8. Szczegó"owy opis realizacji programu (zakres podstawowy)
8
.
S
z
c
z
e
g
ó
"
o
w
y
o
p
i
s
r
e
a
l
i
z
a
c
j
i
p
r
o
g
r
a
m
u
(
z
a
k
r
e
s
p
o
d
s
t
a
w
o
w
y
)
Klasa I
K
l
a
s
a
I
ALGEBRA
I. Elementy logiki matematycznej
I
.
E
l
e
m
e
n
t
y
l
o
g
i
k
i
m
a
t
e
m
a
t
y
c
z
n
e
j
Cele kszta"cenia i osiągni�cia ucznia Procedury osiągania celów
Has"o Realizowane treĘci
UCZEĄ: NAUCZYCIEL:
1. Zdania Poj�cie zdania w logice, wartoĘciowanie WiadomoĘci: Wybiera z listy rozmaitych zdał
zdania
zdania, funktory zdaniotwórcze, zdania  podaje przyk"ady zdał
w sensie logicznym logiczne i ocenia ich wartoĘ� logiczną;
z"oŻone, wartoĘciowanie zdał
z"oŻo- i zdał
, które takimi nie są (WP)*. uczeł
poznaje zdania z"oŻone (koniunk-
nych. Umiej�tnoĘci: cj�, alternatyw�, implikacj�, równowaŻ-
 ocenia wartoĘ� logiczną tych zdał
(UP)**; noĘ�) i dedukuje ich wartoĘciowanie na
 tworzy zdania z"oŻone i je wartoĘciuje (UP). podstawie przyk"adów takich zdał
z"o-
Żonych.
2. Negacja zdania (zaprzecze- Negacje zdania prostego i zdał
z"oŻo- Umiej�tnoĘci: Wyrabia i �wiczy u uczniów umiej�tnoĘ�
nie) nych.  tworzy zaprzeczenia zdał
prostych i zdał
zaprzeczania zdał
, odwo"ując si� do
z"oŻonych (UP). konkretnych przyk"adów takich zdał

i ich zaprzeczeł
.
3. Tautologie (prawa rachunku Podstawowe prawa rachunku zdał
Umiej�tnoĘci: Podaje podstawowe prawa rachunku
zdał
) (prawa de Morgana, prawo podwójnej  sprawdza metodą zero-jedynkową tautolo- zdał
i ich dowody metodą zero-jedyn-
negacji, prawo sprzecznoĘci i wy"ączo- gicznoĘ� wyraŻeł
(UP). kową.
nego Ęrodka, prawo negacji implikacji,
prawo kontrapozycji).
4. Formy zdaniowe proste i z"o- Definicja formy zdaniowej prostej  przy- WiadomoĘci: Podaje definicj� formy zdaniowej i jej
Żone k"ady i formy zdaniowe z"oŻone, dziedzi-  omawia okreĘlenie formy zdaniowej i jej dziedziny oraz przyk"ady; tworzy formy
na formy zdaniowej. dziedziny (WP). zdaniowe z"oŻone.
Umiej�tnoĘci:
 podaje przyk"ady form zdaniowych (UP).
5. Kwantyfikatory, zdania z kwan- Poznanie kwantyfikatorów: ogólnego Umiej�tnoĘci: Zapoznaje uczniów z kwantyfikatorami
tyfikatorami i ich negacja i szczegó"owego; zdania z kwantyfikato-  ocenia wartoĘ� logiczną zdania z kwantyfika- i uŻywaniem ich do zapisu zdał
; oce-
rami i ich negacja. torem oraz uk"ada zaprzeczenia (UPP)***. nia wartoĘ� logiczną zdał
z kwantyfika-
torem oraz tworzy negacje takich zdał
.
* WP  wiadomoĘci podstawowe ** UP  umiej�tnoĘci podstawowe *** UPP  umiej�tnoĘci ponadpodstawowe
20
II. Rachunek zbiorów
I
I
.
R
a
c
h
u
n
e
k
z
b
i
o
r
ó
w
Cele kszta"cenia i osiągni�cia ucznia Procedury osiągania celów
Has"o Realizowane treĘci
UCZEĄ: NAUCZYCIEL:
1. Zbiory i dzia"ania na nich Poj�cie zbioru; przyk"ady zbiorów; rela- WiadomoĘci: Akcentuje, Że poj�cie zbioru, relacja
cja naleŻenia i zawierania; dzia"ania: ilo-  podaje przyk"ady zbiorów (WP). naleŻenia do zbioru, to poj�cia pierwot-
czynu, sumy i róŻnicy zbiorów. Umiej�tnoĘci: ne; uczniowie podają przyk"ady zbio-
 porównuje zbiory (UP); rów, ustalają relacje mi�dzy zbiorami,
 wykonuje dzia"ania na zbiorach (UP). wykonują dzia"ania na podanych zbio-
rach itp.
2. Prawa dzia"ał
na zbiorach Poznanie praw rachunku zbioru: prawa Umiej�tnoĘci: Podaje prawa rachunku zbiorów; ucz-
przemiennoĘci koniunkcji i alternatywy,  sprawdza s"usznoĘ� podanych praw dzia- niowie sprawdzają je na diagramach
prawa "ącznoĘci koniunkcji i alternaty- "ał
na zbiorach (UPP) (przynajmniej na tzw. Venne a, (w miar� moŻliwoĘci) odwo"u-
wy, prawa rozdzielnoĘci alternatywy diagramach Venne a (UP)). jąc si� do odpowiednich praw rachunku
wzgl�dem koniunkcji i koniunkcji wzgl�- zdał
.
dem alternatywy; prawa de Morgana.
III. Rachunek algebraiczny
I
I
I
.
R
a
c
h
u
n
e
k
a
l
g
e
b
r
a
i
c
z
n
y
Cele kszta"cenia i osiągni�cia ucznia Procedury osiągania celów
Has"o Realizowane treĘci
UCZEĄ: NAUCZYCIEL:
1. �wiczenia w dzia"aniach na Dzia"ania "ączne na u"amkach w oblicza- Umiej�tnoĘci: Wykonuje wiele �wiczeł
w dzia"aniach
u"amkach niu wartoĘci wyraŻeł
; rozwiązywanie  �wiczy sprawnoĘ� rachunkową w dzia"aniach na u"amkach; rozwiązuje zadania tek-
równał
o wspó"czynnikach u"amko- na u"amkach (UP). stowe.
wych; rozwiązywanie zadał
teksto-
wych.
2. Obliczenia procentowe Obliczanie procentu danej liczby; wy- WiadomoĘci: Przypomina poj�cie procentu; zamienia
znaczanie liczby, gdy dany jest jej pro-  utrwala poj�cie procentu (WP). u"amki na procenty i odwrotnie; wyko-
cent; obliczanie, jakim procentem danej Umiej�tnoĘci: nuje obliczenia procentowe w zada-
liczby jest inna liczba.  stosuje obliczenia procentowe w zadaniach niach nawiązujących do Życia codzien-
z Życia codziennego (oprocentowania kre- nego.
dytu, oszcz�dnoĘci, obniŻki i podwyŻki cen
itp.) (UP).
