x = x(u,v),
Å„Å‚
f : " " (u,v) (x, y) " D , gdzie
òÅ‚
óły = y(u, v).
"x "x
îÅ‚ Å‚Å‚
"u "v
2
Macierz f (u, v) = nazywa siÄ™ macierzÄ… Jacobiego odwzorowania f , zaÅ› jej wyznacznik  jakobianem.
ïÅ‚ śł
"y "y
ïÅ‚ śł
"u "v
ðÅ‚ ûÅ‚
[Zad.1] Obliczyć jakobian odwzorowania zwanego zamianą współrzędnych kartezjańskich na współrzędne biegunowe.
x = r Å" cos Õ,
Å„Å‚
òÅ‚
y = r Å" sin Õ.
ół
"x "x
- r Å" sin Õ cos Õ
"Õ "r
J (Õ, r) = = = -r
"y "y
r Å" cos Õ sin Õ
"Õ "r
x = x(u,v),
Å„Å‚
ôÅ‚
f : " " (u,v) (x, y, z) " D , gdzie = y(u,v),
òÅ‚y
ôÅ‚
z = z(u,v).
ół
"x "x
îÅ‚ Å‚Å‚
"u "v
ïÅ‚ śł
"y "y
2
Macierz f (u,v) = nazywa siÄ™ macierzÄ… Jacobiego odwzorowania f .
ïÅ‚ śł
"u "v
ïÅ‚ "z "z śł
"u "v
ðÅ‚ ûÅ‚
x = x(u,v, w),
Å„Å‚
f : " " (u,v, w) (x, y) " D , gdzie
òÅ‚
óły = y(u,v, w).
"x "x "x
îÅ‚ Å‚Å‚
"u "v "w
2
Macierz f (u,v, w) = nazywa siÄ™ macierzÄ… Jacobiego odwzorowania f .
ïÅ‚ śł
"y "y
"t
ïÅ‚ śł
ðÅ‚ "u "v "w ûÅ‚
Å„Å‚ x = x(u,v,w),
ôÅ‚
f : " " (u,v, w) (x, y) " D , gdzie = y(u,v, w),
òÅ‚y
ôÅ‚
z = z(u,v, w).
ół
"x "x "x
îÅ‚ Å‚Å‚
"u "v "w
ïÅ‚ śł
"y "y "y
2
Macierz f (u, v) = nazywa siÄ™ macierzÄ… Jacobiego odwzorowania f , zaÅ› jej wyznacznik  jakobianem.
ïÅ‚ śł
"u "v "w
ïÅ‚ "z "z "z śł
"u "v "w
ðÅ‚ ûÅ‚
[Zad.2] Obliczyć jakobian odwzorowania zwanego zamianą współrzędnych kartezjańskich na współrzędne walcowe.
P = (x, y, z)
P0 = (x, y, 0)
x = r Å" cos Õ,
Å„Å‚
ôÅ‚
y = r Å" sin Õ,
òÅ‚
ôÅ‚
z = z.
ół
"x "x "x
îÅ‚ Å‚Å‚
- r Å" cosÕ cosÕ 0
"Õ "r "z
ïÅ‚ śł
"y "y "y
J (Õ, r, z) = det = r Å" cos Õ sin Õ 0 = -r
ïÅ‚ śł
"Õ "r "z
ïÅ‚ śł
"z "z "z
0 0 1
ïÅ‚ "Õ "r "z śł
ðÅ‚ ûÅ‚
1
St. Kowalski, Wykłady z matematyki (dla studentów kierunku Mechanika)  wykład 2  10
[Zad.3] Obliczyć jakobian odwzorowania zwanego zamianą współrzędnych kartezjańskich na współrzędne sferyczne.
P = (x, y, z)
P0 = (x, y, 0)
P = (x, y, z)
È
O
P0 = (x, y, 0)
x = r Å" cos Õ Å" cosÈ,
Å„Å‚
ôÅ‚
y = r Å" sin Õ Å" cos È,
òÅ‚
ôÅ‚
z = r Å" sin È.
ół
"x "x "x
îÅ‚ Å‚Å‚
- r Å" sin Õ Å" cos È - r Å" cos Õ Å" sin È cos Õ Å" cos È
"Õ "È "r
ïÅ‚ śł
"y "y "y 2
J (Õ,È, r) = det = r Å" cos Õ Å" cosÈ - r Å" sin Õ Å" sin È sin Õ Å" cosÈ = r cosÈ
ïÅ‚ śł
"Õ "È "r
ïÅ‚ śł
"z "z "z
0 r Å" cos È sin È
ïÅ‚ "Õ "È "r śł
ðÅ‚ ûÅ‚
3 3
" FunkcjÄ™ Õ : ƒ" V nazywamy polem skalarnym w przestrzeni .
îÅ‚ Å‚Å‚
"Õ "Õ "Õ
3
2 2 y 2
" Pole skalarne Õ : ƒ" V nazywamy różniczkowalnym, gdy istnieje pochodna grad Õ = = [Õx Õ Õz].
