)
Uwaga
Dla danej relacji preferencji istnieje nieskończenie wiele odpowiadajacych jej funkcji użyteczności. Na
n n
przyklad, jeśli f : jest funkcja rosnaca, to w wczas f(u(x)) : też jest funkcja użyteczności
+
odpowiadajaca ustalonej relacji preferencji.
Twierdzenie Debreu (zwiazek miedzy ciaglościa preferencji a ciaglościa funkcji użyteczności)
n
Niech dane bedzie pole preferencji ( , ), gdzie relacja preferencji spelnia zalożenia Z1, Z2, Z3, Z4.
+
n
W wczas odpowiadajaca jej funkcja użyteczności u : jest ciagla.
+
Dow d
n n
Wez
my dowolny chwilowo ustalony koszyk x " i koszyk e = [1, ..., 1] " . Niech u(x) � e <" x.
+ +
n
Z zalożeń Z1, Z2 mamy, że zbi r obojetności dzieli przestrzeń towar w na 3 cze ści. Zatem u : . Przy
+
+
zalożeniu, że obszaru obojetności nie sa grube (co zachodzi na mocy Z3) istnieje dokladnie jedna wartość u(x).
Pokażemy, że tak zdefiniowana funkcja u jest funkcja użyteczności odpowiadajaca relacji preferencji. Wez
my
n
dwa dowolne koszyki towar w x1, x2 " takie, że x1 x2 �!�! u(x1) � e u(x2) � e �!�! u(x1) e" u(x2).
+
Dla dowodu ciaglości wez
my dowolny przedzial otwarty (ą, ) �" . Wtedy
n
u-1[(ą, )] = {x " : ą < u(x) < }, czyli ąe z" u(x) � e z" e. Zatem
+
n
u-1[(ą, )] = {x " : ąe z" x z" e}.
+
n n
Z zalożenia ciaglości relacji mamy, że {x " : x ąe} = (ąe). Wiadomo, że {x " : e x} =z" ( e).
+ +
(ąe) jest dopelnieniem (ąe). Przeciwobraz jako iloczyn zbior w otwartych jest otwarty, wiec funkcja
użyteczności u skonstruowana powyżej jest funkcja ciagla.
7
Uwaga
Oryginalne twierdzenie Debreu zostalo udowodnione bez zalożenia monotoniczności preferencji.
Uwaga
Funkcja użyteczności odpowiadajaca danej relacji preferencji nie jest wyznaczona jednoznacznie skad
wnosimy, że sama wartość funkcji użyteczności nie informuje konsumenta o jego poziomie zadowolenia z danego
koszyka, np. u1(x) = u(x) + 1000.
Uwaga
Funkcja użyteczności posiada nastepujace wlasności wynikajace z zalożeń o teorii relacji preferencji:
1. Ciaglość (na mocy twierdzenia Debreu).
n
2. Monotoniczność - funckja użyteczności u : odpowiadajaca relacji preferencji jest rosnaca
+
wtedy i tylko wtedy, gdy relacja preferencji jest monotoniczna (Z3).
3. Wkleslość
a. Funkcja użyteczności u jest quasi-wklesla wtedy i tylko wtedy, gdy odpowiadajaca jej relacja preferencji
jest wypukla (Z5).
n
u : jest wklesla wtedy i tylko wtedy, gdy
+
"x1 ""[0,1] u(x1 + (1 - )x2) e"  � u(x1) + (1 - ) � u(x2).
,x2" n
+
n
u : jest quasi-wklesla wtedy i tylko wtedy, gdy
+
"x1 ""[0,1] u(x1 + (1 - )x2) e" min{u(x1), u(x2)}.
,x2" n
+
b. Funkcja użyteczności u jest ściśle quasi-wklesla wtedy i tylko wtedy, gdy odpowiadajaca jej relacja
preferencji jest ściśle wypukla (b. Z5).
n
u : jest ściśle quasi-wklesla wtedy i tylko wtedy, gdy
+
"x1 ""(0,1) u(x1 + (1 - )x2) > min{u(x1), u(x2)}.
,x2" n
+
Definicja
n
Niech dany bedzie zbi r konsumpcyjny i funkcja użyteczności u konsumenta. O funkcji użyteczności
+
"u(x0)
zakladać bedziemy, że jest r żniczkowalna (u istnieje). Wyrażenie dla i = 1, ..., n nazywamy
"xi
użytecznościa krańcowa koszyka x0 wzgledem i-tego towaru.
Uwaga
"u
Można r wnież definiować użyteczność krańcowa używajac przyrost w .
"xi
Z ekonomicznego punktu widzenia użyteczność krańcowa informuje konsumenta (w przybliżeniu) jak zmienia
sie jego użyteczność jeśli dany koszyk x0 zostanie powiekszony o jedna jednostke i-tego towaru.
Twierdzenie (prawo Gossena)
"u
Z uczynionych zalożeń o preferencjach użyteczność krańcowa jest malejaca, tzn. .
"xi
Z ekonomicznego punktu widzenia prawo Gossena m wi nam, że zwiekszajac ilość i-tego towaru konsument
traci zadowolenie, tzn. z każdej dodatkowej jednostki kolożonej do koszyka jest mniej zadowolony.
Definicja
n
Niech dany bedzie zbi r konsumpcyjny i funkcja użyteczności konsumenta u. Wyrażenie
+
"u(x0)
"xi
MRSij(x0) := nazywamy krańcowa stopa substytucji (zamiany) i-tego towaru na j-ty w koszyku x0.
"u(x0)
"xj
8
Przyk ad
Rozważmy przypadek szczeg lny n = 2 i utw rzmy r żniczke zupelna funkcji u = u(x1, x2) w punkcie
x0 = (x0, x0) dla przyrost w "x1, "x2.
1 2
"u(x0) "u(x0)
du(x0, "x1, "x2) = "x1 + "x2
"x1 "x2
"u = u(x1 + "x1, x0 + "x2) - u(x0) H" du(x0, "x1, "x2)
0 2
"u 0
du 0
"u(x0)
"x1
"x 2 � (-"x1).
"u(x0)
"x2
Z ekonomicznego punktu widzenia krańcowa stopa substytucji MRS i-tego towaru przez j-ty towar oznacza
ilość jednostek j-tego towaru jaka trzeba dolożyć do rozpatrywanego koszyka po odjeciu jednej jednostki i-tego
towaru aby poziom użyteczności konsumenta nie ulegl zmianie.
Przyk ad
Poniżej przedstawione sa pewne typy funkcji użyteczności:
Typ Funkcja Warunki
n n
i
multiplikatywna u(x) = a � xą a, ąi > 0, ąi < 1
i
i=1 i=1
n
i
addytywny u(x) = aix ai > 0, " (0, 1)
i
i=1 .
n
logarytmiczny u(x) = ci � ln xi ci > 0, xi > 0
i=1
ł
n �
CES (Constant Elastisity
u(x) = bix� bi > 0, �, ł " (0, 1)
i
of Substitution) i=1
Definicja
Wez
my pod uwage pewna zależność funkcyjna y = f(x). Niech x = x0 (x, y " ) i nadajmy pewien przyrost
zmiennej niezależnej x r wny "x. Poziomowi x0 odpowiada poziom y0 = f(x0). Niech "y = f(x0+"x)-f(x0).
"y
y0 f(x0+"x)-f(x0)
x0 ozn.
Wyrażenie = � = Ef,x(x0, "x) nazywamy elastycznościa przedzialowa f wzgledem x.
"x
"x f(x0)
x0
x0 ozn.
Granica lim Ef,x(x0, "x) = f (x0) � = Ef,x(x0) nazywamy elastycznościa punktowa zmiennej
f(x0)
"x00
f wzgledem zmiennej x. Jeżeli zmienna niezależna zmienimy o p% wzgledem poziomu x0, a konsekwencja
tej zmiany bedzie zmiana q% zmiennej zależnej wzgledem poziomu y0, to w wczas mamy zależność
q% = Ep,x(x, "x) � p%. Wynika stad, że elastyczność odzwierciedla jednoprocentowa zmiane zmiennej x dla
zmiennej y.
Uwaga
Jeżeli mamy do czynienia z funkcja rzeczywista wielu zmiennych, to w wczas m wimy o elastycznościach
czastkowych. Jeżeli mamy do czynienia z funkcja wektorowa wielu zmiennych, tzn. F = (f1, ..., fm),
x = (x1, ..., xn), to Ef ,xj nosi nazwe elastyczności krzyżowej.
i
9
Zachowanie konsumenta na rynku konkurencyjnym
Rozważać bedziemy zachowanie konsumenta na rynku konkurencyjnym (czystej konkurencji), tzn. na rynku
najbardziej pożadanym ze wzgledu na efektywność. M wimy, że mamy do czynienia z rynkiem konkurencyjnym,
gdy:
1. Na rynku tym jest dostateczna ilość podmiot w, kt re nie maja żadnego wplywu na cene (każdy podmiot
jest cenobiorca).
2. Otoczenie rynkowe (np. przepisy administracyjno-prawne) jednakowo oddzialywuje na ten rynek.
3. Nie ma barier wejścia ani wycofania z rynku (poza cena).
Zakladać bedziemy, że konsument jest wyposażony:
n
1. W sw j zbi r konsumpcyjny X = .
+
2. W swoja funkcje użyteczności (relacje preferencji) spelniajaca standardowe zalożenia (ciaglość, ścisla
monotoniczność, ścisla quasi-wkleslość).
3. W pewien doch d I > 0 (doch d wyznacza zbi r dopuszczalny albo zbi r ograniczeń brzegowych
modelowanego konsumenta).
Pierwsze zadanie konsumenta (maksymalizacja użyteczności)
Rozważmy rynek konkurencyjny, na kt rym jest skończona ilość n towar w. Na rynku tym uksztaltowal
sie wektor cen p = (p1, ..., pn) > 0. W zwiazku z tym zbi r ograniczeń budżetowych konsumenta ma postać
n
B = {x " : p ć% x d" I}, np. dla n = 2 p1x1 + p2x2 = I jest linia ograniczenia budżetowego dla 2 towar w.
+
Pierwsze zadanie konsumenta to z matematycznego punktu widzenia zadanie programowania
matematycznego postaci maxu(x). Z naszych zalożeń wynika, że zbi r ograniczeń budżetowych B jest domkniety
x"B
i ograniczony, a funkcja użyteczności konsumenta jest ciagla, a wiec z twierdzenia Weierstrassa wynika, że istnieje
koszyk x" " B taki, że u(x") = maxu(x).
x"B
10
O funkcji użyteczności u zalożyliśmy, że jest ściśle quasi-wklesla. Na tej podstawie wnosimy, że istnieje
dokladnie jeden koszyk x" realizujacy maksimum funkcji użyteczności. Z monotoniczności funkcji u wnosimy,
n
że koszyk x" znajduje sie na hiperplaszczyz
nie ograniczenia budżetowego. Zbi r {x " : u(x) = const}
+
nazywamy zbiorem obojetności (w przypadku dwuwymiarowym sa to krzywe obojetności). Zbiory obojetności
sa hiperplaszczyznami.
Efekt Dela polega na tym, że nowy inwestor powoduje obawe obecnych pracodawc w przed utrata swoich
robotnik w (wzrost plac) oraz wzrost ilości miejsc pracy także u kooperant w.
Przy uczynionych zalożeniach powyższe zadanie jest r wnoważne zadaniu programowania matematycznego
postaci max u(x). Z matematycznego punktu widzenia jest to zadanie na ekstremum warunkowe. Rozwiazanie
pć%x=I
tego zadania jest realizowane przez metode mnożnik w Lagrange a. Wykorzystujac twierdzenie Lagrange a
możemy napisać przy uczynionych zalożeniach warunek konieczny jak i dostateczny jaki spelnia koszyk
optymalny x".
Twierdzenie
Jeżeli sa spelnione zalożenia pierwszego zadania konsumenta i ponadto funkcja użyteczności tego konsumenta
jest r żniczkowalna w wczas x" jest koszykiem optymalnym wtedy i tylko wtedy gdy istnieje  > 0 taka, że
"u(x)
"
|x=x = pi
"xi
spelniony jest uklad r wnań dla i = 1, 2, ..., n. W tym przypadku tworzymy funkcje
p ć% x = I
"f
= 0
"x
Lagrange a L(x, ) = u(x) + (I - p ć% x). Warunek konieczny ma postać lub r wnoważnie
"f
= 0
"
ńł
"f
"u
�ł
= - p1 = 0
�ł
"x1 "x1
�ł
:
.
.
�ł
�ł
ół "f
= p ć% x
"
Popyt Marshalla (funkcje popytu Marshalla)
Jeżeli popatrzymy na rozwiazanie optymalne maksymalizacji użyteczności konsumenta jako na funkcje
zależna od wektora cen i dochodu konsumenta, to taka funkcje nazywamy funkcja popytu Marshalla (dla danego
konsumenta).
Jeżeli sumujemy popyty każdego konsumenta, to w wczas otrzymamy funkcje popytu Marshalla na danym
n+1
n
rynku. Dla p > 0, I > 0 mamy � : int �(p, I) = x", gdzie � = (�1, ..., �n), � oznacza popyt na
+ +
i-ty towar dla i = 1, ..., n, zaś x" jest to najlepszy koszyk dla konsumenta. Funkcja popytu Marshalla każdej
parze (p, I) przyporzadkowuje optymalny koszyk dla danego konsumenta.
Funkcja popytu Marshalla ma nastepujace wlasności:
1. Jest dodatnio jednorodna stopnia 0, tzn. "�>0 "p>0 "I>0 �(�p, �I) = �0�(p, I) = �(p, I), gdzie I oznacza
doch d. Z ekonomicznego punktu widzenia wlasność ta nosi nazwe braku iluzji pieniadza i oznacza, że popyt
konsumenta nie zależy od poziomu cen i dochodu, a zależy od ich struktury. Dobrym przykladem na ta wlasność
jest np. zamiana walut narodowych na euro (pod warunkiem, że zostaly uczciwie przeliczone ceny i place) lub
denominacja zlot wki. Mamy (p) ć% x = �I �!�! p ć% x = I.
2. Jest ciagla.
3. Nie zależy od wyboru postaci funkcji użyteczności, a tylko od relacji preferencji wyznaczajacej funkcje
użyteczności.
11
Zadanie
Wyznaczyć funkcje popytu Marshalla dla konsumenta, kt ry wyposażony jest w funkcje użyteczności typu
Cobba-Douglasa postaci u(x1, x2) = axąx1-ą dla a > 0, ą " (0, 1) oraz w doch d I > 0. Sprawdzić, że tak
1 2
zdefiniowana funkcja użyteczności spelania zalożenia żadane w pierwszym zadaniu konsumenta.
Z tego co wiadomo optymalny koszyk konsumenta x" = (x", x") spelnia uklad r wnań:
1 2
ńł
"u
�ł
�ł = aąxą-1x1-ą = p1
"u(x")
�ł "x1 1 2
= pi
"xi "u
dla i = 1, 2 czyli
= a � (1 - ą) � xąx-ą = p2
1 2
"x2
�ł
p ć% x" = I
�ł
ół
x1p1 + x2p2 = I
p1 ąx2
=
p2 (1-ą)x1
ą
x1p1 = � p2x2
1-ą
ą
� p2x2 + x2p2 = I
1-ą
(1-ą)�I
I I ąI
x2 = = = oraz x1 = .
1
ą
p2 p1
+1 �p2 1-ą �p2
( )
1-ą
ąI
�1(p1, p2, I) =
p1
Funkcja popytu Marshalla tego klienta ma postać .
(1-ą)�I
�2(p1, p2, I) =
p2
Funkcja Cobba-Douglasa spelnia zalożenia funkcji popytu Marshalla. Istotnie
1. Niech � > 0, p > 0, I > 0. W wczas
ą��I ąI
�1(�p1, �p2, �I) = = = �1(p1, p2, I) oraz
�p1 p1
(1-ą)��I (1-ą)�I
�2(�p1, �p2, �I) = = = �2(p1, p2, I).
�p2 p2
2. Ciaglość wynika z ciaglości funkcji podstawowych i dzialań na funkcjach ciaglych.
3. Nie zależy od wyboru postaci funkcji użyteczności, a tylko od relacji preferencji wyznaczajacej funkcje
użyteczności.
Zadanie
Wyznaczyć funkcje popytu Marshalla dla konsumenta, kt ry wyposażony jest w nastepujace funkcje
użyteczności:
" "
a. u(x1, x2) = x1 + x2
1
ł
b. u(x1, x2) = (xł + xł) , ł " (0, 1)
1 2
oraz w doch d I > 0.
Sprawdzić, że tak zdefiniowane funkcje użyteczności spelaniaja zalożenia żadane w pierwszym zadaniu
konsumenta.
Ad a.
ńł
"u 1
�ł "
= = p1
�ł
"x1 2 x1
"u(x") �ł
= pi
"xi "u 1
dla i = 1, 2 czyli " . Stad
= = p2
"x2 2 x2
�ł
p ć% x" = I
�ł
ół
x1p1 + x2p2 = I
"
x1 p2
"
=
x2 p1
x1 p2
2
=
x2 1
p2
p2
2
x1 = � x2
p2
1
p2
2
x2 � + p2 = I
p1
p1I
x2 =
p2+p1p2
2
p2I
p2I
2
x1 = = .
p1p2+p2p2 p1p2+p2
2 1 1
ńł
p2I
�ł
�1(p1, p2, I) =
p1p2+p2
1
Zatem funkcja popytu Marshalla dla tego przypadku ma postać . Sprawdzimy,
p1I
ół
�2(p1, p2, I) =
p2+p1p2
2
że tak zdefiniowana funkcja spelnia zalożenia funkcji popytu Marshalla. Mamy
12
1. Niech � > 0, p > 0, I > 0. W wczas
�p2��I p2I
�1(�p1, �p2, �I) = = = �1(p1, p2, I)
�p1��p2+(�p1)2 p1p2+p2
1
�p1��I p1I
�2(�p1, �p2, �I) = = = �2(p1, p2, I).
(�p2)2+�p1��p2 2
p2+p1p2
2. Ciaglość wynika z ciaglości funkcji podstawowych i dzialaniach na funkcjach ciaglych.
3. Nie zależy od wyboru postaci funkcji użyteczności, a tylko od relacji preferencji wyznaczajacej funkcje
użyteczności.
Ad b.
Mamy
"u(x")
= pi
"xi
dla i = 1, 2 czyli
p ć% x" = I
ńł ńł
1 1
-1 -1
"u 1 "u
ł
�ł ł
= � ł � (xł + xł) � xł-1 = p1 �ł "x1 = xł-1 (xł + xł) = p1
�ł �ł
1 2 1 1 1 2
�ł "x1 ł �ł
1 1
-1 -1
"u 1 "u
ł ł
= . Stad
= � ł � (xł + xł) � xł-1 = p2 �ł "x2 = xł-1 � (xł + xł) = p2
1 2 2 2 1 2
"x2 ł
�ł
�ł �ł
ół ół
x1p1 + x2p2 = I x1p1 + x2p2 = I
ł-1
x1 p1
=
x2 p2
1
p1 p1ł-1
ł-1
x1 = � x2 = � x2
1
p2
p2ł-1
1
p1ł-1
x2 � p2 + � p1 = I
1
p2ł-1
ł ł
p2ł-1 +p1ł-1
x2 � = I
1
p2ł-1
1
p2ł-1
x2 = ł ł � I
p2ł-1 +p1ł-1
1
p1ł-1
x1 = ł ł � I.
p2ł-1 +p1ł-1
ńł
1
�ł
p1ł-1
�ł
�ł
�1(p1, p2, I) = ł ł � I
�ł
p2ł-1 +p1ł-1
Stad otrzymujemy . Sprawdzamy, że tak otrzymana funkcja spelnia
1
�ł
p2ł-1
�ł
�ł
�2(p1, p2, I) = ł ł � I
ół
p2ł-1 +p1ł-1
zalożenia funkcji popytu Marshalla. Mamy
1. Niech � > 0, p > 0, I > 0. W wczas
1
1 1 1
ł-1
p1ł-1
(�p1)ł-1 � �p1 ł-1
�1(�p1, �p2, �I) = ł ł � �I = � �I = ł ł � I = �1(p1, p2, I)
ł ł ł
(�p2)ł-1 +(�p1)ł-1 � ł-1 � p2 ł-1 +p1 ł-1
p2ł-1 +p1ł-1
1
1 1 1
ł-1
p2ł-1
(�p2)ł-1 � �p2 ł-1
�2(�p1, �p2, �I) = ł ł � �I = � �I = ł ł � I = �1(p1, p2, I).
ł ł ł
(�p2)ł-1 +(�p1)ł-1 � ł-1 � p2 ł-1 +p1 ł-1
p2ł-1 +p1ł-1
2. Ciaglość wynika z ciaglości funkcji podstawowych i dzialaniach na funkcjach ciaglych.
3. Nie zależy od wyboru postaci funkcji użyteczności, a tylko od relacji preferencji wyznaczajacej funkcje
użyteczności.
13
Funkcja użyteczności pośredniej
Jeżeli funkcja u jest funkcja użyteczności rozpatrzywanego konsumenta, a funkcja � funkcja popytu Marshalla
n+1
tego konsumenta, w wczas funkcja v : int (p, I) v(p, I) = u(�(p, I)) " nosi nazwe funkcji
+
pośredniej użyteczności konsumenta. Inaczej m wiac, funkcja pośredniej użyteczności dowolnej parze cen
i dochodu przyporzadkowywuje maksymalna użyteczność konsumenta.
Funkcja użyteczności pośredniej jest:
1. Funkcja ciagla swoich argument w.
2. Funkcja dodatnio jednorodna stopnia zerowego.
3. Funkcja rosnaca wzgledem dochodu.
4. Funkcja malejaca wzgledem cen.
5. Jeżeli dodatkowo jest funkcja r żniczkowalna, w wczas jest spelniona tzw. tożsamość Roy a:
"v(p,I)
"pi
�i(p, I) = - dla i = 1, ..., n.
"v(p,I)
"I
Majac funkcje użyteczności pośredniej możemy wyznaczyć popyt na i-ty towar.
