I Budownictwo (2012/2013)
Rachunek różniczkowy funkcji jednej zmiennej Lista 7
Zadanie 1. Korzystając z reguł różniczkowania obliczyć pochodne następujących funkcji (bez upraszczania wyrażeń):
3
5
4 3
a) y =ð 3x3 +ð +ð x -ð 4 ×ð x3 b) y =ð10sin x -ð 4ln x +ð 5x c) y =ð (arctgx +ð x)(sin x -ð ln x)
x2
ln x 1-ð x2
4
d) y =ð e) y =ð sin(x2 +ð 4x +ð 7) f) y =ð g) y =ð (1+ð tg3x)ln x
x6 -ð 3x4 +ð 7 1+ð x3
arcsin 7x
3
h) y =ð sin(ln 5x -ð1) i) y =ð (3x -ð 2)ln(sin 5x) j) y =ð k) y =ð elog ( x2 +ð3x-ð5)
arccos(e5x)
2
x
sin x 2sin x
l) y =ð 32 m) y =ð xx n) y =ð (ðx2 +ð 3x +ð1)ð o) y =ð sin(ðxcos x)ð p) y =ð
2
3cos x
17
2
x x
r) y =ð (ðsin +ð cos )ð s) y =ð 2 sin cos x t) y =ð arcsin (ln3(x4 -ð 3x +ð1)).
2 2
Zadanie 2. Obliczyć drugą pochodną funkcji:
a) y =ð 4x7 -ð 3x4 -ð 2x b) y =ð x3 ln5x c) y =ð sin2 x .
Zadanie 3. Znalez
ć równania stycznych i normalnych do wykresu podanych funkcji we wskazanych punktach:
ln x 1-ð x
a) f (x) =ð , x0 =ð e b) g(x) =ð tg2x , x0 =ð 0 c) h(x) =ð arctg , x0 =ð 1.
x 1+ð x
Zadanie 4. Pod jakim kÄ…tem przecinajÄ… siÄ™ krzywe:
a) f (x) =ð sin x i g(x) =ð cos x b) f (x) =ð 2x i g(x) =ð 4x ?
Zadanie 5. Obliczyć wartość przybliżoną wyrażeń:
5
a) 31 b) 0,98×ð ln 0,98 c) arctg1,005 d) sin 590 .
Zadanie 6. Stosując regułę de L Hospitala obliczyć granice funkcji:
sin x sin 3x ln ln x
a) lim b) lim c) lim d) lim xln x
x®ð0 x®ðpð x®ðÄ„ð
x®ð0+ð
x3 +ð10x sin 5x x
1
1 1
x
e) lim tgx ln x f) lim xx g) lim( -ð ) h) lim(xe -ð x)
x®ð0
x®ð0+ð x®ð0+ð
xsin x x2 x®ðÄ„ð
ex -ð e-ð3x 1-ð sin x +ð cos x
i) lim j) lim k) lim(ðpð -ð 2arctan x)ðln x .
x®ð0 x®ðpð x®ðÄ„ð
x sin 2x -ð cos x
2
Zadanie 7. Wyznaczyć przedziały monotoniczności i ekstrema lokalne funkcji:
x x
a) f (x) =ð b) g(x) =ð x2 ln x c) h(x) =ð d) m(x) =ð 3x(x -ð 2)2 .
ln x x2 +ð1
1
Zadanie 8. Wyznaczyć przedziały wypukłości i punkty przegięcia wykresu funkcji:
x
2
a) y =ð x4 -ð 6x2 -ð 6x +ð1 b) y =ð ln(x2 +ð1) c) y =ð x2 +ð sin x d) y =ð ex -ð1 .
Zadanie 9. Znalez
ć najmniejszą oraz największą wartość funkcji w podanym przedziale:
a) y =ð 2x3 -ð 3x2 -ð 36x -ð 8 , [-ð3; 6] b) y =ð x -ð 2 x , [0; 5].
Zadanie 10. Liczbę 36 rozłożyć na dwa czynniki tak, aby suma kwadratów była najmniejsza.
Zadanie 11. W koło o promieniu r wpisano prostokąt. Kiedy pole tego prostokąta będzie największe?
Zadanie 12. Wydajność pracy pewnego murarza zmienia się w ciągu 8 godzin pracy i po t godzinach osiąga wartość
w =ð100 +ð12t +ð 9t2 -ð 4t3 . O której godzinie jego wydajność jest najwiÄ™ksza, jeżeli pracÄ™ rozpoczyna o godzinie
siódmej?
Zadanie 13. Zbadać przebieg zmienności funkcji:
1
x2 +ð 2x +ð1 2x2 x3
x
a) y =ð xe b) y =ð c) y =ð d) y =ð .
x -ð 2 (x -ð 3)2 x2 -ð x -ð 2
2