Szeregi potęgowe
"
Szereg funkcyjny postaci (x - x0 )k , gdzie ak są stałymi, nazywamy szeregiem potęgowym o środku w punkcie x0 " .
k
"a
k =0
Można wykazać, że jeśli szereg potęgowy jest zbieżny w punkcie c `" 0 , to jest bezwzględnie zbieżny wewnątrz przedziału
(x0 - | c |, x0 + | c |) . Z powyższego wynika, że istnieje r takie, że w przedziale (x0 - r, x0 + r) szereg jest zbieżny, a na zewnątrz tego
przedziału szereg jest rozbieżny. Liczbę tę nazywamy promieniem zbieżności szeregu potęgowego.
"
2n n!
Przykład 1. Określimy przedział zbieżności szeregu x2n .
"
nn
n=1
Zastosujemy kryterium d Alemberta.
n
îÅ‚
| wn+1 | 2n+1(n +1)! nn Å‚Å‚ nn ëÅ‚ n öÅ‚ 2x2
lim = lim x2(n +1) Å" = 2x2 Å" lim = 2x2 Å" lim ìÅ‚ ÷Å‚ =
ïÅ‚ śł
ìÅ‚ ÷Å‚
n" n"
| wn | n +1 e
(n +1)n+1 2n n!x2n śł n" (n +1)n n"
ïÅ‚ íÅ‚ Å‚Å‚
ðÅ‚ ûÅ‚
2x2 e
< 1 Ô! | x | <
e 2
e e
Szereg jest zbieżny w przedziale (- ; ) .
2 2
"
(x +1)n
Przykład 2. Określimy przedział zbieżności szeregu .
"
2n (n +1)(n + 2)
n=1
Zastosujemy kryterium d Alemberta.
| wn+1 | | x + 1 | n +1 | x +1 |
lim = Å" lim = < 1Ô!| x +1 |< 2 Ô! - 3 < x < 1
n" n"
| wn | 2 n + 3 2
Dany szereg jest bezwzględnie zbieżny w przedziale (-3; 1) . Jaka jest zbieżność na końcach przedziału zbieżności?
"
1
x +1 = 2 Ò! jest szeregiem zbieżnym (bezwzglÄ™dnie).
"
(n +1)(n + 2)
n=1
"
(-1)n
x +1 = -2 Ò! jest szeregiem zbieżnym bezwzglÄ™dnie.
"
(n +1)(n + 2)
n=1
Szereg jest bezwzględnie zbieżny w przedziale [-3; 1] .
" Twierdzenie (o rozwijaniu funkcji w szereg potęgowy).
Jeśli
1° funkcja f ma w przedziale (x0 - ´; x0 + ´) pochodne dowolnego rzÄ™du,
(n)
f (x0 )
2° dla każdego x " (x0 - ´, x0 + ´) speÅ‚niony jest warunek lim (x - x0 )n = 0 ,
n"
n!
to
"
(n)
f (x0 )
f (x) = (x - x0 )n dla każdego x " (x0 - ´; x0 + ´) .
"
n!
n=0
Szereg potęgowy występujący w tezie twierdzenia nazywa się szeregiem Taylora funkcji f w punkcie x0 ; gdy x0 = 0 , szereg ten nazywa
siÄ™ szeregiem Maclaurina.
"
1
2
Przykład 3. = 1+ x + x + x3 + ... = xk . Jest to  szkolny szereg geometryczny zbieżny dla | x | < 1 .
"
1- x
k =0
"
1
2
Przykład 4. = 1- x + x - x3 + ... = (-x)k . Jest to szereg geometryczny zbieżny dla | x | < 1 .
"
1+ x
k =0
"
1 1
1 3 3 3 1 3
= = (1 + x + ( x)2 + ( x)3 + ... = ( x)k
2 2 2 2 2 " 2
3
2 + 3x 2(1 + x)
2
k =0
"
x2n
Przykład 5. cos x = (-1)n dla x " .
