8. Szczegó"owy opis realizacji programu (zakres podstawowy)
8
.
S
z
c
z
e
g
ó
"
o
w
y
o
p
i
s
r
e
a
l
i
z
a
c
j
i
p
r
o
g
r
a
m
u
(
z
a
k
r
e
s
p
o
d
s
t
a
w
o
w
y
)
Klasa I
K
l
a
s
a
I
ALGEBRA
I. Elementy logiki matematycznej
I
.
E
l
e
m
e
n
t
y
l
o
g
i
k
i
m
a
t
e
m
a
t
y
c
z
n
e
j
Cele kszta"cenia i osiągnicia ucznia Procedury osiągania celów
Has"o Realizowane treĘci
UCZEĄ: NAUCZYCIEL:
1. Zdania Pojcie zdania w logice, wartoĘciowanie WiadomoĘci: Wybiera z listy rozmaitych zdał zdania
zdania, funktory zdaniotwórcze, zdania podaje przyk"ady zdał w sensie logicznym logiczne i ocenia ich wartoĘ logiczną;
z"oŻone, wartoĘciowanie zdał z"oŻo- i zdał, które takimi nie są (WP)*. uczeł poznaje zdania z"oŻone (koniunk-
nych. UmiejtnoĘci: cj, alternatyw, implikacj, równowaŻ-
ocenia wartoĘ logiczną tych zdał (UP)**; noĘ) i dedukuje ich wartoĘciowanie na
tworzy zdania z"oŻone i je wartoĘciuje (UP). podstawie przyk"adów takich zdał z"o-
Żonych.
2. Negacja zdania (zaprzecze- Negacje zdania prostego i zdał z"oŻo- UmiejtnoĘci: Wyrabia i wiczy u uczniów umiejtnoĘ
nie) nych. tworzy zaprzeczenia zdał prostych i zdał zaprzeczania zdał, odwo"ując si do
z"oŻonych (UP). konkretnych przyk"adów takich zdał
i ich zaprzeczeł.
3. Tautologie (prawa rachunku Podstawowe prawa rachunku zdał UmiejtnoĘci: Podaje podstawowe prawa rachunku
zdał) (prawa de Morgana, prawo podwójnej sprawdza metodą zero-jedynkową tautolo- zdał i ich dowody metodą zero-jedyn-
negacji, prawo sprzecznoĘci i wy"ączo- gicznoĘ wyraŻeł (UP). kową.
nego Ęrodka, prawo negacji implikacji,
prawo kontrapozycji).
4. Formy zdaniowe proste i z"o- Definicja formy zdaniowej prostej przy- WiadomoĘci: Podaje definicj formy zdaniowej i jej
Żone k"ady i formy zdaniowe z"oŻone, dziedzi- omawia okreĘlenie formy zdaniowej i jej dziedziny oraz przyk"ady; tworzy formy
na formy zdaniowej. dziedziny (WP). zdaniowe z"oŻone.
UmiejtnoĘci:
podaje przyk"ady form zdaniowych (UP).
5. Kwantyfikatory, zdania z kwan- Poznanie kwantyfikatorów: ogólnego UmiejtnoĘci: Zapoznaje uczniów z kwantyfikatorami
tyfikatorami i ich negacja i szczegó"owego; zdania z kwantyfikato- ocenia wartoĘ logiczną zdania z kwantyfika- i uŻywaniem ich do zapisu zdał; oce-
rami i ich negacja. torem oraz uk"ada zaprzeczenia (UPP)***. nia wartoĘ logiczną zdał z kwantyfika-
torem oraz tworzy negacje takich zdał.
* WP wiadomoĘci podstawowe ** UP umiejtnoĘci podstawowe *** UPP umiejtnoĘci ponadpodstawowe
20
II. Rachunek zbiorów
I
I
.
R
a
c
h
u
n
e
k
z
b
i
o
r
ó
w
Cele kszta"cenia i osiągnicia ucznia Procedury osiągania celów
Has"o Realizowane treĘci
UCZEĄ: NAUCZYCIEL:
1. Zbiory i dzia"ania na nich Pojcie zbioru; przyk"ady zbiorów; rela- WiadomoĘci: Akcentuje, Że pojcie zbioru, relacja
cja naleŻenia i zawierania; dzia"ania: ilo- podaje przyk"ady zbiorów (WP). naleŻenia do zbioru, to pojcia pierwot-
czynu, sumy i róŻnicy zbiorów. UmiejtnoĘci: ne; uczniowie podają przyk"ady zbio-
porównuje zbiory (UP); rów, ustalają relacje midzy zbiorami,
wykonuje dzia"ania na zbiorach (UP). wykonują dzia"ania na podanych zbio-
rach itp.
2. Prawa dzia"ał na zbiorach Poznanie praw rachunku zbioru: prawa UmiejtnoĘci: Podaje prawa rachunku zbiorów; ucz-
przemiennoĘci koniunkcji i alternatywy, sprawdza s"usznoĘ podanych praw dzia- niowie sprawdzają je na diagramach
prawa "ącznoĘci koniunkcji i alternaty- "ał na zbiorach (UPP) (przynajmniej na tzw. Venne a, (w miar moŻliwoĘci) odwo"u-
wy, prawa rozdzielnoĘci alternatywy diagramach Venne a (UP)). jąc si do odpowiednich praw rachunku
wzgldem koniunkcji i koniunkcji wzgl- zdał.
dem alternatywy; prawa de Morgana.
III. Rachunek algebraiczny
I
I
I
.
R
a
c
h
u
n
e
k
a
l
g
e
b
r
a
i
c
z
n
y
Cele kszta"cenia i osiągnicia ucznia Procedury osiągania celów
Has"o Realizowane treĘci
UCZEĄ: NAUCZYCIEL:
1. wiczenia w dzia"aniach na Dzia"ania "ączne na u"amkach w oblicza- UmiejtnoĘci: Wykonuje wiele wiczeł w dzia"aniach
u"amkach niu wartoĘci wyraŻeł; rozwiązywanie wiczy sprawnoĘ rachunkową w dzia"aniach na u"amkach; rozwiązuje zadania tek-
równał o wspó"czynnikach u"amko- na u"amkach (UP). stowe.
wych; rozwiązywanie zadał teksto-
wych.
2. Obliczenia procentowe Obliczanie procentu danej liczby; wy- WiadomoĘci: Przypomina pojcie procentu; zamienia
znaczanie liczby, gdy dany jest jej pro- utrwala pojcie procentu (WP). u"amki na procenty i odwrotnie; wyko-
cent; obliczanie, jakim procentem danej UmiejtnoĘci: nuje obliczenia procentowe w zada-
liczby jest inna liczba. stosuje obliczenia procentowe w zadaniach niach nawiązujących do Życia codzien-
z Życia codziennego (oprocentowania kre- nego.
dytu, oszczdnoĘci, obniŻki i podwyŻki cen
itp.) (UP).
21
3. Potgowanie i pierwiastkowa- Przypomnienie pojcia potgi o wyk"ad- WiadomoĘci: Podaje definicj potgi o wyk"adniku na-
nie liczb rzeczywistych niku ca"kowitym oraz pierwiastka aryt- definiuje potg liczby rzeczywistej o wy- turalnym i ca"kowitym oraz w"asnoĘci
metycznego z liczby nieujemnej, a takŻe k"adniku naturalnym i ca"kowitym (WP); dzia"ał na potgach (z dowodem niektó-
w"asnoĘci dzia"ał na potgach i na pier- definiuje pierwiastek arytmetyczny (WP). rych z nich), a takŻe definicj pierwiastka
wiastkach. UmiejtnoĘci: i w"asnoĘci dzia"ał na pierwiastkach.
omawia w"asnoĘci dzia"ał na potgach
i pierwiastkach (UP).
4. wiczenia w dzia"aniach na wiczenia i przyk"ady na obliczanie po- UmiejtnoĘci: Przypomina definicje potgi o wyk"adni-
potgach i pierwiastkach tgi oraz pierwiastków. podnosi do potgi liczby rzeczywiste (UP); ku naturalnym i ca"kowitym, pierwiastka
wyciąga pierwiastki z liczb rzeczywistych arytmetycznego z liczby nieujemnej,
(UP). w"asnoĘci dzia"ał na potgach i pier-
wiastkach, przekszta"canie wyraŻeł
z potgami i pierwiastkami.
5. Wzory skróconego mnoŻenia, Wzory skróconego mnoŻenia typu: UmiejtnoĘci: Przypomina wzory skróconego mnoŻe-
przekszta"canie wyraŻeł alge- (a ! b)n, stosuje wzory do wykonywania obliczeł nia: (a ! b)2 i a2 - b2 (znane uczniom
braicznych dla n= 2, 3; an bn, i przekszta"ceł wyraŻeł algebraicznych z lekcji matematyki w gimnazjum); roz-
dla n= 2, 3; a3 + b3 oraz przyk"ady ich (UP). szerza znajomoĘ wzorów skróconego
zastosował do uproszczonych rachun- mnoŻenia o wzory: (a ! b)3, a3 ! b3
ków i przekszta"ceł wyrazów algebra- (stara si stosowa te wzory do takich
icznych. przyk"adów dzia"ał na liczbach i wyra-
Żeniach, aby poznane wzory rzeczywi-
Ęcie upraszcza"y rachunki).
IV. Zbiór liczb rzeczywistych
I
V
.
Z
b
i
ó
r
l
i
c
z
b
r
z
e
c
z
y
w
i
s
t
y
c
h
Cele kszta"cenia i osiągnicia ucznia Procedury osiągania celów
Has"o Realizowane treĘci
UCZEĄ: NAUCZYCIEL:
1. Liczby naturalne i ca"kowite W"asnoĘci zbioru liczb naturalnych WiadomoĘci: Nawiązuje do wiedzy z gimnazjum,
i zbioru liczb ca"kowitych, o podzielno- wyjaĘnia pojcie liczby naturalnej i liczby a nastpnie poszerza ją o nowe wiado-
Ęci w zbiorze liczb ca"kowitych. ca"kowitej (WP); moĘci.
omawia podstawowe wiadomoĘci z teorii po-
dzielnoĘci w zbiorze liczb ca"kowitych (WP).
2. Zbiór liczb wymiernych Pojcie liczby wymiernej, dzia"ania na licz- WiadomoĘci: Wybiera spoĘród róŻnych liczb te, które
bach wymiernych, równoĘ liczb wymier- wskazuje liczby wymierne (WP). są wymierne; konstruuje niektóre liczby
nych, liczby wymierne na osi liczbowej. UmiejtnoĘci: wymierne (z zastosowaniem twierdze-
porównuje liczby wymierne (UP); nia Talesa) i zaznacza na osi wiczenia
22
zaznacza na osi liczbowej liczby wymierne sprawnoĘci rachunkowej na liczbach
(UP); wymiernych.
wykonuje dzia"ania na liczbach wymier-
nych (UP).
3. Zbiór liczb niewymiernych Pojcie liczby niewymiernej, wykonywa- WiadomoĘci: Wybiera, poprzez róŻne wiczenia, licz-
nie dzia"ał na liczbach niewymiernych, okreĘla liczb niewymierną (WP). by niewymierne spoĘród podanych
konstruowanie niektórych liczb niewy- UmiejtnoĘci: liczb; dowodzi niewymiernoĘci :2, :3,
miernych i zaznaczanie ich na osi licz- wskazuje liczb niewymierną wĘród poda- :5 oraz podaje ich konstrukcj (z zasto-
bowej, usuwanie niewymiernoĘci z mia- nych liczb (UP); sowaniem twierdzenia Pitagorasa); usu-
nownika u"amka. wykazuje niewymiernoĘ niektórych liczb wa niewymiernoĘ z mianowników
(np. :2, :3) (UPP); u"amków (akcentując tutaj zastosowa-
usuwa niewymiernoĘ z mianownika u"am- nie poznanych wzorów skróconego
ka (UP); mnoŻenia).
zaznacza liczb niewymierną na osi liczbo-
wej (UP).
4. Rozwinicia dziesitne liczb Rozwinicia dziesitne liczb wymier- UmiejtnoĘci: Podaje (bez dowodu) twierdzenie o roz-
rzeczywistych nych i niewymiernych. zamienia u"amek dziesitny skołczony lub winiciach dziesitnych liczb rzeczywi-
nieskołczony okresowy na u"amek zwyk"y stych; wiczy przedstawianie liczby wy-
(UP); miernej w postaci u"amków dziesit-
podaje przybliŻone rozwinicie dziesitne nych, zamienia u"amki dziesitne na
liczb niewymiernych (UP). u"amki zwyk"e itp.
