Integralność konstrukcji
Wykład Nr 2
Inżynierska i rzeczywista krzywa rozciągania
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Katedra Wytrzymałości, Zmęczenia Materiałów i Konstrukcji
1
2.1 NAPR
ŻENIA I ODKSZTAA
CENIA INŻYNIERSKIE
Oparte są na początkowych nie zdeformowanych wymiarach próbek
Oznaczenia: s�, e�
R , początek
m
s� ( e�
s� , f )
f
szyjki
s�
u
(b)
(c)
(d)
R , płynięcie
e
(a)
0
e�
(a) (b) (c) (d)
Rys.2.1 Schemat inżynierskiej krzywej rozciągania typowego materiału ciągliwego
(cechy charakterystyczne: płynięcie, zazwyczaj szyjka).
2
2.1 NAPR
ŻENIA I ODKSZTAA
CENIA INŻYNIERSKIE
Oparte są na początkowych nie zdeformowanych wymiarach próbek
Oznaczenia: s�, e�
Stałe materiałowe o charakterze inżynierskim:
Pe
Re =�
��granica plastyczności:
Ao
Pmax
��wytrzymałość doraz
na:
Rm =�
Ao
Pf
s� =�
��inżynierskie naprężenie niszczące:
f
Ao
Lf -� Lo
e� =�
��inżynierskie odkształcenie niszczące:
f
Lo
gdzie: Ao - początkowa powierzchnia przekroju
Lo (Lf)- długość pomiarowa początkowa (końcowa)
3
2.1 NAPR
ŻENIA I ODKSZTAA
CENIA INŻYNIERSKIE
Reg
Re 0.2
s� s� s�
Red
Et
s�p s�p
Re 0.2
Re 0.2
B
E
s�p
A =?
0 0 0
e� 0.002
e� e� e�
pl=
(a) (b) (c)
Rys.2.2 Kształt początkowej części krzywej rozciągania: a) większość metali i stopów; b)
z górną i dolną granicą plastyczności (np. stal miękka); c) bez zakresu liniowego
4
2.1 NAPR
ŻENIA I ODKSZTAA
CENIA INŻYNIERSKIE
s�B -�s�A
E =�
�� E - moduł Younga: - tylko przypadek a) i b)
e�B -�e�A
�� granica proporcjonalności: s�P - tylko przypadek a) i b)
�� umowna granica plastyczności: Re0,2
jest najdogodniejszym parametrem do zidentyfikowania początku
odkształceń plastycznych (przy s�= Re02; e�pl= 0,002)
�� górna i dolna granica plastyczności: Reg i Red
(Reg - duży rozrzut, Red @� Re 0,2).
5
2.1 NAPR
ŻENIA I ODKSZTAA
CENIA INŻYNIERSKIE
Ciągliwość: zdolność materiału do akomodacji odkształceń plastycznych
bez zniszczenia
Materiały ciągliwe: zniszczenie poprzedzone znacznymi odkształceniami
plastycznymi, duża energia potrzebna do zniszczenia
(energia - pole pod wykresem s� - e�), często Rm > s�f
Materiały kruche: zniszczenie bez makroskopowych odkształceń
plastycznych, mała energia potrzebna do zniszczenia, Rm =s�f
6
2.1 NAPR
ŻENIA I ODKSZTAA
CENIA INŻYNIERSKIE
Miary ciągliwości:
��wydłużenie procentowe: 100e�f,
(materiał kruchy: e�f Ł� 5 % ; materiał ciągliwy: e�f > 5 % )
Ao -� Af
100 gdzie:
��przewężenie procentowe:
Ao Af - końcowa powierzchnia przekroju.
Rm
s�
(b)
Rys.2.3. Krzywa rozciągania materiału
kruchego
(a)
e�
(a) (b)
Posługiwanie się naprężeniami i odkształceniami inżynierskimi jest
korzystne, gdy zmiany wymiarów próbki są niewielkie. Przy dużych
odkształceniach plastycznych właściwsze jest używanie naprężeń i
odkształceń rzeczywistych.