"
(2n)!
n=0
" "
1 + cos 2x (2x)2n (-4)n
1 1 1
cos2 x = = + (-1)n = 1 + x2n
2 2 " 2 "
2 (2n)! (2n)!
n=0 n=1
1
St. Kowalski, Wykłady z matematyki (dla studentów kierunku Mechanika)  wykład 2  12
"
x2n+1
Przykład 6. sin x = (-1)n dla x " .
"
(2n + 1)!
n=0
"
1 - cos 2x (2x)2n
2
1 1
sin x = = - (-1)n
2 2 "
2 (2n)!
n=0
"
xn
Przykład 7. ex = dla x " .
"
n!
n=0
"
(-2x)n
e-2x =
"
n!
n=0
"
2
(-x2 )n
e-x =
"
n!
n=0
Twierdzenie (o różniczkowaniu szeregu potęgowego):
Szereg potęgowy można różniczkować wyraz po wyrazie w przedziale (-r, r) , gdzie r jest promieniem zbieżności:
" "
ëÅ‚ öÅ‚
d
ìÅ‚
ak (x - x0)k ÷Å‚ = a1 + 2a2(x - x0) + ... + nan(x - x0)n-1 + ... = kak (x - x0)k -1
ìÅ‚" ÷Å‚ "
dx ìÅ‚ ÷Å‚
íÅ‚ k =0 Å‚Å‚ k =1
Po prawej stronie mamy tzw. SZEREG POCHODNY.
FAKT. Oba szeregi mają ten sam zbiór zbieżności.
Twierdzenie (o całkowaniu szeregu potęgowego):
Szereg potęgowy można całkować wyraz po wyrazie w przedziale (-r, r) , gdzie r jest promieniem zbieżności:
x
" "
ëÅ‚ öÅ‚
1 1 1 1
ak xk = a0 x + a1x2 + a2 x3 + ...+ an-1xn + ... = ak xk +1
" 2 3 n " k +1
+"ìÅ‚ ÷Å‚dx
ìÅ‚ ÷Å‚
k =0
íÅ‚ Å‚Å‚ k =0
0
d 1
Przykład 8. [ln(1+ x)] = ,
dx 1+ x
x
1
ln(1 + x) = dx
+"
1 + x
0
"
1
= 1- x + x2 - x3 + ... = (-x)k dla | x | < 1 .
"
1+ x
k =0
x x
"
1 (-1)k -1
1 1 1
ln(1+ x) = dx = (1- x + x2 - x3 + ...)dx = x - x2 + x3 - x4 + ... = xk
2 3 4 "
+" +"
1+ x k
k =1
0 0
Jest to szereg zbieżny dla -1 < x < 1 .
Ponadto dla x =1 jest zbieżny warunkowo. Kładąc do tego wzoru wartość x = 1 mamy
"
(-1)k -1 1 1 1
ln 2 = = 1- + - + ...
"
k 2 3 4
k =1
"
1
Przykład 9. = 1- x2 + x4 - x6 + ... = (-x2 )k
"
1+ x2
k =0
Jest to szereg geometryczny (o ilorazie -x2 ) zbieżny dla | x | < 1 . Jest zbieżny warunkowo (kryterium Leibniza) dla x =1 . Zatem
d 1
(arctg x) = = 1- x2 + x4 - x6 + ... .
dx
1+ x2
Dlatego
"
x3 x5 x7 x2n+1
arctg x = x - + - + ... = (-1)n dla -1 < x d" 1
"
3 5 7 (2n +1)!
n=0
a następnie (dla x = 1 ) dostajemy
Ä„ 1 1 1
= arctg1 = 1- + - + ...
4 3 5 7
2
St. Kowalski, Wykłady z matematyki (dla studentów kierunku Mechanika)  wykład 2  12
"
(-1)k
Przykład 10.
"
k Å" 2k
k =1
RozwiÄ…zanie.
"
(-1)k 1 1 1 1 1 (-1)n
= - + - + - + ... + + ...