5. Uporządkowanie zbioru liczb Porównywanie liczb rzeczywistych, w"a- UmiejtnoĘci: Podaje w"asnoĘci relacji równoĘci i rela-
rzeczywistych snoĘci równoĘci i nierównoĘci w zbiorze porównuje dwie liczby rzeczywiste, liczb cji nierównoĘci w zbiorze liczb rzeczywi-
liczb rzeczywistych. wymierną z liczbą niewymierną, dwie liczby stych.
niewymierne (UP).
6. WartoĘ bezwzgldna (mo- Definicja wartoĘci bezwzgldnej, wnio- WiadomoĘci: Podaje definicj wartoĘci bezwzgldnej
du") liczby rzeczywistej ski wynikające z definicji, podstawowe pos"uguje si wartoĘcią bezwzgldną (WP). liczby rzeczywistej, wyznacza wartoĘ
w"asnoĘci wartoĘci bezwzgldnej i jej in- UmiejtnoĘci: bezwzgldną danych liczb, interpretuje
terpretacja geometryczna, proste rów- omawia jej w"asnoĘci i interpretacj geome- wartoĘ bezwzgldną na osi liczbowej
nania i nierównoĘci z wartoĘcią bez- tryczną (UP); oraz rozwiązuje równania i nierównoĘci
wzgldną. stosuje ją do rozwiązywania równał typu z wartoĘcią bezwzgldną.
| ax + b | = c i nierównoĘci typu
| ax + b | < (#) c,
| ax + b | > ($) c (UPP).
23
7. OĘ liczbowa, przedzia"y licz- Przypomnienie wiadomoĘci o osi liczbo- UmiejtnoĘci: Pos"uguje si osią liczbową, podaje
bowe i dzia"ania na nich wej (znanych uczniom z gimnazjum), pos"uguje si osią liczbową (UP); opis przedzia"ów i wykonuje na nich
okreĘlenie przedzia"ów liczbowych zaznacza na osi liczby i przedzia"y liczbowe dzia"ania: koniunkcji, alternatywy, róŻni-
ograniczonych i nieograniczonych, dzia- oraz wyniki dzia"ał mnogoĘciowych (UP). cy i dope"nienie przedzia"ów do ca"ej osi
"ania na przedzia"ach. (jako przestrzeni) nawiązuje przy tym
do wiedzy ucznia z nauki matematyki
w gimnazjum.
8. B"ąd przybliŻenia, szacowanie Pojcie b"du przybliŻenia liczb, b"ąd UmiejtnoĘci: Podaje definicj b"du przybliŻenia, b"-
wartoĘci liczbowych bezwzgldny i wzgldny, regu"a zaokrą- przeprowadza obliczenia, pos"ugując si du bezwzgldnego i b"du wzgldnego;
glania przybliŻeł. przybliŻeniami liczb (zarówno wymiernych, omawia regu"y zaokrąglania; szacowa-
jak i niewymiernych) (UP). nie wartoĘci liczbowych.
V. Funkcje
V
.
F
u
n
k
c
j
e
Cele kszta"cenia i osiągnicia ucznia Procedury osiągania celów
Has"o Realizowane treĘci
UCZEĄ: NAUCZYCIEL:
1. Pojcie funkcji, funkcja liczbo- Definicja funkcji jako odwzorowania WiadomoĘci: Akcentuje, które odwzorowanie zbioru
wa i jej wykres zbioru w zbiór, argument funkcji, dzie- utrwala pojcie funkcji (WP). w zbiór jest funkcją; uŻywa kwantyfika-
dzina funkcji, wartoĘ funkcji w punkcie, UmiejtnoĘci: torów do zdefiniowania funkcji; rozpa-
wykres funkcji jako zbiór par. wskazuje, które z odwzorował zbioru truje róŻne przyk"ady funkcji, w tym
w zbiór jest funkcją, a które nie (UP); funkcji liczbowych; uczy ucznia jzyka
podaje podstawowe terminy związane związanego z pojciem funkcji.
z funkcją (UP).
2. Sposoby okreĘlania funkcji OkreĘlanie na róŻne sposoby funkcji: WiadomoĘci: OkreĘla funkcje róŻnymi sposobami
i ich zastosowanie do opisu opis s"owny, graf, tabelka, wzór jawny, poznaje róŻne sposoby okreĘlania funkcji oraz opisuje nimi róŻne zaleŻnoĘci
zaleŻnoĘci w przyrodzie, go- wykres. (WP). w przyrodzie, gospodarce i Życiu co-
spodarce i Życiu codziennym UmiejtnoĘci: dziennym.
opisuje za pomocą funkcji zaleŻnoĘci wystpują-
ce w róŻnych dziedzinach Życia.
3. Dziedzina funkcji, zbiór warto- Wyznaczanie dziedziny i zbioru wartoĘci WiadomoĘci: Wyznacza dziedzin i zbiór wartoĘci
Ęci podanych przyk"adów funkcji, w tym podaje dziedzin i zbiór wartoĘci funkcji, funkcji (dobiera takie przyk"ady funkcji
przede wszystkim funkcji liczbowych. mając ją okreĘloną na róŻny sposób (WP). liczbowych, aby mie okazj wykorzy-
sta zdobyte wczeĘniej wiadomoĘci, np.
24
o wartoĘci bezwzgldnej, o pierwiast-
kach); akcentuje przy tym, Że wyznacza-
nie dziedziny funkcji liczbowych okreĘlo-
nych wzorem wiąŻe si z wykonalnoĘcią
dzia"ał w zbiorze liczb rzeczywistych.
4. Miejsce zerowe funkcji, war- Znajdowanie miejsc zerowych, punktów UmiejtnoĘci: Wyznacza miejsca zerowe funkcji oraz
toĘ funkcji w danym punkcie, sta"ych funkcji okreĘlonych na róŻne wyznacza waŻne dla funkcji punkty (UP); jej wartoĘ w punktach (wiczy przy tym
punkt sta"y sposoby. oblicza wartoĘ funkcji w danym punkcie sprawnoĘ rachunkową uczniów
(UP); w dzia"aniach na liczbach rzeczywi-
wyznacza liczb, dla której funkcja przyj- stych).
muje okreĘloną wartoĘ (UP).
5. WartoĘ najmniejsza i naj- OkreĘlanie najwikszej i najmniejszej UmiejtnoĘci: Akcentuje, Że funkcja w danym prze-
wiksza funkcji w przedziale wartoĘci funkcji; wyznaczanie ich (o ile podaje wartoĘ najmniejszą i najwikszą dziale moŻe mie obie te wartoĘci, jed-
istnieją) dla funkcji okreĘlonych w da- funkcji okreĘlonej w przedziale, na przyk"ad ną z nich albo nie osiąga Żadnej.
nym przedziale, pos"ugując si jej wzo- pos"ugując si wykresem albo wzorem
rem lub wykresem. funkcji (stosując w"asnoĘci nierównoĘci
w zbiorze liczb rzeczywistych) (UPP).
6. Ogólne w"asnoĘci funkcji licz- RóŻnowartoĘciowoĘ, monotonicznoĘ, UmiejtnoĘci: Podaje definicje: róŻnowartoĘci, mono-
bowych okresowoĘ, parzystoĘ i nieparzy- okreĘla, czy dana funkcja (okreĘlona gra- tonicznoĘci, okresowoĘci, parzystoĘci
stoĘ. ficznie albo wzorem jawnym) odpowiada i nieparzystoĘci, a nastpnie rozwaŻa
wymienionym w"asnoĘciom (UPP). przyk"ady funkcji mających te w"asnoĘci.
7. Przekszta"cenia wykresu funk- Przesunicie równoleg"e wykresu funk- WiadomoĘci: Omawia wymienione przekszta"cenia wy-
cji cji, odbicia wykresu funkcji wzgldem przekszta"ca wykres danej funkcji (WP). kresu funkcji oraz stosuje je do sporzą-
osi uk"adu wspó"rzdnych. UmiejtnoĘci: dzania wykresów funkcji.
stosuje przekszta"cenia do sporządzania
wykresów funkcji:
y = f (x p) + q, y = | f (x) |,
y = f (| x |),y = | f (| x |) |(UP),
mając wykres funkcji y = f (x) (UPP).
8. Sporządzanie wykresów funk- Sporządzanie wykresów rozmaitych funk- UmiejtnoĘci: Akcentuje w"asnoĘ wykresu funkcji pa-
cji, odczytywanie w"asnoĘci cji elementarnych okreĘlonych wzorem, sporządza wykresy funkcji i odczytuje rzystej, nieparzystej, okresowej.
funkcji z wykresu odczytywanie z wykresu danej funkcji jak z nich w"asnoĘci tych funkcji (UP).
najwicej istotnych w"asnoĘci tej funkcji.
25
VI. Funkcja liniowa
V
I
.
F
u
n
k
c
j
a
l
i
n
i
o
w
a
Cele kszta"cenia i osiągnicia ucznia Procedury osiągania celów
Has"o Realizowane treĘci
UCZEĄ: NAUCZYCIEL:
1. W"asnoĘci funkcji liniowej i jej Definicja funkcji liniowej, dziedzina WiadomoĘci: Nawiązuje do wiedzy ucznia o funkcji li-
wykres i zbiór wartoĘci funkcji liniowej, monoto- definiuje funkcj liniową i rozpoznaje ją na niowej z lekcji matematyki w gimna-
nicznoĘ funkcji liniowej, miejsca zero- podstawie wzoru (WP); zjum; akcentuje związek monotoniczno-
we i wykres funkcji liniowej. podaje przyk"ad funkcji liniowej rosnącej, Ęci funkcji z jej wspó"czynnikiem kierun-
malejącej i sta"ej (WP). kowym; stosuje róŻnorodne wiczenia
UmiejtnoĘci: utrwalające wiedz o funkcji liniowej.
wykonuje wykres funkcji liniowej (UP);
podaje miejsce zerowe funkcji liniowej (UP);
okreĘla monotoniczoĘ funkcji liniowej (UP);
zapisuje wzór funkcji liniowej na podstawie
okreĘlonych danych (UP).
2. Równania i nierównoĘci linio- Pojcie równania liniowego i nierówno- WiadomoĘci: Podaje definicj równania i nierównoĘci
we z jedną niewiadomą Ęci liniowej z jedną niewiadomą; równa- podaje przyk"ady równał i nierównoĘci li- liniowej z jedną niewiadomą; rozwiązuje
nia równowaŻne, nierównoĘci równo- niowych z jedną niewiadomą (WP). równania i nierównoĘci liniowe metodą
waŻne. UmiejtnoĘci: równał i nierównoĘci równowaŻnych.
rozwiązuje liniowe równania i nierównoĘci
z jedną niewiadomą (UP).
3. Zadania prowadzące do rów- Zadania tekstowe rozwiązywane za po- UmiejtnoĘci: Rozwiązuje zadania z róŻnych dziedzin
nał i nierównoĘci liniowych mocą równał i nierównoĘci liniowych uk"ada równanie lub nierównoĘ na pod- prowadzące do równał i nierównoĘci li-
z jedną niewiadomą z jedną niewiadomą. stawie analizy tekstu zadania i je rozwiązuje niowych z jedną niewiadomą.
(UPP).
4. Równania liniowe i nierów- Pojcie równania liniowego z dwiema WiadomoĘci: Sporządza wykresy równał liniowych
noĘ liniowa z dwiema nie- niewiadomymi i jego wykres; nierówno- rozpoznaje równanie i nierównoĘ liniową z dwiema niewiadomymi oraz podaje ilu-
wiadomymi Ęci liniowej z dwiema niewiadomymi i jej z dwiema niewiadomymi (WP). stracje geometryczne nierównoĘci linio-
interpretacja geometryczna. UmiejtnoĘci: wych z dwiema niewiadomymi.
interpretuje geometrycznie równania i nie-
równoĘci liniowe z dwiema niewiadomymi
(UPP).