ïÅ‚ śł
"x "y "z
ðÅ‚ ûÅ‚
îÅ‚ Å‚Å‚
" " "
Wprowadzając operator różniczkowy " = , zwany nablą, dostajemy
ïÅ‚"x "y "z śł
ðÅ‚ ûÅ‚
îÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚
" " " "Õ "Õ "Õ
grad Õ = " Å" Õ = Å" Õ = .
ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł
"x "y "z "x "y "z
ðÅ‚ ûÅ‚ ðÅ‚ ûÅ‚
" Własności gradientu:
[a] grad(Õ Å" È) = gradÕ Å" È + ÕÅ" gradÈ
"Õ "È "Õ "È "Õ "È "Õ "Õ "Õ "È "È "È
" " "
grad(Õ Å" È) = [ (Õ Å" È) (Õ Å" È) (Õ Å" È)] = [ È + Õ È + Õ È + Õ ] = [ È È È] + [Õ Õ Õ ] =
"x "y "z "x "x "y "y "z "z "x "y "z "x "y "z
"Õ "Õ "Õ "È "È "È
= [ ] Å" È + Õ Å"[ ] = gradÕ Å" È + Õ Å" gradÈ
"x "y "z "x "y "z
Õ gradÕ Å" È - Õ Å" gradÈ
[b] grad =
È
È2
"Õ "È "Õ "Õ "Õ "È "È "È
"Õ "È "Õ "È
È - Õ [ È È È] - [Õ Õ Õ ]
È - Õ È - Õ
Õ Õ Õ Õ
"y "y "x "y "z "x "y "z
"x "x "z "z
" " "
grad( ) = [ ( ) ( ) ( )] = [ ] = =
"x "y "z
È È È È
È2 È2 È2 È2
"Õ "Õ "Õ "È "È "È
[ ]Å" È - Õ Å"[ ]
gradÕ Å" È - Õ Å" gradÈ
"x "y "z "x "y "z
= =
È2 È2
2
[c] gradF(Õ) = F (Õ) Å" gradÕ .
"Õ "Õ "Õ "Õ "Õ "Õ
" " "
2 2 2 2 2
gradF(Õ) = [ (F(Õ)) (F(Õ)) (F(Õ))] = [F (Õ) Å" F (Õ) Å" F (Õ) Å" ] = F (Õ) Å"[ ] = F (Õ) Å" gradÕ
"x "y "z "x "y "z "x "y "z
2
St. Kowalski, Wykłady z matematyki (dla studentów kierunku Mechanika)  wykład 2  10
" (Pochodna pola skalarnego Õ w punkcie M w kierunku wersora v ) = (gradÕ)(M ) " v = (gradÕ)(M ) Å"cos[v,(gradÕ)(M )] .
Zatem prÄ™dkość zmiany wartoÅ›ci pola skalarnego w punkcie M osiÄ…ga maksimum równe gradÕ)(M ) w kierunku wektora
(gradÕ)(M ) . Gradient jest wektorem okreÅ›lajÄ…cym kierunek najszybszego wzrostu (spadku) wartoÅ›ci pola skalarnego.
Zadania.
1. Oblicz gradient pola Õ(x, y, z) = x2 + y2 + z2 - 2xyz w punkcie M = (1,-1,2) . W jakich punktach gradient jest prostopadÅ‚y do
osi Ox, w jakich punktach siÄ™ zeruje?
2. Oblicz gradient pola Õ(x, y, z) = 3x2 y - 3xy3 + y4 w punkcie M = (1,2,0) .
x
3. Oblicz kÄ…t miÄ™dzy gradientami pól Õ(x, y, z) = x2 + y2 - z2 , È(x, y, z) = arcsin w punkcie M = (1,1, 7 ) .
x + y
y
4. Dla pola Õ(x, y, z) = x - z wyznacz najwiÄ™kszÄ… prÄ™dkość zmiany wartoÅ›ci punkcie M = (2,2,4) .
5. Dla pola Õ(x, y, z) = ln(x2 + 4y2 ) wyznacz najwiÄ™kszÄ… prÄ™dkość zmiany wartoÅ›ci punkcie M = (6,4,0) .
2
6. Oblicz pochodnÄ… pola Õ(x, y, z) = xyz w kierunku pola È(x, y, z) = 2x2 - 3xz + z + yz w punkcie M = (1,1,1) .
3 3 3
" FunkcjÄ™ W : ƒ" V " (x, y, z) [P(x, y, z) Q(x, y, z) R(x, y, z)]" nazywamy polem wektorowym w przestrzeni .
" Dywergencją (rozbieżnością) pola wektorowego W nazywamy pole skalarne określone następująco:
îÅ‚ Å‚Å‚
" " " "P "Q "R
divW = " " W = " [P Q R]= + + .
ïÅ‚ śł
"x "y "z "x "y "z
ðÅ‚ ûÅ‚
"Õ "Õ
" Pole wektorowe W = [P Q R] nazywamy potencjalnym, jeÅ›li istnieje pole skalarne Õ, że W = gradÕ , czyli P = , Q = ,
"x "y
"Õ
R = (pole wektorowe W jest gradientem pewnego pola skalarnego Õ). Pole skalarne Õ nazywamy wówczas potencjaÅ‚em pola W.
