CIAGI LICZBOWE - LISTA ZADAC
NR 7
¸
1. Wypisz pi¸Ä‡ pierwszych wyrazów ciagu an, jeÅ›li jest on zdefiniowany
e ¸
za pomoc¸ rekurencyjnej formu a1 = 1, a2 = 1, an+2 = an+1 + an
a ly:
(ciag Fibonacciego).
¸
2. Zbadać, czy podane ciagi sa ograniczone z do
¸ ¸ lu:
Ä„
a) an = 5 sin(n! - cos(n)), b) bn = 10n - n2, c) cn = ctg .
3n
3. Zbadać ograniczoność ciagów:
¸
5n2
a) an = , b) bn = (-1)n sin n, c) cn = (-2)n , d) dn =
n2+3
n cos (nĄ) .
1 1 1
4. Wykaż, że ciag an = + +· · ·+ jest ograniczony z góry. Korzys-
¸
12 22 n2
tajac z twierdzenia o istnieniu granicy ciagu monotonicznego i ogranic-
¸ ¸
1 1 1 1
zonego wykaż, że an jest zbieżny. Wsk.: < = - .
n2 n(n-1) n-1 n
5. Zbadać monotoniczność ciagów:
¸
n-2 1-n 10n
a) an = , b) bn = , c) cn = , d) dn = 2n + (-1)n ,
n+3 n+1 n!
5·7·9·...·(5+2n)
e) en = .
4·7·10·...·(4+3n)
6. Niech lim an = 2, lim bn = 4. Pokaż, że lim min(an, bn) = 2.
n" n" n"
7. Wykazać na podstawie definicji granicy ciagu, że:
¸
1 n
2n-3 n+2
a) lim = 2, b) lim = 0, c) lim = 1,
n+5 n-3
n" n" n"
"3
4
d) lim logn 2 = 0, e) lim n + 2 = ", f) log3 (n + 2) = ".
n" n"
8. Obliczyć granice ciagów:
¸
" " "
"
3+4n2 1+2n2- 1+4n2
"
a) lim , b) lim ( n2 + n - n), c) lim ,
3
n
n3+2n+1
n" n" n"
"
3
1 2-5n-10n2
"
d) lim , e) lim n3 + 4n2 - n , f) lim ,
3n+15
4n2+7n-2n
n" n" n"
4n-1-5 5·32n-1 3·22n+2-10
g) lim , h) lim , i) lim ,
22n-7 4·9n+7 5·4n-1+3
n" n" n"
log2 n5
2n+1-3n+2 9log3 n
j) lim , k) lim , l) lim ,
3n+2 log8 n
4log2 n
n" n" n"
1 1 1
1 1
1+ + +···+
1+2+3+···+n 1
2 4 2n

l). lim , m) lim + + · · · + , n) lim ,
1 1 1
n2 3 9 3n
1+ + +···+
n" n" n"
3 9
n2 n 3n
n+3 n
n2-1 n+1
o) lim , p) lim , q) lim ,
n 2n2 n-2
n" n" n"
2n 3n n
n-1 2n+3 4n-2
r) lim , s) lim , t) lim ,
n+1 2n-3 2n+1
n" n" n"
n
n2 n
2 1 2n+1
u) lim 1 + , v) lim 1 + , w) lim .
n n2 3n-2
n" n" n"
(k-2)n+1
9. Dla jakiej wartości parametru k ciag o wyrazie ogólnym an =
¸
(k2-2k-3)n-2
jest zbieżny do: a) 0, b) 1, c) -", d) +", e) liczby a " (2, 10) ?
1
10. Obliczyć granice ciagów:
¸


2 2 2
a) an = 1 - 1 - · . . . · 1 - ,
2·3 3·4 n(n+1)

1 1 1
b) bn = 1 - 1 - · . . . · 1 - .
22 32 n2
(n-1)(n+2) (n-1)(n+1)
2 1
Wsk.: 1 - = ; 1 - = .
n(n+1) n(n+1) n2 n2
11. Na podstawie twierdzenia o trzech ciagach znalez
ć granice ciagów:
¸ ¸
"
"
n 2n+(-1)n
n
a) an = 3n + 2n + Ä„n, b) bn = 3 + sin n2, c) cn = ,
3n+2
"
"
"
# 2n#
2n2+5
d) dn = , e) en = , f) fn = sin n + 1 - sin n.
4n2-3 cos(2n)! n
12. Na podstawie twierdzenia o dwóch ciagach uzasadnić, że:
¸
a) lim (4n + (-1)n) = ", b) lim (-2n - 3n) = -".
n" n"
13. Na podstawie twierdzenia o istnieniu granicy ciagu monotonicznego i
¸
ograniczonego wykazać zbieżność ciagów:
¸
n2-1 n2 1 1 2
a) an = , b) bn = , c) cn = 1 + + + · · · + , d) dn =
n2 5n 1! 2! n!
1 1 1
+ + · · · + .
n+1 n+2 2n
2