Integralność konstrukcji w eksploatacji
Wykład 0
PRZYPOMNIENIE PODSTAWOWYCH POJ
Ć Z
WYTRZYMAA
OŚCI MATERIAA
ÓW
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Katedra Wytrzymałości, Zmęczenia Materiałów i Konstrukcji
1
 1.1 RODZAJE NAPR
ŻEC

p - naprężenie całkowite
s�x - naprężenie normalne
t�xz , t�xy - naprężenia styczne
Rys. 1. Składowe naprężenia w punkcie
B w przekroju o normalnej x
5��5�e� 5��5�e�5�f� 5��5�e�5�g�
5��5�f�5�e� 5��5�f� 5��5�f�5�g�
5�G�5�� =
5��5�g�5�e� 5��5�g�5�f� 5��5�g�
Rys. 2. Współrzędne tensora naprężeń
2
 1.2 RODZAJE ODKSZTAA
CEC

a) odkształcenia liniowe e�x, e�y, e�z
z
Współrzędne tensora odkształceń
x
5���5�e�5�f�
5���5�e�5�g�
e� � �
dx
X
dx
5��5�e�
y
2 2
5���5�e�5�f� 5���5�f�5�g�
5�G�5�� =
5��5�f�
2 2
b) odkształcenia kątowe g�xy, g�yz, g�zx
5���5�e�5�g� 5���5�f�5�e�
5��5�g�
2 2
3
 2. NAPR
ŻENIA GA
ÓWNE
W każdym punkcie ciała można tak zorientować elementarny
prostopadłościan, że w trzech wzajemnie prostopadłych przekrojach nie
występują naprężenia styczne, a jedynie naprężenia normalne. Nazywamy
je naprężeniami głównymi i oznaczamy s�1 , s�2 , s�3 .
z
s�1
Umowa : s�1 ł� s�2 ł� s�3
s�1 i s�3 - ekstremalne wartości naprężeń normalnych
w danym punkcie,
tzn. jeżeli x nie jest kierunkiem głównym, to:
s�3 Ł� s�x Ł� s�1
s�3
s�2
y
x
4
 3. RODZAJE STANU NAPR
ŻENIA
3.1. PRZESTRZENNY STAN NAPR
ŻEC
:
s�1 ą� 0, s�2 ą� 0, s�3 ą� 0
3.2. PA
ASKI STAN NAPR
ŻEC
:
jedna składowa główna = 0
3.3. JEDNOOSIOWY STAN NAPR
ŻEC
:
jedna składowa główna ą� 0
5
 4. PRAWO HOOKE a
Stosowane może być gdy odkształcenia są proporcjonalne do naprężeń:
1
1
g� =� t�
e�x =� -� s� +� s�z
xy xy
(� )�
[�s� x y ]�
G
E
1
1
g� =� t�
e�y =� xz xz
(� )� (1)
[�s� -� s� +� s�z ]�
y x
G
E
1
1
g� =� t�
yz yz
(�
e� =� [�s� -� s� +�s� )�]�
z z x y
G
E
gdzie :
E - moduł Younga
- liczba Poissona
G - moduł Kichhoffa
g� - odkształcenia kątowe
(np. g�xz - zmiana kąta prostego w płaszczyz
nie x-z)
6
 4. PRAWO HOOKE a
Przypadki szczególne:
�� płaski stan naprężeń (np. w płaszczyz
nie x-y, tj.: s�z = 0)
wiąże się z przestrzennym stanem odkształcenia:
1 1 -�
(2)
e�x =� (s� -� s� ) e�y =� (s� -� s� ) e�z =� (s� +� s� )
x y y x x y
E E
E
�� płaski stan odkształceń (np. w płaszczyz
nie x-y, tj.: e�z = 0)
wiąże się z przestrzennym stanem naprężenia:
1
e�x =� -� s� +� s�z
(� )�
[�s� x y ]�
E
1
(3)
e�y =� s� -� s� +� s�z
(� )�
[� ]�
y x
E
1
e�z =� -� s� +� s� +� s� )
(� )�
[�s�z x y ]�=� 0 �� s�z =� (s� x y
E
7
 5. WYT
ŻENIE. HIPOTEZY WYTRZYMAA
OŚCIOWE
Dla danego materiału porównujemy stopień zbliżenia się do stanu krytycznego czyli
tzw. wytężenie W, w złożonym stanie naprężeń i w tzw. stanie zastępczym
(jednoosiowego rozciągania naprężeniem s�0 ).