Definicja
"v
Wyrażenie nazywamy krańcowa użytecznościa dochodu konsumenta i w przybliżeniu informuje ona nas
"I
o ile zmieni sie maksymalna użyteczność konsumenta, gdy jego doch d wzrośnie o 1 jednostke pienie żna.
Definicja
"v
Wyrażenie dla i = 1, ..., n nazywamy krańcowa użytecznościa konsumenta wzgledem ceny i-tego towaru.
"pi
Informuje ona nas w przybliżeniu o ile zmieni sie maksymlana użyteczność konsumenta, gdy cena i-tego towaru
wzrośnie o 1 jednostke pienie żna.
Zadanie
Wyznaczyć pośrednia użyteczność konsumenta w poprzednio rozpatrzywanych ćwiczeniach i sprawdzić na
tych przykladach jej wlasności.
a. Funkcja użyteczności Cobba-Douglasa u(x1, x2) = axąx1-ą.
1 2
ąI
�1(p1, p2, I) =
p1
Wiadomo, że . Zatem
(1-ą)�I
�2(p1, p2, I) =
p2
ą 1-ą ą
(1-ą)�I ąą�(1-ą)1-ą
ąI ąp2 1-ą
v(p, I) = u(�1, �2) = a � � = a � I � = a � I � � .
p1 p2 (1-ą)�p1 p2
pą�p1-ą
1 2
Sprawdzimy wlasności tej funkcji. Mamy
1. Ciaglość funkcji wynika z ciaglości funkcji podstawowych i dzialaniach na funkcjach ciaglych.
2. Niech  > 0. W wczas
ą ą
ą�p2 ąp2
1-ą 1-ą
v(p1, p2, I) = a � I � � = a � I � � = v(p1, p2, I).
(1-ą)�p1 p2 (1-ą)�p1 p2
3. Niech I1 > I2 e" 0 oraz p > 0. W wczas
ą ą
ąp2 1-ą ąp2 1-ą
v(p1, p2, I1) = a � I1 � � > a � I2 � � = v(p1, p2, I2).
(1-ą)�p1 p2 (1-ą)�p1 p2
4. Niech p = (p1, p2 ) > p" = (p", p") > 0 oraz I > 0. Wtedy
1 2
ą ą
ąp2
1-ą ą 1
v(p1, p2, I) = a � I � � = a � I � � (1 - ą) � <
(1-ą)�p1 p2 1-ą
pą�p1-ą
1 2
ą
ą 1
< a � I � � (1 - ą) � = v(p", p", I).
1-ą
p"ą�p"1-ą 1 2
1 2
14
5. Dla sprawdzenia tożsamo ści Roy a mamy
ą-1 ą-1 ą+1
"v(p,I) ąp2 1-ą ąp2 ąp2 1
= a � I � ą � � � -(1-ą)�p = -ą2aI � �
2
"p1 (1-ą)�p1 p2 1-ą p1
1
"v(p,I)
1-ą
= (ą - 1) � pą-2 � a � I �
2
"p2 pą�(1-ą)ą
1
ą
"v(p,I) ąp2
1-ą
= a � �
"I (1-ą)�p1 p2
ą+1
ąp2 ą-1
1
ą-1 ą+1 -ą
-ą2aI� �
( )
1-ą p1
ąp2 1 ąp2 p2 ąI
�1(p, I) = - = ą2I � � � � =
ąp2 ą 1-ą 1-ą p1 (1-ą)�p1 1-ą p1
a� �
(1-ą)�p1 p2
1-ą
-ą
(ą-1)�pą-2�a�I�
2 pą�(1-ą)ą
ąp2 p2 (1-ą)�I
1-ą
1
�2(p, I) = - = (1 - ą) � pą-2 � I � � � = .
ąp2 ą 1-ą 2
pą�(1-ą)ą (1-ą)�p1 1-ą p2
1
a� �
(1-ą)�p1 p2
" "
b. Funkcja użyteczności u(x) = x1 + x2. Dla tej funkcji mamy
ńł
p2I
�ł
�1(p1, p2, I) =
p1p2+p2
1
. Stad
p1I
ół
�2(p1, p2, I) =
p2+p1p2
2
p2I p1I
v(p, I) = u(�1, �2) = + .
p1p2+p2 p2+p1p2
1 2
Sprawdzimy wlasności tej funkcji. Mamy
1. Ciaglość funkcji wynika z ciaglości funkcji podstawowych i dzialaniach na funkcjach ciaglych.
2. Niech  > 0. W wczas
p2�I p1�I p2I p1I
v(p1, p2, I) = + = + = v(p1, p2, I).
p1�p2+(p1)2 (p2)2+p1�p2 p1p2+p2 p2+p1p2
1 2
3. Niech I1 > I2 e" 0 oraz p > 0. W wczas
p2I1 p1I1 p2I2 p1I2
v(p1, p2, I1) = + > + = v(p1, p2, I2).
p1p2+p2 p2+p1p2 p1p2+p2 p2+p1p2
1 2 1 2
4. Niech p = (p1, p2) > p" = (p", p") > 0 oraz I > 0. Wtedy
1 2
p"I p"I
p2I p1I
2 1
v(p1, p2, I) = + < + = v(p", p", I).
p1p2+p2 p2+p1p2 p"p"+p"2 p"2+p"p" 1 2
1 2 1 2 1 2 1 2
5. Dla tożsamości Roy a mamy
1 1
- -
2 2 I� p2+p1p2
( )-Ip1p2
"v(p,I) p2I p2I�(p2+2p1) p1I 2
1 1
= � � - + � � =
"p1 2 p1p2+p2 (p1p2+p2)2 2 p2+p1p2 (p2+p1p2)2
1 1 2 2
(p2+2p1) p2
1
2
= � - +
"
"
2 3 " 3
p2I� p1p2+p2 I� p1� p2+p1p2
( ) ( )
1 2
1 1
- -
2 I� p1p2+p2 2
( )-p1p2I
"v(p,I) p2I 1 1 p1I p1I�(2p2+p1)
1
= � � + � � - =
2 2
"p2 2 p1p2+p2 2 p1p2+p2
p1p2+p2 p2+p1p2
1 ( ) 2 ( )
1 2
p2 (p1+2p2)
1
1
= � -
"
"
"
2 3 3
I� p2� p2+p1p2 p1I� p1p2+p2
( ) ( )
1 2
"v(p,I) p2 p1
1
"
= � +
"I p1p2+p2 p2+p1p2
2 I
1 2
p2 p2
(p2+2p1) p2+2p1
1 2
"
� - " +" 2 " - "
"
2
p2I� p1p2+p2 I� p1� p2+p1p2 p2� p1p2+p2 p1� p2+p1p2
( )3 " ( )3 " ( )3 " ( )3 p2I
1 2 1 2
�1(p, I) = - = =
p2 p1 p1p2+p2
1
p2 p1 +
1
"
� + p1p2+p2 p2+p1p2
1 2
2 I p1p2+p2 p2+p1p2
1 2
p2 p2
(p1+2p2) (p1+2p2)
1 1 1
� " - " " - "
2 " "
"
I� p2� p2+p1p2 p1I� p1p2+p2 p1� p1p2+p2 p2� p2+p1p2
( )3 ( )3 " ( )3 " ( )3 p1I
1 2 2 1
�2(p, I) = - = = .
p2 p1 p1p2+p2
2
p2 p1 +
1
"
� + p1p2+p2 p2+p1p2
1 2
2 I p1p2+p2 p2+p1p2
1 2
1
ł
c. Funkcja użyteczności u(x1, x2) = (xł + xł) . Dla tej funkcji mamy
1 2
ńł
1
�ł
p1ł-1
�ł
�ł
�1(p1, p2, I) = ł ł � I
�ł
p2ł-1 +p1ł-1
. Stad mamy
1
�ł
p2ł-1
�ł
�ł
�2(p1, p2, I) = ł ł � I
ół
p2ł-1 +p1ł-1
1
ł ł
1 1 ł
p1ł-1 p2ł-1
v(p, I) = u(�1, �2) = ł ł � I + ł ł � I .
p2ł-1 +p1ł-1 p2ł-1 +p1ł-1
Sprawdzimy wlasności tej funkcji:
15
1. Ciaglość funkcji wynika z ciaglości funkcji podstawowych i dzialaniach na funkcjach ciaglych.
2. Niech  > 0. W wczas
1
ł ł
1 1
ł
(p1)ł-1 (p2)ł-1
v(p1, p2, I) = ł ł � I + ł ł � I =
(p2)ł-1 +(p1)ł-1 (p2)ł-1 +(p1)ł-1
1
ł ł
1 1 ł
p1ł-1 p2ł-1
= ł ł � I + ł ł � I = v(p1, p2, I).
p2ł-1 +p1ł-1 p2ł-1 +p1ł-1
3. Niech I1 > I2 e" 0 oraz p > 0. W wczas
1
ł ł
1 1 ł
p1ł-1 p2ł-1
v(p1, p2, I1) = ł ł � I1 + ł ł � I1 >
p2ł-1 +p1ł-1 p2ł-1 +p1ł-1
1
ł ł
1 1 ł
p1ł-1 p2ł-1
> ł ł � I2 + ł ł � I2 = v(p1, p2, I2).
p2ł-1 +p1ł-1 p2ł-1 +p1ł-1
4. Niech p = (p1, p2) > p" = (p", p") > 0 oraz I > 0. Wtedy
1 2
1
ł ł
1 1 ł
p1ł-1 p2ł-1
v(p1, p2, I) = ł ł � I + ł ł � I <
p2ł-1 +p1ł-1 p2ł-1 +p1ł-1
1
ł ł
1 1 ł
" "
p1 ł-1 p2 ł-1
< ł ł � I + ł ł � I = v(p", p", I).
" " " " 1 2
p2 ł-1 +p1 ł-1 p2 ł-1 +p1 ł-1
5. Latwo sprawdzić, że r wnież i w tym przypadku zachodzi tożsamość Roy a.
Klasyfikacja towar w (d br)
1. Towar normalny - m wimy, że i-ty towar jest towarem normalnym wtedy i tylko wtedy, gdy popyt na
niego maleje gdy jego cena rośnie (�� ,pi < 0).
i
2. Towar Giffena - m wimy, że i-ty towar jest towarem typu Giffena wtedy i tylko wtedy, gdy popyt na
niego rośnie, gdy jego cena rośnie (�� ,pi > 0). Ekonomista Irlandzki Giffen zaobserwowal takie zjawisko dla
i
takich towar w jak chleb i ziemniaki pod koniec XIX wieku w Irlandii.
3. Towar substytucyjny - m wimy, że j-ty towar jest towarem substytucyjnym wzgledem i-tego towaru
(substytutem i-tego towaru) wtedy i tylko wtedy, gdy popyt na i-ty towar rośnie, gdy cena j-tego towaru rośnie
(�� ,pj > 0).
i
16
4. Towar komplementarny - m wimy, że j-ty towar jest towarem komplementarnym wzgledem i-tego towaru
wtedy i tylko wtedy, gdy popyt na i-ty towar maleje, gdy cena j-tego towaru rośnie (�� ,pj < 0).
i
5. Towar wyższego rzedu (luksusowy) - m wimy, że i-ty towar jest towarem wyższego rzedu wtedy i tylko
wtedy, gdy popyt na niego rośnie jeżeli doch d konsumenta też rośnie (�� ,I > 0).
i
6. Towar niższego rzedu - m wimy, że i-ty towar jest towarem niższego rzedu wtedy i tylko wtedy, gdy popyt
na niego maleje gdy doch d rośnie (�� ,I < 0).
i
17
Zadanie
Określić na jakiego rodzaju towary zglasza popyt konsument o dochodzi I > 0 oraz funkcjach użyteczności:
a. u(x1, x2) = axąx1-ą dla a > 0, ą " (0, 1)
1 2
" "
b. u(x1, x2) = x1 + x2
1
ł
c. u(x1, x2) = (xł + xł) , ł " (0, 1).
1 2
Ad. a.
(1-ą)�I
ąI
Wiadomo, że �1(p1, p2, I) = oraz �2(p1, p2, I) = . Wobec tego zar wno pierwszy jak i drugi towar
p1 p2
sa towarami normalnymi wyższego rzedu.
Ad. b.
p2I p1I
Wiadomo, że �1(p1, p2, I) = oraz �2(p1, p2, I) = . Obydwa towary sa towarami normalnymi,
p1p2+p2 p2+p1p2
1 2
substytucyjnymi wyższego rzedu.
Ad. c.
1 1
p1ł-1 p2ł-1
Wiadomo, że �1(p1, p2, I) = ł ł � I oraz �2(p1, p2, I) = ł ł � I. Zar wno pierwszy jak i drugi
p2ł-1 +p1ł-1 p2ł-1 +p1ł-1
towar sa towarami normalnymi, komplementarnymi, wyższego rzedu.
Ścieżki ekspancji cenowej i dochodowej
18
Drugie zadanie konsumenta (minimalizacja wydatk w)
Zakladać bedziemy, że konsument jest podmiotem rynku konkurencyjnego i jest wyposażony w swoja funkcje
użyteczności, kt ra spelnia zalożenia takie jak w pierwszym zadaniu konsumenta, tzn. jest ciagla, ściśle
quasi-wklesla i ściśle monotoniczna. W zadaniu tym interesuje konsumenta życie co najmniej na pewnym
ustalonym poziomie przy minimalnych wydatkach. Przyjmujac analogiczne oznaczenia jak w pierwszym
zadaniu konsumenta z matematycznego punktu widzenia zadanie to możemy zapisać w postaci min p ć% x,
u(x)e"u0
x" n
+
gdzie p jest wektorem cen. W przypadku przestrzeni dw ch towar w zadanie to możemy przedstawić jako
n n
D = {x " : u(x) e" u0}, "D = {x " : u(x) = u0}, gdzie "D jest nazywany krzywa obojetności.
Z graficznego punktu widzenia poziomy dochod w oznaczaja:
I1 - nie osiagnie zamierzonego poziomu
I2 - odrzuci, bo za mniejszy wydatek osiagnie sw j cel
I3- jest najlepszym poziomem wydatk w, ponieważ konsument osiaga sw j cel, a jednocześnie wydatki
zwiazane z tym sa mniejsze.
Zbi r D ze wzgledu na uczynione zalożenia ścislej quasi-wkleslości funkcji użyteczności konsumenta jest
zbiorem wypuklym, a ze wzgledu na ciaglość jest zbiorem domknietym. Funkcja f(x) = p ć% x jest liniowa,
a wiec wypukla i ciagla oraz ograniczona z dolu np. przez zero. Stad wnosimy, że tak sformulowane zadanie
minimalizacji posiada rozwiazanie w zbiorze D, a z zalożenia ścislej quasi-wkleslości funkcji użyteczności r wnież
posiada rozwiazanie jednoznaczne. Zatem zadanie minimalizacji wydatk w konsumenta przy tych zalożeniach
prowadzi do wyboru jednoznacznego koszyka minimalnych wydatk w przy określonym poziomie użyteczności.
Z zalożenia ścislej monotoniczności funkcji użyteczności wnosimy, że ten jednoznaczny koszyk optymalny
znajduje sie na "D (w obszarze obojetności). Stad zadanie minimalizacji wydatk w jest r wnoważne zadaniu
znalezienia min p ć% x.
u(x)=u0
Patrzac na rozwiazanie minimalizacji wydatk w konsumenta jako na funkcje poziomu cen i poziomu
użyteczności otrzymujemy funkcje wydatk w i oznaczamy ja e(p, u) = min p ć% x dla p = (p1, ..., pn) > 0,
u(x)=u
u " U = [u(0), ").
19
Definicja
n n
Funkcje � : Int U , kt ra parze (p, u) �(p, u) r wna xH gdzie koszyk xH jest rozwiazaniem
+ +
zadania minimalizacji wydatk w przy cenach p i poziomie użyteczności u nazywamy funkcja popytu Hicksa.
Twierdzenie
Przy uczynionych zalożeniach dotyczacych zadania minimalizacji wydatk w konsumenta mamy:
1. Funkcja wydatk w jest ciagla.
2. Funkcja wydatk w jest rosnaca i nieograniczona wzgledem poziomu użyteczności.
3. Jest rosnaca ze wzgledu na poziom cen.
"e(p,u)
4. Spelnia tzw. tożsamość Shepharda postaci = �i(pu) dla i = 1, ..., n (a wiec pochodne czastkowe
"pi
po odpowiednich cenach wyznaczaja popyt Hicksa).
Przy uczynionych już wcześniej zalożeniach jest ona r zniczkowalna wzgledem wektora cen.
Uwaga
Z matematycznego punktu widzenia charakterystyka koszyka minimalizujacego wydatki konsumenta jest
dana poprzez metode mnożnika Lagrange a.
Zadanie
Wyznaczyć funkcje popytu Hicksa, funkcje wydatk w konsumenta i sprawdzić jej wlasności w przypadku gdy
konsument posluguje sie funkcja użyteczności typu Cobba-Douglasa postaci u(x1, x2) = axąx1-ą, ą " (0, 1).
1 2
Zadanie minimalizacji wydatk w można zapisać min (p1x1 + p2x2).
axąx1-ą=u
1 2
Funkcja Lagrange a dla tego zadania ma postać L(x1, x2, ) = p1x1 + p2x2 +  � (u - axąx1-ą). Latwo
1 2
sprawdzić zalożenia drugiego zadania konsumenta. Z uczynionych zalożeń wnosimy, że poszukiwane rozwiazanie
spelńł uklad r wnań
nia
"L
�ł
�ł = p1 - aąxą-1x1-ą = 0
1 2
�ł "x1
"L
.
= p2 - a � (1 - ą)xąx-ą = 0
1 2
"x2
�ł
�ł
ół "L
= u - axąx1-ą = 0
1 2
"
ńł
�ł
p1 1 2
�ł - ąaxą-1x1-ą = 0
�ł
Jest to r wnież warunek wystarczajacy - a � (1 - ą) � xąx-ą = 0
. Stad
p2
1 2
�ł
�ł
ół
u - axąx1-ą = 0
1 2
p1�(1-ą)
p1 ą
- x-1x2 = 0 =�! x2 = � x1
p2 1-ą 1
p2�ą
u - axąx1-ą = 0
1 2
1-ą
ąp2
u - x1a � = 0
(1-ą)�p1
1-ą
u ąp2
x1 = �
a (1-ą)�p1
-ą
u ąp2
x2 = �
a (1-ą)�p1
ńł
1-ą
u ąp2
�ł
xH = �
1
a (1-ą)�p1
.
-ą
ół u ąp2
xH = �
2
a (1-ą)�p1
Stad funkcja wydatk w tego konsumenta ma postać
1-ą ą
u ąp2 (1-ą)�p1
u
e(p, u) = p ć% �(p, u) = � � p1 + � � p2 =
a (1-ą)�p1 a ąp2
ą1-ąp1-ą pą�(1-ą)ą u�(1-ą)ą ą�p1-ą pą u�(1-ą)ą-1
u
2 1 2 1
= � � pą + � p2 = � � pą + � p2 = � p1-ą � pą.
a (1-ą)1-ą 1
pą�ąą a�ąą 1-ą 1
pą a�ąą 2 1
2 2
(1-ą)ą-1
u
Zatem e(p, u) = p ć% �(p, u) = � � p1-ą � pą. Sprawdzamy wymagane zalożenia:
a ąą 2 1
20
1. e jest funkcja ciagla co wynika z dzialań na funkcjach ciaglych.
2. e jest funkcja rosnaca i nieograniczona wzgledem u.
3. Niech p = (p1, p2) > (p", p") = p". W wczas
1 2
(1-ą)ą-1 (1-ą)ą-1
u u
e(p, u) = � � p1-ą � pą > � � p"1-ą � p"ą = e(p", u).
a ąą 2 1
a ąą 2 1
4. Wlasność Sheparda
1-ą
"e(p,u) (1-ą)ą-1 p2 ą
u u
= � � ą � pą-1 � p1-ą = � � = �1(p, u)
1 2
"p1 a ąą a p1 1-ą
ą
"e(p,u) (1-ą)ą-1 (1-ą)�p1
u u
= � � (1 - ą) � pą � p-ą = � = �2(p, u).
1 2
"p2 a ąą a ąp2
Dualizm obu zadań konsumenta
Pierwsze zadanie konsumenta Drugie zadanie konsumenta
maxu(x) min px
px=I u(x)=u
xe"0
x" n
+
Popyt Marshalla Popyt Hicksa
� = �(p, I), v(p, I) = u(�(p, I)) � = �(p, u), e(p, u) = p ć% �(p, u)
Miedzy tymi dwoma zadaniami istnieja nastepujace zależności:
1. �(p, I) = �(p, v(p, I))
Popyt Marshalla jest r wny popytowi Hicksa przy tej samej strukturze cen i poziomie użyteczności r wnym
maksymalnej użyteczności przy zadanym dochodzie konsumenta.
2. �(p, u) = �(p, e(p, u))
Popyt Hicksa jest r wny popytowi Marshalla przy danym poziomie cen i poziomie dochodu, kt ry jest r wny
funkcji wydatk w przy zadanym poziomie użyteczności.
3. e(p, v(p, I)) = I.
4. v(p, e(p, u)) = u.
21
Zadanie
Dla rozpatrywanych zadań konsumenta z funkcja Cobba-Douglasa sprawdzić powyższe tożsamości m wiace
o dualiz
mie tych zadań.
ńł
1-ą
u ąp2
ąI �ł
�1(p, u) = �
�1(p1, p2, I) =
a (1-ą)�p1
(1-ą)ą-1
p1 u
Wiadomo, że , , e(p, u) = � �p1-ą �pą,
-ą
(1-ą)�I a ąą 2 1
ół u ąp2
�2(p1, p2, I) =
�2(p, u) = �
p2
a (1-ą)�p1
ą
ąp2
1-ą
v(p, I) = a � I � � .
(1-ą)�p1 p2
ą 1-ą ą -ą
ąp2 1-ą 1 ąp2 ąp2 1-ą 1 ąp2
1. �(p, v(p, I)) = a � I � � � � , a � I � � � �
(1-ą)�p1 p2 a (1-ą)�p1 (1-ą)�p1 p2 a (1-ą)�p1
(1-ą)�I
ąI
= , .
p1 p2
(1-ą)ą-1 (1-ą)ą-1
ą u 1-ą u
2. �(p, e(p, u)) = � � � p1-ą � pą, � � � p1-ą � pą =
p1 a ąą 2 1
p2 a ąą 2 1
1-ą -ą
u ąp2 u ąp2
= � , � = �(p, u).
a (1-ą)�p1 a (1-ą)�p1
ą
(1-ą)ą-1
ąp2 1-ą 1
3. e(p, v(p, I)) = a � I � � � � � p1-ą � pą = I.