5. Uk"ad dwóch równał liniowych Metody rozwiązywania uk"adów dwóch UmiejtnoĘci: Podaje klasyfikacj uk"adów dwóch
z dwiema niewiadomymi: za- równał liniowych z dwiema niewiadomy- rozwiązuje uk"ad dwóch równał liniowych równał liniowych z dwiema niewiado-
mi (podstawiania, przeciwnych wspó"- z dwiema niewiadomymi kaŻdą z trzech po- mymi oraz ich interpretacje geome-
leŻny, niezaleŻny, sprzeczny
czynników, graficzna) oraz klasyfikacja danych metod (UP);
26
uk"adów dwóch równał liniowych okreĘla, jakiego typu jest to uk"ad równał tryczne, rozwiązuje te uk"ady trzema
z dwiema niewiadomymi. (UP). sposobami.
6. Zadania prowadzące do uk"a- Zadania tekstowe z róŻnych dziedzin UmiejtnoĘci: Rozwiązuje jak najwicej zadał teksto-
dów dwóch równał liniowych prowadzące do uk"adów dwóch równał rozwiązuje zadania tekstowe z róŻnych wych.
z dwiema niewiadomymi liniowych z dwiema niewiadomymi. dziedzin, tworząc uk"ady równał liniowych
z dwiema niewiadomymi (UPP).
7. Uk"ad nierównoĘci liniowych Geometryczna ilustracja uk"adu dwóch UmiejtnoĘci: Analizuje jak najwicej uk"adów nierów-
z dwiema niewiadomymi i wicej nierównoĘci liniowych z dwiema ilustruje geometrycznie uk"ad nierównoĘci noĘci liniowych z dwiema niewiadomy-
niewiadomymi. liniowych z dwiema niewiadomymi (UPP). mi.
GEOMETRIA
Cele kszta"cenia i osiągnicia ucznia Procedury osiągania celów
Has"o Realizowane treĘci
UCZEĄ: NAUCZYCIEL:
1. Odleg"oĘ dwóch punktów Odleg"oĘ dwóch punktów jako d"ugoĘ WiadomoĘci: Omawia pojcie odleg"oĘci w zbiorze,
odcinka, wzór analityczny na odleg"oĘ okreĘla odleg"oĘ dwóch punktów na pro- nastpnie odleg"oĘ dwóch punktów;
dwóch punktów, warunek wspó"liniowo- stej (WP). wyprowadza wzór analityczny na odle-
Ęci i niewspó"liniowoĘci trzech punktów. UmiejtnoĘci: g"oĘ pary punktów (w metryce pitago-
oblicza odleg"oĘ dwóch punktów na pro- rejskiej); omawia takŻe warunki wspó"li-
stej ze wzoru analitycznego (UP); niowoĘci i niewspó"liniowoĘci trzech
sprawdza wspó"liniowoĘ i niewspó"linio- punktów.
woĘ trzech punktów (UPP).
2. Odleg"oĘ punktu od prostej OkreĘlenie odleg"oĘci punktu od zbioru WiadomoĘci: OkreĘla odleg"oĘ punktu od zbioru i od
(intuicyjnie), pojcie odleg"oĘci punktu okreĘla odleg"oĘ punktu od prostej (WP). prostej; rozwiązuje zadania z odleg"o-
od prostej. UmiejtnoĘci: Ęcią punktu od prostej.
oblicza odleg"oĘ punktu od prostej na
p"aszczyęnie kartezjałskiej (UP).
3. Okrąg i ko"o Definicja okrgu i ko"a, pojcia związa- WiadomoĘci: Definiuje okrąg i ko"o, wyprowadza rów-
ne z okrgiem i ko"em (promieł, Ęredni- definiuje ko"o i okrąg, mając równanie okr- nanie (nierównoĘ) okrgu (ko"a) w po-
ca, ciciwa); równanie okrgu, nierów- gu (nierównoĘ ko"a) (WP). staci kanonicznej, z której "atwo odczyta
noĘ ko"a. UmiejtnoĘci: wspó"rzdne Ęrodka i promieł.
wyznacza Ęrodek okrgu (ko"a) i promieł
(UP).
27
4. Wzajemne po"oŻenie okrgu Warunki konieczne i wystarczające na UmiejtnoĘci: Bada wzajemne po"oŻenie okrgu i pro-
i prostej kaŻde z trzech po"oŻeł wzajemnych rozstrzyga, kiedy okrąg i prosta mają dwa stej oraz okreĘla warunki konieczne
okrgu i prostej, twierdzenie o stycznej punkty wspólne, jeden punkt wspólny lub i wystarczające (szczególnie duŻo cza-
do okrgu i promieniu poprowadzonym są roz"ączne (takŻe korzystając ze wzorów su poĘwica na styczną do okrgu).
do punktu stycznoĘci. analitycznych) (UP).
5. Wzajemne po"oŻenie dwóch Warunki konieczne i wystarczające na UmiejtnoĘci: Bada wzajemne po"oŻenie dwóch okr-
okrgów kaŻde z po"oŻeł dwóch okrgów wzgl- rozstrzyga, kiedy dwa okrgi są do siebie gów oraz okreĘla warunki konieczne
dem siebie. styczne, kiedy si przecinają, a kiedy są i wystarczające (korzystamy takŻe ze
roz"ączne (UPP). wzorów analitycznych).
6. Kąty w kole Kąty wpisane w ko"o i kąty Ęrodkowe WiadomoĘci: Dowodzi zaleŻnoĘci midzy kątem Ęrod-
w kole oraz zaleŻnoĘ midzy nimi. omawia twierdzenia o kątach wpisanych kowym i kątem wpisanym opartym na
w ko"o i kątach Ęrodkowych (WP). tym samym "uku okrgu oraz wyciąga
wnioski z otrzymanych zaleŻnoĘci (inne
twierdzenia o kątach w kole).
7. Trójkąt i jego punkty szcze- Twierdzenie o przecinaniu si w kaŻdym WiadomoĘci: Charakteryzuje jako miejsca geome-
gólne trójkącie: dwusiecznych kątów, syme- zna twierdzenie o istnieniu wymienionych tryczne punktów dwusieczną kąta, sy-
tralnych boków, wysokoĘci. szczególnych punktów trójkąta (WP); metralną odcinka, a nastpnie za pomo-
wykazuje twierdzenie o istnieniu wymienio- cą tej metody dowodzi twierdzenia
nych szczególnych punktów trójkąta meto- o przecinaniu si dwusiecznych kątów,
dą miejsc geometrycznych (WPP)*. symetralnych boków trójkąta itp.
UmiejtnoĘci:
wpisuje w trójkąt okrąg i opisuje na trójką-
cie okrąg (UP).
8. Twierdzenie Talesa i doł od- Sformu"owanie twierdzenia Talesa WiadomoĘci: Zaczyna od najprostszej konfiguracji: ra-
wrotne i twierdzenia doł odwrotnego oraz do- formu"uje twierdzenie Talesa i doł odwrot- miona kąta przecite dwiema równoleg"y-
wód (z zastosowaniem wzoru na pole ne (WP). mi. Nastpnie rozwaŻa dwie proste przeci-
trójkąta), wnioski z twierdzenia Talesa UmiejtnoĘci: nające si i równoleg"e przecinające je po
(równowaŻne proporcje). zapisuje róŻne równowaŻne proporcje jednej stronie punktu przecinania si tych
(UP). dwóch prostych oraz po róŻnych stronach
punktu przecinania si tych dwóch pro-
stych; zapisuje róŻne proporcje odcinków.
9. Zastosowania twierdzenia Ta- Zadania rachunkowe (np. związane UmiejtnoĘci: Rozwiązuje moŻliwie jak najwicej za-
lesa z cieniem drzewa), zastosowanie w geo- stosuje twierdzenie Talesa przede wszyst- dał nie tylko rachunkowych, ale teŻ na
metrii (twierdzenie o dwusiecznej kąta kim do zadał z Życia codziennego, zadał dowodzenie i konstrukcyjnych.
w trójkącie, twierdzenie o Ęrodkowych). z trójkątami (UP).
* WPP wiadomoĘci ponadpodstawowe
28
10. Czworokąt wpisany w okrąg Twierdzenie o czworokącie wpisanym WiadomoĘci: Pyta uczniów, czy kaŻdy trójkąt moŻna
w okrąg i doł odwrotne (równoĘ sum okreĘla jedną (podstawową) charakteryza- wpisa w okrąg. Nastpnie przechodzi
przeciwleg"ych kątów czworokąta). cj wpisywalnoĘci czworokąta w okrąg do omawiania czworokątów, stawiając
(WP). to samo pytanie; formu"uje warunek ko-
UmiejtnoĘci: nieczny i wystarczający (warto nie rezy-
rozstrzyga, czy dany czworokąt moŻna wpi- gnowa z dowodzenia tego twierdze-
sa w dany okrąg, czy nie (UP). nia).
11. Czworokąt opisany na okrgu Twierdzenie o czworokącie, w który WiadomoĘci: Pyta uczniów, czy w kaŻdy trójkąt moŻ-
moŻna wpisa okrąg (równoĘ sum d"u- okreĘla charakteryzacj wpisywalnoĘci okr- na wpisa okrąg. Nastpnie bada,
goĘci przeciwleg"ych boków). gu w czworokąt (WP). w który czworokąt moŻna wpisa okrąg.
UmiejtnoĘci: Formu"uje twierdzenie i twierdzenie doł
sprawdza, czy w dany czworokąt moŻna odwrotne oraz próbuje przeprowadzi
wpisa okrąg (UP). dowód.
12. Rodzaje czworokątów Klasyfikacja czworokątów i charaktery- WiadomoĘci: Dokonuje klasyfikacji czworokątów i po-
zacje niektórych z nich (równoleg"oboki, okreĘla w"asnoĘci czworokątów (WP). daje charakteryzacje niektórych z nich,
trapezy równoramienne). na przyk"ad trapezów równoramien-
nych, równoleg"oboków (warto podją
próby ich dowodów).
FUNKCJE TRYGONOMETRYCZNE
Cele kszta"cenia i osiągnicia ucznia Procedury osiągania celów
Has"o Realizowane treĘci
UCZEĄ: NAUCZYCIEL:
WiadomoĘci:
1. Funkcje trygonometryczne ką- Definicje funkcji trygonometrycznych OkreĘla funkcje trygonometryczne kąta
okreĘla sinus, cosinus, tangens i cotangens
ta ostrego w trójkącie prosto- kąta ostrego w trójkącie prostokątnym, w trójkącie prostokątnym i wykorzystu-
kątnym wartoĘci tych funkcji dla kątów 30o, 45o kąta w trójkącie prostokątnym (WP); je do wyznaczania wartoĘci tych funkcji
ustala związki midzy funkcjami tego sa-
i 60o, podstawowe toŻsamoĘci i wzory dla kątów 30o, 45o i 60o oraz ustalenia
mego kąta (WP).
redukcyjne. związków midzy funkcjami tego same-
UmiejtnoĘci:
go kąta.
oblicza wartoĘci funkcji trygonometrycz-
nych dla kątów 30o, 45o i 60o (UP).
UmiejtnoĘci:
2. Pojcie kąta i jego uogólnienie Kąt jako miara obrotu. Omawia pojcie miary kąta i jego uogól-
utoŻsamia kąt dowolnej miary stopniowej
nienie (nawiązuje do twierdzenia o dzie-
z kątem o mierze stopniowej z przedzia"u
leniu z resztą dowolne liczby stopnia
(0o, 360o) (UP).
dzieli nie tylko przez 360o, ale teŻ przez
180o i 90o).
29
3. Funkcje trygonometryczne do- Wspó"rzdne punktów na kołcowym WiadomoĘci: Wprowadza definicje funkcji trygonome-
wolnego kąta ramieniu kąta, okreĘlenia funkcji trygo- okreĘla funkcje trygonometryczne dowol- trycznych dowolnego kąta i wyznacza
nometrycznych dowolnego kąta. nego kąta (WP). wartoĘci tych funkcji dla kątów:
UmiejtnoĘci: 0o, 90o, 180o, 270o, 360o.
stosuje funkcje trygonometryczne do wyzna-
czenia wartoĘci funkcji dla ca"kowitych wielo-
krotnoĘci kąta prostego (UP).