"z
Zadanie. Wyznaczymy potencjał pola wektorowegoW = [2x3 - xy2 2y3 - x2 y] .
RozwiÄ…zanie.
"Õ
1 1
P = = 2x3 - xy2 Õ = (2x3 - xy2 ) dx = x4 - x2 y2 + C( y)
2 2
+"
"x
"Õ dC dC
1
Q = 2y3 - x2 y = = -x2 y + = 2y3 C(y) = 2y3dy = y4 + K (stała)
2
+"
"y dy dy
1 1 1
Odp. Õ(x, y) = x4 - x2 y2 + y4 + K .
2 2 2
Zadania.
Wyznacz potencjał pola wektorowego
îÅ‚ Å‚Å‚
y x
a) W = - ,
ïÅ‚1 śł
x2 + y2 x2 + y2 ûÅ‚
ïÅ‚ śł
ðÅ‚
b) W =[ey xey - 2y],
îÅ‚ Å‚Å‚
y + sin x Å" cos2 (xy) x
c) W = sin y + ,
ïÅ‚ śł
cos2 (xy) cos2 (xy)
ïÅ‚ śł
ðÅ‚ ûÅ‚
îÅ‚ Å‚Å‚
1 x y y 1 y x x 1
d) W = Å" sin - cos + 1 Å" cos - sin + .
ïÅ‚ śł
y y
x2 x x x y2 y y2 ûÅ‚
ïÅ‚ śł
ðÅ‚
2 2
" Pole W : ƒ" D " (x, y) [P(x, y) Q(x, y)]" (W "C1(D) , D  obszar jednospójny) jest potencjalne wtedy i tylko wtedy, gdy
"P "Q
= . (Jest to wniosek z twierdzenia Schwarza o pochodnych mieszanych).
"y "x
" Rotacją (wirowością) pola wektorowego W nazywamy pole wektorowe określone następująco:
i j k
îÅ‚ "R "Q "P "R "Q "P Å‚Å‚
" " "
rotW = " ×W = = - - - .
ïÅ‚ śł
"x "y "z
"y "z "z "x "x "y
ðÅ‚ ûÅ‚
P Q R
3
St. Kowalski, Wykłady z matematyki (dla studentów kierunku Mechanika)  wykład 2  10
3 3
" Pole W : ƒ" V " (x, y, z) [P(x, y, z) Q(x, y, z) R(x, y, z)]" (W "C1(V ) , V  obszar jednospójny) jest potencjalne wtedy i
tylko wtedy, gdy rotW = 0 . (Jest to wniosek z tw. Schwarza o pochodnych mieszanych)
" PotencjaÅ‚ Õ(x, y, z) pola potencjalnego W = [P Q R] znajdujemy ze wzoru
x y z
Õ(x, y, z) = y, z)dx + , y, z)dx + , y0 , z)dx + K
0 0
+"P(x, +"Q(x +"R(x
x0 y0 z0
Zadania.
Uzasadnić poniższe wzory:
a) div(Õ Å"W ) = gradÕ " W + Õ Å" divW ,
b) div(rotW ) = 0 ,
c) rot(gradÕ) = 0 .
"(Õ Å" P) "(Õ Å" Q) "(Õ Å" R) "(Õ Å" P) "(Õ Å" Q) "(Õ Å" R) "Õ "P "Õ "Q "Õ "R
div(Õ Å"W ) = + + = + + = Å" P + Õ Å" + Å" Q + Õ Å" + Å" R + Õ Å" =
"x "y "z "x "y "z "x "x "y "y "z "z
"Õ "P "Õ "Q "Õ "R "Õ "Õ "Õ "P "Q "R
= Å" P + Õ Å" + Å" Q + Õ Å" + Å" R + Õ Å" = [ ] " [P Q R] + Õ Å"[ ] = gradÕ " W + Õ Å" divW
"x "x "y "y "z "z "x "y "z "x "y "z
îÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚ ëÅ‚ öÅ‚ ëÅ‚ öÅ‚
" " " "R "Q "P "R "Q "P " "R "Q " "P "R " "Q "P
ëÅ‚ öÅ‚
ìÅ‚ ìÅ‚
div(rotW ) = " " (rotW ) = " - - - = - ÷Å‚ + - ÷Å‚ + - ÷Å‚ = 0
ìÅ‚
ïÅ‚"x "y "z śł ïÅ‚ śł
ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚
"y "z "z "x "x "y "x "y "z "y "z "x "z "x "y
íÅ‚ Å‚Å‚
ðÅ‚ ûÅ‚ ðÅ‚ ûÅ‚ íÅ‚ Å‚Å‚ íÅ‚ Å‚Å‚
(wykorzystać równość pochodnych mieszanych)
4
St. Kowalski, Wykłady z matematyki (dla studentów kierunku Mechanika)  wykład 2  10