(1-ą)�p1 p2 a ąą 2 1
ą
(1-ą)ą-1 ąp2
u 1-ą
4. v(p, e(p, u)) = a � � � p1-ą � pą � � = u.
a ąą 2 1
(1-ą)�p1 p2
Efekt substycyjny i dochodowy przy zmianie cen
Jeżeli cena jakiegoś towaru spada to towar ten staje sie relatywnie tańszy w stosunku do innych towar w
i konsument sklonny jest do nabywania go w wiekszej ilości w stosunku do innych towar w. Taka sklonność
konsumenta nazywamy efektem substytucyjnym (zastepowanie relatywnie droższych towar w tańszymi). Jeżeli
cena jakiegoś towaru spadnie to konsument przy tym samym dochodzie może go kupić wiecej lub też może kupić
wiecej innych towar w. W tym przypadku relatywnie sila nabywcza konsumenta jest wieksza, jego relatywny
doch d jest wiekszy. Tego typu sytuacje nazywamy efektem dochodowym zmiany cen jakiegoś towaru.
Do gl wnych czynnik w produkcji zaliczamy:
1. Kapital rozumiany szeroko jako kapital
a. rzeczowy (fizyczny), np. maszyny, urzadzenia, budowle.
b. finansowy, np. akcje, pieniadze.
c. ludzki, np. wiedza, umiejetności, zdolności pracownik w.
2. Sile robocza (zatrudnienie) rozumiane w sensie ilościowym.
3. Ziemie - czynnik ten obecnie odgrywa znacznie mniejsza role niż w przeszlości.
4. Organizacje rozumiana jako organizacje sposobu produkcji. Czynnik ten nie jest przez wszystkich
ekonomist w jednakowo akceptowany (Alfred Marshall w pierwszym ćwierćwieczu XX wieku wlaczyl ten
skladnik do wynik w produkcji).
Definicja
n 2n
Niech dana bedzie przestrzeń towar w . Zbi r Z �" taki, że
+ +
n
Z = {z = (x, y) : x, y " , x- wektor czynnik w produkcji, y - wektor wynik w produkcji}
+
z norma maksimum nazywamy przestrzenia p-produkcyjna, a elementy tej przestrzeni (wektory z) nazywamy
procesami produkcji.
Uwaga
Jeżeli dla pewnego i xi = 0 to w wczas wnosimy, że i-ty czynnik produkcji nie wchodzi do procesu
produkcyjnego z. Analogicznie jeżeli dla pewnego j yj = 0 to j-ty towar nie jest produkowany.
22
Definicja
n
Niech dana bedzie przestrzeń p-produkcyjna Z. Zbi r C = {q " : q = y - x dla z = (x, y) " Z}
nazywamy przestrzenia c-produkcyjna.
Definicja
n
Niech dana bedzie przestrzeń p-produkcyjna Z. Przeksztalcenie T : x T(x) = {y " : (x, y) " Z}
+
nazywamy przeksztalceniem technologicznym.
Uwaga
Przeksztalcenie technologiczne z matematycznego punktu widzenia jest multifunkcja.
Definicja
Przeksztalcenie technologiczne T nazywamy efektywnym wtedy i tylko wtedy, gdy wartościami tego
przeksztalcenia sa tylko efektywne procesy produkcji. Proces produkcji z = (x, y) nazywamy efektywnym
gdy nie istnieje inny proces produkcyjny z = (x, y ) taki, że y e" y '" y = y.

Uwaga
Jeżeli efektywne przeksztalcenie technologiczne jest funkcja wektorowa, to w wczas nazywamy je wektorowa
funkcja produkcji, a jeżeli w szczeg lności jest funkcja skalarna, to nazywamy je skalarna funkcja produkcji.
Skalarna funkcja produkcji z matematycznego punktu widzenia to funkcja rzeczywista wielu zmiennych.
Standardowe za ożenia o skalarnej funkcji produkcji
n
Z matematycznego punktu widzenia o funkcji f : czynimy nastepujace zalożenia:
+
+
n n
1. f " C( ) i f " C2(Int ). Z ekonomicznego punktu widzenia ciaglość funkcji produkcji skutkuje tym,
+ +
że przy malych zmianach w ilości czynnik w produkcji mamy male zmiany w ilości wytwarzanego produktu.
2. f(0) = 0 (brak rogu obfitości).
3. Funkcja f jest wklesla, tzn. "x1 ""[0,1] f(x1 + (1 - )x2) e" f(x1) + (1 - )f(x2).
,x2" n
+
n
4. Funkcja f jest dodatnio jednorodna stopnia �, tzn. "� "�>0 "x" f(�x) = ��f(x).
+
a. W przypadku gdy � = 1 m wimy o liniowych lub stalych przyrostach skali produkcji, tzn. f(�x) = �f(x).
b. Jeżeli � " (0, 1) to m wimy o malejacych przyrostach skali produkcji, tzn. f(�x) = ��f(x) < �f(x)
(� > 1).
c. Jeżeli � > 1 to m wimy o rosnacych przyrostach skali produkcji, tzn. f(�x) = ��f(x) > �f(x) (� > 1).
5. Funkcja f jest funkcja rosnaca, tzn. "x1 (x1 e" x2 '" x1 = x2) =�! f(x1) > f(x2).

,x2" n
+
23
Uwaga
Zalożenia 3. i 4.c. sa ze soba w kolizji.
Przyk ad
Niech K oznacza kapital, a L sile robicza w sensie ilościowym. Typowe skalarne funkcje produkcji to:
1. Liniowa funkcja produkcji f(K, L) = aK + bL dla a, b > 0.
2. Funkcja produkcji typu Cobba-Douglasa f(K, L) = AKąL , A, ą, > 0.
�
ł
3. Funkcja typu CES f(K, L) = (cKł + dLł) , c, d > 0, �, ł > 0.
K L
4. Funkcja Koopmensa-Leontiewa f(K, L) = min{ , } dla �, � > 0.
� �
Wsp lczynnik � nosi nazwe wsp lczynnika efektywności kapitalu i z ekonomicznego punktu widzenia oznacza
on ilość kapitalu jaka należy zużyć na wyprodukowanie jednej jednostki produkcji. Wsp lczynnik � nazywany
jest wsp lczynnikiem wydajności pracy i z ekonomicznego punktu widzenia oznacza on ilość pracy potrzebna
na wytworzenie jednej jednostki produkcji.
Definicja
"f(x)
Wyrażenie dla i = 1, ..., n nazywamy krańcowa produkcyjnościa i-tego czynnika produkcji
"xi
i z ekonomicznego punktu widzenia oznacza ona w przybliżeniu wielkość przyrostu produkcji spowodowana
jednostkowym przyrostem i-tego czynnika produkcji.
Definicja
"f(x)
"xi
Wyrażenie MRTSi,j(x) = nazywamy krańcowa stopa technicznej substytucji i-tego czynnika przez
"f(x)
"xj
j-ty czynnik. Z ekonomicznego punktu widzenia krańcowa stopa substytucji informuje nas w przybliżeniu ile
jednostek należy wzia ć j-tego czynnika produkcji, aby zastapić ubytek i-tego czynnika produkcji dla zestawu
czynnik w produkcji x, aby poziom produkcji nie ulegl zmianie.
Definicja
n
Zbi r {x " : f(x) = y0} obojetności nazywamy izokwanta produkcji.
+
Definicja
xi
Wyrażenie �f (x)x nazywamy elastycznościa krańcowa stopy substytucji i-tego czynnika przez j-ty czynnik
ij
j
produkcji. Z ekonomicznego punktu widzenia elastyczność ta informuje nas w przybliżeniu o ile procent zmieni
sie ilość j-tego czynnika produkcji aby uzupelnić brak 1% i-tego czynnika produkcji dla zestawu x.
y0 = f(x1, ..., xi, ..., xj, ..., xn)
xj = gj(x1, ..., xi, ..., xn)
"f
"gj xi xi "xi
� = � - .
"f
"xi xj xj "xj
24
Zadanie
Dla wcześniej podanych przyklad w dwuczynnikowych funkcji produkcji policzyć
1. krańcowa produkcyjność kapitalu i pracy
2. krańcowa stope substytucji pracy przez kapital i kapitalu przez prace
3. elastyczność krańcowa stopy substytucji kapitalu przez prace i pracy przez kapital.
a. Dla funkcji produkcji f(K, L) = aKą + bL mamy
1. Krańcowa produkcyjność kapitalu wynosi
"f
= aąKą-1,
"K
"f
zaś krańcowa produkcyjność pracy = b L -1.
"L
2. Krańcowa stopa substytucji kapitalu przez prace wynosi
"f
aąKą-1
"K
=
"f
b L -1
"L
zaś pracy przez kapital
"f
b L -1
"L
= .
"f
aąKą-1
"K
3. Elastyczność krańcowej stopy substytucji pracy przez kapital wynosi
"f
xi "L L b L
�f (x) � = � =
"f
i,j
xj "K K aąKą
zaś elastyczność krańcowej stopy substytucji kapitalu przez prace
"f
xi "K K aąKą
�f (x) � = � = .
"f
i,j
xj "L L b L
b. Dla funkcji Cobba-Douglasa f(K, L) = AKąL mamy
1. Krańcowa produkcyjność kapitalu wynosi
"f
= AąKą-1L ,
"K
zaś krańcowa produkcyjność pracy
"f
= A KąL -1.
"L
2. Krańcowa stopa substytucji kapitalu przez prace wynosi
"f
AąKą-1L ąL
"K
= =
"f
A KąL -1 K
"L
zaś pracy przez kapital
"f
A KąL -1 K
"L
= = .
"f
AąKą-1L ąL
"K
3. Elastyczność krańcowej stopy substytucji pracy przez kapital wynosi
"f
K ą
xi "L L L
�f (x) � = � = � =
"f
i,j
xj "K K ąL K
zaś elastyczność krańcowej stopy substytucji kapitalu przez prace
"f
xi "K K ąL K ą
�f (x) � = � = � = .
"f
i,j
xj "L L K L
�
ł
c. Dla funkcji typu CES f(K, L) = (cKł + dLł) mamy
1. Krańcowa produkcyjność kapitalu wynosi
� �
-1 -1
"f
�
ł ł
= cłKł-1 � � (cKł + dLł) = c�Kł-1 � (cKł + dLł) ,
"K ł
zaś krańcowa produkcyjność pracy
�
-1
"f
ł
= d�Lł-1 � (cKł + dLł) .
"L
2. Krańcowa stopa substytucji kapitalu przez prace wynosi
"f
ł-1
c K
"K
= �
"f
d L
"L
zaś pracy przez kapital
"f
ł-1
d L
"L
= � .
"f
c K
"K
3. Elastyczność krańcowej stopy substytucji pracy przez kapital wynosi
"f
ł-1 ł
xi "L L d L L d L
�f (x) � = � = � � = �
"f
i,j
xj "K K c K K c K
zaś elastyczność krańcowej stopy substytucji kapitalu przez prace
"f
ł-1 ł
xi "K K c K K c K
�f (x) � = � = � � = � .
"f
i,j
xj "L L d L L d L
25
K L
d. Dla funkcji produkcji Koopmensa-Leontiewa f(K, L) = min{ , } mamy
� �
1. Kra ńcowa produkcyjność kapitalu wynosi
L K
0 <
"f
� �
= ,
"K
1 L K
e"
� � �
zaś krańcowa produkcyjność pracy
L K
0 >
"f
� �
= .
"L
1 L K
d"
� � �
2. Kra ńcowa stopa substytucji kapitalu przez prace wynosi
L K
"f
0 <
� �
"K
=
"f
� L K
"L
=
� v �
zaś pracy przez kapital
L K
"f
0 >
� �
"L
= .
"f
� L K
"K
=
� � �
3. Elastyczność krańcowej stopy substytucji pracy przez kapital wynosi
L K
"f
0 >
xi "L L � �
�f (x) � = � =
"f
i,j
xj "K K �L
L K
=
vK � �
zaś elastyczność krańcowej stopy substytucji kapitalu przez prace
K L
"f
0 >
xi "K K � �
�f (x) � = � = .
"f
i,j
xj "L L
�K K L
=
�L � �
3. Zachowanie sie producenta na rynku konkurencyjnym
Zakladamy, że rozważany producent produkuje jedno dobro używajac do tego celu n czynnik w produkcji.
Jego funkcja produkcji dana jest wzorem y = f(x), o kt rej zakladamy
n n
1. f " C( ), f " C2(int )
+ +
2. f(0) = 0
"f
3. > 0 (f jest ściśle rosnaca)
"xi
"2f(x)
4. macierz Hessa, czyli hesjan jest macierza ujemnie określona H(x) = .
"xi"xj i,jd"n
Pierwsze zadanie producenta (maksymalizacja zysku)
W strategii dlugoterminowej firmy przyjmuje sie, że niekwestionowanym celem firmy jest maksymalizacja
zysku. Niech p > 0 oznacza cene wytwarzanego dobra, a wektor v = (v1, ..., vn) > 0 bedzie wektorem cen jego
czynnik w produkcji. W wczas zysk firmy możemy zdefiniować jako funkcje (x) = pf(x) - vx, gdzie pf(x)
oznacza przych d, zaś vx koszty.
Twierdzenie
Jeżeli sa spelnione zalożenia od 1. do 4. o funkcji produkcji f oraz dodatkowo
"f(x) "f(x)
(w) p � lim < v < p � lim
"x "x
x" x0
w wczas istnieje dokladnie jeden zestaw czynnik w produkcji x > 0, kt ry realizuje maksymalizacje funkcji
zysku producenta. Warunkiem koniecznym i dostatecznym dla tego zestawu czynnik w produkcji x jest warunek
"f(x) "f(x)
(") p � = v (lub p � = vi dla i = 1, ..., n).
"x "xi
26
Uwaga
Z ekonomicznego punktu widzenia warunek (") oznacza, że optymalny zestaw czynnik w produkcji m wi, że
"f(x)
p� (krańcowa produkcyjność w sensie wartościowym) każdego czynnika produkcji (w zestawie optymalnym)
"xi
jest r wna jego cenie. Funkcja zysku jest funkcja ściśle wklesla, a wiec osiaga maksimum, kt re jest jedyne.
Warunek (w) powoduje, że zestaw optymalny x jest dodatni, a warunek (") jest konsekwencja warunku
 (x) = 0.
Definicja
Na rozwiazanie optymalne maksymalizacji zysku producenta możemy spojrzeć jak na funkcje zależna od
ceny produktu i cen czynnik w produkcji (producent nie ma wplywu na te ceny). Funkcje
n+1
n
� : int (p, v) �(p, v) " int ,
+ +
kt ra jest rozwiazaniem zadania maksymalizacji zysku producenta nazywamy funkcja popytu (danego
producenta) na czynniki produkcji.
Uwaga
Rozpatrujac caly rynek czynnik w produkcji to przez funkcje popytu bedziemy rozumieć sume funkcji popytu
poszczeg lnych producent w. Z postawionego zadania natychmiast wnosimy, że tak zdefiniowana funkcja popytu
na czynniki produkcji jest dodatnio jednorodna stopnia zero (max(pf(x) - vx)), a wiec nie zależy od poziomu
x" n
+
cen, a tylko od ich struktury.
�(p, v) = �(p, v)
max(pf(x) - (v)x)).
x" n
+
Definicja
n+1
n
Funkcje � : int (p, v) �(p, v) " taka, że �(p, v) = f(�(p, v)) nazywamy funkcja podaży
+ +
producenta danego produktu.
Uwaga
Podobnie jak funkcja popytu na czynniki produkcji funkcja podaży produktu jest dodatnie jednorodna
stopnia zero.
Definicja
n+1
Funkcje Ą : int (p, v) Ą(p, v) = p � �(p, v) - v�(p, v) " nazywamy funkcja optymalnego zysku
+
producenta. Funkcja optymalnego zysku dla każdego zestawu cen przypisuje maksymalny zysk producenta.
Uwaga
Funkcja optymalnego zysku jest:
1. Rosnaca wzgledem ceny wytwarzanego produktu.
2. Malejaca wzgledem czynnik w produkcji.
3. Dodatnio jednorodna stopnia pierwszego.
27
Zadanie
Funkcja produkcji rozważanego producenta jest typu Cobba-Douglasa postaci f(K, L) = AKąL dla
ą, " (0, 1) oraz ą + < 1.
1. Postawić dla tej funkcji zadanie maksymalizacji zysku producenta.
2. Sprawdzić żadane w tym zadaniu zalożenie o funkcji produkcji.
3. Wyznaczyć optymalny zestaw kapitalu i sily roboczej.
4. Wyznaczyć funkcje popytu na czynniki produkcji, funkcje podaży oraz funkcje optymalnego zysku.
5. Sprawdzić wlasności tych funkcji.
1. (x) = pf(x) - vx
"f(x)
p � = v
"x
"f(K,L)
p � = vK
"K
.
"f(K,L)
p � = vL
"L
2. Sprawdzamy zalożenia dotyczace funkcji produkcji producenta.
n n
a. f " C( ), f " C2(int ) co wynika z dzialań na funkcjach ciaglych.
+ +
b. f(0, 0) = A � 0ą � 0 = 0.
"f(K,L) "f(K,L)
c. = AąKą-1L > 0 dla dowolnych K, L " oraz = A KąL -1 > 0 dla K, L " .
+ +
"K "L
Aą(ą - 1)Ką-2L Aą Ką-1L -1
d. Macierz jest ujemnie określona. Istotnie, skoro a < 1, wiec
Aą Ką-1L -1 A ( - 1)KąL -2
Aą(ą - 1)Ką-2L < 0. Ponadto
Aą(ą - 1)Ką-2L Aą Ką-1L -1
2
det = A2ą (ą - 1)( - 1)K2ą-2L2 -2 - A2ą2 K2ą-2L2ą-2 =
Aą Ką-1L -1 A ( - 1)KąL -2
= A2ą K2ą-2L2 -2 � [(ą - 1) � ( - 1) - ą )] = A2ą K2ą-2L2 -2 � [ą - ą - + 1 - ą ] =
= A2ą K2ą-2L2 -2 � (1 - ą - ) > 0.
3. Mamy
pAąKą-1L = vK
pA KąL -1 = vL
ą vK
LK-1 =
vL
vK
L = � � K
vL ą
vK
pAąKą-1 � � K = vK
vL ą
1-
vK vLą -1
K +ą-1 =
pA
1
1-
vK vLą -1 ą+ -1
K =
pA
1
1- -1
vK vK vLą ą+ -1
L = � �
vL ą pA
1
+ą-1 1-
vK+ą-1 vK vLą -1 ą+ -1
L = �
vL+ą-1ąą+ -1 pA
1
ą ą-1
ą+ -1
vK
L =
ą-1
pAvL ąą
ńł
1
1-
�ł vK vLą -1 ą+ -1
�ł
�K(p, vK, vL) =
pA
.
1
ą ą-1
ą+ -1
�ł
vK
ół
�L(p, vK, vL) =
ą-1
pAvL ąą
28
4. Wyznaczamy funkcje podaży producenta �(p, v) = f(�(p, v)). Mamy
ą
1-
vK vLą -1 ą+ -1 ą ą-1 ą+ -1
vK
�(p, v) = A � � =
ą-1
pA
pAvL ąą
ą(1- ) ą
ą
(b-1)ą ą
ą
ą+ ą+ ą+
-
1 ą+ -
ą+ -1 ą+ -1 vK -1 �vK -1 ą+ -1 vK -1
1 ą �ą a
ą+ -1 ą+ -1
= A � � � = A- � p- � � =
ą+ ą+ (ą-1) -
ą (1-ą) -ą
ą+ -1 ą+ -1 ą+ -1 ą+ -1 ą+ -1 ą+ -1
ą+ -1 ą+ -1
A p
�
vL
vL �vL
1
ą
ą+ -1
1 vK ą+ -1 vL ą+ -1
= � � .
Apą+ ą
Wyznaczymy teraz funkcje optymalnego zysku Ą(p, v) = p�(p, v) - v�(p, v). Mamy
1 1
1
ą 1-
ą+ -1
vK vLą -1 ą+ -1 ą ą-1 ą+ -1
vK
1 vK ą+ -1 vL ą+ -1
Ą(p, vK, vL) = � � �p-(vK, vL) , =
ą-1
Apą+ ą pA
pAvL ąą
ą
ą+ ą+
vK -1 vL -1
= � (1 - ą - ).
1 ą
1
ą+ -1 ą+ -1 ą+ -1 ą+ -1
A ą p
5. Sprawdzamy, czy wyznaczona funkcja popytu jest dodatnio jednorodna stopnia 0. Istotnie
1 1
1- 1-
1- vK  vLą -1 ą+ -1 vK vLą -1 ą+ -1
�K(p, vK, vL) = = = �K(p, vK, vL)
pA pA
1 1
ą ą-1 ą ą-1
ą+ -1 ą+ -1
ąvK vK
�L(p, vK, vL) = = = �L(p, vK, vL).
ą-1 ą-1
pAą-1vL ąą pAvL ąą
Sprawdzamy, czy funkcja podaży jest dodatnio jednorodna stopnia zero. Istotnie
1
ą
ą+ -1
1 vK ą+ -1 vL ą+ -1
�(p, vK, vL) = � � =
Aą+ pą+ ą
1
ą
ą+
pą+ ą+ -1 ą+ -1 vL ą+ -1 ą+ -1 ą +ą+ -1
vK
-1
= � � � - +ą+ =
A ą
1
ą
ą+ -1
1 vK ą+ -1 vL ą+ -1
= � � = �(p, vK, vL).
Apą+ ą
Sprawdzimy zalożenia dotyczace funkcji optymalnego zysku. Mamy
(i) Jest to funkcja rosnaca wzgledem ceny wytwarzanego produktu, co wynika z faktu, iż ą + - 1 < 0,
-1
ą+ -1
a zatem wyrażenie p jest rosnace ze wzgledu na p.