21
3. Pot�gowanie i pierwiastkowa- Przypomnienie poj�cia pot�gi o wyk"ad- WiadomoĘci: Podaje definicj� pot�gi o wyk"adniku na-
nie liczb rzeczywistych niku ca"kowitym oraz pierwiastka aryt-  definiuje pot�g� liczby rzeczywistej o wy- turalnym i ca"kowitym oraz w"asnoĘci
metycznego z liczby nieujemnej, a takŻe k"adniku naturalnym i ca"kowitym (WP); dzia"ał
na pot�gach (z dowodem niektó-
w"asnoĘci dzia"ał
na pot�gach i na pier-  definiuje pierwiastek arytmetyczny (WP). rych z nich), a takŻe definicj� pierwiastka
wiastkach. Umiej�tnoĘci: i w"asnoĘci dzia"ał
na pierwiastkach.
 omawia w"asnoĘci dzia"ał
na pot�gach
i pierwiastkach (UP).
4. �wiczenia w dzia"aniach na �wiczenia i przyk"ady na obliczanie po- Umiej�tnoĘci: Przypomina definicje pot�gi o wyk"adni-
pot�gach i pierwiastkach t�gi oraz pierwiastków.  podnosi do pot�gi liczby rzeczywiste (UP); ku naturalnym i ca"kowitym, pierwiastka
 wyciąga pierwiastki z liczb rzeczywistych arytmetycznego z liczby nieujemnej,
(UP). w"asnoĘci dzia"ał
na pot�gach i pier-
wiastkach, przekszta"canie wyraŻeł

z pot�gami i pierwiastkami.
5. Wzory skróconego mnoŻenia, Wzory skróconego mnoŻenia typu: Umiej�tnoĘci: Przypomina wzory skróconego mnoŻe-
przekszta"canie wyraŻeł
alge- (a ! b)n,  stosuje wzory do wykonywania obliczeł
nia: (a ! b)2 i a2 - b2 (znane uczniom
braicznych dla n= 2, 3; an  bn, i przekszta"ceł
wyraŻeł
algebraicznych z lekcji matematyki w gimnazjum); roz-
dla n= 2, 3; a3 + b3 oraz przyk"ady ich (UP). szerza znajomoĘ� wzorów skróconego
zastosował
do uproszczonych rachun- mnoŻenia o wzory: (a ! b)3, a3 ! b3
ków i przekszta"ceł
wyrazów algebra- (stara si� stosowa� te wzory do takich
icznych. przyk"adów dzia"ał
na liczbach i wyra-
Żeniach, aby poznane wzory rzeczywi-
Ęcie upraszcza"y rachunki).
IV. Zbiór liczb rzeczywistych
I
V
.
Z
b
i
ó
r
l
i
c
z
b
r
z
e
c
z
y
w
i
s
t
y
c
h
Cele kszta"cenia i osiągni�cia ucznia Procedury osiągania celów
Has"o Realizowane treĘci
UCZEĄ: NAUCZYCIEL:
1. Liczby naturalne i ca"kowite W"asnoĘci zbioru liczb naturalnych WiadomoĘci: Nawiązuje do wiedzy z gimnazjum,
i zbioru liczb ca"kowitych, o podzielno-  wyjaĘnia poj�cie liczby naturalnej i liczby a nast�pnie poszerza ją o nowe wiado-
Ęci w zbiorze liczb ca"kowitych. ca"kowitej (WP); moĘci.
 omawia podstawowe wiadomoĘci z teorii po-
dzielnoĘci w zbiorze liczb ca"kowitych (WP).
2. Zbiór liczb wymiernych Poj�cie liczby wymiernej, dzia"ania na licz- WiadomoĘci: Wybiera spoĘród róŻnych liczb te, które
bach wymiernych, równoĘ� liczb wymier-  wskazuje liczby wymierne (WP). są wymierne; konstruuje niektóre liczby
nych, liczby wymierne na osi liczbowej. Umiej�tnoĘci: wymierne (z zastosowaniem twierdze-
 porównuje liczby wymierne (UP); nia Talesa) i zaznacza na osi  �wiczenia
22
 zaznacza na osi liczbowej liczby wymierne sprawnoĘci rachunkowej na liczbach
(UP); wymiernych.
 wykonuje dzia"ania na liczbach wymier-
nych (UP).
3. Zbiór liczb niewymiernych Poj�cie liczby niewymiernej, wykonywa- WiadomoĘci: Wybiera, poprzez róŻne �wiczenia, licz-
nie dzia"ał
na liczbach niewymiernych,  okreĘla liczb� niewymierną (WP). by niewymierne spoĘród podanych
konstruowanie niektórych liczb niewy- Umiej�tnoĘci: liczb; dowodzi niewymiernoĘci :2, :3,
miernych i zaznaczanie ich na osi licz-  wskazuje liczb� niewymierną wĘród poda- :5 oraz podaje ich konstrukcj� (z zasto-
bowej, usuwanie niewymiernoĘci z mia- nych liczb (UP); sowaniem twierdzenia Pitagorasa); usu-
nownika u"amka.  wykazuje niewymiernoĘ� niektórych liczb wa niewymiernoĘ� z mianowników
(np. :2, :3) (UPP); u"amków (akcentując tutaj zastosowa-
 usuwa niewymiernoĘ� z mianownika u"am- nie poznanych wzorów skróconego
ka (UP); mnoŻenia).
 zaznacza liczb� niewymierną na osi liczbo-
wej (UP).
4. Rozwini�cia dziesi�tne liczb Rozwini�cia dziesi�tne liczb wymier- Umiej�tnoĘci: Podaje (bez dowodu) twierdzenie o roz-
rzeczywistych nych i niewymiernych.  zamienia u"amek dziesi�tny skoł
czony lub wini�ciach dziesi�tnych liczb rzeczywi-
nieskoł
czony okresowy na u"amek zwyk"y stych; �wiczy przedstawianie liczby wy-
(UP); miernej w postaci u"amków dziesi�t-
 podaje przybliŻone rozwini�cie dziesi�tne nych, zamienia u"amki dziesi�tne na
liczb niewymiernych (UP). u"amki zwyk"e itp.
5. Uporządkowanie zbioru liczb Porównywanie liczb rzeczywistych, w"a- Umiej�tnoĘci: Podaje w"asnoĘci relacji równoĘci i rela-
rzeczywistych snoĘci równoĘci i nierównoĘci w zbiorze  porównuje dwie liczby rzeczywiste, liczb� cji nierównoĘci w zbiorze liczb rzeczywi-
liczb rzeczywistych. wymierną z liczbą niewymierną, dwie liczby stych.
niewymierne (UP).
6. WartoĘ� bezwzgl�dna (mo- Definicja wartoĘci bezwzgl�dnej, wnio- WiadomoĘci: Podaje definicj� wartoĘci bezwzgl�dnej
du") liczby rzeczywistej ski wynikające z definicji, podstawowe  pos"uguje si� wartoĘcią bezwzgl�dną (WP). liczby rzeczywistej, wyznacza wartoĘ�
w"asnoĘci wartoĘci bezwzgl�dnej i jej in- Umiej�tnoĘci: bezwzgl�dną danych liczb, interpretuje
terpretacja geometryczna, proste rów-  omawia jej w"asnoĘci i interpretacj� geome- wartoĘ� bezwzgl�dną na osi liczbowej
nania i nierównoĘci z wartoĘcią bez- tryczną (UP); oraz rozwiązuje równania i nierównoĘci
wzgl�dną.  stosuje ją do rozwiązywania równał
typu z wartoĘcią bezwzgl�dną.
| ax + b | = c i nierównoĘci typu
| ax + b | < (#) c,
| ax + b | > ($) c (UPP).