4. Miara "ukowa kąta OkreĘlenie miary "ukowej kąta, zamiana WiadomoĘci: Wprowadza pojcie miary "ukowej kąta,
miary kąta w stopniach na miar "ukową omawia pojcie miary "ukowej kąta (WP). radiany oraz wykonuje duŻo wiczeł po-
i odwrotnie. UmiejtnoĘci: legających na zamianie miary stopniowej
zamienia miar "ukową na miar kątową kąta na "ukową i odwrotnie.
oraz odwrotnie (UP).
5. Funkcje trygonometryczne zmie- Przeformu"owanie definicji funkcji trygo- WiadomoĘci: Definiuje funkcje trygonometryczne
nnej rzeczywistej nometrycznych dowolnego kąta na defi- okreĘla funkcje trygonometryczne kąta jako zmiennej rzeczywistej oraz wykonuje
nicje funkcji trygonometrycznych do- funkcje zmiennej rzeczywistej (WP). duŻo wiczeł.
wolnej zmiennej rzeczywistej. UmiejtnoĘci:
oblicza wartoĘci funkcji dla kątów o mierze
radianowej (UP).
6. W"asnoĘci funkcji trygonome- Znaki funkcji trygonometrycznych w po- UmiejtnoĘci: OkreĘla w"asnoĘci funkcji trygonome-
trycznych zmiennej rzeczywi- szczególnych wiartkach uk"adu XOY, okreĘla w"asnoĘci funkcji trygonometrycz- trycznych zmiennej rzeczywistej, odwo-
stej parzystoĘ i nieparzystoĘ funkcji trygo- nych jako funkcji zmiennej rzeczywistej "ując si do w"asnoĘci funkcji trygono-
nometrycznych, okresowoĘ funkcji try- (UP). metrycznych kąta.
gonometrycznych.
7. Wzory redukcyjne Wprowadzamy wzory redukcyjne, do- WiadomoĘci: Wyprowadza wzory redukcyjne i wyko-
wodząc niektórych i dedukując pozosta- wyprowadza wzory redukcyjne (WP). nuje z nimi jak najwicej wiczeł.
"e jako wniosek. UmiejtnoĘci:
stosuje wzory redukcyjne do przekszta"ca-
nia wyraŻeł trygonometrycznych (UP).
8. Związki midzy funkcjami try- Tak zwane jedynki trygonometryczne WiadomoĘci: Wyprowadza związki midzy funkcjami
gonometrycznymi tego same- i zaleŻnoĘci midzy tangensem, sinu- okreĘla związki midzy funkcjami trygono- trygonometrycznymi tego samego ar-
go argumentu sem i cotangensem. metrycznymi tego samego argumentu (WP). gumentu rzeczywistego oraz stosuje je
UmiejtnoĘci: do dowodzenia prostych toŻsamoĘci
stosuje związki midzy funkcjami trygono- trygonometrycznych.
metrycznymi w dowodzeniu prostych toŻ-
samoĘci trygonometrycznych (UP).
30
9. Wykresy funkcji trygonome- Wykresy funkcji trygonometrycznych WiadomoĘci: Sporządza wykresy funkcji trygonome-
trycznych i odczytywanie w"asnoĘci tych funkcji omawia wykresy sinusa, cosinusa, tangen- trycznych, pos"ugując si ko"em trygo-
z ich wykresów. sa i cotangensa (WPP). nometrycznym oraz niektórymi wzorami
UmiejtnoĘci: redukcyjnymi, z których odczytuje w"a-
odczytuje z wykresu w"asnoĘci funkcji try- snoĘci wykresów i metod ich otrzyma-
gonometrycznych (miejsca zerowe, wartoĘ nia.
najmniejszą i najwikszą itp.) (UPP).
10. Proste równania i nierównoĘci Wzory na rozwiązanie równał trygono- UmiejtnoĘci: Rozpoczyna od geometrycznej interpre-
trygonometryczne metrycznych elementarnych, rozwiązy- rozwiązuje proste równania trygonome- tacji równania f (x) = g (x) i nierównoĘci
wanie równał i nierównoĘci trygonome- tryczne, wykorzystując poznane wzory f (x) > g (x), gdzie f i g są funkcjami
trycznych z wykorzystaniem otrzymanych (UP); zmiennej rzeczywistej, a nastpnie roz-
wzorów. pos"uguje si wykresami funkcji trygono- wiązuje elementarne równania i nierów-
metrycznych w rozwiązywaniu nierównoĘci noĘci trygonometryczne. Przy rozwiązy-
trygonometrycznych (UPP). waniu równał korzysta ze wzorów na
rozwiązania równał trygonometrycz-
nych elementarnych, a przy rozwiązy-
waniu nierównoĘci z wykresów funkcji
trygonometrycznych.
Klasa II
K
l
a
s
a
I
I
ALGEBRA
I. Trójmian kwadratowy
I
.
T
r
ó
j
m
i
a
n
k
w
a
d
r
a
t
o
w
y
Cele kszta"cenia i osiągnicia ucznia Procedury osiągania celów
Has"o Realizowane treĘci
UCZEĄ: NAUCZYCIEL:
1. Posta ogólna i posta kano- Definicja funkcji kwadratowej, dziedzina, WiadomoĘci: Wprowadza definicj funkcji kwadrato-
niczna trójmianu kwadrato- posta kanoniczna trójmianu kwadrato- rozpoznaje na podstawie wzoru funkcj wej, odczytuje ze wzoru wspó"czynniki
wego wego. kwadratową (WP). funkcji kwadratowej oraz przedstawia
UmiejtnoĘci: trójmian w postaci kanonicznej.
przedstawia trójmian kwadratowy w posta-
ci kanonicznej (UP).
2. Wykres funkcji kwadratowej Wykres funkcji kwadratowej f (x) = ax2, UmiejtnoĘci: Sporządza wykres funkcji y= ax2, (a !0),
f (x) = ax2 + c oraz funkcji sporządza wykres dowolnej funkcji kwadra- bada jej w"asnoĘci, nastpnie na podsta-
f (x) = ax2 + bx + c. towej, przedstawiając ją w postaci kano- wie przedstawienia funkcji kwadratowej
nicznej, znajdując w ten sposób wspó"rzd- w postaci kanonicznej ustala wspó"rzd-
ne wierzcho"ka paraboli (UP). ne wektora translacji, dziki czemu
otrzyma Żądany wykres.
31
3. Ekstremum funkcji kwadrato- Pojcie ekstremum funkcji kwadratowej, UmiejtnoĘci: Wyznacza ekstremum funkcji kwadrato-
wej oraz jej wartoĘ najmniej- jego związek ze wspó"czynnikiem przy wyznacza ekstremum funkcji kwadratowej wej, korzystając z jej postaci kanonicznej;
sza i najwiksza w przedziale x2 oraz wspó"rzdnymi wierzcho"ka pa- oraz jej wartoĘ najmniejszą i najwikszą znajduje wartoĘ najmniejszą i najwik-
raboli, wartoĘ najwiksza i najmniejsza w przedziale (UP). szą funkcji kwadratowej w przedziale
funkcji kwadratowej w przedziale. (warto rozwaŻa przedzia"y nie tylko do-
mknite, aby uczeł uĘwiadomi" sobie, Że
funkcja kwadratowa moŻe nie mie
w przedziale Żadnej z tych wartoĘci).
4. Zadania prowadzące do eks- Ekstremum funkcji kwadratowej w zada- UmiejtnoĘci: Rozwiązuje róŻnego typu zadania z za-
tremum funkcji kwadratowej niach z róŻnych dziedzin (algebraiczne, rozwiązuje rozmaite zadania prowadzące stosowaniem ekstremum funkcji kwa-
geometryczne, o charakterze praktycz- do ekstremum funkcji kwadratowej (UP)*. dratowej.
nym).
5. Miejsca zerowe i znak funkcji Warunki istnienia pierwiastków rzeczy- WiadomoĘci: Pos"ugując si postacią kanoniczną trój-
kwadratowej wistych trójmianu kwadratowego i wzo- rozstrzyga, kiedy trójmian kwadratowy ma mianu kwadratowego, bada istnienie
ry na te pierwiastki, przedzia"y, w któ- pierwiastki rzeczywiste (WP). pierwiastków rzeczywistych w zaleŻno-
rych funkcja kwadratowa jest sta"ego UmiejtnoĘci: Ęci od znaku wyróŻnika oraz wprowa-
znaku. oblicza pierwiastki rzeczywiste (UP); dza wzory na pierwiastki, bada znak
wyznacza przedzia"y, w których funkcja funkcji kwadratowej.
kwadratowa jest dodatnia, a w których
ujemna (UP).
6. Wzory ViŁte a Suma i iloczyn pierwiastków trójmianu UmiejtnoĘci: Wyprowadza wzory ViŁte a oraz stosuje
kwadratowego. podaje pierwiastki trójmianu kwadratowego je do róŻnych zadał, na przyk"ad do wy-
na podstawie wzorów ViŁte a (UP); znaczania wartoĘci wyraŻeł algebraicz-
okreĘla znaki pierwiastków trójmianu kwa- nych bez obliczania pierwiastków trój-
dratowego (UP). mianu kwadratowego.
7. Równania i nierównoĘci kwa- OkreĘlenie równania kwadratowego UmiejtnoĘci: Rozwiązuje jak najwicej równał i nierów-
dratowe i nierównoĘci kwadratowej, równania rozwiązuje równania i nierównoĘci kwadra- noĘci (zupe"nych i niezupe"nych), stosując
i nierównoĘci zupe"ne i niezupe"ne. towe, stosując: wzory na pierwiastki, wzory róŻne metody przy rozwiązywaniu nie-
Viete a, twierdzenie o znaku funkcji kwadra- równoĘci kwadratowych pos"uguje si tak-
towej, wykres funkcji kwadratowej (UP). Że wykresami funkcji kwadratowych.
8. Zadania prowadzące do rów- Zadania tekstowe z róŻnych dziedzin, UmiejtnoĘci: Rozwiązuje zadania tekstowe prowa-
nał i nierównoĘci kwadrato- zadania z parametrem. uk"ada równania i nierównoĘci do zadał dzące do równał i nierównoĘci kwadra-
wych tekstowych oraz je rozwiązuje (UPP); towych z róŻnych dziedzin oraz zadania
analizuje równania i nierównoĘci kwadrato- z parametrem.
we z parametrem (UPP).
* róŻnicując stopieł trudnoĘci zadał, osiągamy cele z zakresu UPP
32
II. Wielomiany
I
I
.
W
i
e
l
o
m
i
a
n
y
Cele kszta"cenia i osiągnicia ucznia Procedury osiągania celów
Has"o Realizowane treĘci
UCZEĄ: NAUCZYCIEL:
1. Wielomian jednej zmiennej Pojcie wielomianu jednej zmiennej i je- WiadomoĘci: Wprowadza pojcie wielomianu jednej
go stopnia, równoĘ dwóch wielomia- rozpoznaje wielomian jednej zmiennej (WP). zmiennej, jego stopnia, podaje duŻo
nów. UmiejtnoĘci: przyk"adów, formu"uje twierdzenie
okreĘla stopieł wielomianu (UP); o równoĘci dwóch wielomianów oraz
porównuje dwa wielomiany (UP). rozwiązuje związane z tym zadania.
2. Dzia"ania na wielomianach OkreĘlamy sum, róŻnic i iloczyn UmiejtnoĘci: Wykonuje duŻo wiczeł w dzia"aniach
dwóch wielomianów oraz ustalamy za- wykonuje dzia"ania na wielomianach (UP); na wielomianach (okreĘlając dzia"ania
leŻnoĘ stopnia sumy, róŻnicy i iloczynu ustala zaleŻnoĘ stopnia sumy i róŻnicy na wielomianach, warto nawiązywa do
dwóch wielomianów od stopni tych wie- wielomianów od stopni sk"adników, a ilo- wiedzy ucznia z gimnazjum).
lomianów. czynu od stopni czynników (UP).
3. Dzielenie wielomianów Twierdzenie o dzieleniu z resztą, po- UmiejtnoĘci: Zaczyna od przypomnienia twierdzenia
dzielnoĘ wielomianu przez wielomian. wykonuje dzielenie wielomianu przez wielo- o dzieleniu z resztą liczb ca"kowitych.
mian (UP); Nastpnie, analogicznie do tego, formu-
ustala podzielnoĘ wielomianu przez wielo- "uje twierdzenie o dzieleniu wielomia-
mian (UP). nów, wykonuje jak najwicej wiczeł
z dzieleniem wielomianów.
