Algebra
Projekt przygotowały:
Martyna Kozaryn
Luiza Kamińska
klasa: 2B
Nauczyciel opiekun:
P. Katarzyna Jakubowska
Co to jest Algebra?
Algebra to jeden z najstarszych działów matematyki, który
powstał w starożytności, i którego zakres zmieniał się w
ciągu wieków. Początkowo algebra zajmowała się
rozwiązywaniem równań. Odkąd symbole literowe
pojawiły się w arytmetyce, algebra przekształciła się w
naukę o działaniach na literach i tak właśnie rozumie się
obecnie algebrÄ™.
Słówka pomocnicze:
* jednomian  pojedyncza liczba, litera lub liczba i litera połączona
znakiem mnożenia.
* redukcja wyrazów podobnych  działania na współczynnikach
liczbowych (dodajÄ…c lub odejmujÄ…c) a litery przepisujemy bez zmian.
Równania  przykładowe
zadania
Zadanie 1
Rozwiąż równanie:
Trzeba obliczyć ile wynosi x aby
2x = 10 / :2
to zrobić należy podzielić
obustronnie przez liczbÄ™ stojÄ…cÄ…
x = 5
przy x. Wynik wychodzi 5
Spr.
L = 2x = 2 ` 5 = 10
Należy sprawdzić, aby być
P = 10
pewnym, że dobrze obliczyliśmy.
L = P
Aby być
pewnym że
wynik wyszedł
nam dobry
należy wykonać
sprawdzenie
Zadanie 2
Z lewej strony należy pomnożyć
jednomiany z nawiasu przez
4a (a + 2) = (2a)² + 16
jednomian stojÄ…cy przed nawiasem
a po prawej stronie należy
podnieść do potęgi.
Jeżeli po dwóch stronach
4a² + 8a = 4a² + 16 / -4a²
występuje taki sam jednomian o
tym samym znaku to należy się
go pozbyć używając
odpowiedniego działania; w tym
przypadku odejmowanie.
8a = 16 / :8
Trzeba obliczyć a. Należy z -8a
obliczyć a czyli podzielić przez
liczbÄ™ znajdujÄ…cÄ… siÄ™ przy a.
a = 2 Wynik wychodzi 2.
Spr.
L = 4a (a + 2) = 4 ` 2 ` (2 + 2) = 8 ` 4 = 32
P = (2a)² + 16 = (2 ` 2)² + 16 = 16 +16 = 32
L = P
Równania
zadania z treścią
Zadanie 1
Kapelusz z piórkiem kosztuje 110 zł. Kapelusz
jest droższy od piórka o 100 zł. Ile kosztuje
kapelusz, a ile piórko?
Dane:
kapelusz i piórko  110 zł
Cena piórka  x
Cena kapelusza  110 x lub x+100
Szukane:
cena piórka
cena kapelusza
Obliczenia:
110  x = x + 100 / -x -110
Cene kapelusza można zapisać
dwoma sposobami:
-x  x = 100  110
od ceny kapelusza i piórka odjąć cene
piórka (110  x) lub do ceny piórka dodać
100 zł (100 + x). Wyniki tych dwóch
-2x = -10 / :(-2)
wyrażeń są równe więc piszemy równanie
Cena piórka
i rozwiÄ…zujemy je
x = 5 Cena piórka wychodzi 5 zł
Cena kapelusza
100 + 5 = 105 zł
Odp: Piórko kosztuje 5zł,
a kapelusz 105zł.
Zadanie 2
Siedziały wróble na strachu na wróble. Początkowo na
prawym ramieniu siedziało dwa razy więcej wróbli niż na
lewym. Potem cztery wróble przeniosły się z prawego
ramienia na lewe. Wtedy po obu stronach było tyle samo
wróbli. Ile wróbli siedziało łącznie na strachu na wróble?
lewe ramie prawe ramie
na poczÄ…tku X 2*x
póz
niej X + 4 2x  4
Obliczenia:
x
2x
X + 4
2x - 4
x
X + 4
Równoważnia może nam
służyć jako ramiona
x + 4 = 2x  4
stracha. Najpierw na
x  2x = -4  4 jednym ramieniu siedziało
więcej wróbli niż na drugim,
-x = -8 / : (-1)
ale gdy przeleciało 4 na
obu ramionach ilość wróbli
x = 8
się zrównała.
Następnie należy rozwiązać równanie z
3x = 8 ` 3 = 24
równoważni.
Odp: Na strachu na
wróble było 24 wróbli.
Równania
- zadania z wiekiem
Zadanie 1
Za 3 lata Grześ będzie trzy razy straszy niż
trzy lata temu. Ile lat ma GrzeÅ›?
