Inżynierskie zastosowania statystyki  ćwiczenia
Temat 4: Charakterystyki liczbowe rozkładu prawdopodobieostwa
Zadania do rozwiÄ…zania:
1. Rozkłady zmiennych losowych X i Y zostały pokazane w tabelach
xi 0 1 2 5
pi 0,1 0,4 0,3 0,2
xi -1 1 3 5
pi 0,2 0,3 0,3 0,2
Narysuj wykresy funkcji prawdopodobieostwa. Wyznacz współczynnik asymetrii dla
obu przypadków.
2. Pracownik obsługuje m jednakowych maszyn. Maszyny ustawione są w rzędzie i
oddalone od siebie o odległośd d. Prawdopodobieostwo, że maszyna będzie
wymagała obsługi jest jednakowe dla każdej maszyny. Maszyny są obsługiwane w
kolejności zgłoszeo (nie ma priorytetów). Oblicz przeciętną długośd ED drogi D, jaką
pracownik pokonuje przy przechodzeniu do następnej maszyny wymagającej obsługi,
jeżeli nie wiadomo, która maszyna była obsługiwana. Uwaga  możliwe jest, że ta
sama maszyna będzie wymagad obsługi kilkakrotnie pod rząd.
3. Wykaż prawdziwośd następującej zależności
2 2
D2 X =ð E(ðX -ð c)ð -ð(ðc -ð EX )ð
4. Wyznacz medianę zmiennej losowej X, która ma rozkład o gęstości:
ìð0.5x xÎð 0,2
f (x) =ð
íð
0 poza
îð
5. Dany jest nieskooczony ciąg liczbowy (pk) opisany wyrażeniem
pk =ð pqk-ð1
dla k Îð N , 0 < p < 1, q = 1-p
a) Sprawdzid, że ciąg ten jest funkcją prawdopodobieostwa pewnej zmiennej losowej K
b) Przyjmując pk=P(K=k) wyznaczyd wartośd przeciętną EK
6. Eksperyment losowy polega na rzucie symetryczną sześciościenną kostką. Niech
zmienna losowa X oznacza liczbę oczek, które wypadną podczas rzutu.
a) Znajdz
rozkład zmiennej losowej.
b) Oblicz wartośd oczekiwaną i wariancję.
c) Rozważ rozszerzoną wersję eksperymentu, w którym wykonywany jest rzut
dwiema symetrycznymi kostkami. Niech zmienna losowa Y oznacza iloczyn
liczby oczek na obu kostkach. Oblicz wartośd oczekiwaną i wariancję.
1
7. Zmienna losowa X ma rozkład o gęstości:
6x(1-ð x) 0 <ð x <ð1
ìð
f (x) =ð
íð
0 dla pozostalyc
h
îð
Oblicz wartośd przeciętną i wariancję:
a) zmiennej losowej X
b) zmiennej losowej Y=2X-1
2