Integralność konstrukcji
Wykład Nr 3
Zależność między naprężeniami i odkształceniami
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Katedra Wytrzymałości, Zmęczenia Materiałów i Konstrukcji
1
3.1. Zależność między naprężeniami i odkształceniami przy
obciążeniach cyklicznych - przykład
Obciążenie pod kontrolą odkształcenia (przy stałej amplitudzie odkształcenia), gdy
s�max > Re, D�s� > 2Re
Rys. 3.1 Tor punktu (s�,e� ) przy obciążeniu e�a =const.
2
3.1. Zależność między naprężeniami i odkształceniami przy
obciążeniach cyklicznych - przykład
Gdyby przy ponownym obciążeniu odkształcenie przekroczyło poziom maksymalny
e�max , to punkt (s�,e�) kontynuowałby poruszanie się po krzywej monotonicznej e� = f(s�).
Jest to tzw. efekt pamięci materiału.
Rys.3.2 Ilustracja efektu pamięci materiału
3
3.2. Równanie toru punktu (s�,e�)
Jeżeli:
s�min = s�max D�s� i e�min = e�max D�e� (3.1)
to wykres s�-e� przy odciążaniu od s�max do s�min jest taki, jaki byłby
dwukrotnie zwiększony wykres s�  e� przy obciążeniu od 0 do D�s�.
Aby dwukrotnie zwiększyć krzywą y = f(x) trzeba narysować krzywą y/2 = f(x/2), np.:
y
y/2=sin(x/2)
2
y =sinx
1
x
p�
2� �p�
4
3.2. Równanie toru punktu (s�,e�)
Jeżeli zależność przy obciążeniu od 0 do D�s� ma postać
1
s� s�
ć� ��n
e� =� +�
�� ��
e� = f(s�); np.: (3.2)
E H
Ł� ł�
to równanie krzywej odciążenia ma formę:
1
D�e� D�s� D�s� n
ć� ��
D�e� D�s�
ć� ��
=� +�
=� f �� ��
�� ��
, np.: (3.3a)
Ł�
ł�
2 2E 2Hł�
2 Ł� 2
1
s�a +� s�a n
ć� ��
lub (3.3b)
e�a =�
�� ��
Ł� ł�
E H
przy czym początek układu jest w punkcie
(s�max, e�max) (rys. 3.1b).
5
3.2. Równanie toru punktu (s�,e�)
Uwzględniając (3.1): s�min = s�max - D�s� i e�min = e�max -D�e�
1 1
s�a s�a
D�e� D�s� D�s� n n
ć� �� ć� ��
równanie krzywej odciążenia (3.3):
=� +� e�a =� +�
�� �� �� ��
Ł� Ł� ł�
2 2E 2Hł� E H
można też przedstawić względem pierwotnych osi s�, e�.
e�max -� e�min
e�max -� e�min =� f D�s�
ć� ��
Ponieważ: lub
=� f s�a
�� �� (� )�
Ł� ł�
2 2
2
to: e�min = e�max - 2f (D�s�/2) (3.4a)
lub e�min = e�max - 2f (s�a) (3.4b)
6
3.3. Zachowanie się rzeczywistych metali przy obciążeniach
cyklicznych
v� Metoda wyznaczania cyklicznej krzywej odkształcenia opisana jest w
normach:
�� amerykańskiej ASTM E 606 (Standard Practice for Strain-Controlled
Fatigue Testing)
�� polskiej PN 84/H-04334 (będącej tłumaczeniem ASTM E 606)
v� Zależność między naprężeniem i odkształceniem przy obciążeniach
cyklicznych jest na ogół inna niż przy obciążeniach monotonicznych.
v� Badania przeprowadza się pod kontrolą odkształcenia przy e�a = const.,
R = -1, tzn. e�max = e�a , e�min = - e�a (wahadłowy cykl odkształceń).
7
3.3. Zachowanie się rzeczywistych metali przy obciążeniach
cyklicznych
W metalach naprężenia potrzebne do uzyskania zadanych odkształceń
cyklicznych (R=-1, e�a = const. �� e�max=e�a , e�min=-e�a) z reguły zmieniają się
podczas badania.
Dwa typy zachowania
materiałów:
8
3.3. Zachowanie się rzeczywistych metali przy obciążeniach
cyklicznych
�� Cykliczne umocnienie lub osłabienie jest gwałtowne na początku badania.
�� Zmiany w zachowaniu się materiału maleją ze wzrostem liczby cykli.
�� Uważa się, że cyklicznie ustabilizowane zachowanie się materiału
reprezentuje pętla histerezy w połowie trwałości zmęczeniowej (liczby
cykli do zniszczenia) przy danej amplitudzie odkształcenia.
�� Linia OABC poprowadzona przez
wierzchołki ustabilizowanych
pętli otrzymanych przy różnych
e�a nosi nazwę cyklicznej
krzywej odkształcenia.
9
3.4. Równanie cyklicznej krzywej odkształcenia
1
s�a s�a nó�
ć� ��
(3.5)
e�a =� e�ae +� e�ap =� +�
�� ��
Ł� ł�
E
Hó�
Własności materiału H` i n` wyznaczane są podobnie jak parametry H i n
krzywej monotonicznej s� versus e�, (por. rys. 2.5) przez dopasowanie
równania:
1
s�a nó�
ć� ��
e�ap =�
�� ��
Ł� ł�
Hó�
do punktów (s�a, e�ap) otrzymanych z badań zmęczeniowych przy różnych
amplitudach odkształcenia.
10
3.5 równanie gałęzi ustabilizowanej pętli histerezy
1
Zgodnie z regułą (3.3a):
D�e� D�s� D�s� nó�
ć� ��
(3.6)
=� +�
�� ��
Ł�
2 2E 2H�
gdzie: D�e� i D�s� są zmianami względem jednego z wierzchołków pętli histerezy,
który jest początkiem układu współrzędnych.
Równanie (3.6) jest tylko inną formą równania
cyklicznej krzywej odkształcenia (3.5):
1
s�a s�a nó�
ć� ��
e�a =� e�ae +� e�ap =� +�
�� ��
Ł� ł�
E
Hó�
Komentarz:
Gdy zmienia się kierunek obciążenia przy e�max, lub
e�min, nachylenie gałęzi pętli histerezy jest w
przybliżeniu stałe i równe E, jak w monotonicznej
próbie rozciągania. Gdy pojawią się odkształcenia
plastyczne, gałąz
odchyla się od linii prostej.
11
3.6. Przewidywanie cyklicznego zachowania się materiału
według Mansona
Gdy Rm/Re > 1,4 - cykliczne umocnienie
Gdy Rm/Re < 1,2 - cykliczne osłabienie
Gdy Rm/Re = 1,2 �� 1,4 - cykliczna stabilność lub zachowanie mieszane
12