4. Twierdzenie Bzouta i sche- Twierdzenie o reszcie i ilorazie z dziele- UmiejtnoĘci: Nawiązuje do twierdzenia o dzieleniu
mat Hornera nia wielomianu przez dwumian x-c oraz stosuje twierdzenie Bzouta i schemat Hor- z resztą i na podstawie twierdzenia
wniosek z tego twierdzenia. nera do ustalania, czy dana liczba jest pier- o równoĘci dwóch wielomianów otrzy-
wiastkiem wielomianu (UP); muje tzw. schemat Hornera i twierdzenie
ustala podzielnoĘ wielomianu przez dwu- Bzouta, wykonuje duŻo wiczeł zwią-
mian x-c (UP). zanych z tymi zagadnieniami.
5. Rozk"ad wielomianów na czyn- Elementarne metody rozk"adu wielomia- UmiejtnoĘci: Rozk"ada wielomiany na czynniki, pre-
niki nu na czynniki: wy"ączanie wspólnego rozk"ada wielomiany na czynniki, stosując zentując na przyk"adach kaŻdą z metod
czynnika przed nawias, grupowanie wy- elementarne metody (UP). rozk"adu.
razów, wzory skróconego mnoŻenia.
6. Równania wielomianowe Pojcie równania wielomianowego, roz- UmiejtnoĘci: Przystpuje do jak najwikszej liczby
wiązywanie równał wielomianowych. rozwiązuje proste równania wielomianowe wiczeł w rozwiązywaniu równał, po
(UP). wprowadzeniu pojcia równania wielo-
mianowego.
33
7. NierównoĘci wielomianowe Pojcie nierównoĘci wielomianowej, UmiejtnoĘci: Omawia dok"adnie obie metody rozwią-
metoda siatki znaków oraz szkicowa- pos"uguje si dwiema metodami w rozwią- zywania nierównoĘci wielomianowych,
nie wykresu. zywaniu nierównoĘci wielomianowych (UP). a nastpnie wiczy je na wielu przyk"a-
dach.
III. Funkcje wymierne
I
I
I
.
F
u
n
k
c
j
e
w
y
m
i
e
r
n
e
Cele kszta"cenia i osiągnicia ucznia Procedury osiągania celów
Has"o Realizowane treĘci
UCZEĄ: NAUCZYCIEL:
1. Funkcje wymierne i dzia"ania Definicja funkcji wymiernej, dziedzina WiadomoĘci: Wprowadza pojcie funkcji wymiernej,
na nich i dzia"ania na funkcjach wymiernych. rozpoznaje funkcj wymierną (WP). wyznacza jej dziedzin, okreĘla rów-
UmiejtnoĘci: noĘ dwóch funkcji wymiernych oraz
wyznacza dziedzin funkcji wymiernej (UP); dzia"ania arytmetyczne. Nawiązuje przy
wykonuje dzia"ania arytmetyczne na funkcji tym do dzia"ał na liczbach wymiernych
wymiernej, okreĘlając warunki wykonywal- i ukazuje analogie.
noĘci tych dzia"ał (UP).
2. Przekszta"canie wyraŻeł wy- Dzia"ania "ączne na funkcjach wymier- UmiejtnoĘci: Wykonuje jak najwicej wiczeł w dzia-
miernych nych. dodaje, odejmuje, mnoŻy i dzieli wyraŻenia "aniach na funkcjach wymiernych.
wymierne, przyjmując stosowne za"oŻenia
(UP).
3. Funkcja homograficzna Definicja funkcji homograficznej, dziedzi- UmiejtnoĘci: Sporządza wykresy funkcji homogra-
na tej funkcji, wykres i w"asnoĘci (miejsce sporządza wykresy funkcji homograficz- ficznych, wykorzystując przesunicie
zerowe i znak funkcji homograficznej). nych i odczytuje z nich w"asnoĘci funkcji równoleg"e p"aszczyzny.
(UPP).
4. Równania i nierównoĘci wy- Pojcie równania wymiernego i nierów- UmiejtnoĘci: Rozwiązuje jak najwicej przyk"adów
mierne noĘci wymiernej, równania i nierównoĘci rozwiązuje równanie wymierne i nierów- równał i nierównoĘci, w tym równieŻ
wymierne z funkcją homograficzną; inne noĘ wymierną (UP); równał z parametrem, po wprowadze-
równania i nierównoĘci wymierne. omawia rozwiązalnoĘ równania z parame- niu poj równania wymiernego i nie-
trem (UPP). równoĘci wymiernej.
5. Zadania prowadzące do rów- Zadania tekstowe z róŻnych dziedzin UmiejtnoĘci: Rozwiązuje róŻne zadania prowadzące
nał wymiernych prowadzące do równał wymiernych. rozwiązuje zadania tekstowe prowadzące do równał wymiernych.
do prostych równał wymiernych (UP).
34
IV. Ciągi liczbowe
I
V
.
C
i
ą
g
i
l
i
c
z
b
o
w
e
Cele kszta"cenia i osiągnicia ucznia Procedury osiągania celów
Has"o Realizowane treĘci
UCZEĄ: NAUCZYCIEL:
1. Pojcie ciągu i ciągu liczbowe- Definicja ciągu i ciągu liczbowego, spo- WiadomoĘci: Podaje definicj ciągu nieskołczonego
go, sposoby okreĘlania cią- soby okreĘlania ciągów liczbowych: okreĘla ciąg, w tym ciąg liczbowy (WP). i skołczonego, okreĘla ciągi na róŻne
gów liczbowych wzorem jawnym, wzorem rekurencyj- UmiejtnoĘci: sposoby, wypisuje kilka początkowych
nym, opisem s"ownym. podaje przyk"ady ciągów (UP); wyrazów ciągu i odgaduje kolejne wyra-
wypisuje kolejne wyrazy ciągu (UP); zy bądę teŻ wzór ogólny.
podaje nastpne wyrazy ciągu, mając kilka
początkowych wyrazów (UP);
podaje wzór na n-ty wyraz ciągu (UPP).
2. MonotonicznoĘ ciągu liczbo- Definiujemy monotonicznoĘ ciągu WiadomoĘci: wiczy sprawdzanie, czy dany ciąg jest
wego (przypomnienie monotonicznoĘci funk- definiuje ciąg rosnący, malejący, sta"y (WP). monotoniczny, po zdefiniowaniu mono-
cji liczbowej) i badamy monotonicznoĘ UmiejtnoĘci: tonicznoĘci ciągu.
ciągów liczbowych. podaje przyk"ady ciągów monotonicznych
(UP);
sprawdza, czy dany ciąg liczbowy jest mono-
toniczny (UP).
3. Ciąg arytmetyczny Definicja ciągu arytmetycznego, przy- WiadomoĘci: Podaje definicj ciągu arytmetycznego,
k"ady ciągów arytmetycznych, monoto- rozpoznaje ciąg arytmetyczny (WP). rozpatruje przyk"ady ciągów arytmetycz-
nicznoĘ ciągu arytmetycznego, wzór UmiejtnoĘci: nych, bada monotonicznoĘ ciągu aryt-
na n-ty wyraz ciągu arytmetycznego, podaje przyk"ady ciągów arytmetycznych (UP); metycznego, odgaduje wzór na n-ty wy-
wzór na sum n pierwszych wyrazów bada monotonicznoĘ ciągu arytmetyczne- raz ciągu arytmetycznego, wyprowadza
ciągu arytmetycznego. go (UP); wzór na sum n pierwszych wyrazów cią-
oblicza sum wyrazów ciągu arytmetyczne- gu arytmetycznego.
go (UP);
wyznacza ciąg arytmetyczny, mając typo-
we dane (UP).
4. Zadania z ciągiem arytme- Proste przyk"ady z ciągiem arytmetycz- UmiejtnoĘci: Rozwiązuje rozmaite zadania z ciągiem
tycznym nym (wyznaczanie ciągu); równania, rozwiązuje proste przyk"ady z ciągiem aryt- arytmetycznym, w tym zadania rachun-
w których wystpuje ciąg arytmetyczny; metycznym (UP). kowe, na dowodzenie i zadania teksto-
zadania tekstowe z ciągiem arytmetycz- we z róŻnych dziedzin.
nym.
35
5. Ciąg geometryczny Pojcie ciągu geometrycznego, przyk"a- WiadomoĘci: Podaje definicj ciągu geometrycznego,
dy ciągów geometrycznych, wzór na rozpoznaje ciąg geometryczny (WP). rozwaŻa przyk"ady ciągów geometrycz-
n-ty wyraz ciągu geometrycznego, mo- UmiejtnoĘci: nych, odgaduje wzór na n-ty wyraz cią-
notonicznoĘ ciągu geometrycznego, podaje przyk"ady ciągów geometrycznych gu geometrycznego, bada monotonicz-
wzór na sum n pierwszych wyrazów (UP); noĘ ciągu geometrycznego i wyprowa-
ciągu geometrycznego. wyznacza ciąg geometryczny na podstawie dza wzór na sum n pierwszych wyra-
typowych danych (UP); zów danego ciągu geometrycznego.
bada monotonicznoĘ ciągu geometrycz-
nego (UP);
oblicza sumy wyrazów ciągów geometrycz-
nych (UP).
6. Zadania z ciągiem geome- Proste zadania na wyznaczanie ciągu UmiejtnoĘci: Rozwiązuje rozmaite zadania z ciągiem
trycznym geometrycznego, zadania tekstowe wyznacza ciągi geometryczne, mając typowe geometrycznym: rachunkowe, na dowo-
z ciągiem geometrycznym. dane (UP); dzenie, tekstowe z róŻnych dziedzin.
rozwiązuje zadania tekstowe z róŻnych dzie-
dzin z ciągiem geometrycznym (UPP).
7. Procent sk"adany Omówienie procentu sk"adanego i jego UmiejtnoĘci: Omawia procent sk"adany i jego związek
związku z ciągiem geometrycznym. pos"uguje si ciągiem geometrycznym do z ciągiem geometrycznym oraz stosuje
obliczeł związanych z procentem sk"ada- go do obliczeł związanych z oprocento-
nym, z oprocentowaniem kredytów i lokat waniem lokat i kredytów bankowych.
bankowych (UP).
GEOMETRIA
I. Związki miarowe
I
.
Z
w
i
ą
z
k
i
m
i
a
r
o
w
e
Cele kszta"cenia i osiągnicia ucznia Procedury osiągania celów
Has"o Realizowane treĘci
UCZEĄ: NAUCZYCIEL:
1. Twierdzenie sinusów Sformu"owanie twierdzenia sinusów (i je- WiadomoĘci: Formu"uje twierdzenie sinusów i dowo-
go dowód z zastosowaniem w"asnoĘci formu"uje twierdzenie sinusów (WP). dzi go (stosuje definicj funkcji trygono-
kątów wpisanych w ko"o oraz zastosowa- UmiejtoĘci: metrycznych kąta w trójkącie prostokąt-
niem definicji funkcji trygonometrycz- wyjaĘnia dowód tego twierdzenia (przypo- nym i jeden ze wzorów redukcyjnych).
nych kąta w trójkącie prostokątnym). mni sobie wiadomoĘci z geometrii z klasy
pierwszej) (UP).
36
2. Zastosowanie twierdzenia si- Twierdzenie sinusów w zadaniach zwią- UmiejtoĘci: Rozwiązuje trójkąty oraz dowodzi roz-
nusów zanych z rozwiązywaniem trójkątów rozwiązuje kaŻdy trójkąt z zastosowaniem maitych związków miarowych w trójką-
oraz w zadaniach na dowodzenie związ- twierdzenia sinusów (UP); cie.
ków miarowych w trójkącie (np. wzór na dowodzi związków miarowych w trójkącie
pole trójkąta S=abc/4R). (UPP).