(ii) Z faktu, że ą + - 1 < 0 wynika r wnież, że jest to funkcja malejaca ze wzgledu na czynniki produkcji.
ą
ą
ą+ ą+
ą+ -1 ą+ -1
 vK -1  vL -1
(iii) Ą(p, vK, vL) = � (1 - ą - ) =
1 ą
1 1
ą+ -1 ą+ -1 ą+ -1 ą+ -1 ą+ -1
A ą  p
ą
ą+ ą+
vK -1 vL -1
= � (1 - ą - ) �  =  � Ą(p, vK, vL).
1 ą
1
ą+ -1 ą+ -1 ą+ -1 ą+ -1
A ą p
Drugie zadanie producenta (minimalizacja koszt w produkcji)
W zadaniu tym zakladać bedziemy tak jak i w poprzednim, że producent dziala na rynku konkurencyjnym,
wytwarza jeden produkt, na kt ry zużywa n czynnik w produkcji. Producenta interesuje minimalizacja koszt w
jego produkcji na pewnym poziomie y. Zadanie to jest zupelnie analogiczne do zadania minimalizacji wydatk w
konsumenta. Niech p > 0 oznacza cene wytwarzanego produktu, zaś v = (v1, ..., vn) > 0 bedzie wektorem cen
czynnik w produkcji. Z matematycznego punktu widzenia zadanie minimalizacji koszt w produkcji możemy
zapisać jako min vx. Jest to zadanie na ekstremum warunkowe. Dla dwuczynnikowej funkcji produkcji zadanie
f(x)=y
xe"0
2
to można zilustrować nastepujaco: vx = v1x1 + v2x2 = c, Gy = {(x1, x2) " : f(x1, x2) = y} jest izokwanta
+
produkcji na poziomie y (w przypadku dwuwymiarowym jest to na og l krzywa).
29
Twierdzenie (o rozwiazaniu drugiego zadania producenta)
Jeżeli sa spelnione zalożenia od 1 do 3 oraz 5 o funkcji producenta f oraz dodatkowo f jest ściśle wklesla
(tzn. hesjan jest ujemnie określony), w wczas istnieje dokladnie jeden zestaw czynnik w produkcji x > 0, kt ry
realizuje maksimum wydatk w producenta i ponadto warunkiem koniecznym i dostatecznym dla jego istnienia
jest istnienie takiej liczby  > 0, że spelniony jest uklad r wnań
"f(x)
= vi dla i = 1, ..., n
"xi
("") .
y = f(x)
Uwaga
Z ekonomicznego punktu widzenia (pierwsze n r wnań z warunku ("")) optymalny zestaw czynnik w
produkcji to taki, że krańcowa produkcyjność każdego czynnika jest proporcjonalna do jego ceny.
Z matematycznego punktu widzenia uklad ("") to uklad warunk w Lagrange a L(x, ) = vx + (y - f(x)).
"L
= 0
"x
.
"L
= 0
"
Funkcja produkcji f jest ściśle wklesla, a oznacza to, że odpowiadajaca jej izokwanta na poziomie y jest ściśle
wypukla. Stad istnieje dokladnie jeden zestaw czynnik w produkcji x, kt ry realizuje minimum wydatk w.
Jeżeli popatrzymy na rozwiazanie tego zadania jako na funkcje zmiennych cen czynnik w produkcji v oraz
n+1
n
zmiennego poziomu produkcji y, to w wczas taka funkcje � : int (v, y) �(v, y) = x " nazywamy
+ +
funkcja warunkowego popytu na czynniki produkcji.
Definicja
n+1
Funkcje � : int (v, y) v ć% �(v, y) " nazywamy funkcja koszt w (minimalnych koszt w). Funkcja
+
ta dowolnemu zestawowi czynnik w produkcji i poziom w produkcji przyporzadkowuje minimalne koszty tej
produkcji. Funkcja ta jest rosnaca zar wno ze wzgledu na ceny czynnik w produkcji jak i wielkość produkcji.
Uwaga
Przy uwzglednionych zalożeniach dowodzi sie, że funkcja minimalnych koszt w � jest funkcja rosnaca
zar wno ze wzgledu na ceny produkcji czynnik w v i poziom produkcji y.
Rozpatrywany producent dziala na rynku konkurencyjnym i w zwiazku z tym ceny czynnik w produkcji sa
dla niego wielkościami egzogennymi (zewnetrznymi, na kt re nie ma żadnego wplywu). Wielkość na kt ra może
wplywać producent jest wielkość jego produkcji y, stad możemy popatrzeć na funkcje minimalnych koszt w jako
na funkcje tylko zależna od wielkości produkcji.
30
Trzecie zadanie producenta (maksymalizacja zysku producenta wzgledem wielkości produkcji)
Niech c = c(y) bedzie funkcja minimalnych koszt w zależna tylko od poziomu produkcji y (z drugiego zadania
producenta), czyli funkcja, kt ra poziomowi produkcji y przyporzadkowuje minimalne koszty tej produkcji
przy ustalonych cenach czynnik w produkcji. Zadanie to z matematycznego punktu widzenia można zapisać
w postaci max (y) = max(py - c(y)).
y>0 y>0
Twierdzenie
Jeżeli funkcja koszt w c jest r żniczkowalna i ściśle wypukla oraz spelnia warunek c (0+) < p < c (") to
istnieje dokladnie jeden poziom produkcji y" > 0, kt ry realizuje maksymalizacje zysku producenta i warunkiem
koniecznym i dostatecznym dla poziomu y" jest warunek
(" " ") c (y") = p.
Uwaga
Funkcja zysku  jest funkcja r zniczkowalna i ściśle wklesla (bo jest suma funkcji liniowej i funkcji ściśle
wkleslej). Stad funkcja zysku jeśli ma maksimum, to ma jedyne i lokalne maksimum, kt re r wne jest maksimum
globalnemu
 (y) = p - c (y).
Stad warunkiem koniecznym na maksimum jest warunek  (y) = 0, kt ry pokrywa sie z warunkiem (" " ").
Nier wność p - c (0+) > 0 skutkuje, że  (0) > 0. Nier wność p - c (") < 0 skutkuje, że  (") < 0, a to
oznacza, że istnieje rozwiazanie y" > 0, kt re spelnia r wnanie (" " ").
Uwaga
Z ekonomicznego punktu widzenia poziom optymalnej produkcji y" to taki poziom, w kt rym koszt krańcowy
pokrywa sie z cena wytwarzanego produktu.
py" - przych d (prostokat 0y"BP)
prostokat 0y"AC odzwierciedla koszty produkcji
prostokat CABP odzwierciedla zysk
przedzial (y1, y2) oznacza przedzial produkcji oplacalnej
yT oznacza poziom technologiczny optymalnej produkcji.
31
Uwaga
Jeżeli x jest rozwiazaniem pierwszego zadania producenta, a y" jest rozwiazaniem trzeciego zadania
producenta, to w wczas ma miejsce zwiazek y" = f(x).
Zadanie
Rozpatrywany producent wytwarza jeden produkt, do kt rego wykorzystuje dwa czynniki produkcji. Jego
1 1
2 4
funkcja produkcji jest funkcja Cobba-Douglasa postaci f(K, L) = 4K L , gdzie K jest kapitalem, zaś L sila
robocza (praca). Sformulować i rozwiazać drugie zadanie producenta. Wyznaczyć funkcje popytu warunkowego
i funkcje minimalnych koszt w, a nastepnie sformulować i rozwiazać trzecie zadanie producenta.
Rozwia żemy najpierw drugie zadanie producenta, tzn. znajdziemy min (vKK + vLL).
1 1
2 4
4K L =y
ńł
"f
�ł
�ł = vK
�ł "K
"f
Minimalny koszt (K, L) :
= vL
"L
�ł
" "
�ł
4
ół
y = 4 K � L
ńł
1 1
�ł
L = vK
�ł 2K- 2 4
�ł
1 3
2
K L- 4
= vL
�ł
" "
�ł
4
ół
y = 4 K � L
2L vK
=
K vL
2LvL
K =
vK
"
2LvL 4
y = 4 � L
vK
4
1
3
1 vK 2
"
L = � � y
vL
4 2
4
1
3
vL " vK 2
1
K = 2v � � � y
vL
K 4 2
ńł
4 1
3
�ł
1 vL 3 4
�ł
" 3
K = 2 � � � y = �K(vK, vL, y)
�ł
vK
4 2
4
1
3
�ł
1 vK 2
�ł
"
ół L = � � y = �L(vK, vL, y)
vL
4 2
4 4
1 2 1 1
3
3 4
1 3 3 1 2 2
" 3 "
�(vk, vL, y) = 2 � � vL � vK � y + � vK � y � vL
4 2 4 2
4
1 2
3
1 3 3
"
�(vK, vL, y) = � y � 3vL � vK.
4 2
Dla trzeciego zadania producenta mamy
4
1 2
3 4
1 3 3
" 3
c(y) = 3 � � vL � vK � y .
4 2
Sprawdzamy zalożenia dotyczace funkcji c.
c (0) < p < c (")
4
1 2
3 4
1 3 3
" 3
(y) = py - 3 � � vL � vK � y
4 2
y" :  (y") = 0
4
1 2
3 1
1 3 3 4
" 3
p - 3 � � vL � vK � y = 0
3
4 2
3
p p 3 p3�42 16p3
y = = = = .
4 1 2 4 2 2
vL�vK vLvK
1 2
1 3 3 3
"
4� �vL �vK 43� 4"2 �vL�vK
4 2
Ponadto sprawdzamy, że
2 1 1 1
" "
3
1 vL 6 2 " 3 vK 6 1 1
1
" 3 3 "
f(K, L) = 4 � 2 � � � y � � � y = 4 2 � � y = y.
vK vL
4 2 4 2 4 2
32
Monopol
Na drugim biegunie rynku w stosunku do modelu konkurencji doskonalej (czystej) mamy model zwany
monopolem. Istota monopolu jest to, że na rynku (zazwyczaj jednego towaru) wystepuje tylko jeden producent.
Monopolista bedac sam oddzialywuje na cene wytwarzanego produktu. Po analizie rynku może on dostosowywać
wielkość swojej produkcji do z g ry zalożonej przez siebie ceny albo też wychodzac od wielkości produkcji dyktuje
cene swojego wyrobu.
Standardowe zalożenia monopolu to:
1. Zakladamy, że mamy do czynienia z jednym producentem na danym rynku, kt ry wytwarza jeden produkt
i zużywa n czynnik w produkcji.
2. Funkcja produkcji producenta spelnia zalożenia takie jak funkcja produkcji firmy konkurencyjnej, tzn.
n n n
f : , f " C( ), f " C2(int ), f(0) = 0, f jest rosnaca oraz ściśle wklesla.
+
+ + +
3. Cena p wytwarzanego produktu jest funkcja ilości wytwarzanego produktu, tzn p = p(y). Zal żmy, że
funkcja ta jest r zniczkowalna i p (y) d" 0.
4. Ceny zużywanych środk w produkcji też zależa od wielkości zużycia danego środka produkcji, tzn.
vi = vi(xi) dla i = 1, ..., n. Zakladamy, że funkcje vi sa r żniczkowalne oraz vi(xi) e" 0 dla i = 1, ..., n.
5. Zakladamy, że firma monopolistyczna nie ma problem w ze zbytem swojego produktu i z zakupem
potrzebnych czynnik w produkcji.
6. Tak samo jak dla firmy konkurencyjnej zakladać bedziemy, że celem monopolu jest maksymalizcja zysku
badz
też minimalizacja koszt w.
33
Pierwsze zadanie monopolisty (maksymalizacja zysku)
Przy uczynionych oznaczeniach funkcja zysku monopolisty ma postać
n n
(x) = p(y) � y - vi(x) � xi = p(f(x)) � f(x) - vi(x) � xi.
i=1 i=1
n
Dalej oznaczać bedziemy r(x) = p(f(x)) � f(x) oraz s(x) = vi(x) � xi.
i=1
Pierwsze zadanie monopolisty z matematycznego punktu widzenia polega na maksymalizacji funkcji zysku,
tzn. max (x) = max [r(x) - s(x)].
xe"0 xe"0
Twierdzenie (o istnieniu rozwiazania maksymalizacji zysku monopolu)
n n
Jeżeli funkcja zysku  monopolu jest ciagla na i f " C2(int ) oraz ściśle wklesla i ponadto spelnia
+ +
" (0+) " (")
warunek  (0+) > 0 i  (") < 0 > 0 '" < 0 dla i = 1, ..., n w wczas istnieje dokladnie jeden
"xi "xi
zestaw czynnik w produkcji x > 0, kt ry jest rozwiazaniem tego zadania i ponadto warunkiem koniecznym
"r(x) "s(x)
i dostatecznym dla niego jest r wnanie r (x) = s (x) (lub = dla i = 1, ..., n).
"xi "xi
Uwaga
Z ekonomicznego punktu widzenia monopolista osiaga maksymalny zysk dla takiego zestawu czynnik w
produkcji, w kt rym krańcowy przych d pokrywa sie z krańcowym kosztem. Monopoliście tak dlugo oplaca
sie zwiekszać produkcje jak dlugo przych d z dodatkowo wyprodukowanej jednostki jest wiekszy od kosztu
wytworzenia tej dodatkowej jednostki.
Drugie zadanie monopolisty (minimalizacja koszt w produkcji)
Monopolista zaklada pewien poziom swojej produkcji y i jest zainteresowany minimalizacja koszt w tego
poziomu produkcji. Z matematycznego punktu widzenia zadanie to możemy kr tko zapisać jako min v(x) ć% x.
f(x)=y
xe"0
Z matematycznego punktu widzenia jest to zadanie na ekstremum warunkowe z wykorzystaniem mnożnik w
Lagrange a. Jeżeli funkcja koszt w s(x) = v(x) ć% x jest dwukrotnie r żniczkowalna i ściśle wypukla, a funkcja
produkcji f spelnia poprzednie zalożenia, w wczas istnieje dokladnie jeden zestaw czynnik w produkcji x > 0,
kt ry realizuje minimum koszt w na poziomie y.
34
Uwaga
Ponieważ w tym przypadku ceny czynnik w produkcji sa funkcjami zmiennej x, to rozwiazanie
x minimalizacji koszt w jest funkcja tylko zmiennej y, tzn. x = �(y) i funkcje te nazywamy (analogicznie
jak dla konkurencji doskonalej) funkcja warunkowego popytu.
Definicja
Funkcje v(x) ć% x = v(�(y)) ć% �(y) = c(y) nazywamy funkcja minimalnych koszt w zależna od wielkości
produkcji.
Trzecie zadanie monopolisty (maksymalizacja zysku przy minimalnych kosztach)
W tym przypadku bierzemy funkcje zysku postaci (y) = p(y) � y - c(y). Zadanie to polega na wyznaczeniu
takiego poziomu produkcji y", aby zysk monopolisty byl najwiekszy.
Twierdzenie
Jeśli funkcja zysku monopolu jest klasy C2( ) oraz ściśle wklesla i ponadto spelnia warunek  (0+) > 0
+
oraz  (") < 0, w wczas istnieje dokladnie jeden poziom produkcji y" > 0, kt ry spelnia warunek konieczny
i dostateczny postaci  (y") = 0.
Zadanie
1 1
4 4
Dwuczynnikowa funkcja produkcji monopolu ma postać f(K, L) = K L , a funkcja ceny produktu
1
p(y) = y- 2
. Ceny czynnik w produkcji sa stale vi(x) = vi dla i = 1, 2, vK(K, L) = vK, vL(K, L) = vL.
1. Sformulować i rozwiazać zadanie maksymalizacji zysku monopolu wzgledem czynnik w produkcji.
2. Sformulować i rozwiazać zadanie minimalizacji koszt w tego monopolu.
3. Sformulować i rozwiazać zadanie maksymalizacji zysku z funkcja minimalnych koszt w.
4. Sprawdzić, czy zachodzi zwiazek y" = f(K, L).
Ad. 1.
1 1
4 4
f(K, L) = K L
1
p(y) = y- 2
vK(K, L) = vK
vL(K, L) = vL
(K, L) = p(f(K, L)) � f(K, L) - KvK - LvL
1 1 1 1
(K, L) = K- 8 8 4 4 - KvK - LvL
L- K L
1 1
8 8
(K, L) = K L - KvK - LvL
" 
= 0
"K
" 
= 0
"L
7 1
1
K- 8 8 - vK = 0
L
8
1 7
1
8
K L- 8 - vL = 0
8
vK
K-1L =
vL
vK
L = � K
vL
1
7 1
1 vK 8
K- 8 8
� K � = vK
8 vL
1 7
3
1 8 8
K- 4
= vLvK
8
1 7
- - 3
1 8 8
4
vL vK = K
8
35
1 7
- -
1 6 6
vL vK = K
16
7 1
- -
1 6 6
L = vL vK .
16
Ad. 2.
"f
= vi
"xi
f(x) = y
ńł
"f
�ł
�ł = vK
�ł "K
"f
= vL
"L
�ł
�ł
ół
f(K, L) = y
7 1
1
K- 8 8
L = vK
8
7 1
1
L- 8 8
K = vL
8
f(K, L) = y
1 1
4 4
K L = y
vK
K-1L =
vL
1 1
4 4
K L = y
vK
L = � K
vL
1
1 1
vK 4
4 4
K K � = y
vL
1
1
vL 4
2
K = y �
vK
ńł
1
�ł
vL 2
�ł
K = y2 �
vK
.
1
�ł
vK 2
ół
L = y2 �
vL
Ad. 3.
ńł
1
�ł
vL 2
�ł
K = y2 �
vK
1
�ł
vK 2
ół
L = y2 �
vL
1 7
- -
1 6 6
K = vL vK
16
7 1
- -
1 6 6
L = vL vK
16
Korzystajac z faktu, iż y" = f(x) mamy
1 7 7 1
- - - -
1 24 24 24 24
1
y" = f(K, L) = vL vK � vL vK
2 2
1 1
- -
1 3 3
y" = vL vK
4
(y) = y � p(y) - c(y)
1 1
2 2
c(y) = KvK + LvL = 2y2vLvK
1 1
1
2 2
2
(y) = y - 2y2vLvK
1 1
1 2 2
"
 (y) = - 4yvLvK = 0
2 y
1 1
1 2 2
"
= 4yvLvK
2 y
1 1
- - 3
1 2 2
2
vL vK = y
8
2 1 1
- -
1 3 3 3
vL vK = y.
8
1 1
- -
1 3 3
Stad y" = vL vK .
4
Ad. 4.
1 1
1 7 7 1 1 7 7 1 1 1
- - 4 - - 4 - - - - - -
1 6 6 1 6 6 1 24 24 24 24 3 3
1 1
f(K, L) = vL vK � vL vK = vL vK � vL vK = vL vK = y".
16 16 2 2 4
36
Strata spo eczna monopolu
Na og l na rynku jakiegoś towaru krzywa popytu ksztaltuje sie nastepujaco:
37
C odzwierciedla te cze ść nadwyżki konsumenta, kt ra przejmuje monopolista, A odzwieciedla strate
z nadwyżki konsumenta przy cenie monopolowej w por wnaniu z cena wolnorynkowa, zaś B odzwierciedla
strate z nadwyżki producenta niemożliwa do osiagniecia wynikajaca z ceny monopolowej (pM > pE). A *" B
odzwierciedla strate spoleczna monopolu.
Ze spolecznego punktu widzenia monopol nie jest pożadana forma rynku. Państwo stara sie przeciwdzialać
poprzez swoja polityke gospodarcza naturalnym sklonnościom firm da żacym do monopolizacji rynku.
W Polsce jest powolany specjalny urzad do śledzenia i przeciwdzialania praktykom monopolistycznym. Jest to
UOKiK (Urzad Ochrony Konkurencji i Konsument w). Państwo poprzez swoja polityke gospodarcza: przepisy
prawne, administracyjne, otwartość rynku, znoszenie barier celnych, etc. da ży do przeciwstawiania sie praktyk
monopolistycznych. Jednak nie w każdym przypadku jest to wskazane. Kiedy mamy do czynienia z tzw.
monopolem naturalnym w wczas pozostawienie go na rynku może być ze spolecznego punktu widzenia bardziej
korzystne.
Monopol naturalny to przypadek, w kt rym minimalne koszty przecietne osiaga firma przy dużej skali
produkcji w stosunku do pojemności rynku. Minimalne koszty przecietne sa zwykle osiagane dla dużej skali
produkcji w przypadku, gdy koszty stale (niezależne od wielkości produkcji) sa bardzo wysokie.
Przykladami gdzie koszty stale sa duże w stosunku do koszt w calkowitych sa np. produkty zwiazane
z duża infrastruktura (prad, gaz, woda). W przypadku monopolu naturalnego państwo stara sie regulować ceny
administracyjnie, czasami nawet dotujac te produkty jeśli ze spolecznego punktu widzenia uzna to za stosowne.
Przykladem monopolu naturalnego, kt ry może być dotowany przez państwo lub samorzady jest komunikacja
spoleczna.
Miedzy tymi dwoma skrajnymi modelami rynku jakimi sa wolna konkurencja i monopol mamy modele
pośrednie i do nich należy przede wszystkim oligopol.
Oligopol to model rynku, na kt rym wystepuja kilku producent w, kt rzy cze ściowo ze soba konkuruja
o udzialy w rynku. Może to być konkurencja cenowa badz
ilościowa. Czestym przykladem oligopolu jest duopol
- sytuacja, w kt rej konkuruja ze soba dwie firmy. Modelami duopolu sa np. modele:
" Cournot - konkurencja ilościowa
" Bertrand - konkurencja cenowa
" Stackelberg - lider i naśladowaca.
38
4. Pewne modele r wnowagi rynkowej
Do tej pory rozważaliśmy osobno zachowanie sie konsument w i producent w. W przypadku konsumenta
nie interesowalo nas skad nabywaja oni swoje towary, a w przypadku producent w nie interesowalo nas czy
towary znajda nabywc w. Obecnie zajmiemy sie wzajemnym oddzialywaniem konsument w i producent w na
siebie.
