5 Ogólne własności funkcji.
Niech dane będą niepuste zbiory X, Y . Jeśli każdemu elementowi zbioru X przyporządkujemy
dokładnie jeden element zbioru Y , to mówimy, że została określona funkcja (odwzorowanie)
zbioru X w zbiór Y i piszemy f : X Y .
Każdy element zbioru X nazywamy argumentem funkcji f, cały zbiór X nazywamy dziedziną
funkcji f i piszemy D lub Df.
Element zbioru Y , który fukcja f przyporządkowuje argumentowi x oznaczamy przez f(x) i
nazywamy wartością funkcji odpowiadającą argumentowi x. Zbiór wszystkich wartości funkcji
nazywamy przeciwdziedziną i piszemy R lub Rf.
Uwaga.
Jeśli funkcję określa tylko wzór, bez jawnego określenia dziedziny, to zbiór elementów należą-
cych do X, dla których ten wzór ma sens, nazywamy dziedziną naturalną funkcji.
Uwaga.
Podanie jawne dziedziny lub wyznaczenie dziedziny naturalnej jest częścią definicji funkcji, jest
więc niezbędne. Jednak wyznaczenie przeciwdziedziny nie jest dla prawidłowego zdefiniowania
funkcji potrzebne, często jest trudne.
Przykład.

I. f(x) = 4 - (x - 4)2 D , R .

1
II. g(x) = 4 - (x - 4)2 + D , R .
(x-3)(x-5)
Dla dowolnej funkcji f : X Y używamy następujących określeń:
f(a) - obraz elementu a " X
f(A) = {f(a) : a " A} - obraz zbioru A �" X
f-1(b) - przeciwobraz elementu b " Y
f-1(B) = {a " A : f(a) " B} - przeciwobraz zbioru B �" Y
26
Ze względu na to jakimi zbiorami są dziedzina i przeciwdziedzina wyróżniamy pewne rodzaje
odwzorowań:
funkcja rzeczywista (jednej f : R R f : x y lub y = f(x)
zmiennej)
ciąg a : N R a : n an lub a(n) = an
funkcja rzeczywista n zmi- f : Rn R f : (x1, . . . , xn) y lub y = f(x1, . . . , xn)
ennych, n 2
funkcja wektorowa f : R Rn f : t [y1, . . . , yn]
y1 = f1(t), . . . , yn = fn(t)
pole wektorowe płaskie f : R2 R2 F : (x, y) [X, Y ]
X = X(x, y) , Y = Y (x, y)
pole wektorowe f : R3 R3 F : (x, y, z) [X, Y, Z]
przestrzenne X = X(x, y, z) , Y = Y (x, y, z) , Z = Z(x, y, z)
przekształcenie przestrzeni f : Rn Rm f : (x1, . . . , xn) (y1, . . . , ym)
wielowymiarowej lub y1 = f1(x1, . . . , xn), . . . , ym = fn(x1, . . . , xn)
Uwaga.
Argumentami pola wektorowego są punkty płaszczyzny R2 lub przestrzeni R3. Wartości pola
wektorowego interpretujemy jako wektory leżące bądz
na płaszczyz
nie R2 bądz
w przestrzeni
R3. Zatem na wartościach pola wektorowego można wykonywać operacje typowe dla wektorów.
27
Przykłady.
"
I. f : R2 R , f(x, y) = 1 - x2 - y2 Df = {(x, y) : x2 + y2 1}.
"
Wtedy np. f(1, 0) = 0 , f(1/2, 1/3) = 23/6. Ponadto {(x, y, z) : z = f(x, y), (x, y) " Df}
jest górną półsferą o środku w początku układu i promieniu 1.
II. g : R R2 , g(t) = [cos t, sin t] Dg = R.
Wtedy np. f(Ą/2) = [0, 1] , f(Ą) = [-1, 0]. Ponadto dla dowolnego t " R mamy |f(t)| = 1.
yz zx
III. F : R3 R3 , F (x, y, z) = [xy , , ].
z x y
Wtedy np.
F (1, 2, 3) = [2/3, 6, 3/2] , F (1, 1, 1) = [1, 1, 1] ,
"
|F (1, 1, 1)| = 3 ,
F (1, 2, 3) - F (1, 1, 1) = [-1/3, 5, 1/2] ,
49
F (1, 2, 3) ć% F (1, 1, 1) = .
6
Inne przykłady odwzorowań:
" wyznacznik macierzy kwadratowej stopnia 2:

a b
det : M2 R , det = ad - bc .
c d
" prawdopodobieństwo jest funkcją określoną na zbiorze zdarzeń losowych o wartościach
w zbiorze R (przeciwdziedziną jest [0, 1]).
Niech f : R �" X Y �" R , y = f(x) będzie funkcją rzeczywistą (jednej zmiennej).
Definicja 1 Zbiór {(x, y) " R2 : y = f(x), x " X} nazywamy wykresem funkcji f w X.
Uwaga.
Każda prosta postaci x = a, a " R przecina wykres funkcji co najwyżej w jednym punkcie.
28
Definicja 2 Dwie funkcje f1 oraz f2 są równe, jeśli Df = Df oraz dla każdego x należącego
1 2
do dziedziny mamy f1(x) = f2(x). Piszemy wtedy f1 a" f2.
Uwaga.
x2-1
Zatem dwie funkcje o różnych dziedzinach są różne. Na przykład f1(x) = oraz f2(x) =
x+1
x - 1 są różne mimo, że dla każdego x = -1 mamy f1(x) = f2(x). Jest to konsekwencją

tego, że Df = R \{-1} = R = Df .
1 2
Definicja 3 Niech będą dane dwie funkcje f1 : X1 Y oraz f2 : X2 Y . Jeśli X1 �" X2 i
dla każdego x " X1 jest f1(x) = f2(x), to mówimy, że f2 jest rozszerzeniem f1 na zbiór
X2, oraz, f1 jest zawężeniem f2 do zbioru X1.
Przykład.
x2-1
Dla f1(x) = oraz f2(x) = x - 1 mamy:
x+1
f2 jest rozszerzeniem f1 na cały zbiór R,
oraz
f1 jest zawężeniem f2 do zbioru R \{-1}.
Można też podać następujący związek pomiędzy f1 oraz f2:
ńł
�ł
f1(x) dla x = -1,

f2(x) =
ół
-2 dla x = -1.
Definicja 4 Funkcję f : X Y nazywamy różnowartościową w zbiorze X gdy

[x1 = x2] �! [f(x1) = f(x2)] .

x1,x2"X
Uwaga.
Funkcję różnowartościową nazywamy również funkcją wzajemnie jednoznaczną lub iniekcją.
Zapisujemy ten fakt symbolem 1 : 1.
29
Definicja 5 Funkcję f : X Y nazywamy suriekcją zbioru X na zbiór Y , jeśli każdy
element zbioru Y jest wartością funkcji f.
Uwaga.
Powyższą definicję można zapisać w postaci:

f(x) = y.
y"Y x"X
Definicja 6 Funkcję f : X Y nazywamy bijekcją zbioru X na zbiór Y , jeśli jest iniekcją
oraz suriekcją.
Przykłady.
I. Zbadaj różnowartościowość funkcji:
x+5
1. f(x) = ,
x-3
"
1
2. g(x) = x - ,
x
3. h(x) = x2 + 2x - 3.

II. Funkcja f(x) = 4 - (x - 4)2 jest suriekcją zbioru [2, 6] na zbiór [0, 2].

1
Funkcja g(x) = 4 - (x - 4)2 + jest suriekcją zbioru [2, 6] na zbiór R.
(x-3)(x-5)
1
Czy jest suriekcją funkcja h(x) = ? Jeśli tak, to na jaki zbiór?
(x-3)(x-5)
Niech dane będą dwie funkcje f : X U oraz g : W Y . Niech ponadto Rf �" Dg. Zatem
f : X x u = f(x) " Rf oraz g : Dg u y = g(u) " Y .
Można więc przyporządkować argumentowi x " X wartość y = g(u) = g(f(x)) " Y . W ten
sposób zdefiniowaliśmy nową funkcję
h : X Y daną wzorem h(x) = g(f(x)) .
Funkcję h nazywamy złożeniem lub superpozycją funkcji f i g i piszemy h = g ć% f.
Funkcję f nazywamy funkcją wewnętrzną, a g funkcją zewnętrzną tego złożenia.
30
Uwaga.
Jeśli nie zachodzi warunek Rf �" Dg, to składać funkcje f i g można tylko w pewnym
podzbiorze zbioru X, mianowicie takim A �" X, dla którego zawężenie funkcji f - oznaczmy
�
je przez f - ma zbiór wartości Rf zawarty w dziedzinie funkcji g.
�
Uwaga.
Złożenie funkcji na ogół nie jest przemienne, tzn.
g ć% f = f ć% g .