23
7. OĘ liczbowa, przedzia"y licz- Przypomnienie wiadomoĘci o osi liczbo- Umiej�tnoĘci: Pos"uguje si� osią liczbową, podaje
bowe i dzia"ania na nich wej (znanych uczniom z gimnazjum),  pos"uguje si� osią liczbową (UP); opis przedzia"ów i wykonuje na nich
okreĘlenie przedzia"ów liczbowych  zaznacza na osi liczby i przedzia"y liczbowe dzia"ania: koniunkcji, alternatywy, róŻni-
ograniczonych i nieograniczonych, dzia- oraz wyniki dzia"ał
mnogoĘciowych (UP). cy i dope"nienie przedzia"ów do ca"ej osi
"ania na przedzia"ach. (jako przestrzeni)  nawiązuje przy tym
do wiedzy ucznia z nauki matematyki
w gimnazjum.
8. B"ąd przybliŻenia, szacowanie Poj�cie b"�du przybliŻenia liczb, b"ąd Umiej�tnoĘci: Podaje definicj� b"�du przybliŻenia, b"�-
wartoĘci liczbowych bezwzgl�dny i wzgl�dny, regu"a zaokrą-  przeprowadza obliczenia, pos"ugując si� du bezwzgl�dnego i b"�du wzgl�dnego;
glania przybliŻeł
. przybliŻeniami liczb (zarówno wymiernych, omawia regu"y zaokrąglania; szacowa-
jak i niewymiernych) (UP). nie wartoĘci liczbowych.
V. Funkcje
V
.
F
u
n
k
c
j
e
Cele kszta"cenia i osiągni�cia ucznia Procedury osiągania celów
Has"o Realizowane treĘci
UCZEĄ: NAUCZYCIEL:
1. Poj�cie funkcji, funkcja liczbo- Definicja funkcji jako odwzorowania WiadomoĘci: Akcentuje, które odwzorowanie zbioru
wa i jej wykres zbioru w zbiór, argument funkcji, dzie-  utrwala poj�cie funkcji (WP). w zbiór jest funkcją; uŻywa kwantyfika-
dzina funkcji, wartoĘ� funkcji w punkcie, Umiej�tnoĘci: torów do zdefiniowania funkcji; rozpa-
wykres funkcji jako zbiór par.  wskazuje, które z odwzorował
zbioru truje róŻne przyk"ady funkcji, w tym
w zbiór jest funkcją, a które nie (UP); funkcji liczbowych; uczy ucznia j�zyka
 podaje podstawowe terminy związane związanego z poj�ciem funkcji.
z funkcją (UP).
2. Sposoby okreĘlania funkcji OkreĘlanie na róŻne sposoby funkcji: WiadomoĘci: OkreĘla funkcje róŻnymi sposobami
i ich zastosowanie do opisu opis s"owny, graf, tabelka, wzór jawny,  poznaje róŻne sposoby okreĘlania funkcji oraz opisuje nimi róŻne zaleŻnoĘci
zaleŻnoĘci w przyrodzie, go- wykres. (WP). w przyrodzie, gospodarce i Życiu co-
spodarce i Życiu codziennym Umiej�tnoĘci: dziennym.
 opisuje za pomocą funkcji zaleŻnoĘci wyst�pują-
ce w róŻnych dziedzinach Życia.
3. Dziedzina funkcji, zbiór warto- Wyznaczanie dziedziny i zbioru wartoĘci WiadomoĘci: Wyznacza dziedzin� i zbiór wartoĘci
Ęci podanych przyk"adów funkcji, w tym  podaje dziedzin� i zbiór wartoĘci funkcji, funkcji (dobiera takie przyk"ady funkcji
przede wszystkim funkcji liczbowych. mając ją okreĘloną na róŻny sposób (WP). liczbowych, aby mie� okazj� wykorzy-
sta� zdobyte wczeĘniej wiadomoĘci, np.
24
o wartoĘci bezwzgl�dnej, o pierwiast-
kach); akcentuje przy tym, Że wyznacza-
nie dziedziny funkcji liczbowych okreĘlo-
nych wzorem wiąŻe si� z wykonalnoĘcią
dzia"ał
w zbiorze liczb rzeczywistych.
4. Miejsce zerowe funkcji, war- Znajdowanie miejsc zerowych, punktów Umiej�tnoĘci: Wyznacza miejsca zerowe funkcji oraz
toĘ� funkcji w danym punkcie, sta"ych funkcji okreĘlonych na róŻne  wyznacza waŻne dla funkcji punkty (UP); jej wartoĘ� w punktach (�wiczy przy tym
punkt sta"y sposoby.  oblicza wartoĘ� funkcji w danym punkcie sprawnoĘ� rachunkową uczniów
(UP); w dzia"aniach na liczbach rzeczywi-
 wyznacza liczb�, dla której funkcja przyj- stych).
muje okreĘloną wartoĘ� (UP).
5. WartoĘ� najmniejsza i naj- OkreĘlanie najwi�kszej i najmniejszej Umiej�tnoĘci: Akcentuje, Że funkcja w danym prze-
wi�ksza funkcji w przedziale wartoĘci funkcji; wyznaczanie ich (o ile  podaje wartoĘ� najmniejszą i najwi�kszą dziale moŻe mie� obie te wartoĘci, jed-
istnieją) dla funkcji okreĘlonych w da- funkcji okreĘlonej w przedziale, na przyk"ad ną z nich albo nie osiąga� Żadnej.
nym przedziale, pos"ugując si� jej wzo- pos"ugując si� wykresem albo wzorem
rem lub wykresem. funkcji (stosując w"asnoĘci nierównoĘci
w zbiorze liczb rzeczywistych) (UPP).
6. Ogólne w"asnoĘci funkcji licz- RóŻnowartoĘciowoĘ�, monotonicznoĘ�, Umiej�tnoĘci: Podaje definicje: róŻnowartoĘci, mono-
bowych okresowoĘ�, parzystoĘ� i nieparzy-  okreĘla, czy dana funkcja (okreĘlona gra- tonicznoĘci, okresowoĘci, parzystoĘci
stoĘ�. ficznie albo wzorem jawnym) odpowiada i nieparzystoĘci, a nast�pnie rozwaŻa
wymienionym w"asnoĘciom (UPP). przyk"ady funkcji mających te w"asnoĘci.