"
1Å" 2
k Å" 2k 2 Å" 22 3Å" 23 4 Å" 24 5 Å" 25 n Å" 2n
k =1
"
xk x2 x3 x4 xn
Wez
my szereg = x + + + + ... + + ...
"
k 2 3 4 n
k =1
Stosujemy twierdzenie o różniczkowaniu do tego szeregu i otrzymujemy
"
ëÅ‚
d x2 x3 x4 xn öÅ‚
ìÅ‚
x + + + + ... + + ...÷Å‚ = 1 + x + x2 + x3 + ... + xn-1 + ... = xk .
"
ìÅ‚ ÷Å‚
dx 2 3 4 n
íÅ‚ Å‚Å‚
k =0
Z drugiej strony
"
1
xk = , dla x < 1
"
1 - x
k =0
Zatem
ëÅ‚
d x2 x3 x4 xn öÅ‚ 1
ìÅ‚
x + + + + ... + + ...÷Å‚ =
ìÅ‚ ÷Å‚
dx 2 3 4 n 1 - x
íÅ‚ Å‚Å‚
Stosujemy twierdzenie o całkowaniu do tego szeregu:
x
"
xk 1
= dx = - ln1 - x , x < 1 .
"
+"
k 1 - x
k=1
0
"
(-1)k
1 3 2
Kładąc do ostatniej równości x = - uzyskamy = - ln = ln H" -0,4054651081.
2 "
k Å" 2k 2 3
k =1
Oblicz sumÄ™ szeregu:
" " " " "
n2 2n -1 n 3n -1 1
1. 2. 3. (-1)n 4. 5.
" " " " "
5n 4n 3n 2n n5n
n=1 n=1 n=1 n=1 n=1
Niech f : bÄ™dzie funkcjÄ… okreÅ›lonÄ… i ograniczonÄ… w prostokÄ…cie P = [a,b]×[c, d] .
Podzielmy prostokÄ…t P = [a,b]×[c, d] na dowolnÄ… liczbÄ™ prostokÄ…tów Pi , 1 d" i d" n , o rozÅ‚Ä…cznych wnÄ™trzach (linie podziałów sÄ… równolegÅ‚e
do osi układu). Oznaczmy ten podział przez .
Niech (¾1,·1) , (¾2,·2) , ... , (¾n, ·n) oznaczajÄ… punkty wybrane dowolnie, po jednym z każdego prostokÄ…ta:
É( ) = {(¾i , ·i ) : (¾i , ·i ) " Pi , i = 1,2,..., n}
Utwórzmy sumę
S( , É( ))= f (¾1, ·1)Å" | P1 | + f (¾2, ·2 )Å" | P2 | +... + f (¾n, ·n )Å" | Pn | .
SumÄ™ tÄ™ nazywa siÄ™ sumÄ… Riemanna funkcji f odpowiadajÄ…cÄ… podziaÅ‚owi  prostokÄ…ta P = [a,b]×[c, d] i wyborowi É( ) punktów poÅ›rednich.
Znaczenie geometryczne sumy S( , É( )) jest oczywiste, gdy funkcja f jest w prostokÄ…cie P = [a,b]×[c, d] nieujemna. Wówczas iloczyn
f (¾i,·i )Å" | Pi | jest objÄ™toÅ›ciÄ… prostopadÅ‚oÅ›cianu o podstawie | Pi | i wysokoÅ›ci f (¾i , ·i ) . Suma S( , É( )) jest sumÄ… objÄ™toÅ›ci prostopadÅ‚oÅ›cianów o
podstawach | P1 | , | P2 | ,..., | Pn | i wysokoÅ›ciach f (¾1,·1) , f (¾2,·2) , ... , f (¾n, ·n ) .
DÅ‚ugość najwiÄ™kszej przekÄ…tnej prostokÄ…ta wchodzÄ…cego w skÅ‚ad podziaÅ‚u  oznaczamy ´( ) i nazywamy Å›rednicÄ… podziaÅ‚u .