7
2.2 NAPR
ŻENIA I ODKSZTAA
CENIA RZECZYWISTE
~ ~
Oznaczenia:
s� e�
Naprężenia rzeczywiste
P
~
(2.1)
s� =�
gdzie: A - bieżąca powierzchnia przekroju
A
D�lj
Odkształcenie rzeczywiste:
~
e� =� S�
(2.2)
lj
gdzie: zmiana długości mierzona jest w małych przyrostach D�l1, D�l2, D�l3 itd.,
a aktualna długość pomiarowa l1, l2, l3, itd. jest użyta do obliczenia
odkształcenia dla każdego przyrostu
l
dl l
~
e� =� =� ln (2.3)
Gdy D�lj są bardzo małe:
��
l lo
lo
gdzie: l = lo + D�l - długość końcowa, lo - długość początkowa.
8
2.2 NAPR
ŻENIA I ODKSZTAA
CENIA RZECZYWISTE
l
dl l
~
e� =� =� ln (2.3)
��
l lo
lo
D�l
Ponieważ odkształcenia inżynierskie:
e� =� (2.4)
lo
to na podstawie (2.3) i (2.4) otrzymujemy:
ć� ��
lo +� D�l D�l
~
��
e� =� ln =� ln��1+� �� =� ln(�1+�e�)� (2.5)
lo lo ��
Ł� ł�
Ponieważ przy dużych odkształceniach
A��l =� const
(2.6)
plastycznych objętość pozostaje niezmienna, tzn.:
Adl +� ldA =� 0
to na podstawie (2.3) i (2.6):
A
dA A0 A0 d0
~ ~
e� =� -� =� ln (2.7)
e� =� ln =� 2ln
��
A A A d
A0
9
2.2 NAPR
ŻENIA I ODKSZTAA
CENIA RZECZYWISTE
Ao
~ :
~
s� =� s� ��
Z definicji i (2.8)
s�
s�
A
A��l =� const
a uwzględniając (2.6):
Adl +� ldA =� 0
l lo +� D�l
~
s� =� s� �� =� s� =� s�(�1+�e�)� (2.9)
otrzymamy:
lo lo
10
2.2 NAPR
ŻENIA I ODKSZTAA
CENIA RZECZYWISTE
l lo +� D�l
~
s� =� s� �� =� s� =� s�(�1+�e�)�
Wnioski:
lo lo
~
zawsze większe niż s�
s�
~
= e� do utworzenia się szyjki
e�
~ >>e�
potem
e�
Rys. 2.4 Porównanie rzeczywistej i inżynierskiej krzywej
rozciągania dla stali miękkiej
11
2.2 NAPR
ŻENIA I ODKSZTAA
CENIA RZECZYWISTE
Własności materiału o charakterze
rzeczywistym:
~ ~
(współrzędne i s� punktu)
e�
Pf
Ao
~
~
��rzeczywiste naprężenia niszczące s� (J): s� =� =�s� (2.10)
f
f f
Af Af
gdzie: s�f - współrzędna s� punktu �� na krzywej inżynierskiej,
Ao , Af - przekrój odpowiednio początkowy i po zniszczeniu
Ao (2.11)
~
�� rzeczywiste odkształcenie niszczące (por. rów. 2.7):
e� =� ln
f
Af
12
2.2 NAPR
ŻENIA I ODKSZTAA
CENIA RZECZYWISTE
Zakres ważności różnych wzorów z próby rozciągania
Równania (2.5) i (2.9):
można stosować tylko do utworzenia się
szyjki, bo potem wydłużenie nie jest
równomierne na długości pomiarowej
Po utworzeniu się szyjki:
tylko równania (2.1) i (2.7)
Równanie (2.9):
może być stosowane przy dość
znacznych odkształceniach plastycznych
bo oparte jest na założeniu stałej
objętości materiału (2.6).