7. Przekszta"cenia wykresu funk- Przesuni�cie równoleg"e wykresu funk- WiadomoĘci: Omawia wymienione przekszta"cenia wy-
cji cji, odbicia wykresu funkcji wzgl�dem  przekszta"ca wykres danej funkcji (WP). kresu funkcji oraz stosuje je do sporzą-
osi uk"adu wspó"rz�dnych. Umiej�tnoĘci: dzania wykresów funkcji.
 stosuje przekszta"cenia do sporządzania
wykresów funkcji:
y = f (x  p) + q, y = | f (x) |,
y = f (| x |),y = | f (| x |) |(UP),
mając wykres funkcji y = f (x) (UPP).
8. Sporządzanie wykresów funk- Sporządzanie wykresów rozmaitych funk- Umiej�tnoĘci: Akcentuje w"asnoĘ� wykresu funkcji pa-
cji, odczytywanie w"asnoĘci cji elementarnych okreĘlonych wzorem,  sporządza wykresy funkcji i odczytuje rzystej, nieparzystej, okresowej.
funkcji z wykresu odczytywanie z wykresu danej funkcji jak z nich w"asnoĘci tych funkcji (UP).
najwi�cej istotnych w"asnoĘci tej funkcji.
25
VI. Funkcja liniowa
V
I
.
F
u
n
k
c
j
a
l
i
n
i
o
w
a
Cele kszta"cenia i osiągni�cia ucznia Procedury osiągania celów
Has"o Realizowane treĘci
UCZEĄ: NAUCZYCIEL:
1. W"asnoĘci funkcji liniowej i jej Definicja funkcji liniowej, dziedzina WiadomoĘci: Nawiązuje do wiedzy ucznia o funkcji li-
wykres i zbiór wartoĘci funkcji liniowej, monoto-  definiuje funkcj� liniową i rozpoznaje ją na niowej z lekcji matematyki w gimna-
nicznoĘ� funkcji liniowej, miejsca zero- podstawie wzoru (WP); zjum; akcentuje związek monotoniczno-
we i wykres funkcji liniowej.  podaje przyk"ad funkcji liniowej rosnącej, Ęci funkcji z jej wspó"czynnikiem kierun-
malejącej i sta"ej (WP). kowym; stosuje róŻnorodne �wiczenia
Umiej�tnoĘci: utrwalające wiedz� o funkcji liniowej.
 wykonuje wykres funkcji liniowej (UP);
 podaje miejsce zerowe funkcji liniowej (UP);
 okreĘla monotoniczoĘ� funkcji liniowej (UP);
 zapisuje wzór funkcji liniowej na podstawie
okreĘlonych danych (UP).
2. Równania i nierównoĘci linio- Poj�cie równania liniowego i nierówno- WiadomoĘci: Podaje definicj� równania i nierównoĘci
we z jedną niewiadomą Ęci liniowej z jedną niewiadomą; równa-  podaje przyk"ady równał
i nierównoĘci li- liniowej z jedną niewiadomą; rozwiązuje
nia równowaŻne, nierównoĘci równo- niowych z jedną niewiadomą (WP). równania i nierównoĘci liniowe metodą
waŻne. Umiej�tnoĘci: równał
i nierównoĘci równowaŻnych.
 rozwiązuje liniowe równania i nierównoĘci
z jedną niewiadomą (UP).
3. Zadania prowadzące do rów- Zadania tekstowe rozwiązywane za po- Umiej�tnoĘci: Rozwiązuje zadania z róŻnych dziedzin
nał
i nierównoĘci liniowych mocą równał
i nierównoĘci liniowych  uk"ada równanie lub nierównoĘ� na pod- prowadzące do równał
i nierównoĘci li-
z jedną niewiadomą z jedną niewiadomą. stawie analizy tekstu zadania i je rozwiązuje niowych z jedną niewiadomą.
(UPP).
4. Równania liniowe i nierów- Poj�cie równania liniowego z dwiema WiadomoĘci: Sporządza wykresy równał
liniowych
noĘ� liniowa z dwiema nie- niewiadomymi i jego wykres; nierówno-  rozpoznaje równanie i nierównoĘ� liniową z dwiema niewiadomymi oraz podaje ilu-
wiadomymi Ęci liniowej z dwiema niewiadomymi i jej z dwiema niewiadomymi (WP). stracje geometryczne nierównoĘci linio-
interpretacja geometryczna. Umiej�tnoĘci: wych z dwiema niewiadomymi.
 interpretuje geometrycznie równania i nie-
równoĘci liniowe z dwiema niewiadomymi
(UPP).
5. Uk"ad dwóch równał
liniowych Metody rozwiązywania uk"adów dwóch Umiej�tnoĘci: Podaje klasyfikacj� uk"adów dwóch
z dwiema niewiadomymi: za- równał
liniowych z dwiema niewiadomy-  rozwiązuje uk"ad dwóch równał
liniowych równał
liniowych z dwiema niewiado-
mi (podstawiania, przeciwnych wspó"- z dwiema niewiadomymi kaŻdą z trzech po- mymi oraz ich interpretacje geome-
leŻny, niezaleŻny, sprzeczny
czynników, graficzna) oraz klasyfikacja danych metod (UP);
26
uk"adów dwóch równał
liniowych  okreĘla, jakiego typu jest to uk"ad równał
tryczne, rozwiązuje te uk"ady trzema
z dwiema niewiadomymi. (UP). sposobami.
6. Zadania prowadzące do uk"a- Zadania tekstowe z róŻnych dziedzin Umiej�tnoĘci: Rozwiązuje jak najwi�cej zadał
teksto-
dów dwóch równał
liniowych prowadzące do uk"adów dwóch równał
 rozwiązuje zadania tekstowe z róŻnych wych.
z dwiema niewiadomymi liniowych z dwiema niewiadomymi. dziedzin, tworząc uk"ady równał
liniowych
z dwiema niewiadomymi (UPP).
7. Uk"ad nierównoĘci liniowych Geometryczna ilustracja uk"adu dwóch Umiej�tnoĘci: Analizuje jak najwi�cej uk"adów nierów-
z dwiema niewiadomymi i wi�cej nierównoĘci liniowych z dwiema  ilustruje geometrycznie uk"ad nierównoĘci noĘci liniowych z dwiema niewiadomy-
niewiadomymi. liniowych z dwiema niewiadomymi (UPP). mi.
GEOMETRIA
Cele kszta"cenia i osiągni�cia ucznia Procedury osiągania celów
Has"o Realizowane treĘci
UCZEĄ: NAUCZYCIEL:
1. Odleg"oĘ� dwóch punktów Odleg"oĘ� dwóch punktów jako d"ugoĘ� WiadomoĘci: Omawia poj�cie odleg"oĘci w zbiorze,
odcinka, wzór analityczny na odleg"oĘ�  okreĘla odleg"oĘ� dwóch punktów na pro- nast�pnie odleg"oĘ� dwóch punktów;
dwóch punktów, warunek wspó"liniowo- stej (WP). wyprowadza wzór analityczny na odle-
Ęci i niewspó"liniowoĘci trzech punktów. Umiej�tnoĘci: g"oĘ� pary punktów (w metryce pitago-
 oblicza odleg"oĘ� dwóch punktów na pro- rejskiej); omawia takŻe warunki wspó"li-
stej ze wzoru analitycznego (UP); niowoĘci i niewspó"liniowoĘci trzech
 sprawdza wspó"liniowoĘ� i niewspó"linio- punktów.
woĘ� trzech punktów (UPP).