W teorii r wnowagi rynkowej istnieje wiele modeli od najbardziej prostych do bardzo zlożonych. Do
najbardziej znanych w literaturze należa modele:
" Hurwicza
" Arrow-Debreu
" Arrow-Debreu-Mc Kensie.
Pierwszy z ekonomist w, kt ry sformulowal problem r wnowagi rynku konkurencyjnego byl Walras. Pierwsze
i najprostsze modele r wnowagi rynkowej to tzw. modele wymiany (bez użycia pieniadza). Najprosztszym takim
modelem jest model Edgeworth a (prostokat Edgeworth a). W modelu tym zakladamy, że wystepuje tylko dw ch
konsument w (handlowc w), kt rzy przychodza na rynek ze swoimi poczatkowymi koszykami dw ch towar w.
Konsumenci ci wyposażeni sa w swoje funkcje użyteczności (preferencje), kt re sa znane (przejrzystość rynku).
O funkcjach użyteczności czynimy zalożenia analogiczne jak w teorii wyboru konsumenta (monotoniczność,
ścisla wkleslość, ciaglość, odpowiednia regularność).
Niech A, B beda nazwami konsument w.
Wektor aA = (aA, aA) jest koszykiem poczatkowym konsumenta A (alokacja poczatkowa), zaś aB = (aB, aB)
1 2 1 2
koszykiem poczatkowym konsumenta B.
aA + aB - ilość pierwszego towaru na rynku (podaż pierwszego towaru)
1 1
aA + aB - ilość drugiego towaru na rynku (podaż drugiego towaru)
2 2
39
W modelu tym zakladamy, że wymiana towar w jest dobrowolna (dany konsument zgodzi sie na wymiany
wtedy i tylko wtedy, gdy bedzie w tym widzial swoje korzyści). Preferencje konsument w graficznie beda
odzwierciedlane poprzez krzywe obojetności.
Każdy z konsument w da ży do poprawy swojego polożenia. Widać, że alokacja poczatkowa a może być
poprawiona dla konsumenta B przez alokacje b, a jednocześnie ta nowa alokacja b może być poprawiona dla
konsumenta A alokacja c, itd. (poprawa polożenia jednego z konsument w nie może nastapić pogorszeniem
polożenia drugiego z konsument w). Poprawy polożenia obu konsument w skończa sie w punkcie p, gdyż żaden
z konsument w nie może poprawić swojego polożenia nie pogarszajac polożenia drugiego, gdyż zawsze jeden
z nich zablokuje proces wymiany.
Model Hurwicza jest uog lnieniem tego modelu Edgeworth a na przypadek dowolnej ilości towar w na rynku
konkurencyjnym i dowolnej ilości uczestnik w wymiany. Pozostale zalożenia sa bez zmian w por wnaniu do
modelu Edgeworth a.
W innym modelu, Arrowa-Debreu, zakladamy, że
1. Na rynku konkurencyjnym wystepuje n towar w i m konsument w (kupc w).
2. Każdy konsument wyposażony jest w pewien koszyk poczatkowy aK = (aK, ..., aK)T dla K = 1, ..., m oraz
1 n
swoje preferencje wyrażone przez funkcje użyteczności uK dla K = 1, ..., m spelniajaca standardowe zalożenia
(jest rosnaca, ściśle wklesla, odpowiednio regularna).
3. Proces wymiany jest dobrowolny i rynek jest przejrzysty (każdy z uczestnik w wymiany zna preferencje
wszystkich innych).
4. W procesie wymiany używany jest pieniadz.
5. Każdy z uczestnik w wymiany realizuje swoje cele, tzn. poprzez wymiane chce osiagna ć maksymalna
użyteczność.
Definicja
�ł łł
a1 a2 ... am
1 1 1
�ł śł
�ła1 a2 ... amśł
2 2 2
�ł śł
Macierz a = nazywamy alokacja poczatkowa.
�ł śł
: : : :
�ł �ł
. . . .
a1 a2 ... am
n n n
Definicja
�ł łł
x1 x2 ... xm
1 1 1
�ł śł
m m
�łx1 x2 ... xmśł
2 2 2
�ł śł
Macierz x = taka, że xk = ak dla i = 1, ..., n nazywamy alokacja dopuszczalna
i i
�ł śł
: : : :
k=1 k=1
�ł �ł
. . . .
x1 x2 ... xm
n n n
wzgledem alokacji poczatkowej a.
Definicja
m
Wektor ak nazywamy podaża rynku. Poprzez F(a) oznaczamy zbi r wszystkich alokacji dopuszczalnych
k=1
wzgledem alokacji poczatkowej a.
Definicja
Alokacje x " F(a) nazywamy alokacja blokowana przez koalicje S �" {1, ..., m} konsument w wtedy i tylko
wtedy, gdy istnieje alokacja y " F(a) taka, że uK(yK) e" uK(xK) dla K " S oraz istnieje K0S taki, że
0 0 0 0
uK (yK ) > uK (xK ) oraz yK = aK.
K"S K"S
40
Uwaga
Z dobrowolności wymiany wnosimy natychmiast, że alokacje blokowane nie beda braly udzialu w procesie
wymiany. Wymiana bedzie sie odbywala w zbiorze alokacji nieblokowanych.
Definicja
p
Alokacje x " F(a) nazywamy Pareto-optymalna wtedy i tylko wtedy, gdy nie istnieje inna alokacja y " F(a)
0
pK pK
0 0 0
taka, że uK(yK) e" uK(x ) dla K = 1, ..., m oraz istnieje K0 " {1, ..., m} takie, że uK (yK ) > uK (x ).
Alokacja Pareto-optymalna to taka alokacja, że poprawa sytuacji jakiegokolwiek konsumenta może odbyć sie
kosztem innego konsumenta.
W procesie wymiany każdy konsument stara sie poprawić swoje polożenie. Niech wektor p = (p1, ..., pn) > 0
bedzie wektorem cen towar w. W wczas z teorii konsumenta wnosimy, że każdy konsument maksymalizuje
swoja użyteczność w ramach swoich ograniczeń. Z matematycznego punktu widzenia możemy to zapisać
w postaci max uK(xK) dla K = 1, ..., m gdzie IK = p ć% ak dla n = 1, ..., m.
xkć%pd"IK
Z uczynionych zalożeń z teorii wyboru konsumenta wnosimy, że dla każdego konsumenta istnieje jeden koszyk
oK
optymalny x , K = 1, ..., m jeżeli pozostali uczestnicy wymiany zgodza sie na jego propozycje wymiany.
Z teorii konsumenta wnosimy, że jego optymalny koszyk jako funkcja cen towar w jest popytem Marshalla.
Niech �K(p) dla K = 1, ..., m bedzie funkcja popytu Marshalla tego konsumenta.
Definicja
m
Wyrażenie �K(p) nazywamy popytem globalnym rynku.
K=1
Definicja
m m
Funkcje z(p) = �K(p) - aK nazywamy popytem nadwyżkowym (jest to r żnica miedzy popytem
K=1 K=1
globalnym a globalna podaża).
Definicja
Oznaczmy popyt nadwyżkowy jako z(p) = (z1(p), ..., zn(p)).
Jeżeli zi(p) > 0 to w wczas wystepuje nadwyżka popytu na rynku i-tego towaru.
Jeżeli zj(p) < 0 to w wczas mamy doczynienia z nadwyżka podaży na rynku j-tego towaru.
Oba te przypadki świadcza o nier wnowadze na rynku poszczeg lnego towaru.
Jeżeli zK(p) = 0 to w wczas m wimy o r wnowadze na rynku K-tego towaru (jest to tzw. r wnowaga
czastkowa).
Definicja
M wimy, że rynek jest w r wnowadze Walrasa wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje taki wektor cen pE > 0 taki,
że z(pE) = 0.
Uwaga
R wnowaga og lna oznacza, że mamy do czynienia z r wnowaga na rynku każdego towaru.
41
Twierdzenie
1. Popyt nadwyżkowy z = z(p) jest funkcja dodatnio jednorodna stopnia 0,
m m
z(p) = �k(p) - ak.
k=1 k=1
Z ekonomicznego punktu widzenia oznacza to, że wielkość popytu nadwyżkowego nie zależy od poziomu cen,
a tylko od ich struktury.
2. Popyt nadwyżkowy spelnia prawo Walrasa, tzn. "p>0 p ć% z(p) = 0 (prawo Walrasa)
m m
p ć% z(p) = p ć% �k(p) - p ć% ak
k=1 k=1
p ć% �k(p) = p ć% ak, k = 1, ..., m.
Problem r wnowagi rynkowej jest problemem niezwykle istotnym. Zostal on postawiony przez L. Walrasa
w końcu XIX wieku i rozwiazany w polowie XX wieku przez ekonomist w i matematyk w: Arrow i Debreu.
Twierdzenie (o istnieniu cen r wnowagi)
Jeżeli sa spelnione zalożenia rozpatrywanego modelu Arrowa-Debreu w wczas istnieje co najmniej jeden
(z dokladnościa co do struktury) wektor cen, kt ry wyznacza r wnowage Walrasa na rozpatrywanym rynku.
Uwaga
Z ekonomicznego punktu widzenia twierdzenie to gwarantuje istnienie takiego wektora cen, przy kt rym
wszyscy konsumenci na rynku konkurencyjnym realizuja swoje cele (wychodza z tego rynku z optymalnymi
koszykami), a jednocześnie rynek jest zr wnoważony (globalny popyt pokrywa sie z globalna podaża). Pokrywa
sie to z dużo wcześniej gloszona idea A. Smith a, że na rynku konkurencyjnym każdy może realizować swoje
egoistyczne cele.
Z matematycznego punktu widzenia dow d tego twierdzenia wykorzystuje jedna z wersji twierdzenia
o punkcie stalym.
Z wlasności popytu nadwyżkowego wnosimy, że wektor cen r wnowagi może być jednoznaczny w odniesieniu
tylko do struktury cen.
42
Koszyki optymalne oznaczone przez x, zaś nieoptymalne przez x.
Popyt optymalny na pierwszy towar to xA + xB.
1 1
Podaż pierwszego towaru to aA + aB.
1 2
F(a) to zbi r wszystkich alokacji dopuszczalnych od a.
W(a) to zbi r wszystkich alokacji r wnowagi zwiazanych z alokacja poczatkowa a.
43
Twierdzenie (zwiazek miedzy alokacja r wnowagi i Pareto-optymalna)
Każda alokacja r wnowagi jest alokacja Pareto-optymalna, tzn. W(a) �" P(a) �" F(a).
p
Niech x " F(a) bedzie alokacja Pareto-optymalna. W wczas
0
pk pk
0 0 0
Ź"y"F(a) uk(yk) e" uk(x ), k " {1, ..., m} '"uk (yk ) > uk (x ) dla pewnego k0 " {1, ..., m}.
Przypuścmy, że W(a) P(a), czyli że istnieje alokacja r wnowagi x " F(a), kt ra nie jest Pareto-optymalna,
tzn. istnieje alokacja y " F(a) taka, że
uk(yk) = uk(xk) dla k " S1 �" {1, ..., m} oraz uk(yk) > uk(xk) dla k " S2 �" {1, ..., m} '" S2 = "

(") p ć% yk e" p ć% xk dla k " S1.
Gdyby p ć% yk < p ć% x-k = p ć% ak, to wtedy dla  > 1 alokacja p ć% yk > p ć% yk oraz p ć% ak = p ć% pk .
Zatem
p ć% ak = p ć% yk > p ć% yk < p ć% xk = pak
p ć% (yk) = p ć% x
u(x) = u(yk) > u(yk), bo  > 1 co przeczy temu, że uk(yk) = uk(xk).
Dla S2 mamy
("") p ć% yk > p ć% xk.
Sumujac (") i ("")
p ć% yk > p ć% xk, yk = ak.
k"S1*"S2 k"S1*"S2
Stad y " F(a).
/
Zadanie
Na rynku mamy dwa towary i dw ch konsument w. Konsumenci ci przychodza na rynek z koszykami
towar w odpowiednio aA = (20, 10), aB = (30, 15) i wyposażeni sa w soje funkcje użyteczności postaci
1 1 1 1
4 4 4 3
uA(x1, x2) = x1 x2 , uB(x1, x2) = x1 x2 .
1. Sprawdzić zalożenia modelu o funkcji użyteczności.
2. Wyznaczyć funkcje popytu dla konsument w oraz funkcje nadwyżkowego popytu na tym rynku.
3. Wyznaczyć koszyki optymalne dla ceny r wnowagi (o ile istnieje).
4. Podać wartości funkcji użyteczności obu konsument w dla ich koszyk w wyjściowych i optymalnych.
Ad. 1.
Funkcje użyteczności obydwu konsument w sa typu Cobba-Douglasa, a zatem sa ciagle, rosnace, ściśle
wklesle.
Ad. 2.
Dla konsumenta A mamy
ńł
3 1
-
"uA 1 4 4
�ł
�ł = x1 x2 = p1
�ł "x1 4
1 3
-
"uA 1 4 4
= x1 x2 = p2
"x2 4
�ł
�ł
ół
p1x1 + p2x2 d" 20p1 + 10p2
x2 p1
=
x1 p2
p1
x2 = � x1
p2
p1x1 + p2x2 d" 20p1 + 10p2
p1
p1x1 + � x1p2 d" 20p1 + 10p2
p2
x1 � (p1 + p1) d" 20p1 + 10p2
20p1+10p2 10p1+5p2
x1 d" =
2p1 p1
p1 10p1+5p2 10p1+5p2
x2 d" � =
p2 p1 p2
10p1+5p2
xA = �A(p1, p2) =
1 1
p1
.
10p1+5p2
xA = �A(p1, p2) =
2 2
p2
44
Dla konsumenta B mamy
ńł
3 1
-
"uB 1 4 3
�ł
�ł = x1 x2 = p1
�ł "x1 4
1 2
-
"uB 1 4 3
= x1 x2 = p2
"x2 3
�ł
�ł
ół
p1x1 + p2x2 d" 30p1 + 15p2
x2 4p1
=
x1 3p2
4p1
x2 = � x1
3p2
p1x1 + p2x2 d" 30p1 + 15p2
4p1
p1x1 + � x1p2 d" 30p1 + 15p2
3p2
4
x1 � p1 + p1 d" 30p1 + 15p2
3
30p1+15p2 90p1+45p2
x1 d" =
7
7p1
p1
3
4p1 90p1+45p2 120p1+60p2
x2 d" � =
3p2 7p1 7p2
90p1+45p2
xB = �B(p1, p2) =
1 1
7p1
.
120p1+60p2
xB = �B(p1, p2) =
2 2
7p2
Zatem popyt nadywżkowy wynosi
10p1+5p2 90p1+45p2 10p1+5p2 120p1+60p2
z(p) = (z1(p), z2(p)) = + - 50p1, + - 25p2 =
p1 7p1 p2 7p2
70p1+35p2+90p1+45p2-350p1 70p1+35p2+120p1+60p2-175p2 -190p1+80p2 190p1-80p2
= , = , .
7p1 7p2 7p1 7p2
Ad. 3.
z(p) = 0
-190p1 + 80p2 = 0
190p1 - 80p2 = 0
190p1 - 80p2 = 0
8
p1 = p2
19
8
p = , 1 � ł, ł > 0
19
10p1+19 �5p1
19 175
8
xA = = 10 + � 5 =
1
p1 8 8
8
10� p2+5p2 80 175
19
xA = = + 5 =
2
p2 19 19
175 175
xA = ,
8 19
90�p1+19 �45p2 225
8
xB = =
1
7p1 8
8
120� p2+60p2 300
19
xB = =
2
7p2 19
225 300
xB = , .
8 19
Ad. 4.
" "
4 4
uA(xA) = 20 � 10 = 200 = 3. 760 6
4 175 175
uA xA = � = 3. 767 5
8 19
" "
4 3
uB(xB) = 30 � 15 = 5. 771 8
4 225 3 300
uB(xB) = � = 5. 777 4.
8 19
45
Podstawowe uwagi dotyczace modelu Arrowa-Debreu-Mc Kenziego
Model ten jest w por wnaniu z poprzednim rozszerzony o grupe producent w. Zakladamy w nim, że na
rynku konkurencyjnym wystepuje r " producent w. Producenci ci sa wyposażeni w swoje technologie poprzez
j n n
zbiory produkcyjne Y �" dla j = 1, ..., r ( jest przestrzenia czystej produkcji). O zbiorach tych zakladamy,
j j
j j n j
że 0 " Y dla j = 1, ..., r (producent nie ma obowiazku produkcji), Y )" = {0}, yj = (y1, ..., yn). Jeśli yl > 0
+
j j
w wczas mamy do czynienia z wynikiem produkcji, gdy yl < 0 z czynnikiem produkcji, zaś dla yl = 0 mamy
j
skladnik nie bioracy udzialu w procesie produkcji. O zbiorze Y zakladamy, że jest zwarty i ściśle wypukly.
Zakladamy, że wlaścicielami (udzialowcami) firm produkcyjnych sa tylko konsumenci i oni partycypuja
w zyskach firm proporcjonalnie do swoich udzial w ąij, i = 1, ..., m, j = 1, ..., n (i oznacza konsument w,
udzialowc w, zaś j firmy). ąij oznacza jaka cze ść j-tej firmy jest w posiadaniu i-tego udzialowca.
Producenci w ramach swoich ograniczeń technologicznych i rynkowych maksymalizuja zysk. Z naturalnego
punktu widzenia rozwiazuja oni zadanie (yj) = maxp ć% y dla j = 1, ...r,. Pozostale zalożenia dotyczace
j
y"Y
konsument w sa identyczne jak w modelu Arrowa-Debreu z ta tylko r żnica, że opr cz koszyk w poczatkowych
aK, K = 1, ..., m, kt re przynosza konsumenci na rynek maja do dyspozycji doch d uzyskany z udzial w
r
w firmach, czyli ich doch d jest postaci Ik = p ć% aK + ąkj � (yj).
j=1
W modelu tym konsumenci dokonuja optymalnych wybor w (poprzez swoje funkcje użyteczności) i przy
uczynionych zalożeniach dowodzi sie, że w modelu tym istnieje wektor cen r wnowagi rynkowej (popyt
nadwyżkowy definiuje sie analogicznie jak w modelu Arrowa-Debreu: jest to popyt globalny minus globalna
podaż, ale globalna podać sklada sie z dw ch cze ści: podaży poczatkowej oraz z produkcji firmy).
Uwaga
Modele te prezentuja bardzo uproszczona rzeczywistość rynkowa (sa to modele statyczne, w kt rych nie
zajmujemy sie problemem dochodzenia do cen r wnowagi).
46
MAKROEKONOMIA
5. Podstawowe kategorie makroekonomiczne
Makroekonomia jest to cze ść teorii ekonomii badajaca, analizujaca i wnioskujaca o procesach gospodarczych
dotyczacych gospodarki jako pewnej calości zwykle w obrebie struktur danego państwa.
Makroekonomia stara sie uchwycić zależności miedzy zmiennymi makroekonomicznymi i po ich analizie
przedstawia wnioski r wnież dla polityki gospodarczej państwa.
Problemami, kt rymi zajmuje sie makroekonomia to zagadnienia:
1. Poziom i tempo wzrostu gospodarczego
2. Bezrobocie i zatrudnienie
3. Poziom cen (inflacja)
4. Relacje gospodarcze z reszta świata (bilans platniczy państw)
5. Polityka gospodarcza państwa.
Zajmujac sie zaganieniami dotyczacymi gospodarki calego państwa w pierwszej kolejności napotykamy
problem sumowania (agregacji) wielkości mikroekonomicznych. Grupowanie poszczeg lnych wielkości musi
charakteryzować sie duża jednorodnościa (w sensie fizycznym) - jest z tym jednak wielki problem.
Agregacja wielkości mikroekonomicznych w makroekonomiczne pod wzgledem wartościowym też jest
problematyczne. W ustalonym momencie czasowym zliczenie wartościowe wedlug bieżacych cen już nie nastrecza
problem w, ale por wnywanie tych wartości w r żnych momentach czasowych wedlug r żnych cen staje sie malo
znaczace. Aby por wnywać wielkości agregatowe w r żnych okresach należy odnieść je do poziomu cen z tego
samego okresu. Do wyznaczenia wartości wielkości agregatowych w r żnych okresach czasu sluża tzw. deflatory
poziomu cen.
1
Niech x1, x2 beda cenami bieżacymi oraz zal żmy, że inflacja jest na poziomie 2%. W wczas jest
1,02
deflatorem.
Por wnywanie wielkości agregatowych ma sens, gdy odnosimy je do tego samego poziomu cen.
Wielkości makroekonomiczne zwykle dzielimy na dwie grupy:
" zasoby
" strumienie.
Zasoby to wielkości agregatowe na dany moment czasowy, np. poziom zapas w (wielkość zapas w), podaż
pieniadza.
Strumienie to wielkości odnoszace sie do jakiegoś okresu czasu (najcze ściej do jednego roku, np. tempo
wzrostu PKB, tempo zmiany poziomu inflacji).
Osobna wielkościa, kt ra odgrywa istotna role w agregacji jest poziom cen (cena nie jest ani zasobem ani
strumieniem). Cena jest pewnym wsp lczynnikiem.
47
Doch d (PKB)
Przez doch d rozumiemy strumień d br wytworzonych na terenie danego kraju przez cala gospodarke
w danym okresie czasu (najcze ściej w okresie rocznym) w sensie wartościowym odniesionym do poziomu cen
bieżacych.
PNB jest to strumień produkt w wytworzonych przez podmioty z danego kraju zwykle w okresie rocznym
w sensie wartościowym.
PKB-potencjalny to produkt hipotetyczny wyliczony przy zaangażowaniu wszystkich (w 100%) czynnik w
produkcji na terenie danego kraju.
PKB-nominalny to produkt liczony w cenach bieżacych (okolo 1012 PLN).
PKB-realny to produkt liczony wedlug pewnych stalych cen.
PKB-per capita to produkt obojetnie jak liczony na mieszkańca (na glowe). Wielkość ta jest miernikiem
dobrobytu w poszczeg lnych krajach, np. Luksemburgu i USA.
Wielkość PKB świadczy o wielkości danej gospodarki. Natomiast dynamika zmian PKB świadczy o rozwoju
(kondycji) danej gospodarki. Wyznaczaniem PKB w Polsce zajmuje sie GUS.