3 lata temu teraz za trzy lata
wiek Grzesia X  3 X X + 3 lub 3(x - 3)
Obliczenia:
Za 3 lata będzie 3 razy starszy niż 3 lata
3 (x  3) = x + 3
temu. Dlatego wiek trzy lata temu
mnożymy razy 3 i to się równa wiek
Grzesia za 3 lata
3x  9 = x + 3 / -x
2x = 12 / :2
x = 6
Odp: GrzeÅ› ma teraz 6 lat.
Zadanie 2
- Dziadku, ile masz teraz lat?
- Jestem o 10 lat starszy od cioci Asi, a o 20 lat młodszy od
stryjenki Michaliny.
- A ciocia Asia ile ma lat?
- Ciocia Asia jest dwa razy starsza od Jurka.
- A ile lat ma stryjenka Michalina?
- Jest trzy razy starsza od Jurka.
- A ile lat ma Jurek?
- To już sobie oblicz sam.
Ile lat ma dziadek a ile Jurek?
Dane:
wiek Jurka  x
wiek cioci Asi  2x
wiek stryjenki Michaliny  3x
wiek dziadka  10 + 2x lub 3x  20
szukane:
wiek Jurka
wiek dziadka
Obliczenia:
Mamy podane 2 wieki dziadka ale
10 + 2x = 3x - 20
wiadomo, że obydwa są takie
same.
Należy przerzucić jednomiany z
2x - 3x = - 20  10
literÄ… na lewÄ… stronÄ™ a bez litery
na prawÄ…, zmieniajÄ…c przy tym
znaki jednomianów
przerzucanych na drugÄ… stronÄ™.
Mnożymy obie strony równania
-x = -30 / `)-1)
pomnożyć przez -1.
x = 30
Wiek Jurka
Wiek dziadka.
10 + 2x = 10 + 30 ` 2= 10 + 60 = 70
Odp: Dziadek ma 70 lat a Jurek 30.
Zadanie 3
 4 lata temu byłem 4 razy młodszy od mamy,
a 10 lat temu byłem od niej młodszy 10 razy.
Ile lat ma autor wypowiedzi?
10 lat temu 4 lata temu teraz
wiek autora X  10 X  4 X
wiek mamy 10 (x  10) 4x (x  4) 4 (x  4) + 4 lub 10 (x  10) +10
Obliczenia:
4 ` (x  4) + 4 = 10 ` (x  10) + 10
4x  16 + 4 = 10x  100 + 10
4x  12 = 10x  90 / +90
Skoro wiek mamy można
zapisać dwoma sposobami to
4x + 78 = 10x
jeśli ułożymy równanie.
78 = 6x / :6
x = 13
Odp: Autor wypowiedzi ma teraz 13 lat.
Równania
- zadania trudniejsze
Zadanie 1
Sen miałem dziwny. A tak było:
W tłumie kosmitów na placu stałem .
Dwieście ich oczu na mnie patrzyło,
Ale zarysów ciał nie widziałem.
Wtem usłyszałem  Hej, Ziemianinie,
Zadam ci teraz trudne pytanie.
Musisz się śpieszyć bo gdy noc minie,
Chcemy gotowe mieć rozwiązanie.
Kilku z nas ma, jak ty, oczu parÄ™.
O siedmiu więcej ma ich dwie pary.
O czworo oczu ponad twÄ… miarÄ™
Mam ja, mój brat i ojciec stary.
Połowę grupy już omówiłem,
reszta mych druhów ma oko jedno.
Z jak liczną grupą tutaj przybyłem?
Spróbuj obliczyć, nim gwiazdy zbledną.
Dane:
x  ilość kosmitów z parą oczu
x + 7  ilość kosmitów z dwiema parami
Połowa wszystkich
oczu
kosmitów
3  ilość kosmitów z trzema parami oczu
x + (x + 7) + 3  ilość kosmitów z jednym
okiem
200  ilość wszystkich oczu
Szukane:
ilość kosmitów
RozwiÄ…zanie:
Trzeba dodać
2x + 4 ` (x + 7) + 6 ` 3 + 1 ` (x + x + 7 + 3) = 200
wszystkie sztuki
2x + 4x + 28 + 18 + 2x + 10 = 200 Należy
oczu które razem
zredukować
8x + 56 = 200 / -56
dajÄ… 200 sztuk i
wyrazy
8x = 144 / :8
rozwiązać
podobne.
x = 18
równanie.
Ilość kosmitów z
x = 18
18 + 25 + 3 = 46
jednÄ…, dwiema i
x + 7 = 18 + 7 = 25
trzema parami
3
oczu, czyli
połowę
kosmitów.
Trzeba pomnożyć razy 2
46 ` 2 = 92
ponieważ obliczyliśmy tylko
połowę kosmitów.
Odp: Wszystkich kosmitów przybyło 92.