2. Odleg"oĘ� punktu od prostej OkreĘlenie odleg"oĘci punktu od zbioru WiadomoĘci: OkreĘla odleg"oĘ� punktu od zbioru i od
(intuicyjnie), poj�cie odleg"oĘci punktu  okreĘla odleg"oĘ� punktu od prostej (WP). prostej; rozwiązuje zadania z odleg"o-
od prostej. Umiej�tnoĘci: Ęcią punktu od prostej.
 oblicza odleg"o� punktu od prostej na
p"aszczyęnie kartezjał
skiej (UP).
3. Okrąg i ko"o Definicja okr�gu i ko"a, poj�cia związa- WiadomoĘci: Definiuje okrąg i ko"o, wyprowadza rów-
ne z okr�giem i ko"em (promieł
, Ęredni-  definiuje ko"o i okrąg, mając równanie okr�- nanie (nierównoĘ�) okr�gu (ko"a) w po-
ca, ci�ciwa); równanie okr�gu, nierów- gu (nierównoĘ� ko"a) (WP). staci kanonicznej, z której "atwo odczyta�
noĘ� ko"a. Umiej�tnoĘci: wspó"rz�dne Ęrodka i promieł
.
 wyznacza Ęrodek okr�gu (ko"a) i promieł

(UP).
27
4. Wzajemne po"oŻenie okr�gu Warunki konieczne i wystarczające na Umiej�tnoĘci: Bada wzajemne po"oŻenie okr�gu i pro-
i prostej kaŻde z trzech po"oŻeł
wzajemnych  rozstrzyga, kiedy okrąg i prosta mają dwa stej oraz okreĘla warunki konieczne
okr�gu i prostej, twierdzenie o stycznej punkty wspólne, jeden punkt wspólny lub i wystarczające (szczególnie duŻo cza-
do okr�gu i promieniu poprowadzonym są roz"ączne (takŻe korzystając ze wzorów su poĘwi�ca na styczną do okr�gu).
do punktu stycznoĘci. analitycznych) (UP).
5. Wzajemne po"oŻenie dwóch Warunki konieczne i wystarczające na Umiej�tnoĘci: Bada wzajemne po"oŻenie dwóch okr�-
okr�gów kaŻde z po"oŻeł
dwóch okr�gów wzgl�-  rozstrzyga, kiedy dwa okr�gi są do siebie gów oraz okreĘla warunki konieczne
dem siebie. styczne, kiedy si� przecinają, a kiedy są i wystarczające (korzystamy takŻe ze
roz"ączne (UPP). wzorów analitycznych).
6. Kąty w kole Kąty wpisane w ko"o i kąty Ęrodkowe WiadomoĘci: Dowodzi zaleŻnoĘci mi�dzy kątem Ęrod-
w kole oraz zaleŻnoĘ� mi�dzy nimi.  omawia twierdzenia o kątach wpisanych kowym i kątem wpisanym opartym na
w ko"o i kątach Ęrodkowych (WP). tym samym "uku okr�gu oraz wyciąga
wnioski z otrzymanych zaleŻnoĘci (inne
twierdzenia o kątach w kole).
7. Trójkąt i jego punkty szcze- Twierdzenie o przecinaniu si� w kaŻdym WiadomoĘci: Charakteryzuje jako miejsca geome-
gólne trójkącie: dwusiecznych kątów, syme-  zna twierdzenie o istnieniu wymienionych tryczne punktów dwusieczną kąta, sy-
tralnych boków, wysokoĘci. szczególnych punktów trójkąta (WP); metralną odcinka, a nast�pnie za pomo-
 wykazuje twierdzenie o istnieniu wymienio- cą tej metody dowodzi twierdzenia
nych szczególnych punktów trójkąta meto- o przecinaniu si� dwusiecznych kątów,
dą miejsc geometrycznych (WPP)*. symetralnych boków trójkąta itp.
Umiej�tnoĘci:
 wpisuje w trójkąt okrąg i opisuje na trójką-
cie okrąg (UP).
8. Twierdzenie Talesa i doł
od- Sformu"owanie twierdzenia Talesa WiadomoĘci: Zaczyna od najprostszej konfiguracji: ra-
wrotne i twierdzenia doł
odwrotnego oraz do-  formu"uje twierdzenie Talesa i doł
odwrot- miona kąta przeci�te dwiema równoleg"y-
wód (z zastosowaniem wzoru na pole ne (WP). mi. Nast�pnie rozwaŻa dwie proste przeci-
trójkąta), wnioski z twierdzenia Talesa Umiej�tnoĘci: nające si� i równoleg"e przecinające je po
(równowaŻne proporcje).  zapisuje róŻne równowaŻne proporcje jednej stronie punktu przecinania si� tych
(UP). dwóch prostych oraz  po róŻnych stronach
punktu przecinania si� tych dwóch pro-
stych; zapisuje róŻne proporcje odcinków.
9. Zastosowania twierdzenia Ta- Zadania rachunkowe (np. związane Umiej�tnoĘci: Rozwiązuje moŻliwie jak najwi�cej za-
lesa z cieniem drzewa), zastosowanie w geo-  stosuje twierdzenie Talesa przede wszyst- dał
nie tylko rachunkowych, ale teŻ na
metrii (twierdzenie o dwusiecznej kąta kim do zadał
z Życia codziennego, zadał
dowodzenie i konstrukcyjnych.
w trójkącie, twierdzenie o Ęrodkowych). z trójkątami (UP).
* WPP  wiadomoĘci ponadpodstawowe
28
10. Czworokąt wpisany w okrąg Twierdzenie o czworokącie wpisanym WiadomoĘci: Pyta uczniów, czy kaŻdy trójkąt moŻna
w okrąg i doł
odwrotne (równoĘ� sum  okreĘla jedną (podstawową) charakteryza- wpisa� w okrąg. Nast�pnie przechodzi
przeciwleg"ych kątów czworokąta). cj� wpisywalnoĘci czworokąta w okrąg do omawiania czworokątów, stawiając
(WP). to samo pytanie; formu"uje warunek ko-
Umiej�tnoĘci: nieczny i wystarczający (warto nie rezy-
 rozstrzyga, czy dany czworokąt moŻna wpi- gnowa� z dowodzenia tego twierdze-
sa� w dany okrąg, czy nie (UP). nia).
11. Czworokąt opisany na okr�gu Twierdzenie o czworokącie, w który WiadomoĘci: Pyta uczniów, czy w kaŻdy trójkąt moŻ-
moŻna wpisa� okrąg (równoĘ� sum d"u-  okreĘla charakteryzacj� wpisywalnoĘci okr�- na wpisa� okrąg. Nast�pnie bada,
goĘci przeciwleg"ych boków). gu w czworokąt (WP). w który czworokąt moŻna wpisa� okrąg.
Umiej�tnoĘci: Formu"uje twierdzenie i twierdzenie doł

 sprawdza, czy w dany czworokąt moŻna odwrotne oraz próbuje przeprowadzi�
wpisa� okrąg (UP). dowód.