13
2.3. MATEMATYCZNY OPIS KRZYWEJ ROZCI
GANIA DLA
METALI
~ , e�p - odpowiednio sprężysta i plastyczna
1
e�e ~
~ ~
składowa odkształcenia,
s�
~ ~ ~
e� =� e�e +�e�p =� +�ć� s� ��n
�� ��
n - wykładnik umocnienia
(2.12)
E H
Ł� ł�
H - współczynnik wytrzymałości
Stałe materiałowe H i n wyznacza się przedstawiając otrzymane doświadczalnie punkty
~ ~
we współrzędnych podwójnie logarytmicznych
(�s�, e� )�
Rys. 2.5 Rzeczywista krzywa odkształcenia we współrzędnych: a) liniowych; b) podwójnie logarytmicznych
14
2.3. MATEMATYCZNY OPIS KRZYWEJ ROZCI
GANIA DLA
METALI
Rys. 2.5 Rzeczywista krzywa odkształcenia we współrzędnych: a) liniowych; b) podwójnie logarytmicznych
Uwaga! We współrzędnych podwójnie logarytmicznych:
~ ~
s� -�e�e
�� wykres jest linią prostą o współczynniku kierunkowym 1:
~ ~
logs� =� log E +�loge�e
~ ~
s� -�e�p jest linią prostą o współczynniku kierunkowym n:
�� wykres
~
logs� =� logH +� nlog~p
e�
15
2.3. MATEMATYCZNY OPIS KRZYWEJ ROZCI
GANIA DLA
METALI
Rys. 2.5 Rzeczywista krzywa odkształcenia we współrzędnych: a) liniowych; b) podwójnie logarytmicznych
Uwaga! We współrzędnych podwójnie logarytmicznych:
~ ~
s� -�e�e
�� wykres jest linią prostą o współczynniku kierunkowym 1:
~ ~
logs� =� log E +�loge�e
~ ~
�� wykres s� -�e�p jest linią prostą o współczynniku kierunkowym n:
~
logs� =� logH +� nlog~p
e�
Stąd:
~
~ przy e�e =�1, ; H - wartość ~
~ przy
s�
e�p =�1
E  wartość s�
~ ~
s� -�e�e
Zakres małych odkształceń: wykres wypadkowy bliski wykresowi
~ ~
s� -�e�
Zakres dużych odkształceń: wykres wypadkowy bliski wykresowi
p
n
~ ~
~
s� =� He�
Uwaga: zależność jest ważna od aż do zniszczenia
e� =� 0
p
p
16
2.3. MATEMATYCZNY OPIS KRZYWEJ ROZCI
GANIA DLA
METALI
~ ~
Wyznaczenie wykładnika umocnienia  n w równaniu p na podstawie
s� =� H(e� )n
inżynierskiej krzywej s� -�e�
~
~�� ~��dA+� Ads�
(2.13)
P =� s� A dP =�s�
(A)* W chwili utworzenia się szyjki dP=0
~
ds� dA
(2.14)
=� -�
Na podstawie (2.13) i (A)*:
~
s� A
(B)* Przy odkształceniach plastycznych V=A��l=const, tzn. dV=0
df
dl dA dl
~
(B)* �� Adl+ldA=0 ��
=� -� gdzie: (2.15)
=�de�
l A
l
~
~
stąd, uwzględniając (2.14) i (2.15) ds�
ds�
~ ~
(2.16)
=� de� s� =�
lub
~
~
w chwili tworzenie sią szyjki:
s�
de�
~ ~ ~
(C)* Ponieważ w chwili tworzenia się szyjki >�>�e� można przyjąć:
e�
e� =� e�
p
~ ~
Równanie
s� =� H(e� )n uwzględniając (C*) oraz (2.15) ma postać:
p
~
~ ~
(2.17) stąd:
H(e�p)n =� Hne�pn-�1
n =� e�
p
17
2.4. EFEKT BAUSCHINGERA (1880)
Jeżeli przy obciążaniu materiału wykazującego efekt umocnienia naprężenie przekroczyło
granicę plastyczności przy monotonicznym rozciąganiu (Rer) , to przy zmianie kierunku
obciążenia (odciążaniu) uplastycznianie występuje przy naprężeniu s�K powyżej poziomu
granicy plastyczności przy monotonicznym ściskaniu (Rec)
Dla metali można z dobrym przybliżeniem przyjąć, że gdy materiał został obciążony do
poziomu s� >Re , to zmiana naprężeń potrzebna do spowodowania płynięcia przy odciążeniu
wynosi: D�s� = 2Re
s�
Rer
monotoniczne
s�
rozciąganie
s�
monotoniczne
e�
e� �= f(s�)
ściskanie
R
ec
K
e�
pojawienie się odkształceń plastycznych przy odciążaniu
(początek tzw. odwróconego płynięcia -  reversed yielding )
Rys. 2.6 Ilustracja efektu Bauschingera
18
2.5. Modele materiałów
s�
s� s�
sprężysto 
sztywno 
idealnie
idealnie
idealnie
sprężysty
plastyczny
plastyczny
e�
e� e�
~
s� s�
sprężysto  sprężysto 
plastyczny plastyczny
z umocnieniem liniowym z umocnieniem nieliniowym
~
e�
e�
odkszt. plastyczne
odkszt. plastyczne
19