CALKI P ODWÓJN E
D E FIN ICJA . Obszar normalny wzgl� osi 0 x, t o z b i�o r
edem
Dx = {( x, y) : a d" x d" b, g( x) d" y d" h( x) },
g d z ie a < b o r a z fu n kc je g( x) i h( x) s a� c ia� g le w p r z e d z ia le [a, b] i s p e ln ia j� w n im
a
wa r u n e k g( x) d" h( x) .
D E FIN ICJA . Obszar normalny wzgl� osi 0 y, t o z b i�o r
edem
Dy = {( x, y) : c d" x d" d, p( y) d" x d" q( y) },
g d z ie c < d o r a z fu n kc je p( y) i q( y) s a� c ia� g le w p r z e d z ia le [c,d] i s p e ln ia j� w n im
a
wa r u n e k p( y) d" q( y) .
D E FIN ICJA . Obszarem regularnym n a z ywa m y s u m �e s ko n� c z o n e j lic z b y o b s z a r �o w
n o r m a ln yc h .
D E FIN ICJA . Za l�o zŁm y, zŁe fu n kc ja f( x, y) je s t o g r a n ic z o n a w o b s z a r z e r e g u la r n ym
D. D z ie lim y z b i�o r D n a n d o wo ln yc h o b s z a r �o w r e g u la r n yc h D1,. . . ,Dn o p a r a m i
r o z l� c z n yc h wn �e t r z a c h . N ie c h " , d la i = 1 ,2 , .. . n, o z n a c z a p o le o b s z a r u Di.
a
i
N a jwi�e ks z a� z e �s r e d n ic z b io r �o w D1, .. . ,Dn o z n a c z a m y p r z e z �n i n a z ywa m y norm�
a
podzialu. W ka zŁd ym z b io r z e Di wyb ie r a m y d o wo ln ie p u n kt ( xi, yi) . Two r z ym y sum�
e
calkow�
a
�n = f( x1, y1) " + f( x2, y2) " + � � � + f( xn, yn) " .
1 2 n
Ta k p o s t �e p u je m y d la n = 2 , 3 ,. . . o t r z ym u ja� c p e wie n c i� g p o d z ia l�o w z b io r u D.
a
Cia� g t e n n a z ywa m y ci� normalnym podzialów, je zŁe li lim �n = 0 .
agiem
n"
Je zŁe li d la ka zŁd e g o c ia� g u n o r m a ln e g o p o d z ia l�o w z b io r u D is t n ie je s ko n� c z o n a g r a n ic a
lim �n ( t a ka s a m a b e z wz g l�e d u n a wyb �o r z b io r �o w Di o r a z p u n kt �o w ( xi, yi) ) ,
n"
t o g r a n ic �e t �e n a z ywa m y calk� podwójn� funkcji f( x, y) w zbiorze D i o z n a c z a m y
a a
f( x, y) dxdy.
D
IN TE R P R E TA CJA GE OME TR Y CZN A . Je zŁe li fu n kc ja f je s t c a lko wa ln a i n ie -
u je m n a w D, t o o b j�e t o �s �c b r yly B = {( x, y, z) : 0 d" z d" f( x,y) , ( x, y) " D}
je s t r �o wn a f( x, y) dxdy.
D
TW IE R D ZE N IE .
Fu n kc ja c ia� g la w o b s z a r z e r e g u la r n ym je s t w n im c a lko wa ln a .
W L A S N OS� CI. Za kla d a m y, zŁe fu n kc je f( x,y) o r a z g( x, y) s a� c a lko wa ln e w o b s z a r z e
r e g u la r n ym D.
1 . f( x, y) ą g( x, y) dxdy = f( x, y) dxdy ą g( x, y) dxdy
D D D
2 . f( x, y) dxdy =  f( x, y) dxdy
D D
3 . Gd y D je s t s u m a� o b s z a r �o w r e g u la r n yc h D1 i D2 o r o z la� c z n yc h wn �e t r z a c h , t o
f( x,y) dxdy = f( x, y) dxdy + f( x, y) dxdy
D D1 D2
1
TW IE R D ZE N IE . Gd y f je s t c ia� g la w o b s z a r z e n o r m a ln ym Dx, t o
b h(x)
f( x, y) dxdy = f( x,y) dy dx.
Dx a g(x)
TW IE R D ZE N IE . Gd y f je s t c ia� g la w o b s z a r z e n o r m a ln ym Dy, t o
d q(y)
f( x, y) dxdy = f( x, y) dx dy.
Dy c p(y)
P R ZY P OMN IE N IE . Zwia� z e k m i�e d z y ws p �o lr z �e d n ym i ka r t e z ja n� s kim i ( x, y) p u n kt u ,
a je g o ws p �o lr z �e d n ym i b ie g u n o wym i je s t n a s t �e p u ja� c y: x = r c o s �, y = r s in �.
P r z yjm u je m y t u : r e" 0 , 0 d" � d" 2 Ą.
TW IE R D ZE N IE . Gd y fu n kc ja f je s t c ia� g la w o b s z a r z e r e g u la r n ym D i g d y
&! = {( r, �) : ( r c o s �, r s in �) " D}, t o
f( x, y) dxdy = f( r c o s �, r s in �) � rdrd�.
D &!
Cz yn n ik r wys t �e p u j� c y p o d c a lk� t o jakobian. Og �o ln ie jakobian o d wz o r o wa n ia
a a
x2 x2
u v
x = x( u,v) , y = y( u, v) t o n a s t �e p u ja� c y wyz n a c z n ik J = , z a t e m ja ko b ia n
2 2
yu yv
 p r z e j�s c ia  z e ws p �o lr z �e d n yc h ka r t e z ja n� s kic h d o b ie g u n o wyc h wyn o s i
x2 x2 cos � -r sin �
r � 2 2
J = = = rc o s � + rs in � = r.
2 2
yr y� sin � r cos �
P R ZY K L A D .
Ob lic z y�c o b j�e t o �s �c b r yly o g r a n ic z o n e j p o wie r z c h n ia m i z = 0 , z = 1 - x2 - y2.
Zg o d n ie z in t e r p r e t a c ja� g e o m e t r yc z n a� c a lki p o d w�o jn e j,
V = ( 1 - x2 - y2) dxdy,
D
g d z ie D = {( x, y) : x2+y2 d" 1 }. P o d s t a wia m y ws p �o lr z �e d n e b ie g u n o we ; o d p o wie d n i
o b s z a r &! = {( r, �) : 0 d" r d" 1 , 0 d" � d" 2 Ą}. Za t e m
1 2Ą
2 2
V = 1 - ( r c o s �) - ( r s in �) rdrd� = ( r - r3) d� dr
&! 0 0
1 1
2Ą 1
1 1 1 1 1
= ( r - r3) � dr = ( r - r3) 2 Ądr = 2 Ą r2 - r4 = 2 Ą( - ) = Ą.
0 2 4 0 2 4 2
0 0
2 2
TW IE R D ZE N IE . Je zŁe li fu n kc je f, fx, fy s a� c ia� g le w o b s z a r z e r e g u la r n ym D, t o
p o le p o wie r z c h n i S = {( x,y,z) : z = f( x, y) , ( x, y) " D} wyn o s i
2 2 2 2
1 + ( fx) + ( fy) dxdy.
D