12. Rodzaje czworokątów Klasyfikacja czworokątów i charaktery- WiadomoĘci: Dokonuje klasyfikacji czworokątów i po-
zacje niektórych z nich (równoleg"oboki,  okreĘla w"asnoĘci czworokątów (WP). daje charakteryzacje niektórych z nich,
trapezy równoramienne). na przyk"ad trapezów równoramien-
nych, równoleg"oboków (warto podją�
próby ich dowodów).
FUNKCJE TRYGONOMETRYCZNE
Cele kszta"cenia i osiągni�cia ucznia Procedury osiągania celów
Has"o Realizowane treĘci
UCZEĄ: NAUCZYCIEL:
WiadomoĘci:
1. Funkcje trygonometryczne ką- Definicje funkcji trygonometrycznych OkreĘla funkcje trygonometryczne kąta
 okreĘla sinus, cosinus, tangens i cotangens
ta ostrego w trójkącie prosto- kąta ostrego w trójkącie prostokątnym, w trójkącie prostokątnym i wykorzystu-
kątnym wartoĘci tych funkcji dla kątów 30o, 45o kąta w trójkącie prostokątnym (WP); je do wyznaczania wartoĘci tych funkcji
 ustala związki mi�dzy funkcjami tego sa-
i 60o, podstawowe toŻsamoĘci i wzory dla kątów 30o, 45o i 60o oraz ustalenia
mego kąta (WP).
redukcyjne. związków mi�dzy funkcjami tego same-
Umiej�tnoĘci:
go kąta.
 oblicza wartoĘci funkcji trygonometrycz-
nych dla kątów 30o, 45o i 60o (UP).
Umiej�tnoĘci:
2. Poj�cie kąta i jego uogólnienie Kąt jako miara obrotu. Omawia poj�cie miary kąta i jego uogól-
 utoŻsamia kąt dowolnej miary stopniowej
nienie (nawiązuje do twierdzenia o dzie-
z kątem o mierze stopniowej z przedzia"u
leniu z resztą  dowolne liczby stopnia
(0o, 360o) (UP).
dzieli nie tylko przez 360o, ale teŻ przez
180o i 90o).
29
3. Funkcje trygonometryczne do- Wspó"rz�dne punktów na koł
cowym WiadomoĘci: Wprowadza definicje funkcji trygonome-
wolnego kąta ramieniu kąta, okreĘlenia funkcji trygo-  okreĘla funkcje trygonometryczne dowol- trycznych dowolnego kąta i wyznacza
nometrycznych dowolnego kąta. nego kąta (WP). wartoĘci tych funkcji dla kątów:
Umiej�tnoĘci: 0o, 90o, 180o, 270o, 360o.
 stosuje funkcje trygonometryczne do wyzna-
czenia wartoĘci funkcji dla ca"kowitych wielo-
krotnoĘci kąta prostego (UP).
4. Miara "ukowa kąta OkreĘlenie miary "ukowej kąta, zamiana WiadomoĘci: Wprowadza poj�cie miary "ukowej kąta,
miary kąta w stopniach na miar� "ukową  omawia poj�cie miary "ukowej kąta (WP). radiany oraz wykonuje duŻo �wiczeł
po-
i odwrotnie. Umiej�tnoĘci: legających na zamianie miary stopniowej
 zamienia miar� "ukową na miar� kątową kąta na "ukową i odwrotnie.
oraz odwrotnie (UP).
5. Funkcje trygonometryczne zmie- Przeformu"owanie definicji funkcji trygo- WiadomoĘci: Definiuje funkcje trygonometryczne
nnej rzeczywistej nometrycznych dowolnego kąta na defi-  okreĘla funkcje trygonometryczne kąta jako zmiennej rzeczywistej oraz wykonuje
nicje funkcji trygonometrycznych do- funkcje zmiennej rzeczywistej (WP). duŻo �wiczeł
.
wolnej zmiennej rzeczywistej. Umiej�tnoĘci:
 oblicza wartoĘci funkcji dla kątów o mierze
radianowej (UP).
6. W"asnoĘci funkcji trygonome- Znaki funkcji trygonometrycznych w po- Umiej�tnoĘci: OkreĘla w"asnoĘci funkcji trygonome-
trycznych zmiennej rzeczywi- szczególnych �wiartkach uk"adu XOY,  okreĘla w"asnoĘci funkcji trygonometrycz- trycznych zmiennej rzeczywistej, odwo-
stej parzystoĘ� i nieparzystoĘ� funkcji trygo- nych jako funkcji zmiennej rzeczywistej "ując si� do w"asnoĘci funkcji trygono-
nometrycznych, okresowoĘ� funkcji try- (UP). metrycznych kąta.
gonometrycznych.
7. Wzory redukcyjne Wprowadzamy wzory redukcyjne, do- WiadomoĘci: Wyprowadza wzory redukcyjne i wyko-
wodząc niektórych i dedukując pozosta-  wyprowadza wzory redukcyjne (WP). nuje z nimi jak najwi�cej �wiczeł
.
"e jako wniosek. Umiej�tnoĘci:
 stosuje wzory redukcyjne do przekszta"ca-
nia wyraŻeł
trygonometrycznych (UP).
8. Związki mi�dzy funkcjami try- Tak zwane jedynki trygonometryczne WiadomoĘci: Wyprowadza związki mi�dzy funkcjami
gonometrycznymi tego same- i zaleŻnoĘci mi�dzy tangensem, sinu-  okreĘla związki mi�dzy funkcjami trygono- trygonometrycznymi tego samego ar-
go argumentu sem i cotangensem. metrycznymi tego samego argumentu (WP). gumentu rzeczywistego oraz stosuje je
Umiej�tnoĘci: do dowodzenia prostych toŻsamoĘci
 stosuje związki mi�dzy funkcjami trygono- trygonometrycznych.
metrycznymi w dowodzeniu prostych toŻ-
samoĘci trygonometrycznych (UP).
30
9. Wykresy funkcji trygonome- Wykresy funkcji trygonometrycznych WiadomoĘci: Sporządza wykresy funkcji trygonome-
trycznych i odczytywanie w"asnoĘci tych funkcji  omawia wykresy sinusa, cosinusa, tangen- trycznych, pos"ugując si� ko"em trygo-
z ich wykresów. sa i cotangensa (WPP). nometrycznym oraz niektórymi wzorami
Umiej�tnoĘci: redukcyjnymi, z których odczytuje w"a-
 odczytuje z wykresu w"asnoĘci funkcji try- snoĘci wykresów i metod� ich otrzyma-
gonometrycznych (miejsca zerowe, warto� nia.
najmniejszą i najwi�kszą itp.) (UPP).
10. Proste równania i nierównoĘci Wzory na rozwiązanie równał
trygono- Umiej�tnoĘci: Rozpoczyna od geometrycznej interpre-
trygonometryczne metrycznych elementarnych, rozwiązy-  rozwiązuje proste równania trygonome- tacji równania f (x) = g (x) i nierównoĘci
wanie równał
i nierównoĘci trygonome- tryczne, wykorzystując poznane wzory f (x) > g (x), gdzie f i g są funkcjami
trycznych z wykorzystaniem otrzymanych (UP); zmiennej rzeczywistej, a nast�pnie roz-
wzorów.  pos"uguje si� wykresami funkcji trygono- wiązuje elementarne równania i nierów-
metrycznych w rozwiązywaniu nierównoĘci noĘci trygonometryczne. Przy rozwiązy-
trygonometrycznych (UPP). waniu równał
korzysta ze wzorów na
rozwiązania równał
trygonometrycz-
nych elementarnych, a przy rozwiązy-
waniu nierównoĘci  z wykresów funkcji
trygonometrycznych.