Metody liczenia PKB
PKB liczymy wedlug trzech metod:
1. PKB = suma wydatk w (gospodarstw domowych, firm, państwa).
2. PKB = suma wielkości produkcji (wedlug wartości dodanej lub po produkcji finalnej)
wartość dodana = wartość sprzedaży - wartość zakupu
wartość finalnej produkcji = wartość dodana.
3. PKB = suma dochod w (place netto, zyski netto, podatki).
R wnanie bilansowe gospodarki otwartej ma postać
Y + Im = C + I + G + Ex gdzie
strona podażowa strona popytowa
Y - doch d
Im - import
C - konsumpcja (wydatki gospodarstw domowych za wyjatkiem zakupu mieszkań)
I - inwestycje (wydatki firm + mieszkania)
G - wydatki państwa (rzadowe i samorzadowe)
Ex - eksport
S - oszczedności.
C
jest to przecietna sklonność do konsumpcji (jest to wielkość wydawana z 1 zlot wki na konsumpcje).
Y
S
jest to przecietna sklonność do oszczedzania (cze ść 1 zlot wki przeznaczana na oszczedności).
Y
I
jest to przecietna sklonność do inwestycji.
Y
"C
jest to krańcowa sklonność do konsumpcji (ile z dodatkowej zlot wki dochodu przeznaczamy na
"Y
konsumpcje). Jeżeli C = C(Y ), to C jest krańcowa sklonnościa do konsumpcji.
"S
jest to krańcowa sklonność do oszczedzania. Jeżeli S = S(Y ), to S jest krańcowa sklonnościa do
"Y
oszczedzania.
"I
jest to krańcowa sklonność do inwestycji. Jeżeli I = I(Y ), to I jest krańcowa sklonnościa do inwestycji.
"Y
48
Wez
my chwilowo pod uwage gospodarke zamknieta bez wydatk w rzadowych. W wczas jej r wnanie
bilansowe jest postaci C + S = Y = C + I.
Twierdzenie
Wielkość inwestycji pokrywa sie z wielkościa oszczedności, tzn S = I.
Wez
my pod uwage gospodarke otwarta. Niech T oznacza wielkość podatk w, F transfery z sektora
państwowego do prywatnego, N odsetki od dlugu publicznego, V wplywy netto z zagranicy ([wplywy od naszych
środk w produkcji zaangażowanych za granica - wydatki dla zagranicznych środk w produkcji zaangażowanych
w naszej gospodarce]+[transfery z zagranicy do nas - nasze transfery dla podmiot w zagranicznych]). Pierwszy
skladnik tej sumy to wplywy netto od środk w produkcji, zaś drugi skladnik to transfery netto.
Niech Sp oznaczaja oszczedności prywatne, Sg oszczedności państwa, zaś Sr oszczedności reszty świata.
W wczas
Sp = Y + F + N + V - T - C
Sg = T - F - N - G
Sr = Im - Ex - V
Sp + Sg + Sr = Y - C - G + Im - Ex = I.
Twierdzenie
I = Sp + Sg + Sr.
Wymiana gospodarcza odbywa sie z użyciem pieniadza. Do tej wymiany w rozliczeniach potrzebny jest kurs
walutowy, czyli por wnywanie wartości r żnych walut. Kurs walutowy to wartość danej jednostki pienie żnej
w por wnaniu z innymi. W gospodarkach otwartych kurs walutowy jest wynikiem dzialania sil rynkowych
miedzy popytem a podaża. Jest to kurs plynny (istnieja r wnież inne metody, np. administracyjne ustalania
kursu walutowego).
25 kwietnia 2007 roku 1 =3,7789PLN oraz 1$=2,7875PLN zaś 19 kwietnia 2006 roku 1 =3,8998PLN zaś
1$=3,1567PLN.
Bilans platniczy państwa to zestaw jego obrot w bieżacych (handlowych) i zestaw obrot w platniczych.
Saldo tego bilansu informuje jak dana gospodarka jest zadlużona wzgledem zagranicy. Jeśli saldo jest dodatnie
to mamy do czynienia z nadwyżka w wymianie z zagranica, jeśli zaś ujemne, to mamy do czynienia z deficytem.
Wobec informacji z Rzeczypospolitej z 12-13 marca 2005 roku PKB per capita w USA w 1985 roku
bylo takie samo jak w Unii Europejskiej w 2003 roku. Gdyby PKB per capita roslo o 0,5% szybciej w Unii
Europejskiej, w wczas zr wnanie poziomu PKB per capita w USA i w Unii Europejskiej nastapiloby w 2072
roku. Wydajność pracy w USA w 1989 roku odpowiadala wydajności pracy w Unii Europejskiej w 2003 roku.
Wzrost o 0,5% wydajności pracy w Unii Europejskiej spowodowalby zr wnanie wydajności pracy z USA w 2056
roku. Wydatki na badania i rozw j u USA w roku 1979 byly por wnywalne do analogicznych wydatk w w Unii
Europejskiej w 2003 roku. Przewidywalne zr wnanie wydatk w na badanie i rozw j nastapi w 2123 roku.
49
Inflacja
Inflacja jest to wzrost og lnego poziomu cen. Do badania og lnego poziomu cen w danej gospodarce
najcze ściej jest stosowany indeks cen konsumpcyjnych (CPI). Do mierzenia poziomu cen (liczenia CPI)
wykorzystuje sie zestaw (koszyk) pewnych towar w konsumpcyjnych, ważnych dla przecietnego konsumenta.
Towary te wchodza w sklad koszyka z pewnymi wagami (struktura ich odzwierciedla ważność poszczeg lnych
towar w dla konsumenta). Wylicza sie dla tego koszyka jego wartość z przeszlości. Dzielac wartość bieżaca
przez wartość przeszla otrzymujemy liczbe wieksza od 1 (inflacja) lub mniejsza od 1 (deflacja). W Japonii przez
ostatnie kilka lat wystapila deflacja.
Dla ekonomist w gospodarczych bardziej miarodajna miara zmiany poziomu cen jest tzw. inflacja bazowa.
Jest to inflacja, kt ra nie uwzglednia zmiany sezonowej cen towar w oraz zmian pozaekonomicznych wywolanych
np. kleskami naturalnymi, wydarzeniami politycznymi. Najcze ściej obejmuje to cze ść towar w żywnościowych,
nośniki energii, etc. Za marzec 2007 roku inflacja konsumpcyjna wynosila 2,5%, zaś inflacja bazowa 1,7%.
Dla gospodarki inflacja ma wplyw na og l negatywny, gdyż
1. zmniejsza sklonność do oszczedzania co w dalszej perspektywie skutkuje pomniejszeniem inwestycji,
a wiec oslabieniem wzrostu gospodarczego
2. oslabia funkcje cen jako miernika wartości towaru co komplikuje racjonalny i perspektywiczny rachunek
ekonomiczny dla firm
3. powoduje zmiany w redystrybucji dochodu na dochody (zmniejsza wartość stalych dochod w)
4. sprzyja nieliczności (spekulacji w gospodarce).
Inflacja umiarkowana do 3-4% jest postrzegana przez ekonomist w jako dopuszczalna.
Na wzrost inflacji możemy patrzeć od strony:
1. popytowej - wzmożony popyt może zachwiać podaża, co wywoluje tzw. luke inflacyjna, a to skutkuje
przyspieszonym wzrostem inflacji.
2. kosztowej - nadmierny wzrost cen czynnik w produkcji, w szczeg lności wzrost plac nienada żajacy ze
wzrostem wydajności pracy, skutkuje nadmiernym wzrostem cen.
3. pienie żnej - nadmierny wzrost podaży pieniadza w por wnaniu do potrzeb transakcyjnych gospodarki
skutkuje r wnież (teoria monetaryzmu - M. Friedmann, Phelps) nadmiernym wzrostem inflacji.
Alban W. Phillips przeprowadzil badania dla lat 1861-1957 dla gospodarki brytyjskiej por wnujac tempo
wzrostu plac nominalnych i poziomu bezrobocia i zauważyl, pewien zwiazek miedzy tymi wielkościami, kt re
w literaturze ekonomicznej wystepuje pod nazwa zmodyfikowanej krzywej Phillipsa, kt ra ujmuje zależność
miedzy stopa bezrobocia i stopa inflacji postaci:
50
Zależność ta dobrze tlumaczyla realne zwiazki miedzy stopa bezrobocia i stopa inflacji do lat 70-tych XX
wieku. Zależność ta byla wykorzystywana w praktyce przez polityk w gospodarczych, kt rzy kosztem inflacji
zmniejszali bezrobocie. W realnej gospodarce zależność ta przestala wystepować w latach 70-tych co skutkowalo
tzw. stagflacja - jednoczesnym wzrostem stopy bezrobocia i inflacji.
Na gruncie stagflacji zrodzil sie nurt myśli ekonomicznej zwany monetaryzmem.
Bezrobocie i zatrudnienie
Przez sile robocza (R) rozumieć bedziemy og l ludzi chcacych i mogacych pracować w przedziale wieku od
15 do 65 lat.
R-L
Stopa bezrobocia to iloraz = u, gdzie L jest ilościa os b pracujacych.
R
Bezrobocie jest bezwzglednie zjawiskiem gospodarczym negatywnie oddzialujacym, gdyż:
" obniża PKB (niewykorzystany czynnik produkcji R). Istnieje tzw. prawo Okuna, kt re m wi, że jeden
procent stopy bezrobocia ponad tzw. poziom naturalny powoduje straty aż 3% PKW w stosunku do
poziomu potencjalnego PKB.
" jest dodatkowym obcia żeniem dla tych, co pracuja (dla gospodarki i państwa)
" powoduje r żnorakie koszty spoleczne zwiazane bezpośrednio z bezrobotnymi, a pośrednio z nastepnym
pokoleniem bezrobotnych.
W teorii bezrobocia wyr żniamy nastepujace jego rodzaje:
1. Bezrobocie funkcyjne - jest to efekt adaptacyjnych możliwości przystosowania sie rynku pracy do ciaglej
zmiany ze strony popytu na prace. Uwzglednia sie tu r wnież czynniki informacyjne. Mobilność sily roboczej
jest zbyt wolna w por wnaniu do zmieniajacego sie zapotrzebowania na prace. Rola państwa jest takie dzialanie,
aby ta mobilność poprawiać.
2. Bezrobocie strukturalne - jest ono wynikiem gwaltownych zmian w podaży pracy powodowanych upadkiem
calych branż. Przykladem bezrobocia strukturalnego jest bezrobocie w Lodzi na poczatku lat 90. XX wieku
spowodowane upadkiem l dzkiego przemyslu lekkiego.
3. Bezrobocie koniunkturalne - zwiazane z cyklem koniunkturalnym, kt re obecnie jest już malo zauważalne
ze wzgledu na polityke antycyklowa państwa.
4. Bezrobocie naturalne - koncepcja tego bezrobocia opiera sie na zalożeniu, że nawet przy rynkowych
zasadach popytu i podaży pracy na rynku pracy ustala sie r wnowaga przy pewnym dodatnim poziomie
bezrobocia (Phelps, Friedman).
Bezrobocie naturalne jest wynikiem niedoskonalości rynku pracy. Cze ściowo zazebia sie ono
z bezrobociem funkcyjnym, gdzie przeplyw informacji o nowych miejscach pracy wymaga pewnego czasu oraz
przekwalifikowania do innych zawod w też wymagaja pewnego czasu. Istota bezrobocia naturalnego polega
przede wszystkim na tym, że przy pewnej dodatniej stopie bezrobocia ksztaltuje sie r wnowaga na rynku pracy.
Koncepcja ta jest bliska realnej gospodarce. W przybliżeniu stopa ta wynosi 3%.
Formy dzialalności państwa w zwalczaniu bezrobocia dziela sie na:
1. aktywne - takie, kt re sa nastawione na powiekszanie ilości miejsc pracy i przekwalifikowanie do zawod w,
na kt re jest zapotrzebowanie (to ulgi dla przedsiebiorc w, kt rzy tworza nowe miejsca pracy, szkolenia
bezrobotnych do zawod w poszukiwanych przez pracodawc w).
2. pasywne - formy walki z bezrobociem przede wszystkim poprzez zasilki socjalne dla bezrobotnych.
51
Państwo powinno przede wszystkim kierować swoje środki na aktywne formy zwalczania bezrobocia, gdyż
tylko one moga skutkować jego zmniejszaniem.
Pasywne formy sa tylko pomoca socjalna. Od czasu transformacji ustrojowej w Polsce problem bezrobocia
stal sie bardzo duży. Państwo Polskie nie radzilo sobie ze skuteczna walka z bezrobociem.
Po przystapieniu Polski do Unii Europejskiej Polska nieustannie zajmowala ostatnie miejsce wśr d 25 państw
Unii Europejskiej jeśli chodzi o stope bezrobocia. Być może w 2007/2008 roku uda sie ta niechlubna pozycje
poprawić.
Metoda badania aktywności ekonomicznej ludności uwzglednia nastepujace kryteria:
1. Czy badany jest gotowy podja ć prace.
2. Czy w okresie ostatniego tygodnia pracowal (przez ostatni tydzień nie mial żadnej pracy).
3. Czy aktywnie szukal pracy w ciagu ostatnich 4 tygodni.
Jeśli odpowiedz
na te pytania jest pozytywna to w wczas zalicza sie go do grupy bezrobotnych.
6. R wnowaga makroekonomiczna i rola państwa w gospodarce
R wnowaga makroekonomiczna to taki stan gospodarki, w kt rym mamy do czynienia z r wnowaga globalna
na rynku towar w i uslug, pienie żnym i dla gospodarki otwartej z r wnowaga w bilansie platniczym z zagranica.
Model Hicksa r wnowagi na rynku towar w i pieniadza (1937)
Model ten jest liniowym modelem wia żacym doch d narodowy Y i stope procentowa R. Y = C +I +G+X
gdzie X = Ex - Im jest eksportem netto. Zakladamy, że konsumpcja C wyraża sie wzorem
C = a + bYd = a + b(1 - t)Y gdzie
a > 0 jest konsumpcja autonomiczna (niezależna od dochodu)
b " (0, 1) jest krańcowa sklonnościa do konsumpcji
Yd jest dochodem do dyspozycji (doch d pomniejszony o wielkość podatk w)
t " (0, 1) to stopa podatkowa (odzwierciedla fiskalizm danej gospodarki).
Po wstawieniu tej liniowej zależności do dochodu konsumpcyjnego dostajemy
a 1
Y = + � (I + G + X).
1-b(1-t) 1-b(1-t)
1
Wyrażenie > 1 nazywamy mnożnikiem odpowiednio inwestycyjnym, wydatk w rzadowych badz

1-b(1-t)
eksportu netto. Mnożnik ten skutkuje tym, że np. zwiekszajac wydatki inwestycyjne o wielkość "I mamy
zwiekszony doch d o wielkość "Y tak, że "I < "Y . W modelu tym zakladamy, że inwestycje sa wielkościa
zależna od stopy procentowej postaci I = e - dR, gdzie e > 0 sa to inwestycje autonomiczne (niezależne od
stopy procentowej i od kredytu) oraz d > 0 jest wielkościa, kt ra informuje nas, o ile zmniejsza sie inwestycje,
jeśli stopa procentowa wzrośnie o 1%. W modelu tym zakladamy, że eksport netto zależy zar wno od dochodu
jak i stopy procentowej i zależność ta jest postaci X = g - mY - nR, gdzie g > 0 jest pewna wielkościa stala
bez specjalnej interpretacji geometrycznej, m > 0 informuje nas o ile zwiekszy sie import, gdy doch d wzrośnie
o jedna jednostke, n > 0 informuje nas o ile zmniejszy sie eksport (eksport netto) jeżeli stopa procentowa
wzrośnie o 1%. Na przyklad jeżeli stopa procentowa w Polsce jest wieksza niż w Niemczech, to w wczas
kapital (spekulacyjny) bedzie przeplywal z Niemiec do Polski. Przeplyw ten spowoduje wzmożony popyt na
zlot wki, a to skutkuje wzrostem kursu walutowego, co z kolei oddzialywuje negatywnie na eksport, a korzystnie
na import. Wstawiajac te zależności liniowe do wyjściowego r wnania bilansowego gospodarki otrzymujemy
52
a+e+g 1-b(1-t)+m
1
r wnanie postaci IS : R = - � Y + � G, kt re opisuje r wnowage makroekonomiczna
d+n d+n d+n
na rynku towar w i uslug uwzgledniajaca zależność miedzy dochodem a stopa procentowa. Wydatki rzadowe
w tym r wnaniu traktowane sa jako wielkość egzogeniczna. IS jest skr tem od angielskiego wyrażnia Investment-
saving.
Rynek pieniadza
Niech M bedzie nominalna podaża pieniadza danej gospodarki w danym czasie, zaś P oznacza og lny
poziom cen danej gospodarki. Popyt na pieniadz można rozdzielić na dwie cze ści: na popyt zwiazany z obsluga
transakcyjna w gospodarce (place, zakupy, wszelkie platności zwiazane z ruchem towar w, etc.) jest to tzw.
popyt transakcyjny oraz popyt zwiazany z zakupem (sprzedaża) dlużnych papier w państwa (obligacje, bony
skarbowe). Popyt ten nazywany jest popytem spekulacyjnym. W modelu Hicksa zaklada sie, że r wnanie
r wnowagi na rynku pienie żnym ma postać
M = (kY - lR) � P,
podaż
popyt
gdzie k > 0 jest wsp lczynnikiem zwiazanym z szybkościa obrotu pieniadza w danej gospodarce, a l > 0
jest wsp lczynnikiem preferencji plynności i wyraża preferencje ludności do trzymania pieniadza got wkowego.
kY oznacza popyt transakcyjny, zaś lR popyt spekulacyjny. Po przeksztalceniu r wnanie r wnowagi na rynku
pieniadza możemy zapisać w postaci
k M
LM : R = � Y - (LM - Liquidity Money).
l lP
LM to zbi r punkt w (Y, R) wyznaczajacych r wnowage na rynku pienie żnym.
53
Biorac pod uwage oba rynki otrzymujemy zależność graficzna: w punkcie E mamy jednocześnie r wnowage
na obu rynkach taka, że kombinacja dochodu i stopy wyznacza r wnowage makroekonomiczna w modelu
Hicksa. Polityka gospodarcza państwa powinna być taka, aby sterować tak stopa procentowa, żeby gospodarka
znajdowala sie nieustannie wok l swojego punktu r wnowagi makroekonomicznej. W zmodyfikowanym modelu
Hicksa rozpatruje sie jeszcze dla gospodarki otwartej r wnowage w bilansie platniczym.
Rola państwa w gospodarce
Nie ulega watpliwości, że państwo jest specyficznym podmiotem w gospodarce i jego rola jest znaczaco
wieksza w por wnaniu z innymi podmiotami tej gospodarki. Wyr żniamy trzy ekonomiczne funkcje państwa:
1. Funkcje alokacyjna - polega na podejmowaniu dzialań sprzyjajacych optymalnej alokacji zasob w
gospodarczych (dbanie o efektywne wykorzystywanie czynnik w produkcji, popieranie konkurencyjności,
popieranie prywatyzacji, gdyż wlasność prywatna jest na og l zdecydowanie bardziej efektywna niż państwowa).
2. Funkcje redystrybucyjna - polega na da żeniu państwa do niwelowania zbyt dużych r żnic w dochodach
(polityka spoleczna państwa zwiazana z transferami emerytalnymi, socjalnymi).
3. Funkcje stabilizacyjna - polega na dzialaniach stabilizacyjnych zwiazanych z r wnowaga
makroekonomiczna, ze stabilnym wzrostem gospodarczym, z dbaniem o przyzwoite poziomy inflacji,
zatrudnienia.
Państwo realizuje te funkcje poprzez swoja polityke gospodarcza, czyli przez świadome i celowe oddzialywanie
swoich organ w (wladze centralne i samorzadowe) na gospodarke krajowa.
Do polityk szczeg lowych państwa należa:
1. Polityka wzrostu gospodarczego - jest ona niezmiernie ważna, podejmuje dzialania stymulujace wzrost
gospodarczy, dzialania proinwestycyjne, proinowacyjne, dzialania podnoszace konkurencyjność gospodarki.
2. Polityka strukturalna - ważna szczeg lnie w okresie restrukturyzacji calej gospodarki lub poszczeg lnych
jej galezi - w Polsce w okresie przechodzenia od systemu nakazowo-rozdzielczego do systemu wolnorynkowego
poczawszy od 1989 roku. Polityka strukturalna preferuje rozw j sektor w i galezi przyszlościowych bardziej
konkurencyjnych na arenie miedzynarodowej.
3. Polityka regionalna - nakierowana jest na bardziej harmonijny rozw j calej gospodarki i kierowanie
wiekszej ilości środk w na rozw j rejon w biedniejszych.
4. Polityka sektorowa - wyr żniamy w niej m.in. polityke przemyslowa, rolna, infrastrukturalna, etc.
5. Polityka spoleczna - oddzialywuje na oświate, slużbe zdrowia, demografi (rodzina), zatrudnienie.
e
54
6. Polityka pienie żna (monetarna) - zwiazana z utrzymaniem wartości pieniadza (poziom inflacji). Polityka
ta zwykle zajmuje sie i za nia odpowiada Bank Centralny (NBP). Jej narzedziami sa stopa procentowa (Rada
Polityki Pienie żnej), podaż pieniadza.
7. Polityka fiskalna - zwiazana z wielkościa podatk w i ich struktura oraz z budżetem państwa i samorzad w.
8. Polityka wsp lpracy gospodarczej - nakierowana na ochrone wlasnych interes w gospodarczych na arenie
miedzynarodowej (vide USA).
Te polityki szczeg lowe w wielu wypadkach zachodza na siebie i organy państwa musza je koordynować, aby
byly one jak najbardziej skuteczne (w rzeczywistości nie zawsze tak wychodzi).