Rys. 8. Złożony (a) i zastępczy (b) stan naprężeń
8
 5. WYT
ŻENIE. HIPOTEZY WYTRZYMAA
OŚCIOWE
Przykłady hipotez wytrzymałościowych stosowanych są dla materiałów
ciągliwych (sprężysto - plastycznych):
�� Hipoteza Coulomba - kryterium wytężenia jest największe naprężenie styczne t�max.
s�0
s�1 -� s�3 Ź� stan złożony
t�max =� t�max =�
stan zastępczy ��
2
2
(4)
stąd:
s�0 =� s�1 -� s�3
�� Hipoteza Hubera - kryterium wytężenia stanowi energia odkształcenia postaciowego.
1 +�
2
stan zastępczy ��
Ep =� s�0
3E
1+�
stan złożony ��
Ep =� s�1 -� s�2 +� s�2 -� s�3 +� s�3 -� s�1
(� )�2 (� )�2 (� )�2
[� ]�
6E
1
stąd: (5)
s�0 =� (s�1 -� s�2 )2 +� (s�2 -� s�3)2 +� (s�1 -� s�3)2
2
9
 6. WSPÓA
CZYNNIK KSZTAA
TU
Współczynnik kształtu lub współczynnik koncentracji naprężeń (ozn. przez a�k lub kt)
jest miarą spiętrzenia naprężeń na dnie karbu.
s�
max
1 <� kt <� Ą�
(6)
kt =�
S
s�max - naprężenie maksymalne (rzeczywiste naprężenie na dnie karbu w materiale
idealnie liniowo - sprężystym)
S - naprężenie nominalne (naprężenie na dnie karbu obliczone na podstawie
elementarnych wzorów wytrzymałościowych lub naprężenie w przekroju
odległym od karbu)
Rys. 9. Przykład rozkładu naprężeń
rzeczywistych i nominalnych
10
 6. WSPÓA
CZYNNIK KSZTAA
TU
Współczynnik kształtu lub współczynnik koncentracji naprężeń (ozn. przez a�k lub kt)
jest miarą spiętrzenia naprężeń na dnie karbu.
s�
max
1 <� kt <� Ą�
(6)
kt =�
S
Na skutek uplastycznienia s�max może być mniejsze od ktS
Rys. 10. Wpływ uplastycznienia na rozkład naprężeń
11
 6. PARAMETRY CYKLU ZM
CZENIOWEGO
W cyklu naprężeń sinusoidalnie zmiennych definiujemy:
�� naprężenie maksymalne s�max
�� naprężenie minimalne s�min
�� amplitudę naprężeń s�a
�� zakres naprężeń D�s�
�� naprężenie średnie s�m
�� okres zmiany naprężeń T
�� częstotliwość f=1/T
Rys. 11. Parametry cyklu zmęczeniowego
Wymienione parametry powiązane są zależnościami:
s�max +� s�min s�max -� s�min
D�s� =� 2s�a =� s�max -� s�min
s�m =� s�a =�
(7)
2
2
Niesymetryczność cyklu opisuje współczynnik asymetrii cyklu R:
s�min
(8)
R =�
s�max
12
 6. PARAMETRY CYKLU ZM
CZENIOWEGO
Wymienione parametry powiązane są zależnościami:
s�max +� s�min s�max -� s�min
D�s� =� 2s�a =� s�max -� s�min
s�m =� s�a =�
(7)
2
2
s�min
R =�
Niesymetryczność cyklu opisuje współczynnik asymetrii cyklu:
(8)
s�max
Przypadki szczególne:
1 - obustronne ściskanie
4 - cykl wahadłowy
6 - cykl odzerowo-tętniący
7 - obustronne rozciąganie
Rys. 12. Rodzaje cykli zmęczeniowych
13