3. Twierdzenie cosinusów Twierdzenie cosinusów i jego dowód WiadomoĘci: Formu"uje twierdzenie cosinusów, do-
(z zastosowaniem definicji funkcji trygono- formu"uje treĘ twierdzenia cosinusów wodzi go (przez rzutowanie wierzcho"-
metrycznych kąta w trójkącie prostokąt- (WP). ków trójkąta na jego boki i zastosowanie
nym), zastosowanie twierdzenia cosinu- UmiejtoĘci: definicji funkcji trygonometrycznych ką-
sów do wyprowadzenia charakteryzacji dowodzi twierdzenia cosinusów (jest Ęwia- ta w trójkącie prostokątnym) oraz wycią-
ostrokątnoĘci, prostokątnoĘci i rozwarto- domy, Że jest to uogólnienie twierdzenia Pi- ga wnioski z tego twierdzenia.
kątnoĘci trójkąta. tagorasa) (UP).
4. Zastosowania twierdzenia co- Wzór Herona na pole trójkąta, twierdze- WiadomoĘci: Pokazuje liczne zastosowania twierdze-
sinusów nie Ptolemeusza o czworokącie wpisa- poznaje nowe fakty, które otrzymuje przez nia cosinusów w geometrii.
nym w okrąg, twierdzenie o równoleg"o- zastosowanie twierdzenia cosinusów (WPP).
boku. UmiejtoĘci:
aktywnie uczestniczy w wyprowadzaniu
dowodów (UPP).
5. Zastosowania twierdzenia co- Rozwiązujemy trójkąty oraz stosujemy UmiejtoĘci: Rozwiązuje rozmaite zadania rachunko-
sinusów c.d. twierdzenie cosinusów do innych zadał stosuje twierdzenie cosinusów w prostych we z geometrii, na przyk"ad wyznaczanie
rachunkowych z geometrii. zadaniach rachunkowych z geometrii d"ugoĘci Ęrodkowych trójkąta, dwusiecz-
(rozwiązywanie trójkątów) (UP). nych kątów trójkąta w zaleŻnoĘci od d"u-
goĘci boków.
II. Wektory
I
I
.
W
e
k
t
o
r
y
Cele kszta"cenia i osiągnicia ucznia Procedury osiągania celów
Has"o Realizowane treĘci
UCZEĄ: NAUCZYCIEL:
1. Wektor, wektor swobodny Pojcie wektora, jego kierunku, zwrotu WiadomoĘci: Wprowadza pojcie wektora i jego para-
i dzia"ania na wektorach i d"ugoĘci, równoĘ dwóch wektorów, wyjaĘnia pojcie wektora związanego (WP); metry (bazuje tutaj na intuicji, gdy defi-
wektor swobodny, dodawanie i odejmo- wyjaĘnia pojcie wektora swobodnego (WP). niuje zwrot wektora), pokazuje w"asnoĘ
wanie wektorów. UmiejtnoĘci: dodawania wektorów (przemiennoĘ,
porównuje dwa wektory (UP); "ącznoĘ).
dodaje i odejmuje wektory (UP).
37
2. Iloczyn wektora przez liczb MnoŻenie wektora przez skalar, w"asno- WiadomoĘci: Wprowadza pojcie iloczynu wektora
Ęci tego dzia"ania, charakteryzacja rów- interpretuje mnoŻenie wektora przez liczb przez liczb oraz pokazuje w"asnoĘci te-
noleg"oĘci wektorów. (WP). go iloczynu.
UmiejtnoĘci:
rozpoznaje wektory do siebie równoleg"e (UP);
przedstawia wektor w postaci liniowej kom-
binacji pary wektorów (UPP).
3. Zastosowania wektorów do Twierdzenie Talesa (raz jeszcze), twier- UmiejtnoĘci: Pokazuje, w jaki sposób wykorzystywa
geometrii dzenia o odcinku "ączącym Ęrodki bo- stosuje w"asnoĘci dzia"ał na wektorach do w"asnoĘci iloczynu wektora przez liczb
ków trójkąta, twierdzenie o linii Ęrodko- dowodzenia prostych faktów z geometrii do dowodzenia twierdzeł znanych juŻ
wej czworokąta. (UPP). uczniowi, z wczeĘniejszej nauki.
Definicja kąta dwóch wektorów, defini- WiadomoĘci: Wprowadza iloczyn skalarny wektorów
4. Iloczyn skalarny wektorów cja iloczynu skalarnego wektorów, naj- wyjaĘnia pojcie iloczynu skalarnego (WPP). i jego w"asnoĘci (warto dowodzi przy-
prostsze w"asnoĘci tego iloczynu. UmiejtnoĘci: najmniej niektórych), pokazuje zastoso-
stosuje w"asnoĘci iloczynu skalarnego do wanie tego iloczynu do prostych prze-
przekszta"cania prostych wyraŻeł (UPP). kszta"ceł.
5. Zastosowania iloczynu skalar- Twierdzenie o przecinaniu si wysoko- UmiejtnoĘci: Pokazuje zastosowania iloczynu skalar-
nego wektorów do geometrii Ęci w trójkącie, twierdzenie cosinusów stosuje w"asnoĘci iloczynu skalarnego do nego do geometrii (warto przy tym wra-
(po raz drugi), rozwiązywanie trójkątów. dowodzenia znanych mu juŻ twierdzeł ca do twierdzeł wczeĘniej dowodzo-
oraz do rozwiązywania trójkątów (UPP). nych inną metodą).
III. Przekszta"cenia geometryczne na p"aszczyęnie
I
I
I
.
P
r
z
e
k
s
z
t
a
"
c
e
n
i
a
g
e
o
m
e
t
r
y
c
z
n
e
n
a
p
"
a
s
z
c
z
y
ę
n
i
e
Cele kszta"cenia i osiągnicia ucznia Procedury osiągania celów
Has"o Realizowane treĘci
UCZEĄ: NAUCZYCIEL:
1. Ogólne wiadomoĘci o prze- Pojcie przekszta"cenia geometryczne- WiadomoĘci: Nawiązuje do wiedzy ucznia o funkcjach
kszta"ceniach geometrycznych go (przekszta"cenie geometryczne jako okreĘla przekszta"cenie geometryczne (WP). i w tym kontekĘcie mówi o przekszta"ce-
funkcja), przyk"ady przekszta"ceł, sk"a- UmiejtnoĘci: niach, ilustrując poruszone zagadnienia
danie przekszta"ceł, przekszta"cenie podaje przyk"ady przekszta"ceł geome- przyk"adami.
toŻsamoĘciowe, przekszta"cenie od- trycznych (UP);
wrotne do danego. sprawdza, czy przekszta"cenie geome-
tryczne ma punkty sta"e, czy moŻna je od-
wróci (UPP);
sk"ada przekszta"cenia (UPP).
38
2. Przekszta"cenia izometryczne Definicja przekszta"cenia izometryczne- UmiejtnoĘci: Bada, czym jest izometria mająca dwa
i figury przystające go, punkty sta"e izometrii, przyk"ady izo- wskazuje wĘród przyk"adów przekszta"ceł punkty sta"e (podaje model takiego
metrii, przystawanie figur. geometrycznych te, które zachowują odle- przekszta"cenia) i czym jest, gdy ma trzy
g"oĘ (UP). niewspó"liniowe punkty sta"e; sk"ada
i odwraca izometrie, definiuje przysta-
wanie figur i bada, jakie w"asnoĘci ma ta
relacja.
3. Cechy przystawania trójkątów Sformu"owanie cech przystawania trój- UmiejtnoĘci: Formu"uje cechy przystawania trójką-
kątów, zastosowanie tych cech do pro- stosuje cechy przystawania trójkątów do tów, nawiązując do twierdzenia o struk-
stych zadał na dowodzenie. prostych zadał na dowodzenie (UPP). turze izometrii (warto o tym twierdzeniu
chociaŻ wspomnie), dowodzi innych
twierdzeł z zastosowaniem cech przy-
stawania trójkątów.
4. Obrazy figur w izometrii Obraz odcinka, prostej i pó"prostej, okr- UmiejtnoĘci: Bada obrazy typowych figur geome-
gu (ko"a), figury wypuk"ej, kąta, wielokąta. otrzymuje obrazy typowych figur geometrycz- trycznych w izometrii.
nych w izometrii (UP).
5. Symetria osiowa Badanie przekszta"cenia, które ma dwa UmiejtnoĘci: Omawia w"asnoĘci symetrii osiowej; ba-
punkty sta"e, obrazu punktu w tym prze- rysuje obraz figury w symetrii osiowej (UP); dając ją, zwraca uwag na rysowanie
kszta"ceniu, definicja symetrii osiowej, konstruuje obraz punktu, obraz okrgu, obrazów figur w symetrii; nawiązuje do
obraz figury w symetrii osiowej. wielokąta w symetrii osiowej (UP). odbicia lustrzanego (warto teŻ omó-
wi symetri wzgldem osi uk"adu
wspó"rzdnych).
6. OĘ symetrii figury, figury osio- Definicja osi symetrii figury i figury osio- UmiejtnoĘci: Podaje przyk"ady figur mających oĘ sy-
wo symetryczne wo symetrycznej, przyk"ady takich figur. wskazuje figur mającą oĘ symetrii (UP); metrii (z róŻnych dziedzin, takŻe w ar-
podaje przyk"ady figur osiowo symetrycz- chitekturze, sztuce malarskiej).
nych (UP).
7. Symetria Ęrodkowa i jej w"a- OkreĘlenie symetrii wzgldem punktu, UmiejtnoĘci: Definiuje symetri Ęrodkową i bada jej
snoĘci w"asnoĘci symetrii Ęrodkowej, obraz fi- rozpoznaje symetri Ęrodkową (UP); w"asnoĘci, zwraca uwag na rysowanie
gury w symetrii Ęrodkowej. przekszta"ca figur przez symetri Ęrodko- obrazów figur w symetrii Ęrodkowej, oma-
wą i rysuje obraz tej figury (UPP). wia takŻe symetri wzgldem początku
uk"adu wspó"rzdnych oraz wzgldem
dowolnego punktu w tym uk"adzie.
39
8. rodek symetrii figury, figury Definicja Ęrodka symetrii figury, figury UmiejtnoĘci: Podaje przyk"ady figur mających Ęrodek
Ęrodkowo symetryczne Ęrodkowo symetrycznej, przyk"ady figur wskazuje figur mającą Ęrodek symetrii (UP); symetrii (pochodzących z róŻnych dzie-
Ęrodkowo symetrycznych. podaje przyk"ady figur Ęrodkowo syme- dzin, np. w architekturze, sztuce malar-
trycznych (UP). skiej).
9. Obrót p"aszczyzny Kąt skierowany, obrót p"aszczyzny wo- UmiejtnoĘci: Omawia pojcie kąta skierowanego
kó" ustalonego jej punktu, sk"adanie ob- omawia obrót i jego w"asnoĘci (UP); oraz dzia"ania na kątach skierowanych
rotów wokó" tego samego punktu. wyjaĘnia pojcie kąta skierowanego (UP); (nawiązując do pojcia wektora i dzia"ał
sk"ada obroty wokó" tego samego punktu dodawania i odejmowania wektorów
(UPP); warto podkreĘli pewne analogie), defi-
bada obrazy figur w obrocie (UP). niuje obrót p"aszczyzny i bada jego w"a-
snoĘci.
10. Translacja p"aszczyzny Definicja translacji, w"asnoĘci translacji, UmiejtnoĘci: Nawiązuje do pojcia wektora i wektora
wzór analityczny na translacj. znajduje obraz figury w translacji (UP); swobodnego, okreĘla translacj p"asz-
podaje wspó"rzdne obrazu punktu w trans- czyzny oraz bada jej w"asnoĘci, rysuje
lacji (UP); obrazy figur w translacji.
podaje wspó"rzdne wektora translacji, ma-
jąc wspó"rzdne punktu i jego obrazu
w translacji (UP).
11. Sk"adanie symetrii osiowych Sk"adanie dwóch symetrii osiowych WiadomoĘci: Bada z"oŻenie dwóch symetrii osiowych
i badanie, czym jest to z"oŻenie. wyjaĘnia, czym jest z"oŻenie dwóch syme- najpierw graficznie, po czym przechodzi
trii osiowych w zaleŻnoĘci od konfiguracji do formalnych dowodów i faktów otrzy-
osi (WPP). manych na drodze empirycznej.
12. Metoda przekszta"ceł geome- Zastosowanie symetrii osiowej, symetrii UmiejtnoĘci: Rozwiązuje rozmaite zadania, w tym
trycznych w zadaniach Ęrodkowej obrotu i translacji do zadał stosuje w"asnoĘci przekszta"ceł izometrycz- o charakterze praktycznym (np. wybór
konstrukcyjnych i na dowodzenie. nych w zadaniach konstrukcyjnych (UP) i na miejsca pod budow mostu przez rzek,
dowodzenie (UPP). tak aby otrzyma najkrótszą drog z jed-
nego miasta do drugiego).