Klasa II
K
l
a
s
a
I
I
ALGEBRA
I. Trójmian kwadratowy
I
.
T
r
ó
j
m
i
a
n
k
w
a
d
r
a
t
o
w
y
Cele kszta"cenia i osiągni�cia ucznia Procedury osiągania celów
Has"o Realizowane treĘci
UCZEĄ: NAUCZYCIEL:
1. Posta� ogólna i posta� kano- Definicja funkcji kwadratowej, dziedzina, WiadomoĘci: Wprowadza definicj� funkcji kwadrato-
niczna trójmianu kwadrato- posta� kanoniczna trójmianu kwadrato-  rozpoznaje na podstawie wzoru funkcj� wej, odczytuje ze wzoru wspó"czynniki
wego wego. kwadratową (WP). funkcji kwadratowej oraz przedstawia
Umiej�tnoĘci: trójmian w postaci kanonicznej.
 przedstawia trójmian kwadratowy w posta-
ci kanonicznej (UP).
2. Wykres funkcji kwadratowej Wykres funkcji kwadratowej f (x) = ax2, Umiej�tnoĘci: Sporządza wykres funkcji y= ax2, (a !0),
f (x) = ax2 + c oraz funkcji  sporządza wykres dowolnej funkcji kwadra- bada jej w"asnoĘci, nast�pnie na podsta-
f (x) = ax2 + bx + c. towej, przedstawiając ją w postaci kano- wie przedstawienia funkcji kwadratowej
nicznej, znajdując w ten sposób wspó"rz�d- w postaci kanonicznej ustala wspó"rz�d-
ne wierzcho"ka paraboli (UP). ne wektora translacji, dzi�ki czemu
otrzyma Żądany wykres.
31
3. Ekstremum funkcji kwadrato- Poj�cie ekstremum funkcji kwadratowej, Umiej�tnoĘci: Wyznacza ekstremum funkcji kwadrato-
wej oraz jej wartoĘ� najmniej- jego związek ze wspó"czynnikiem przy  wyznacza ekstremum funkcji kwadratowej wej, korzystając z jej postaci kanonicznej;
sza i najwi�ksza w przedziale x2 oraz wspó"rz�dnymi wierzcho"ka pa- oraz jej wartoĘ� najmniejszą i najwi�kszą znajduje wartoĘ� najmniejszą i najwi�k-
raboli, wartoĘ� najwi�ksza i najmniejsza w przedziale (UP). szą funkcji kwadratowej w przedziale
funkcji kwadratowej w przedziale. (warto rozwaŻa� przedzia"y nie tylko do-
mkni�te, aby uczeł
uĘwiadomi" sobie, Że
funkcja kwadratowa moŻe nie mie�
w przedziale Żadnej z tych wartoĘci).
4. Zadania prowadzące do eks- Ekstremum funkcji kwadratowej w zada- Umiej�tnoĘci: Rozwiązuje róŻnego typu zadania z za-
tremum funkcji kwadratowej niach z róŻnych dziedzin (algebraiczne,  rozwiązuje rozmaite zadania prowadzące stosowaniem ekstremum funkcji kwa-
geometryczne, o charakterze praktycz- do ekstremum funkcji kwadratowej (UP)*. dratowej.
nym).
5. Miejsca zerowe i znak funkcji Warunki istnienia pierwiastków rzeczy- WiadomoĘci: Pos"ugując si� postacią kanoniczną trój-
kwadratowej wistych trójmianu kwadratowego i wzo-  rozstrzyga, kiedy trójmian kwadratowy ma mianu kwadratowego, bada istnienie
ry na te pierwiastki, przedzia"y, w któ- pierwiastki rzeczywiste (WP). pierwiastków rzeczywistych w zaleŻno-
rych funkcja kwadratowa jest sta"ego Umiej�tnoĘci: Ęci od znaku wyróŻnika oraz wprowa-
znaku.  oblicza pierwiastki rzeczywiste (UP); dza wzory na pierwiastki, bada znak
 wyznacza przedzia"y, w których funkcja funkcji kwadratowej.
kwadratowa jest dodatnia, a w których
ujemna (UP).
6. Wzory ViŁte a Suma i iloczyn pierwiastków trójmianu Umiej�tnoĘci: Wyprowadza wzory ViŁte a oraz stosuje
kwadratowego.  podaje pierwiastki trójmianu kwadratowego je do róŻnych zadał
, na przyk"ad do wy-
na podstawie wzorów ViŁte a (UP); znaczania wartoĘci wyraŻeł
algebraicz-
 okreĘla znaki pierwiastków trójmianu kwa- nych bez obliczania pierwiastków trój-
dratowego (UP). mianu kwadratowego.
7. Równania i nierównoĘci kwa- OkreĘlenie równania kwadratowego Umiej�tnoĘci: Rozwiązuje jak najwi�cej równał
i nierów-
dratowe i nierównoĘci kwadratowej, równania  rozwiązuje równania i nierównoĘci kwadra- noĘci (zupe"nych i niezupe"nych), stosując
i nierównoĘci zupe"ne i niezupe"ne. towe, stosując: wzory na pierwiastki, wzory róŻne metody  przy rozwiązywaniu nie-
Viete a, twierdzenie o znaku funkcji kwadra- równoĘci kwadratowych pos"uguje si� tak-
towej, wykres funkcji kwadratowej (UP). Że wykresami funkcji kwadratowych.
8. Zadania prowadzące do rów- Zadania tekstowe z róŻnych dziedzin, Umiej�tnoĘci: Rozwiązuje zadania tekstowe prowa-
nał
i nierównoĘci kwadrato- zadania z parametrem.  uk"ada równania i nierównoĘci do zadał
dzące do równał
i nierównoĘci kwadra-
wych tekstowych oraz je rozwiązuje (UPP); towych z róŻnych dziedzin oraz zadania
 analizuje równania i nierównoĘci kwadrato- z parametrem.
we z parametrem (UPP).
* róŻnicując stopieł
trudnoĘci zadał
, osiągamy cele z zakresu UPP
32
II. Wielomiany
I
I
.
W
i
e
l
o
m
i
a
n
y
Cele kszta"cenia i osiągni�cia ucznia Procedury osiągania celów
Has"o Realizowane treĘci
UCZEĄ: NAUCZYCIEL:
1. Wielomian jednej zmiennej Poj�cie wielomianu jednej zmiennej i je- WiadomoĘci: Wprowadza poj�cie wielomianu jednej
go stopnia, równoĘ� dwóch wielomia-  rozpoznaje wielomian jednej zmiennej (WP). zmiennej, jego stopnia, podaje duŻo
nów. Umiej�tnoĘci: przyk"adów, formu"uje twierdzenie
 okreĘla stopieł
wielomianu (UP); o równoĘci dwóch wielomianów oraz
 porównuje dwa wielomiany (UP). rozwiązuje związane z tym zadania.