3
St. Kowalski, Wykłady z matematyki (dla studentów kierunku Mechanika)  wykład 2  12
Jeśli istnieje liczba I taka, że różnica
| S( ,É( ))- I |
jest dowolnie maÅ‚a dla dostatecznie  drobnych podziałów  i to niezależnie od wyboru É( ) punktów poÅ›rednich, to liczbÄ™ I nazywa siÄ™ caÅ‚kÄ…
podwójnÄ… funkcji f na prostokÄ…cie P = [a,b]×[c, d] i oznacza symbolem
f (x, y)dx .
+"+"
P
Jeśli istnieje f (x, y)dx , to mówimy, że funkcja f jest całkowalna w sensie Riemanna w prostokącie P.
+"+"
P
Jeżeli funkcja f jest ciÄ…gÅ‚a w prostokÄ…cie P = [a,b]×[c, d] , to caÅ‚ki
b d b d
ëÅ‚ öÅ‚
ìÅ‚ ÷Å‚
dx f (x, y)dy = f (x, y)dy÷Å‚ dx ,
ìÅ‚
+" +" +" +"
ìÅ‚ ÷Å‚
a c a c Å‚Å‚
íÅ‚
d b d b
ëÅ‚ öÅ‚
ìÅ‚ ÷Å‚
dy f (x, y)dx = f (x, y)dx÷Å‚dy
ìÅ‚
+" +" +" +"
ìÅ‚ ÷Å‚
c a c a Å‚Å‚
íÅ‚
nazywa się całkami iterowanymi.
Jeżeli funkcja f jest ciÄ…gÅ‚a w prostokÄ…cie P = [a,b]×[c, d] , to istniejÄ… caÅ‚ki iterowane i zachodzÄ… zależnoÅ›ci
b d
f (x, y)dx dy = dx f (x, y)dy ,
+"+" +" +"
P a c
d b
f (x, y)dx dy = dy f (x, y)dx .
+"+" +" +"
P c a
PrzykÅ‚ad 1. Obliczymy (x3 - 2xy + 6)dxdy , P = [1, 2]×[-1, 4] .
+"+"
P
2 4 2 2
y =4
105
(x3 - 2xy + 6) dx dy = dx (x3 - 2xy + 6) dy = x3 y - xy2 + 6y] dx = (5x3 -15x + 30) dx =
y =-1
4
+"+" +" +" +"[ +"
P 1 -1 1 1
Ä„ Ä„
PrzykÅ‚ad 2. Obliczymy (xcos y + ysin x)dxdy , P = [0, ]×[0, ] .
2 2
+"+"
P
1
1 1 1
Ä„ Ä„ Ä„ Ä„
2 2 2 2
Ä„
y =
2
1 1 1
(x cos y + y sin x) dx dy = dx (x cos y + y sin x) dy = x sin y + y2 sin x] dx = (x + Ä„2 sin x) dx = Ä„2
2 8 4
y =0
+"+" +" +" +"[ +"
P 0 0 0 0
Ä„ Ä„
PrzykÅ‚ad 3. Obliczymy (x2 cos y + y2 sin x) dx dy , P = [0, ]×[0, ] .
2 2
+"+"
P
1
1 1 1
Ä„ Ä„ Ä„ Ä„
2 2 2 2
Ä„
y =
2
1 1 1
(x2 cos y + y2 sin x) dx dy = dx (x2 cos y + y2 sin x) dy = x2 sin y + y3 sin x] dx = (x2 + Ä„3 sin x) dx = Ä„3
3 24 12
y =0
+"+" +" +" +"[ +"
P 0 0 0 0
b d
ëÅ‚ öÅ‚ ëÅ‚ öÅ‚
ìÅ‚ ìÅ‚
f (x)g( y) dx dy = f (x)dx÷Å‚ Å" g(y) dy÷Å‚ .
ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚
+"+" +" +"
ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚
P íÅ‚ a Å‚Å‚ íÅ‚ Å‚Å‚
c
4
St. Kowalski, Wykłady z matematyki (dla studentów kierunku Mechanika)  wykład 2  12