Przykład.
Wyznaczyć, o ile to możliwe, złożenia g ć% f i f ć% g dla funkcji
"
1. f(x) = x i g(x) = -2 + sin x,
2. f(x) = log x i g(x) = 1 - x2.
Definicja 7 Funkcję g : Y X nazywamy funkcją odwrotną do funkcji f : X Y jeśli
dla każdego elementu x " X zachodzi równość g(f(x)) = x oraz dla każdego elementu y " Y
zachodzi równość f(g(y)) = y.
Uwaga.
Funkcję odwrotną oznaczamy symbolem f-1.
Twierdzenie 1 Jeśli funkcja f : X Y jest różnowartościowa w X, to istnieje funkcja
odwrotna do niej.
Przykłady.
Wyznacz funkcje odwrotne do
x+5
1. f(x) = ,
x-3
2. h(x) = x2 + 2x - 3 w zbiorze (-", -1].
Uwaga.
"
1
Zauważmy, że funkcja odwrotna do f(x) = x - istnieje, ale nie jesteśmy w stanie jej
x
wyznaczyć.
31
Uwaga.
Jeśli funkcja g : Y X , g(y) = x jest funkcją odwrotną do funkcji f : X Y , f(x) = y,
to w prostokątnym układzie współrzędnych XOY wykresy obu funkcji są identyczne, gdyż
równania g(y) = x i f(x) = y wyznaczają ten sam zbiór.
Jeśli jednak w definicji funkcji odwrotnej g zamienimy y i x rolami, po to by argumentem
funkcji g był zgodnie z naszymi przyzwyczajeniami x, to wykres funkcji g będzie obrazem
wykresu funkcji f w symetrii osiowej względem prostej y = x.
Przykład.
"
3
Funkcją odwrotną do f(x) = x3 jest g(y) = y. Wykresem obu funkcji jest krzywa jak na
"
3
rysunku. Zamieniając y na x w definicji funkcji odwrotnej g otrzymujemy g(x) = x, której
wykres jest odbiciem wykresu funkcji f względem prostej y = x.
Definicja 8 Funkcję f : X X nazywamy inwolucją jeśli f-1 = f.
Uwaga.
Równość w powyższej definicji można zastąpić przez f ć% f = id, gdzie id jest funkcją identy-
cznościową tj. id(x) a" x.
Przykłady.
I. Inwolucjami są funkcje
1. f(x) = a - x , a " R , x " R,
1
2. g(x) = , x = 0.

x
ax+b
II. Wyznacz wszystkie inwolucje postaci f(x) = .
cx+d
32
Definicja 9 Funkcję f : X Y nazywamy rosnącą w przedziale (a, b), jeśli

[x1 < x2] �! [f(x1) f(x2)] .
x1,x2"X
Definicja 10 Funkcję f : X Y nazywamy ściśle rosnącą w przedziale (a, b), jeśli

[x1 < x2] �! [f(x1) < f(x2)] .
x1,x2"X
Definicja 11 Funkcję f : X Y nazywamy malejącą w przedziale (a, b), jeśli

[x1 < x2] �! [f(x1) f(x2)] .
x1,x2"X
Definicja 12 Funkcję f : X Y nazywamy ściśle malejącą w przedziale (a, b), jeśli

[x1 < x2] �! [f(x1) > f(x2)] .
x1,x2"X
Definicja 13 Mówimy, że funkcja jest monotoniczna w przedziale (a, b), jeśli jest w tym
przedziale rosnąca lub malejąca.
Przykład.
Ą
Funkcja f : x tg x rośnie w każdym z przedziałów postaci (-Ą + kĄ, + kĄ) , k " Z, nie
2 2
3Ą
rośnie jednak w sumie przedziałów tej postaci. Np. dla x1 = 0 < = x2 mamy f(x1) = 0 >
4
-1 = f(x2).
Twierdzenie 2 Jeśli funkcja g : (c, d) (a, b) jest funkcją odwrotną do funkcji f : (a, b)
(c, d), to
1. jeśli f jest rosnąca, to g jest rosnąca,
2. jeśli f jest malejąca, to g jest malejąca.
Twierdzenie 3 Złożenie dwóch funkcji, które są jednocześnie rosnące lub jednocześnie male-
jące jest funkcją rosnącą. Złożenie funkcji rosnącej i malejącej (w dowolnej kolejności) jest
funkcją malejąca.
33
Uwaga.
W szczególności dla x > 0 mamy
1. jeśli f(x) jest rosnąca, to f(1/x) jest malejąca,
2. jeśli f(x) jest malejąca, to f(1/x) jest rosnąca.
Przykłady.
1
I. f(x) = tg
1+x2
2x
3 1-x2
II. g(x) =
4
"
III. h(x) = log2 ( 1 + x2 - x).
3
Definicja 14 Funkcję f : X Y nazywamy ograniczoną w zbiorze X, jeśli istnieją liczby
y" oraz y" takie, że