13. Jednok"adnoĘ p"aszczyzny Definicja jednok"adnoĘci, obrazy figur UmiejtnoĘci: Wprowadzając pojcie jednok"adnoĘci,
w jednok"adnoĘci, sk"adanie jednok"ad- rysuje obraz figury w jednok"adnoĘci (od- podaje je jako przyk"ad przekszta"cenia,
noĘci o wspólnym Ęrodku, jednok"ad- cinka, kąta, wielokąta, okrgu) (UP); które nie jest izometrią. Zwraca uwag
noĘ we wspó"rzdnych kartezjałskich. odnajduje niezmienniki jednok"adnoĘci (UPP); na podstawowy niezmiennik, jakim jest
znajduje wspó"rzdne obrazu punktu, ma- wspó"liniowoĘ punktów i stosunek d"u-
jąc wspó"rzdne punktu i Ęrodka jedno- goĘci odcinków.
k"adnoĘci (UP).
40
14. Figury jednok"adne Definicja jednok"adnoĘci figur i w"asnoĘci UmiejtnoĘci: Zwraca uwag na konstrukcj Ęrodków
tej relacji, przyk"ady figur jednok"adnych. podaje przyk"ady figur jednok"adnych (UP); jednok"adnoĘci figur jednok"adnych
konstruuje Ęrodki jednok"adnoĘci pary (odcinków, wielokątów, okrgów).
okrgów (UP).
15. Podobiełstwo Definicja i w"asnoĘci podobiełstwa. UmiejtnoĘci: Zwraca uwag na to, Że podobiełstwo
rozpoznaje figury podobne (UP); jest uogólnieniem znanych juŻ prze-
rysuje figury podobne (UP); kszta"ceł: izometrii i jednok"adnoĘci.
okreĘla w"asnoĘci figur podobnych (UP);
podaje przyk"ady podobiełstw (UP).
16. Podobiełstwo figur, cechy po- Podobiełstwo figur i jego w"asnoĘci. WiadomoĘci: Stara si, aby uczniowie nabyli do-
dobiełstwa trójkątów Podobiełstwo trójkątów. Podobiełstwa okreĘla podobiełstwo trójkątów i wielokątów Ęwiadczenia w zakresie stosowania
wielokątów. Stosunek pól figur podob- (WP). zdobytej wiedzy i umiejtnoĘci takŻe
nych. Twierdzenie Talesa i jego związek UmiejtnoĘci: w sytuacjach praktycznych (powiksza-
z podobiełstwem. wskazuje figury podobne (UP); nie, zmniejszanie figur).
oblicza pola obrazów wielokątów w podo-
biełstwie (UP).
17. Zastosowanie jednok"adnoĘci Zastosowanie jednok"adnoĘci i podo- UmiejtnoĘci: Rozwiązuje jak najwicej rozmaitych za-
i podobiełstwa biełstwa do: zadał konstrukcyjnych, stosuje zdobyte wiadomoĘci (w"asnoĘci dał, pokazując przydatnoĘ zdobytej
zadał na dowodzenie, zadał na obli- jednok"adnoĘci i podobiełstwa, a takŻe ce- wiedzy i umiejtnoĘci.
czanie wielkoĘci geometrycznych. chy podobiełstwa trójkątów) nie tylko do
zagadnieł teoretycznych (UPP), ale i prak-
tycznych (UP).
Klasa III
K
l
a
s
a
I
I
I
ALGEBRA
Cele kszta"cenia i osiągnicia ucznia Procedury osiągania celów
Has"o Realizowane treĘci
UCZEĄ: NAUCZYCIEL:
1. Potga o wyk"adniku ca"kowi- Przypomnienie wiadomoĘci o potdze WiadomoĘci; Przypomina wiadomoĘci o potdze
tym o wyk"adniku ca"kowitym: definicja po- podaje pojcie potgi liczby rzeczywistej z klasy pierwszej, wykonuje jak najwi-
tgi o wyk"adniku naturalnym i ca"kowi- o wyk"adniku ca"kowitym (WP). cej wiczeł w dzia"aniach na potgach.
tym, dzia"ania na potgach. UmiejtnoĘci:
wykonuje dzia"ania na tych potgach (UP).
41
2. Potga o wyk"adniku wymier- Przypomnienie wiadomoĘci o pierwiast- UmiejtnoĘci: Przypomina pojcie pierwiastka arytme-
nym kowaniu liczb rzeczywistych i dzia"a- podnosi do potgi wymiernej liczb rzeczy- tycznego liczby nieujemnej oraz jego
niach na pierwiastkach; potga liczby wistą (UP); w"asnoĘci, a nastpnie rozszerza poj-
rzeczywistej o wyk"adniku wymiernym wykonuje dzia"ania na potgach o wyk"ad- cie potgi oraz bada w"asnoĘci dzia"ał
i dzia"ania na tych potgach. niku wymiernym (UP); na potgach o wyk"adniku wymiernym.
porównuje potgi o wyk"adniku wymiernym
(UP).
3. Dzia"ania na potgach o wy- Dzia"ania "ączne na potgach, porówny- UmiejtnoĘci: Rozwiązuje jak najwicej róŻnorodnych
k"adniku wymiernym wanie potg. osiąga wpraw w dzia"aniach na potgach wiczeł podnoszących sprawnoĘ ra-
i ich porównywaniu (UP). chunkową ucznia.
4. Funkcja potgowa o wyk"ad- Przyk"ady funkcji potgowych o wyk"ad- UmiejtnoĘci: Podaje proste przyk"ady funkcji potgo-
niku wymiernym niku: naturalnym, ca"kowitym, ujemnym, sporządza wykresy prostych funkcji pot- wych, sporządza ich wykresy i je oma-
wymiernym postaci 1/n, ich w"asnoĘci gowych (UP); wia.
i wykres. odczytuje w"asnoĘci funkcji potgowych
z wykresów (UP).
5. Równania i nierównoĘci pot- OkreĘlanie równania potgowego i nie- UmiejtnoĘci: Rozwiązuje róŻne przyk"ady prostych
gowe równoĘci potgowej, proste przyk"ady rozwiązuje proste równania i nierównoĘci równał i nierównoĘci potgowych, sto-
takich równał i nierównoĘci. potgowe (UP). suje zarówno przekszta"cenia równo-
waŻne, jak i podstawienia.
6. Funkcja wyk"adnicza, jej w"a- Definicja funkcji wyk"adniczej, jej dzie- UmiejtnoĘci: Sporządza wykresy funkcji wyk"adni-
snoĘci i wykres dzina, wykres i w"asnoĘci. sporządza wykresy funkcji wyk"adniczych czych i omawia w"asnoĘci tych funkcji.
(UP);
odczytuje z vwykresów w"asnoĘci funkcji wy-
k"adniczych (miejsca zerowe, róŻnowartoĘcio-
woĘ, monotonicznoĘ, zbiór wartoĘci) (UP).
7. Równania i nierównoĘci wy- OkreĘlenie równania wyk"adniczego UmiejtnoĘci: Stosuje w"asnoĘ róŻnowartoĘciowoĘci
k"adnicze i nierównoĘci wyk"adniczej, rozwiązywa- rozwiązuje proste równania i nierównoĘci funkcji wyk"adniczej do rozwiązywania
nie równał i nierównoĘci wyk"adni- wyk"adnicze (UP). równał, zaĘ monotonicznoĘ do roz-
czych. wiązywania nierównoĘci.
8. Logarytmy i ich w"asnoĘci Definicja logarytmu, w"asnoĘci logaryt- UmiejtnoĘci: Wprowadza pojcie logarytmu (podkre-
mów, logarytmowanie wyraŻeł. wykonuje podstawowe obliczenia przy uŻy- Ęla przy tym, Że podstawa logarytmu mu-
ciu logarytmów (UP). si by liczbą dodatnią, róŻną od 1, a licz-
42
ba logarytmowana dodatnia), dowodzi
prostych w"asnoĘci logarytmu i wykonu-
je wiczenia z ich zastosowaniem.
9. Funkcja logarytmiczna Definicja funkcji logarytmicznej, dziedzi- UmiejtnoĘci: Definiuje funkcj logarytmiczną i bada
na, zbiór wartoĘci, wykres, róŻnowarto- sporządza wykresy funkcji logarytmicznych jej w"asnoĘci, sporządza wykresy funkcji
ĘciowoĘ i monotonicznoĘ funkcji lo- (UP); logarytmicznych.
garytmicznej. odczytuje z wykresów w"asnoĘci funkcji lo-
garytmicznych (UP).
10. Proste równania i nierównoĘci OkreĘlenie równania logarytmicznego UmiejtnoĘci: OkreĘla równanie i nierównoĘ logaryt-
logarytmiczne oraz nierównoĘci logarytmicznej, roz- rozwiązuje proste równania i nierównoĘci miczną; rozwiązuje równania, korzystając
wiązywanie równał i nierównoĘci loga- logarytmiczne (UP). z równowartoĘciowoĘci funkcji logaryt-
rytmicznych. micznej i nierównoĘci, korzystając z mo-
notonicznoĘci funkcji logarytmicznej.
GEOMETRIA ANALITYCZNA
Cele kszta"cenia i osiągnicia ucznia Procedury osiągania celów
Has"o Realizowane treĘci
UCZEĄ: NAUCZYCIEL:
1. Odleg"oĘ dwóch punktów na Wzór na odleg"oĘ dwóch punktów. UmiejtnoĘci: Wyprowadza wzór na odleg"oĘ dwóch
p"aszczyęnie kartezjałskiej wyznacza odleg"oĘ dwóch punktów, mając punktów, korzystając z twierdzenia Pita-
ich wspó"rzdne (UP); gorasa, rozwiązuje jak najwicej zadał
wykonuje inne zadania, pos"ugując si wzo- i wiczeł z zastosowaniem tego wzoru.
rem (np. sprawdza, czy dany punkt naleŻy do
odcinka, czy jest jego Ęrodkiem itp.) (UP).
2. Równanie (nierównoĘ) okr- Przypomnienie definicji okrgu (ko"a) UmiejtnoĘci: Wyprowadza równanie (nierównoĘ)
gu (ko"a) oraz równanie (nierównoĘ) okrgu odczytuje z równania (nierównoĘci) okrgu okrgu (ko"a) oraz rozwiązuje jak naj-
(ko"a). (ko"a) wspó"rzdne Ęrodka okrgu (ko"a) wicej zadał z tym związanych.
i promieł (UP);
zapisuje równanie (nierównoĘ) okrgu
(ko"a), mając wspó"rzdne Ęrodka i pro-
mieł (UP);
rozstrzyga, czy dany punkt leŻy wewnątrz,
na brzegu czy na zewnątrz ko"a (UP).
43
3. Prosta na p"aszczyęnie karte- RóŻne postaci równania prostej: ogólna, UmiejtnoĘci: Omawia pojcie kąta nachylenia prostej
zjałskiej kierunkowa, odcinkowa. zapisuje równanie prostej, mając dwa róŻ- do osi OX, nastpnie ogólną posta
ne punkty, które ją wyznaczają (UPP); równania prostej, wykonuje duŻo wi-
zapisuje równanie prostej, mając jej kąt na- czeł w pisaniu równał prostych na
chylenia do osi OX i punkt (UP). podstawie róŻnych danych.
4. Prostopad"oĘ i równoleg"oĘ Warunki prostopad"oĘci i równoleg"oĘci UmiejtnoĘci: Podaje warunki prostopad"oĘci i równo-
dwóch prostych na p"aszczyę- prostych o równaniach: ogólnych, kie- rozpoznaje równania prostych do siebie, leg"oĘci prostych zadanych równaniami:
nie kartezjałskiej runkowych. prostopad"ych, równoleg"ych lub pokrywa- ogólnymi, kierunkowymi, rozwiązuje
jących si (UP). wiele związanych z tym zadał.