Wśr d ekonomist w zar wno obecnie jak i w przeszlości nie bylo kontrowersji, że rola państwa jako podmiotu
w gospodarce jest zdecydowanie wieksza niż wszystkich innych podmiot w. Państwo wyr żnia sie wśr d innych
podmiot w tym, że każdy inny podmiot jest w jakimś sensie podporzadkowany państwu oraz tym, że państwo
ma aparat przymusu w por wnaniu z innymi podmiotami. Sp r natomiast toczy sie wśr d ekonomist w na
odpowiedz
na pytanie jaka ma być rola państwa w gospodarce.
W zależności od szkoly ekonomicznej (doktryny ekonomicznej) wyr żniamy r żne poglady od skrajnego
komunizmu, czyli calkowitej ingerencji państwa w sfere gospodarcza, do skrajnego liberalizmu czyli pogladu
o niezbedne ingerowanie państwa, by zapewnić jego funkcjonowanie (zapewnić bezpieczeństwo wewnetrzne,
zewnetrzne).
Argumentami za interwencjonazmem państwa w gospodarke przyjmuje sie takie argumenty jak:
1. Konieczność zabezpieczenia funkcjonowania systemu gospodarczego
2. Niedoskonalości wolnego rynku (niedoskonalości zwiazane z przeplywem informacji, naturalne da żenie do
monopolizacji)
3. Wystepowanie negatywnych efekt w dzialalności gospodarczej, np. niszczenie środowiska
4. Istnienie d br publicznych, np. infrastruktura, oświata, slużba zdrowia
5. Istnienie tzw. d br wrażliwych spolecznie (alkohol, narkotyki, lekarstwa)
6. Wystepowanie takich zjawisk jak bezrobocie, inflacja, nier wnowaga na r żnych rynkach, nadmierne
r żnice w dochodach.
Argumentami przeciw interwencjonizmowi państwa w gospodarke przyjmuje sie powody takie jak
1. Zakl canie mechanizm w wolnorynkowych (skutkuje miedzy innymi tlumieniem przedsiebiorczości)
2. Znieksztalcanie informacji plynacych z rynku
3. Same koszty interwencjonizmu (koszty biurokracji)
4. Subiektywność państwa (opcje polityczne).
Wsp lczesne nurty interwencjonizmu państwa w gospodarke wywodza sie przede wszystkim z teorii Kegnesa.
Kegnesiści uważaja np. że przyczyna bezrobocia jest zbyt maly popyt globalny, kt rego zwiekszenie poprzez
tańszy pieniadz , roboty publiczne, protekcjonizm państwa spowoduje spadek bezrobocia. Sam Kegnes
podkreślal wielka role państwa w walce z bezrobociem poprzez interwencje na rynku pracy.
Wsp lczesne kierunki neoliberalne dopuszczaja interwencjonizm państwa w gospodarke celem utrzymania
w gospodarce rynkowej ladu instytucjonalno-prawnego, np. monetaryzm zaleca rezygnacje państwa z polityki
przynoszacej kr tkotrwale regulacje koniunktury (jest przeciwnikiem kegnesizmu, gdyż uważa, że taka polityka
przynosi szkody w okresie dluższym wypaczajac naturalne mechanizmy rynkowe). Polityka gospodarcza państwa
powinna być dlugookresowa. Powinna być przede wszystkim nastawiona na walke z inflacja, kt ra jest gl wna
przyczyna zakl cania mechanizm w rynkowych i ma podloże pienie żne.
Milton Friedman ironizuje Nic nie tworzy tak wielu miejsc pracy dla ekonomist w co kontrola, interwencja
ze strony państwa. Dlatego wszystkich ekonomist w cechuje schizofrenia, ich dyscyplina naukowa wywodzaca
sie od Adama Smitha każe im faworyzować rynek, a ich wlasny interes każe im faworyzować interwencje.
55
W efekcie znaczna cze ść środowiska ekonomicznego byla zmuszona godzić te dwie przeciwstawne sily poprzez
faworyzowanie rynku w og lności i przeciwstawianie sie mu w konkretnych przypadkach .
Warto jeszcze wspomnieć o tzw. spolecznej gospodarce rynkowej. Jej zwolennikiem i wykonawca byl miedzy
innymi Ludwik Erhard, ekonomista niemiecki. Realizowana ona byla (i jest) przede wszystkim w Niemczech,
krajach skandynawskich, cze ściowo we Francji. Doktryna ta stara sie godzić (ze skutkiem) zasady wolnorynkowe
z solidarnościa spoleczna. Dopuszcza interwencjonizm państwa ale bez zbytniego psucia rynku . Korzyści
plynace z rozwoju gospodarczego rozklada na szerokie warstwy spoleczeństwa. W ostatnich latach daje sie
zauważyć pewna porażke tej doktryny w bezwzglednej rywalizacji gospodarczej w świecie.
Wedlug Andrzeja Wojtyny wsp lczesne optymalne państwo w roli podmiot w w gospodarce:
1. Stara sie w spos b optymalny koordynować cele kr tko- i dlugookresowe, mikro- i makroekonomiczne
oraz wewnetrzne i zewnetrzne.
2. Jest zdolne do ograniczania swojej roli w gospodarce (biurokracja ma tendencje do samorozwarstwiania).
3. Bierze pod uwage wzgledna niezależność zaangażowania w sferze realnej i regulacyjnej.
4. Stosuje w swoim dzialaniu rachunek ekonomiczny ale nie cele biurokratyczne.
5. Nie podporzadkowuje polityki ekonomicznej doraz
nym celom politycznym (wybory).
6. Jest w stanie oprzeć sie grupa nacisku przy formulowaniu i realizacji cel w ekonomicznych.
7. Potrafi stworzyć warunki, w kt rych wydatki publiczne wspieraja sektor publiczny, a nie konkuruja z
nim.
8. Przywiazuje duża wage do wiarygodności.
9. Prowadzi przejrzyste reguly dla swojej polityki gospodarczej.
10. W polityce stabilizacyjnej oddzialywuje zar wno na strone popytowa jak i podażowa.
11. Wykorzystuje pragmatycznie teorie ekonomiczne niezależnie od preferencji ugrupowań rzadzacych.
7. Wzrost gospodarczy
Wzrost gospodarczy jest zagadnieniem, kt re znajdowalo sie i znajduje w gl wnym nurcie badań
ekonomist w. Rola wzrostu gospodarczego ze spolecznego punktu widzenia jest w ekonomii najważniejsza,
gdyż pozwala zaspokajać w coraz lepszy spos b naturalne da żenia czlowieka. Na przestrzeni dziej w wzrost
gospodarczy jest w dluższej perspektywie nieustanny. Kapitalizm XIX-wieczny i XX-wieczny w pierwszej
polowie charakteryzowal sie fluktuacjami gospodarczymi w swoim rozwoju. Wystepowaly na przemian okresy
intensywnego wzrostu i dość duże okresy spadk w (recesja). Po okresie wielkiego kryzysu gospodarczego na
poczatku lat 30. XX wieku interwencjonizm państwa w dziedzinie przeciwdzialania recesji przynosil przede
wszystkim spowolnień wzrostu, a nie tak jak dawniej spadk w (ujemna stopa wzrostu gospodarczego).
Wzrost gospodarczy w Polsce za 2006 rok to okolo 6%-6,1%.
Przyjmujemy, że agregatowa funkcja produkcji ma postać Y = F(A, K, L), gdzie
Y - doch d
A - postep warunkowo-techniczny (wiedza)
K - kapital (ludzki, rzeczowy)
L - sila robocza (praca).
Wszystkie te wielkości sa wielkościami dynamicznymi, a wiec zależnymi od czasu. Wiedza decyduje o tym,
że przy takich samych wielkościach pozostalych czynnik w K, L mamy r żne poziomy dochod w.
Y
Iloraz nazywamy produkcyjnościa kapitalu.
K
Y
Iloraz nazywamy wydajnościa pracy.
L
56
K
Iloraz nazywamy technicznym uzbrojeniem pracy.
L
Jeżeli Y = F1(AK, L) to w wczas m wimy, że postep techniczny zasila bezpośrednio kapital, a funkcje
produkcji F1 nazywamy funkcja, kt ra jest neutralna w sensie Harroda.
Jeżeli Y = F2(K, AL) to m wimy, że postep techniczny zasila bezpośrednio prace, a funkcje produkcji
F2 nazywamy funkcja produkcji o postepie technicznym neutralnym w sensie Solowa.
Jeżeli Y = AF3(K, L) to m wimy, że postep techniczny zasila r wnomiernie kapital i prace, a funkcje
produkcji F3 nazywamy funkcja, kt ra jest neutralna w sensie Hicksa.
Modelowanie (matematyczne) teorii wzrostu gospodarczego datuje sie już od dość dawna. Za prekursora
tych modeli uważa sie amerykańskiego matematyka Franka Ramsey a, kt ry w 1928 roku opublikowal model
optymalizacyjny makroekonomiczny dotyczacy maksymalizacji użyteczności spolecznej przy sterowaniu stopa
oszczedności. Model ten nie wzbudzil w wczas zainteresowania wśr d ekonomist w, ale po ponad 30 latach wiele
modeli do niego nawiazywalo. Do najprostszych i r wnież najwcześniejszych modeli wzrostu należa tzw. modele
kegnesistowskie (Harrod, Domar, Kaldor), w kt rych na bazie modelu IS-LM dokonuje sie kr tkookresowej
analizy r wnowagi. Nastepna grupa modeli sa to modele matematyczne (Solow, Shell, Mankiw-D. Romer-Weil),
w kt rych podstawowym zalożeniem jest przyjmowanie neoklasycznej funkcji produkcji, czyli funkcji o stalych
przyrostach skali. W ostatnich latach mamy do czynienia z grupa modeli tak zwanego wzrostu endogenicznego
(R. Lucas, P. Romer), kt re charakteryzuja sie funkcja produkcji o rosnacej skali.
Model Solowa (Swana) (1956)
Model ten jest najbardziej reprezentatywnym modelem neoklasycznym. Jest on r wnież punktem wyjścia
do budowy innych modeli wzrostu gospodarczego.
Zalożenia modelu Solowa:
1. Dotyczace funkcji produkcji.
W modelu tym zakladamy, że agregatowa funkcja produkcji jest postaci Y = F(K, AL), gdzie
K - kapital
A - postep techniczny
L - sila robocza
L = AL - praca efektywna
2 2
F " C( ), F " C2(int )
+ +
"F
> 0, czyli krańcowa produkcyjność kapitalu jest dodatnia
"K
"F
> 0, czyli krańcowa produkcyjność pracy jest dodatnia
"L
"2F
< 0, czyli krańcowa produkcyjność kapitalu jest malejaca
"K2
"2F
< 0, czyli krańcowa produkcyjność pracy jest malejaca
"L2
F(0, AL) = F(K, 0) = 0, czyli oba czynniki produkcji sa niezbedne do wyprodukowania czegokolwiek
F(K, AL) = F(K, AL),  > 0.
"F "F "F "F
Funkcja produkcji spelnia także warunki Inady: lim = ", lim = ", lim = 0, lim = 0.
"K
"L
K"
K0+ "K L0+ "L
L"
Jest to r wnież charakterystyka funkcji produkcji. Warunki te z ekonomicznego punktu widzenia oznaczaja, że
dla dostatecznie malej ilości kapitalu (pracy czy pracy efektywnej) jego krańcowa produkcyjność jest dowolnie
duża. Dla dostatecznie dużej wielkości kapitalu (pracy) jego krańcowa produkcyjność jest dowolnie duża.
2. Zalożenia dotyczace postepu technicznego i pracy.
Postep techniczny i praca sa wielkościami egzogenicznymi w tym modelu i przyjmuje sie ich wzrost
wykladniczy wzgledem czasu, tzn. zakladamy, że
57
A = �A, A(0) = A0, A = A(t) dla t e" 0, L = L, L(0) = L0, L = L(t) dla t e" 0.
3. Zalożenia dotyczace kapitalu.
Zakladamy, że przyrost kapitalu opisany jest r wnaniem r zniczkowym postaci
(") K = sF(K, AL) - �K, K(0) = K0
gdzie s " (0, 1) jest stopa oszczedności stala w czasie, � " (0, 1) jest stopa deprecjacji (amortyzacji) kapitalu.
We wzorze tym sF oznacza inwestycje brutto, �K amortyzacje, zaś sF - �K inwestycje netto.
Przyjecie stalych st p oszczedności i deprecjacji kapitalu w dlugim okresie czasu nie odbiega od rzeczywistości
gospodarczej.
Obrazowo model Solowa można przedstawić w nastepujacym schemacie:
Do dalszej analizy tego modelu wprowadzimy dwie wielkości na jednostke pracy efektywnej. Niech
Y K
y = oznacza doch d na jednostke pracy efektywnej, zaś k = kapital na jednostke pracy efektywnej,
AL AL
K
f(k) = F , 1 . Zauważmy ponadto, że dzielac stronami r wnanie (") przez AL i wykorzystujac stale efekty
AL
skali funkcji produkcji otrzymujemy:
K
,1
( )
K ALF AL K
= s � � �AL.
AL AL
Wtedy
K AL-K(A L+AL )
K K A K L K
k = = - � - � = - k� - k = k - k(� + ) = sf(k) - �k.
(AL)2 AL AL A AL L AL
Stad mamy
K0
("") k = sf(k) - (� +  + �) k, k(0) = k0 = .
A0L0
R wnanie ("") jest podstawowym r wnaniem w modelu Solowa i opisuje ono przyrost kapitalu na jednostke
pracy efektywnej. Jest ono nazywane r wnaniem ruchu modelu Solowa.
Z uczynionych zalożeń o funkcji produkcji F wnosimy, że funkcja produkcji f jest klasy C2, f > 0, f�� < 0,
f (0+) = ", f (") = 0, f(0) = 0.
58
t"
Interesuje nas wzrost zr wnoważony, tzn. taki, że k (t) 0. k" jest punktem, dla kt rego pochodna jest
r wna 0. Jeżeli k0 < k", to k (t) > 0, czyli k jest rosnaca. Jeżeli k0 > k", to k (t) < 0, czyli k jest malejaca.
W obu tych przypadkach rozwiazanie da ży do stabilnego poziomu kapitalu k".
59
Twierdzenie
k" = k"(s, , �, �), gdzie s jest rosnace, zaś , �, � sa malejace.
Startujac od dowolnej wartości poczatkowej k0 > 0 możemy pokazać, że istnieje dokladnie jedno rozwiazanie
k", kt re można otrzymać stosujac zasade iteracji Banacha.
" K
Ponieważ Y = ALY , = k, wiec K" = ALk".
AL
K
Stopa wzrostu kapitalu w r wnowadze, czyli = � +  jest stala i r wna sumie st p wzrostu postepu
K
technicznego . Stopa ta zależy wiec od wielkości egzogenicznych tego modelu i widać z niej, że wzrost
akumulacji kapitalu jest wynikiem wzrostu postepu technicznego i pracy.
K
Iloraz = Ak czyli techniczne uzbrojenie pracy w r wnowadze modelu Solowa rośnie wedlug stopy r wnej
L
A
� = .
A
Analogicznie mamy tak jak dla kapitalu r wnież dla produkcji stope wzrostu w r wnowadze r wna sumie
st p wzrostu postepu technicznego i pracy.
C
Konsumpcja w r wnowadze ma postać c" = (1 - s)f(k"). Ponieważ c" = , wiec C" = ALc" jest
AL
konsumpcja na jednostke pracy efektywnej.
Stad konsumpcja globalna rośnie r wnież (tak samo jak produkt i kapital) wedlug stopy postepu technicznego
C" (A L+AL )c" A L
i pracy. Mamy = = + = � + .
C" ALc" A L
Z powyższego wnosimy, że model Solowa wskazuje jako z
r dla wzrostu postep techniczny i sile robocza.
Konsumpcja na jednostke pracy efektywnej w r wnowadze modelu Solowa wyraża sie wzorem
C" = f(k") - sf(k") = f(k") - (� +  + �)k"
gdyż w r wnowadze inwestycje sprowadzaja sie do inwestycji odtworzeniowych. Stad
c" = C"(k") = C"(k"(s, �, , �)).
Dobrobyt spoleczny wyznaczany jest przez wielkość konsumpcji. Im konsumpcja jest wieksza per capita
tym lepiej. Istotnym parametrem wplywajacym na przyrost kapitalu, a wiec na przyrost konsumpcji, na kt ry
możemy oddzialywać jest wielkość inwestycji, a wiec parametr s.
Można pokazać, że dla pewnego s" " (0, 1) konsumpcja c" osiaga swoje maksimum i poziom tej stopy
oszczedności (inwestycji) nosi nazwe zlotej reguly akumulacji kapitalu w modelu Solowa.
Zadanie
Przeprowadzić analize modelu Solowa dla przypadku funkcji produkcji typu Cobba-Douglasa postaci
F(K, L) = Ką(AL)1-ą dla ą " (0, 1).
Wyznaczyć poziomy r wnowagi zmiennych tego modelu, ich zależności od parametr w. Wyznaczyć stope
oszczedności, kt ra odpowiada zlotej regule akumulacji kapitalu w r wnowadze k = ską-(�++�)k, ą " (0, 1).
Zauważmy, że
1-ą
"F AL
= ąKą-1(AL)1-ą = ą � > 0
"K K
ą
"F K
= (1 - ą)Ką(AL)-ą = (1 - ą) � > 0
"(AL) AL
(AL)1-ą
"2F
= ą(1 - ą) � < 0
"K2 K2-ą
"2F Ką
= -ą(1 - ą) � < 0.
"(AL)2 (AL)1+ą
Dla warunk w Inady mamy
1-ą
"F AL
lim = lim ą � = "
K0+ "K K0+ K
ą
"F K
lim = lim (1 - ą) � = "
AL
AL0+ "(L) AL0+
1-ą
"F AL
lim = lim ą � = 0
"K K
K" K"
ą
"F K
lim = lim (1 - ą) � = 0.
"(AL) AL
AL" AL"
60
ą
Ką(AL)1-ą K
F K
Przyjmijmy w analogii do wcześniejszych oznaczeń, że y = = = , k = oraz
AL AL AL AL
K
f(k) = F , 1 . Wobec stalych efekt w skali funkcji produkcji otrzymujemy
AL
sf(k) - (� +  + �) k = 0. Stad
ą
K K
s � - (� +  + �) � = 0
AL AL
ą
K K
s � = (� +  + �) �
AL AL
1-ą
K s
=
AL �++�
1
1-ą
K s
= .
AL �++�
ą
ą 1-ą
F K F s
Ponieważ = wiec = .
AL AL AL �++�
1
1-ą
s
Wobec tego k" = jest zr wnoważonym poziomem kapitalu na jednostke pracy efektywnej,
�++�
ą
1-ą
s
zaś y" = f(k") = zr wnoważonym poziomem produkcji na jednostke pracy efektywnej.
�++�
Wykorzystajmy fakt, że C" = f(k") - (� +  + �)k". Stad
ą 1 ą
1-ą 1-ą 1-ą
s s s
C" = - (� +  + �) � = � (1 - s).
�++� �++� �++�
ą
1-ą
s
Zatem konsumpcja na jednostke pracy efektywnej wynosi C" = � (1 - s).
�++�
Wyznaczymy teraz wartość s, dla kt rej C" jest maksymalne. Rozważmy logarytm C". Otrzymujemy
ą
1-ą
s ą s
ln C" = ln � (1 - s) = ln(1 - s) + ln .
�++� 1-ą �++�
Stad
" ln C" 1 ą �+�+ 1 1 ą -s(1-ą)+ą(1-s) -s+ą
= -1-s + � � = -1-s + = = oraz
"s 1-ą s �++� s(1-ą) s(1-ą)(1-s) s(1-ą)(1-s)
" ln C" -s+ą
= 0 �!�! = 0 �!�! s = ą.
"s s(1-ą)(1-s)
Zatem s = ą jest stopa oszczedności, kt ra odpowiada regule akumulacji kapitalu w r wnowadze.
Rozwia żmy r wnanie k = ską - (� +  + �)k, ą " (0, 1). W tym celu podstawmy z = k1-ą. Wtedy
z = (1 - ą)k-ąk . Stad r wnanie ma postać
z
ką = ską - (� +  + �)k
(1-ą)
z
= s - (� +  + �)k1-ą
(1-ą)
z = (1 - ą)s - (1 - ą)(� +  + �)z
z = (ą - 1)(� +  + �)z + (1 - ą)s.
Rozważmy r wnanie jednorodne z = (ą - 1)(� +  + �)z. Otrzymujemy stad
z = C1e(ą-1)(�++�)t.
Uzmienniajac stala, tzn. przyjmujac C1 = C1(t) mamy
z = C1e(ą-1)(�++�)t + C1(ą - 1)(� +  + �)e(ą-1)(�++�)t. Stad
C1e(ą-1)(�++�)t + C1(ą - 1)(� +  + �)e(ą-1)(�++�)t = C1(ą - 1)(� +  + �)e(ą-1)(�++�)t + (1 - ą)s
C1e(ą-1)(�++�)t = (1 - ą)s
C1 = (1 - ą)se(1-ą)(�++�)t
(1-ą)s
s
C1 = e(1-ą)(�++�)t = e(1-ą)(�++�)t.
(1-ą)(�++�) �++�
s
Zatem z = C1e(ą-1)(�++�)t + . Wracajac do podstawienia mamy
�++�
1
1-ą
s
k = C1e(ą-1)(�++�)t + .
�++�
K0
Wiadomo r wnież, że k(0) = . Stad
A0L0
1
1-ą
K0 s
= C1 +
A0L0 �++�
1-ą
K0 s
C1 = - .
A0L0 �++�
Zatem ostatecznie
1
1-ą
1-ą
K0 s s
k = - e(ą-1)(�++�)t + .
A0L0 �++� �++�
61
8. Integracja gospodarcza, globalizacja oraz Polska w Unii Europejskiej
Przez gospodarke światowa rozumiemy caly system wzajemnie na siebie oddzialywujacych podmiot w takich
jak:
" państwa (gospodarki narodowe)
" miedzynarodowe organizacje gospodarcze (UE, Nafta, Afeant)
" miedzynarodowe organizacje typu ONZ, Światowa Organizacja Handlu, Miedzynarodowy Fundusz
Walutowy, Bank Światowy, OECD
" korporacje miedzynarodowe (G8+1).