y" f(x) y" .
x"X
Uwaga.
Powyższą definicję można zapisać w innej formie:
Funkcję f : X Y nazywamy ograniczoną w zbiorze X, jeśli

|f(x)| M.
M x"X
Przykłady.
I. Wykazać z definicji, że f(x) = x3 + 1917 jest funkcją rosnącą w zbiorze R.
II. Wykazać z definicji, że f(x) = 1/x jest funkcją malejącą w każdym z przedziałów (-", 0),
(0, ").
Zadania.
Zbadać monotoniczność funkcji
"
2
I. f(x) = 2x + x,
g(n+1)
II. g(n) = (1 + 1/n)n. Wsk. Rozważyć + nierówność Bernoulliego.
g(n)
34
Definicja 15 Funkcję f : X Y nazywamy parzystą, jeśli

(-x " X '" f(x) = f(-x)) .
x"X
Definicja 16 Funkcję f : X Y nazywamy nieparzystą, jeśli

(-x " X '" f(x) = -f(-x)) .
x"X
Przykłady.
Zbadać parzystość funkcji
(x3+5x2+3x-9)(x3-x2-5x-3)
I. f(x) = ,
x2+4x+3
2x-3x
II. f(x) = ,
2x+3x
"
III. f(x) = ln(x + 1 + x2).
Uwaga.
Każda funkcja f określona w zbiorze symetrycznym względem 0 daje się przedstawić jako suma
funkcji parzystej i funkcji nieparzystej. Mianowicie
1 1
f1(x) = [f(x) + f(-x)] , f2(x) = [f(x) - f(-x)]
2 2
są odpowiednio parzyste i nieparzyste, oraz
f(x) = f1(x) + f2(x) .
Przykłady.
Znalez
ć przedstawienie w postaci sumy funkcji parzystej i funkcji nieparzystej następujących
funkcji
I. f(x) = x2 + 2x + 3 - 4/x,

Ą
II. f(x) = 5x + sin x + .
3
35
Definicja 17 Funkcję f : X Y nazywamy okresową, jeśli

(x ą T " X '" f(x + T ) = f(x)) .
T >0 x"X
Liczbę T nazywamy okresem funkcji f.
Najmniejszą z liczb T , o których mowa w powyższej definicji nazywamy okresem podsta-
wowym funkcji f.
Przykłady.
I. f(x) = sin x X = R , T = 2Ą lub dowolna wielokrotność 2Ą,
II. g(x) = ctg x X = R \{kĄ : k " Z} , T = Ą lub dowolna wielokrotność Ą,
III. Wyznacz okres podstawowy f(x) = sin 3x + sin 4x.
Przekształcenia wykresów funkcji.
Niech dana będzie funkcja y = f(x) , x " R i jej wykres K. Stosując przekształcenia
geometryczne krzywej K można uzyskać wykresy nowych funkcji, których wzory uzyskujemy
z odpowiedniego przekształcenia wzoru funkcji y = f(x). Na odwrót, przekształcając wzór
funkcji y = f(x) otrzymamy wykres będący obrazem K przy odpowiednio dobranym przeksz-
tałceniu geometrycznym.
36
funkcja przekształcenie geome- wykres
tryczne
4
2
0
-4 -2 0 2 4
x
-2
-4
y = f(x)
4
2
0
-4 -2 0 2 4
x
-2
-4
y = f(x) + a przesunięcie o wektor [0, a] a = 1
4
2
0
-4 -2 0 2 4
x
-2
-4
y = f(x - a) przesunięcie o wektor [a, 0] a = -1
4
2
0
-4 -2 0 2 4
x
-2
-4
y = -f(x) symetria osiowa względem OX
4
2
0
-4 -2 0 2 4
x
-2
-4
y = f(-x) symetria osiowa względem OY
37
funkcja przekształcenie geome- wykres
tryczne
4
2
0
-4 -2 0 2 4
x
-2
-4
y = f(x)
4 4
2 2
0 0
-4 -2 0 2 4 -4 -2 0 2 4
x x
-2 -2
-4 -4
y = af(x) powinowactwo prostokątne
względem OX w skali a = 0 a = 3/2 a = 2/3

4 4
2 2
0 0
-4 -2 0 2 4 -4 -2 0 2 4
x x
-2 -2
-4 -4
y = f(ax) powinowactwo prostokątne
względem OY w skali a = 0 a = 2 a = 1/2

4
2
0
-4 -2 0 2 4
x
-2
-4
y = |f(x)|
38