5. Odleg"oĘ punktu od prostej Wzór na odleg"oĘ punktu od prostej UmiejtnoĘci: Wyprowadza wzór na odleg"oĘ punktu
o równaniu ogólnym. oblicza odleg"oĘ punktu od prostej (UP); od prostej oraz rozwiązuje zadania z za-
rozstrzyga wzajemne po"oŻenie na przy- stosowaniem tego wzoru.
k"ad prostej wzgldem okrgu, mając rów-
nanie tej prostej oraz okrgu (UP).
6. Prosta i okrąg na p"aszczyęnie Zadania z geometrii analitycznej związa- UmiejtnoĘci: Wykorzystuje zdobyte wiadomoĘci z geo-
kartezjałskiej ne z prostą i okrgiem. rozwiązuje zadania z prostą i okrgiem (np. metrii analitycznej do rozwiązywania
zapisuje równanie okrgu opisanego na trój- zadał z okrgiem i prostą.
kącie) (UP).
7. NierównoĘ opisująca pó"- Ilustracja geometryczna nierównoĘci li- UmiejtnoĘci: Podaje ilustracje geometryczne na p"asz-
p"aszczyzn niowej z dwiema niewiadomymi. ilustruje na p"aszczyęnie kartezjałskiej czyęnie kartezjałskiej zbiorów punktów
zbiory opisane za pomocą nierównoĘci li- o wspó"rzdnych spe"niających daną
niowych z dwiema niewiadomymi (UPP). nierównoĘ liniową z dwiema niewiado-
mymi.
STEREOMETRIA
Cele kszta"cenia i osiągnicia ucznia Procedury osiągania celów
Has"o Realizowane treĘci
UCZEĄ: NAUCZYCIEL:
1. Pojcie graniastos"upa, rodza- Definicje graniastos"upa i klasyfikacja WiadomoĘci: Kszta"tuje wyobraęni przestrzenną, roz-
je graniastos"upów graniastos"upów, pojcie wysokoĘci definiuje pojcie graniastos"upa (WP). waŻa róŻne rodzaje graniastos"upów,
graniastos"upa, wzory na objtoĘ i po- UmiejtnoĘci: omawia wysokoĘ graniastos"upa, obli-
le powierzchni graniastos"upa. rozpoznaje graniastos"upy proste, prawi- cza objtoĘ i pole powierzchni ca"kowi-
d"owe (UP); tej na podstawie podanych wzorów.
oblicza objtoĘ i pole powierzchni ca"ko-
witej graniastos"upa (UP).
44
2. Pojcie ostros"upa, rodzaje Definicja ostros"upa i klasyfikacja ostro- WiadomoĘci: RozwaŻa róŻne rodzaje ostros"upów; ry-
ostros"upów s"upów, wysokoĘ ostros"upa, wzory na definiuje pojcie ostros"upa (WP). suje ich modele; omawia wysokoĘ ostro-
objtoĘ i pole powierzchni ostros"upa, UmiejtnoĘci: s"upa, badając, gdzie znajduje si jego
ostros"up Ęcity oraz wzór na jego obj- rozpoznaje ostros"up prawid"owy (UP); spodek; wyprowadza wzór na objtoĘ
toĘ. oblicza objtoĘ i pole powierzchni ca"ko- ostros"upa Ęcitego, korzystając ze wzoru
witej ostros"upa (UP); na objtoĘ ostros"upa.
oblicza objtoĘ ostros"upa Ęcitego (UPP).
3. Wzajemne po"oŻenie kraw- Kąty nachylenia: Ęciany bocznej; kraw- UmiejtnoĘci: Bada po"oŻenie krawdzi i Ęcian grania-
dzi i Ęcian graniastos"upów dzi bocznej do p"aszczyzny podstawy; wskazuje: kąty nachylenia liniowych ele- stos"upów oraz ostros"upów na mode-
i ostros"upów kąt midzy wysokoĘciami Ęcian bocz- mentów graniastos"upów i ostros"upów do lach tych bry", a takŻe na ich rysunkach.
nych, krawdzie skoĘne czworoĘcianu, p"aszczyzny podstawy; kąty midzy tymi
przekątne skoĘne. elementami; kąty dwuĘcienne Ęciany bocz-
nej i podstawy oraz Ęcian bocznych (UPP).
4. Bry"y obrotowe Pojcie bry"y obrotowej i przyk"ady takich WiadomoĘci: DąŻy do tego, aby przy obliczaniu obj-
bry": walec, stoŻek, kula; wzory na ich rozpoznaje bry"y obrotowe (WP). toĘci i pól powierzchni ca"kowitej bry"
objtoĘ i pole powierzchni ca"kowitej. UmiejtnoĘci: uczniowie stosowali funkcje trygonome-
oblicza objtoĘ i pole powierzchni ca"ko- tryczne i elementy geometrii p"aszczyzny.
witej bry" obrotowych (UP).
5. Siatki bry" Siatki graniastos"upów, ostros"upów, UmiejtnoĘci: Wykonuje wiczenia, które powinny do-
bry" obrotowych. wykonuje siatki bry" (UP); prowadzi do tego, aby uczniowie potrafili
rozpoznaje bry" na podstawie jej siatki narysowa siatk odpowiedniego modelu
(UPP). bry"y i na podstawie przedstawionej siatki
umieli rozpozna bry" bądę stwierdzi, Że
nie odpowiada Żadnej z poznanych bry".
6. Zadania z bry"ami z zastoso- Zadania na: obliczanie objtoĘci i pól po- UmiejtnoĘci: W rozwiązywaniu zadał ze stereometrii
waniem trygonometrii wierzchni ca"kowitych wybranych bry"; rozwiązuje róŻne proste zadania ze stereo- odnosi si do przyk"adów z Życia co-
wyznaczanie miar kątów nachylenia, ką- metrii, pos"ugując si wiedzą z geometrii dziennego, np. kubatury budynków, po-
tów dwuĘciennych itp.; dowodzenie pro- p"aszczyzny i trygonometrią (UP). jemnoĘci basenów itp.
stych zaleŻnoĘci midzy elementami bry".
45
RACHUNEK PRAWDOPODOBIEĄSTWA
Cele kszta"cenia i osiągnicia ucznia Procedury osiągania celów
Has"o Realizowane treĘci
UCZEĄ: NAUCZYCIEL:
1. Pojcie silni, permutacji zbioru Definicja silni, permutacji zbioru, liczba UmiejtnoĘci: Wykonuje jak najwicej wiczeł.
permutacji zbioru. oblicza i przekszta"ca wyraŻenia z silnią (UP);
wyznacza permutacje zbiorów i ich liczby
(UP).
2. Symbol Newtona OkreĘlenie symbolu Newtona oraz dowo- UmiejtnoĘci: Wprowadza symbol Newtona i jego pod-
dzenie jego podstawowych w"asnoĘci. pos"uguje si symbolem Newtona (UP). stawowe w"asnoĘci oraz wykonuje wi-
czenia rachunkowe.
3. Kombinacje i wariacje OkreĘlenie kombinacji zbioru oraz wa- WiadomoĘci: Stara si, aby uczeł zrozumia" nowe
riacji z powtórzeniami i bez powtórzeł. odróŻnia wariacje z powtórzeniami i bez po- pojcia, umia" odróŻnia oraz wyzna-
wtórzeł elementów danego zbioru (WP); cza kombinacje i wariacje (warto usta-
odróŻnia kombinacje od wariacji (WP). li zaleŻnoĘ midzy liczbą kombinacji
UmiejtnoĘci: danego zbioru a liczbą wariacji bez po-
wyznacza kombinacje zbioru skołczonego wtórzeł tego zbioru).
(UP);
wyznacza liczb kombinacji i wariacji (UP).
4. Proste zadania kombinato- Rozwiązywanie zadał związanych z po- UmiejtnoĘci: Odnosi si do zadał z róŻnych dzie-
ryczne jciami kombinatorycznymi. rozwiązuje zadania kombinatoryczne (UP). dzin, na przyk"ad związane z grami licz-
bowymi, talią kart do gry, numeracją ta-
blic rejestracyjnych itp.
5. Zdarzenie elementarne, zda- Jzyk rachunku prawdopodobiełstwa; WiadomoĘci: Stara si nawiązywa (w realizacji za-
rzenie i dzia"ania na zdarze- pojcie zdarzenia i dzia"ania na zdarze- rozumie jzyk rachunku prawdopodobieł- gadnieł) do wiadomoĘci z teorii zbio-
niach niach: koniunkcja, alternatywa, róŻnica, stwa i kojarzy pojcie zdarzenia oraz dzia"ania rów; rozwaŻa jak najwicej przyk"adów.
zdarzenie przeciwne do danego. na nich z pojciami nauki o zbiorach (WP).
UmiejtnoĘci:
podaje przyk"ady zdarzeł (UP).
Bada w"asnoĘci pojcia czstoĘci, defi-
6. Pojcie prawdopodobiełstwa Pojcie czstoĘci zdarzenia i jej związek WiadomoĘci:
niuje (za Ko"mogorowem) prawdopodo-
i jego w"asnoĘci z prawdopodobiełstwem; definicja definiuje prawdopodobiełstwo (WP);
biełstwo i dowodzi jego podstawowych
prawdopodobiełstwa i jego w"asnoĘci. poznaje funkcj, której argumentami są
zbiory (zdarzenia) (WPP).
46
UmiejtnoĘci: w"asnoĘci; rozwiązuje takŻe proste za-
wykazuje proste jego w"asnoĘci (UP). dania związane z nowym z pojciem.
7. Klasyczna definicja prawdo- Twierdzenie o rozk"adzie prawdopodo- UmiejtnoĘci: Formu"uje twierdzenie o rozk"adzie praw-
podobiełstwa biełstwa, klasyczna definicja prawdo- rozwiązuje najprostsze zadania (z rzutem dopodobiełstwa, a nastpnie rozwaŻa
podobiełstwa; obliczanie prawdopodo- kostką, dwiema kostkami, monetą, dwiema przypadek jednakowo prawdopodob-
biełstw w skołczonych przestrzeniach monetami, kostką i monetą) z zastosowa- nych zdarzeł elementarnych, otrzymując
probabilistycznych. niem klasycznej definicji prawdopodobieł- klasyczną definicj prawdopodobieł-
stwa (UP). stwa.
8. Zadania z zastosowaniem kla- Permutacje, kombinacje, wariacje z po- UmiejtnoĘci: W rozwiązywanych zadaniach zwraca
sycznej definicji prawdopodo- wtórzeniami i bez powtórzeł w zada- rozwiązuje zadania z rachunku prawdopo- uwag na: opis przestrzeni zdarzeł ele-
biełstwa niach z zastosowaniem klasycznej defi- dobiełstwa z zastosowaniem elementów mentarnych (moŻliwych wyników do-
nicji prawdopodobiełstwa. kombinatoryki i klasycznej definicji prawdo- Ęwiadczenia losowego), wyznaczanie ich
podobiełstwa (UPP). liczby, opis interesującego zdarzenia,
wyznaczanie liczby zdarzeł elementar-
nych sprzyjających temu zdarzeniu.
9. Elementy statystyki opisowej rednia arytmetyczna, Ęrednia waŻona, UmiejtnoĘci: Interpretuje jakoĘciowo informacje za-
mediana, wariacje i odchylenia standar- odczytuje dane statystyczne z tabel, dia- warte w tabelach, diagramach i wykre-
gramów i wykresów (UP);
dowe. sach oraz ustala i formu"uje proste za-
przedstawia dane empiryczne w postaci ta-
leŻnoĘci midzy nimi; wykorzystuje te
bel, diagramów i wykresów (UP);
informacje w toku badania typowych sy-
przeprowadza analiz iloĘciową przedsta-
tuacji problemowych.
wianych danych (UP);
oblicza Ęrednie danych liczbowych oraz
odchylenia od nich (UP).
47
Wyszukiwarka
Podobne podstrony:
Plan wynikowy technologia informacyjnaBlizej historii plan wynikowy 11703Plan wynikowy Zagro enia w Ťrodowisku pracyPLAN WYNIKOWY WRZESIEŃ 2010plan wynikowy WF gimnazjumBiologia 1ZR plan wynikowymatematyka ZP UPlan Wynikowy Geografii Społeczno Ekonomicznej poziom podstawowyPlan wynikowy z p naprawa podwoziProject 1 plan wynikowyKalendarz 10 Matematyka ZPBiologia 3ZR plan wynikowyplan wynikowy lzk 4 6więcej podobnych podstron