Idee integracji (gospodarczej, politycznej, etc.) sa znane w historii od bardzo dawna, pochodza np. od
Imperium Aleksandra Macedońskiego, Cesarstwa Rzymskiego, podboj w napoleońskich, Adolfa Hitlera, J zefa
Stalina, Roberta Schumanna.
Termin globalizacja w rozumieniu obecnym zostal zapoczatkowany w 1995 roku na konferencji w San
Francisco przez czolowe osobistości świata biznesu i polityki przodujacych gospodarczo państwa i koncern w.
Wizja świata globalnego (globalnej wioski) byla już bardzo dawno dostrzegana.
W świecie globalnym ustr j można nazwać demokracja konsumencka., w kt rym pojecie narodu zostalo
zastapione pojeciem ludzkości, a pojecie obywatela pojeciem konsumenta. Globalizacja jest procesem
obejmujacym funkcjonowanie gospodarki rynkowej w skali świata w trzech wymiarach:
" gospodarczym
" politycznym
" spolecznym.
W wyniku procesu globalizacji bedzie zanikal podzial proces w gospodarczych na krajowe i zagraniczne.
Gospodarki krajowe beda tracily na znaczeniu, a w coraz wiekszym stopniu na gospodarki krajowe beda
oddzialywać korporacje miedzynarodowe. Globalizacja to procesy liberalizacji rynk w, towar w, uslug, kapitalu,
technologii, sily roboczej (czynnik w produkcji) w jeden globalny rynek światowy.
62
Gl wnymi podmiotami globalizacji sa korporacje miedzynarodowe, kt re da ża do internacjonalizacji
wlasności, regul i zasad dzialania (aż do podporzadkowywania sobie gospodarek krajowych). Globalizacja
w obecnym wydaniu prowadzi do rozwarstwiania dochodu i to zar wno miedzy państwami (rejonami
geograficznymi) jak i miedzy pracobiorcami w krajach nawet bogatych.
Podstawa ideowa globalizacji jest doktryna neoliberalna (coraz mniej państwa w gospodarce - prywatyzacja
ubezpieczeń, edukacji, slużby zdrowia). Takim motto neoliberalizmu jest sentencja pochodzaca od Friedmanna.
Wieksza wolność gospodarcza prowadzi do wiekszego dobrobytu .
Globalizacja powoduje r wnież olbrzymi wzrost przeplyw w finansowych co prowadzi do ekspansji sektora
finansowego. Na globalizacji korzystaja przede wszystkim wlaściciele kapitalu oraz ludzie zwiazani z sektorem
finansowym (pracujacy w sektorze finansowym). Obecna ekspansja rynk w finansowych prowadzi już do
olbrzymich proces w wt rnego obiegu pieniadza (transakcje finansowe dla checi zarobku tylko na samej
transakcji, czyli spekulacji). Procesy te wydaja sie być groz
ne dla przyszlości, np. znane kryzysy finansowe:
meksykański, azjatycki, argentyński. Zapomniano już o przestrodze Johna Kegnesa, że Spekulacja powinna
być co najwyżej piana na spokojnych wodach przedsiebiorczości .
Unia Europejska
Unia Europejska jest ugrupowaniem regionalnym 27 państw europejskich. Z formalnego punktu widzenia
procesy integracyjne, kt re doprowadzily do dzisiejszej Unii Europejskiej trwaja już od ponad p l wieku. Procesy
te rozwijaly sie zar wno wszerz (powiekszanie obszaru wsp lnoty) jak i wglab (obejmowanie coraz to wiecej
dziedzin integracji gospodarczej, spolecznej i politycznej).
Chronologicznie najważniejszymi traktatami, kt re doprowadzily do dzisiejszej Unii Europejskiej byly:
1. Traktaty Rzymskie (marzec 1957 rok) - wchodzily w życie 1 stycznia 1958 roku. Byly to podwaliny
traktatowe obecnej Unii Europejskiej. Traktaty podpisaly w wczas Wlochy, Niemcy Zachodnie, Francja, Belgia,
Holandia i Luksemburg. Europejska Wsp lnota Gospodarcza (EWG) utworzona na mocy traktat w miala na
celu stopniowe ograniczenie barier celnych.
2. Traktat z Maastricht (1992 rok) - poszerzyl wglab Unie Europejska.
3. Traktat z Nicei (2001 rok) - ustalil nowy podzial sil w Unii Europejskiej, wprowadzajac zasade liczenia
glos w.
4. Traktaty akcesyjne poszczeg lnych państw z wsp lnotami europejskimi:
a. Rok 1973 - przystapienie Wielkiej Brytanii, Irlandii i Danii
b. Rok 1981 - przystapienie Grecji
c. Rok 1986 - przystapienie Hiszpanii i Portugalii
d. Rok 1995 - przystapienie Finlandii, Szwecji i Austrii
e. Rok 2004 - przystapienie Polski, Czech, Slowacji, Wegier, Slowenii, Estonii, Litwy, Lotwy, Malty i Cypru
f. Rok 2007 - przystapienie Bulgarii i Rumunii.
Do najważniejszych instytucji Unii Europejskiej należa:
a. Komisja Europejska - organ wykonawczy Unii Europejskiej. Na czele komisji stoi jej przewodniczacy
(obecnie jest nim Jose Manuel Barroso). Kadencja Komisji trwa 5 lat. Komisja jest odpowiednikiem
rzadu w państwie. Zajmuje sie bieżaca dzialalnościa wykonawcza i kontrolna wobec państw czlonkowskich,
posiada inicjatywy ustawodawcze (dyrektywy), czuwa nad wykonywaniem prawa unijnego. Siedziba Komisji
Europejskiej jest Bruksela. Organ ten obslugiwany jest przez okolo 17000 pracownik w. Polskim komisarzem
jest Danuta Huebner odpowiedzialna za polityke regionalna.
63
b. Rada Ministr w - sklada sie z przedstawicieli wszystkich państw czlonkowskich, ale sklad zmienia sie
w zależności od rozpatrywanych problem w (rolnictwo, handel, polityka naukowa, etc.). Przewodniczacym Rady
Ministr w jest minister spraw zagranicznych państwa, kt re w danym momencie przewodniczy Unii Europejskiej.
c. Rada Europejska - sklada sie z szef w państw i rzad w państw czlonkowskich. W praktyce zalatwiane
sa najważniejsze i najbardziej sporne sprawy. Spotkania odbywaja sie zwykle dwa razy w ciagu p lrocza.
Przewodniczy im szef rzadu lub kraju prezydencji.
d. Parlament Europejski - wybierany w wyborach bezpośrednich, liczy 732 czlonk w. Z Polski w jego
sklad wchodzi 50 eurodeputowanych. Parlament Europejski to odpowiednik polskiego Sejmu, ale o dużo
mniejszych prerogatywach. Do najważniejszych uprawnień należy zatwierdzanie budżetu Unii Europejskiej.
Siedziba Parlamentu Europejskiego jest Strasburg, ale oddzialy Parlamentu znajduja sie r wnież w Brukseli
i Luksemburgu.
e. Trybunal Sprawiedliwości - rozstrzyga sprawy wewnetrzne Unii Europejskiej miedzy państwami Unii
Europejskiej, miedzy państwami a Komisja Europejska, miedzy instytucjami oraz miedzy obywatelami Unii
Europejskiej a poszczeg lnymi państwami. Siedziba Trybunalu Sprawiedliwości jest Strasburg.
f. Trybunal Obrachunkowy - odpowiednik polskiej Naczelnej Izby Kontroli.
9. Elementy myśli ekonomicznych
Przedmiotem badań teorii myśli ekonomicznych jest prezentacja, analiza proces w ksztaltowania sie r żnych
poglad w i koncepcji ekonomicznych, ich wzajemne przenikanie sie i ścieranie oraz ich wplyw na rozw j
gospodarczy. Historia myśli ekonomicznych jest zapewne tak stara jak czlowiek. Za narodziny nowożytnej
myśli ekonomicznej tak samo jak ekonomii jako nauki przyjmuje sie umownie rok 1776, w kt rym to roku
ukazalo sie dzielo Adama Smitha Badania nad natura i przyczynami bogactwa narodu .
W 1870 roku D. Ricardo opublikowal Zasady ekonomii politycznej i opodatkowania . Idee zawarte w tych
dw ch dzielach sa dzisiaj uważane za fundamenty tzw. ekonomii klasycznej, kt rej podstawa jest liberalizm
ekonomiczny gloszacy, że swoboda dzialania i wolna konkurencja samoczynnie (bez żadnej ingerencji z zewnatrz)
prowadza do efektywnej r wnowagi gospodarczej. Tak zwana u Smitha Niewidzialna reka rynku dokonuje
optymalnej alokacji zasob w. Uruchamia mechanizmy samoregulujace w gospodarce i prowadzi do r wnowagii
na wszystkich rynkach.
Oto kilka cytat w pochodzacych od Smitha:
1. To nie dobrej woli rzez
nika, piwowara czy piekarza zawdzieczamy nasz obiad, lecz ich dbalości
o wlasny interes - jest to myśl, że egoizm generalnie naganny może być sila napedowa rozwoju spoleczeństwa
konkurencyjnego.
2. Każdym czlowiekiem kieruje jakaś niewidzialna reka tak, aby zda żal on do celu, kt rego wcale nie
zamierzal osiagna ć - da żacym do wlasnego celu, dobra prowadzeni sa jednocześnie do cel w, kt re sa zbieżne
z celami og lnymi.
3. Majac na celu sw j wlasny interes, czlowiek czesto popiera interes spoleczeństwa skuteczniej niż wtedy,
gdy zamierza mu slużyć rzeczywiście .
U Smitha swobodna konkurencja dzialalności gospodarczej powoduje wyr wnywanie st p przychodu.
Wyr wnywanie st p przychodu prowadzi do wyr wnywania zysk w i do optymalnej alokacji czynnik w
produkcji. Wsp lczesna teoria ekonomiczna obejmuje wiele nurt w. Do gl wnych wsp lczesnych nurt w myśli
ekonomicznej zaliczamy:
64
1. nurt neoklasyczny (neoliberalny)
2. nurt kejnesistowski (kejnesizm).
Nurt neoklasyczny postrzega rzeczywistość gospodarcza jako bliska r wnowagii i dopuszcza tylko niezbedne
ingerencje (państwa) w samoregulujaca sie gospodarke. W nurcie neoliberalnym mieści sie dość wyrazisty nurt
zwany monetaryzmem (Miltona Friedmana), kt ry twierdzi, że zakl cenia r wnowagi moga mieć miejsce tylko
w kr tkim okresie czasu. Gospodarka prywatna zapewnia sama (bez wiekszej ingerencji państwa) niezbedna
r wnowage ekonomiczna w dluższym okresie czasu. Przy spolecznej akceptacji tzw. naturalnej stopy bezrobocia
mamy wedlug monetaryst w r wnowage na rynku pracy.
Za poczatek kejnesizmu uważa sie rok 1936, w kt rym to roku zostalo opublikowane dzielo Kegnesa
pt. Og lna teoria zatrudnienia, procentu i pieniadza . Nurt ten zrodzil sie po wielkim kryzysie
gospodarczym poczatku lat 30. Gl wny nacisk kejnesizm (w przeciwieństwie do liberalizmu) kladzie na procesy
makrogospodarcze. Kejnesizm dopuszcza interwencje państwa w sfery gospodarki, gdyż nie uważa, że tylko
mechanizmy rynkowe prowadza do r wnowagi gospodarczej. Kegnes uważal, że popyt globalny jest czynnikiem
wyznaczajacym poziom zatrudnienia. Zwiekszenie tego popytu poprzez ingerencje państwa w mechanizmy
rynkowe prowadzi do zmniejszenia bezrobocia. Możliwość wedlug nurtu neoliberalnego wystepowania r wnowagi
na rynku pracy przy niepelnym wykorzystaniu tego czynnika produkcji powoduje, że interwencjonizm państwa
jest pożadany i usprawiedliwiony.
Na przestrzeni ostatnich dziesiecioleci oba te gl wne nurty (neoliberalizm i kejnesizm) konkuruja ze soba, ale
r wnież przenikaja sie jednocześnie. Oba przyjmuja paradygmat o maksymalizacji użyteczności przez racjonalne
podmioty mikroekonomiczne.
Nurt klasyczny 1776-1871
A. Smith 1776
D. Ricardo 1817
�!
Nurt neoklasyczny (neoliberalny) 1871
L. Walras
.
V. Pareto Kegnesizm 1936
A. Marshall J. Kegnes
F. Hayek N. Kaldor
M. Fiedmann R. Harrod
R. Solow
Do najbardziej znanych polskich ekonomist w, kt rzy odegrali role w teorii ekonomii zaliczani sa:
1. Michal Kalecki - przedstawiciel kegnesizmu, a nawet wyprzedzil nieco idee Kegnesa. Zmarl w 1970 roku.
M wil Pracownicy wydaja to co zarobili, a przedsiebiorcy zarabiaja to co wydaja .
2. Oskar Lange (1904-1965) - pr bowal laczyć analize marginalistyczna z marksizmem. Byl r wnież
praktykiem gospodarczym. Stal na czele tzw. urzedu planowania w okresie gospodarki nakazowo-rozdzielczej
(państwo regulowalo prawie wszystkie obszary).
65
II. Elementy teorii rynk w finansowych
1. Przedmiot, funkcje i podzia rynk w finansowych
Jak wiadomo z teorii ekonomii, gl wnymi podmiotami gospodarki sa gospodarstwa domowe, firmy i państwo
(organy wladzy centralnej i terenowej oraz organy wladzy samorzadowej). Miedzy tymi podmiotami wystepuja
r żne relacje i zależności. W sferze przedmiotowej możemy wyr żnić w gospodarce sfere uslug materialnych
i niematerialnych. W relacjach miedzy podmiotami potrzebny jest jakiś pośrednik, umownie tym pośrednikiem
jest rynek finansowy. Przez rynek finansowy rozumiemy możliwość dokonywania r żnego rodzaju um w miedzy
podmiotami w celu regulowania ich wzajemnych zobowiazań. Rynek finansowy to r wnież możliwość przyplywu
środk w finansowych od tych podmiot w, kt re maja ich nadmiar, do tych, kt re je potrzebuja (przeplyw
oszczedności na inwestycje). Pomiedzy podmiotami gospodarki wolnorynkowej realizuje sie nieustannie ciag
zdarzeń i powiazań (ciag transakcji).
Oto schemat powiazań i przeplyw w finansowych:
66
Do podstawowych funkcji rynku finansowego zaliczamy:
1. Funkcje alokacyjna, kt ra to pozwala na optymalne rozmieszczenie środk w finansowych miedzy
uczestnikami rynku.
2. Funkcje pozwalajaca utrzymywać plynność finansowa uczestnik w rynku. Plynność finansowa podmiotu
to zdolność do wywiazywania sie ze zobowiazań (należności) oraz zdolność do utrzymywania dzialalności
gospodarczej.
3. Funkcje minimalizujaca ryzyko dzialalności gospodarczej.
4. Funkcje transakcyjna pozwalajaca funkcjonować systemowi gospodarczemu.
Rynek finansowy dzieli sie na
1. Rynek pienie żny - instrumentami tego rynku sa bony skarbowe, bony komercyjne, weksle (papiery
wartościowe, kt rych zapadalność jest do jednego roku), zaś podmiotami rynku pienie żnego sa przede wszystkim
banki komercyjne.
2. Rynek kapitalowy - jego instrumentami sa akcje, obligacje (skarbowe, komunalne, firmowe), zaś
podmiotami sa gieldy papier w wartościowych, banki, domy maklerskie, państwo.
3. Rynek instrument w pochodnych - instrumentami sa opcje i kontrakty terminowe, zaś podmiotami tego
rynku sa banki i inne duże instytucje finansowe.
4. Rynek walutowy - jego instrumentami sa waluty, zaś podmiotami banki, instytucje finansowe i państwo.
2. Rynek pienie żny i system bankowy
Rynek pienie żny to ta najbardziej plynna cze ść rynku finansowego. Transakcje zawierane na rynku
pienie żnym sa kr tkie, od 1 dnia do 1 roku. Rynek ten umożliwia bieżace dostosowywanie plynności finansowej
podmiot w gospodarczych. Ze wzgledu na wielkość transakcji rynek ten dzielimy na hurtowy i detaliczny. Rynek
hurtowy to transakcje zawierane przede wszystkim miedzy bankami (rynek miedzybankowy). Rynek detaliczny
to rynek transakcji miedzy gospodarstwami domowymi i mniejszymi firmami.
Do gl wnych instrument w rynku hurtowego zaliczamy:
1. Rynek lokat miedzybankowych. Do podstawowych st p procentowych tego rynku zaliczamy:
a. WIBOR - jest to stopa, wedlug kt rej bank jest sklonny udzielać kredyt w innym bankom
b. WIBID - jest to stopa, wedlug kt rej bank jest got w zaplacić za środki przyjete do depozytu od innego
banku.
2. Bony skarbowe - dlużne papiery skarbu państwa. Ich żywotność trwa od 4 do 52 tygodni. Sprzedawane
sa w imieniu Skarbu Państwa przez Ministerstwo Finans w na przetargach z dyskontem. Nabywanie bon w
uprawnia w danym momencie do zakupu bon w skarbowych.
3. Kr tkoterminowe papiery dlużne firm - na przyklad bony komercyjne firm.
4. Certyfikaty depozytowe - odpowiedniki bon w komercyjnych dla bank w.
67
System bankowy
System bankowy to infrastruktura dla rynku finansowego. W gospodarkach wolnorynkowych system
bankowy jest dwupoziomowy.
Funkcje banku centralnego to:
1. Funkcja emisyjna (druk pieniadza).
2. Nadz r nad calym systemem bank w komercyjnych.
3. Przechowywanie rezerw krajowych (zlota, walut) i zarzadzanie tymi rezerwami.
4. Gromadzenie i przechowywanie rezerw (obowiazkowych bank w komercyjnych).
5. Funkcja kredytowa i cze ściowo fiskalna wobec państwa.
Celem banku centralnego jest
a. dbanie o stabilność pieniadza krajowego (inflacja, kurs walutowy)
b. dbanie o należyte funkcjonowanie i stabilizacje calego systemu bankowego
c. dbanie o dlugofalowy wzrost gospodarczy.
Bank centralny może realizować swoje cele tylko w przypadku, gdy ma dostateczna samodzielność do ich
realizacji. W gospodarkach wolnorynkowych banki sa niezależne od instytucji rzadowych. NBP podlega tylko
Sejmowi, kadencyjność wladz banku jest stosunkowo dluga i wynosi 6 lat.
Bank centralny realizuje swoje cele poprzez polityke pienie żna. Jej gl wnymi elementami sa wielkość st p
procentowych (RPP), rezerwy obowiazkowe bank w komercyjnych oraz ich wielkość oprocentowania. Stopy
procentowe wyznaczane przez NBP to stopy:
1. Stopa operacji otwartego rynku (stopa referencyjna) - stopa 7-dniowa w wymiarze nominalnym rocznym
i obecnie wynosi 4,25%. Operacje otwartego rynku reguluja bieżaca plynność bank w komercyjnych. Bank
centralny ma prawo do sprzedaży bankom komercyjnym papier w wartościowych Skarbu Państwa i prawo do
odkupu tych papier w (banki komercyjne nie moga odm wić zakupu tych papier w). Stopa referencyjna jest
to minimalny pr g kosztu zakupu tych papier w.
2. Stopa kredytu lombardowego - jest to stopa minimalna, po kt rej bank centralny pożycza chwilowo pod
zastaw pieniadze bankom komercyjnym. Obecnie wynosi 5,75%.
3. Stopa redyskontowania weksli - stopa, wedlug kt rej bank centralny skupuje weksle od bank w
komercyjnych. Obenie wynosi ona 4,5%.
4. Stopa lokat bank w komercyjnych w banku centralnym - obecnie wynosi 2,75%.
68
Spis treści
I. Elementy teorii ekonomii 2
1. Przedmiot, metodologia i matematyzacja ekonomii 2
2. Wybrane modele teorii konsumenta 4
" Funkcja użyteczności 7
" Zachowanie konsumenta na rynku konkurencyjnym 10
" Pierwsze zadanie konsumenta (maksymalizacja użyteczności) 10
" Popyt Marshalla 11
" Funkcja użyteczności pośredniej 13
" Klasyfikacja towar w (d br) 16
" Ścieżki ekspansji cenowej i dochodowej 18
" Drugie zadania konsumenta (minimalizacja wydatk w) 19
" Dualizm obu zadań konsumenta 21
" Efekt substytucyjny i dochodowy przy zmianie cen 22
" Standardowe zalożenia o skalarnej funkcji produkcji 23
3. Wybrane modele teorii producenta 26
" Pierwsze zadanie producenta (maksymalizacja zysku) 26
" Drugie zadanie producenta (minimalizacja koszt w produkcji) 29
" Trzecie zadanie producenta (maksymalizacja zysku producenta wzgledem wielkości produkcji) 31
" Monopol 33
" Pierwsze zadanie monopolisty (maksymalizacja zysku) 34
" Drugie zadanie monopolisty (minimalizacja koszt w produkcji) 34
" Trzecie zadanie monopolisty (maksymalizacja zysku przy minimalnych kosztach) 35
" Strata spoleczna monopolu 37
4. Pewne modele r wnowagi rynkowej 39
" Podstawowe uwagi dotyczace modelu Arrowa-Debreu-Mc Kensiego 46
5. Podstawowe teorie makroekonomii 47
" Doch d (PKB) 48
" Metody liczenia PKB 48
" Inflacja 50
" Bezrobocie i zatrudnienie 51
6. R wnowaga makroekonomiczna i rola państwa w gospodarce 52
" Model Hicksa r wnowagi na rynku towaru i pieniadza (1937) 52
" Rynek pieniadza 53
" Rola państwa w gospodarce 54
7. Wzrost gospodarczy 56
" Model Solowa (Swana) (1956) 57
8. Integracja gospodarcza, globalizacja oraz Polska w Unii Europejskiej 62
" Unia Europejska 63
9. Elementy myśli ekonomicznej (podstawowe doktryny ekonomiczne) 64
II. Elementy teorii rynk w finansowych 66
1. Przedmiot, funkcje rynk w finansowych 66
2. Rynek pienie żny i system bankowy 67
" System bankowy 68
69