2. Dzia"ania na wielomianach OkreĘlamy sum�, róŻnic� i iloczyn Umiej�tnoĘci: Wykonuje duŻo �wiczeł
w dzia"aniach
dwóch wielomianów oraz ustalamy za-  wykonuje dzia"ania na wielomianach (UP); na wielomianach (okreĘlając dzia"ania
leŻnoĘ� stopnia sumy, róŻnicy i iloczynu  ustala zaleŻnoĘ� stopnia sumy i róŻnicy na wielomianach, warto nawiązywa� do
dwóch wielomianów od stopni tych wie- wielomianów od stopni sk"adników, a ilo- wiedzy ucznia z gimnazjum).
lomianów. czynu  od stopni czynników (UP).
3. Dzielenie wielomianów Twierdzenie o dzieleniu z resztą, po- Umiej�tnoĘci: Zaczyna od przypomnienia twierdzenia
dzielnoĘ� wielomianu przez wielomian.  wykonuje dzielenie wielomianu przez wielo- o dzieleniu z resztą liczb ca"kowitych.
mian (UP); Nast�pnie, analogicznie do tego, formu-
 ustala podzielno� wielomianu przez wielo- "uje twierdzenie o dzieleniu wielomia-
mian (UP). nów, wykonuje jak najwi�cej �wiczeł

z dzieleniem wielomianów.
4. Twierdzenie B�zouta i sche- Twierdzenie o reszcie i ilorazie z dziele- Umiej�tnoĘci: Nawiązuje do twierdzenia o dzieleniu
mat Hornera nia wielomianu przez dwumian x-c oraz  stosuje twierdzenie B�zouta i schemat Hor- z resztą i na podstawie twierdzenia
wniosek z tego twierdzenia. nera do ustalania, czy dana liczba jest pier- o równoĘci dwóch wielomianów otrzy-
wiastkiem wielomianu (UP); muje tzw. schemat Hornera i twierdzenie
 ustala podzielnoĘ� wielomianu przez dwu- B�zouta, wykonuje duŻo �wiczeł
zwią-
mian x-c (UP). zanych z tymi zagadnieniami.
5. Rozk"ad wielomianów na czyn- Elementarne metody rozk"adu wielomia- Umiej�tnoĘci: Rozk"ada wielomiany na czynniki, pre-
niki nu na czynniki: wy"ączanie wspólnego  rozk"ada wielomiany na czynniki, stosując zentując na przyk"adach kaŻdą z metod
czynnika przed nawias, grupowanie wy- elementarne metody (UP). rozk"adu.
razów, wzory skróconego mnoŻenia.
6. Równania wielomianowe Poj�cie równania wielomianowego, roz- Umiej�tnoĘci: Przyst�puje do jak najwi�kszej liczby
wiązywanie równał
wielomianowych.  rozwiązuje proste równania wielomianowe �wiczeł
w rozwiązywaniu równał
, po
(UP). wprowadzeniu poj�cia równania wielo-
mianowego.
33
7. NierównoĘci wielomianowe Poj�cie nierównoĘci wielomianowej, Umiej�tnoĘci: Omawia dok"adnie obie metody rozwią-
metoda  siatki znaków oraz szkicowa-  pos"uguje si� dwiema metodami w rozwią- zywania nierównoĘci wielomianowych,
nie wykresu. zywaniu nierównoĘci wielomianowych (UP). a nast�pnie �wiczy je na wielu przyk"a-
dach.
III. Funkcje wymierne
I
I
I
.
F
u
n
k
c
j
e
w
y
m
i
e
r
n
e
Cele kszta"cenia i osiągni�cia ucznia Procedury osiągania celów
Has"o Realizowane treĘci
UCZEĄ: NAUCZYCIEL:
1. Funkcje wymierne i dzia"ania Definicja funkcji wymiernej, dziedzina WiadomoĘci: Wprowadza poj�cie funkcji wymiernej,
na nich i dzia"ania na funkcjach wymiernych.  rozpoznaje funkcj� wymierną (WP). wyznacza jej dziedzin�, okreĘla rów-
Umiej�tnoĘci: noĘ� dwóch funkcji wymiernych oraz
 wyznacza dziedzin� funkcji wymiernej (UP); dzia"ania arytmetyczne. Nawiązuje przy
 wykonuje dzia"ania arytmetyczne na funkcji tym do dzia"ał
na liczbach wymiernych
wymiernej, okreĘlając warunki wykonywal- i ukazuje analogie.
noĘci tych dzia"ał
(UP).
2. Przekszta"canie wyraŻeł
wy- Dzia"ania "ączne na funkcjach wymier- Umiej�tnoĘci: Wykonuje jak najwi�cej �wiczeł
w dzia-
miernych nych.  dodaje, odejmuje, mnoŻy i dzieli wyraŻenia "aniach na funkcjach wymiernych.
wymierne, przyjmując stosowne za"oŻenia
(UP).
3. Funkcja homograficzna Definicja funkcji homograficznej, dziedzi- Umiej�tnoĘci: Sporządza wykresy funkcji homogra-
na tej funkcji, wykres i w"asnoĘci (miejsce  sporządza wykresy funkcji homograficz- ficznych, wykorzystując przesuni�cie
zerowe i znak funkcji homograficznej). nych i odczytuje z nich w"asnoĘci funkcji równoleg"e p"aszczyzny.
(UPP).
4. Równania i nierównoĘci wy- Poj�cie równania wymiernego i nierów- Umiej�tnoĘci: Rozwiązuje jak najwi�cej przyk"adów
mierne noĘci wymiernej, równania i nierównoĘci  rozwiązuje równanie wymierne i nierów- równał
i nierównoĘci, w tym równieŻ
wymierne z funkcją homograficzną; inne noĘ� wymierną (UP); równał
z parametrem, po wprowadze-
równania i nierównoĘci wymierne.  omawia rozwiązalnoĘ� równania z parame- niu poj�� równania wymiernego i nie-
trem (UPP). równoĘci wymiernej.
5. Zadania prowadzące do rów- Zadania tekstowe z róŻnych dziedzin Umiej�tnoĘci: Rozwiązuje róŻne zadania prowadzące
nał
wymiernych prowadzące do równał
wymiernych.  rozwiązuje zadania tekstowe prowadzące do równał
wymiernych.
do prostych równał
wymiernych (UP).
34
IV. Ciągi liczbowe
I
V
.
C
i
ą
g
i
l
i
c
z
b
o
w
e
Cele kszta"cenia i osiągni�cia ucznia Procedury osiągania celów
Has"o Realizowane treĘci
UCZEĄ: NAUCZYCIEL:
1. Poj�cie ciągu i ciągu liczbowe- Definicja ciągu i ciągu liczbowego, spo- WiadomoĘci: Podaje definicj� ciągu nieskoł
czonego
go, sposoby okreĘlania cią- soby okreĘlania ciągów liczbowych:  okreĘla ciąg, w tym ciąg liczbowy (WP). i skoł
czonego, okreĘla ciągi na róŻne
gów liczbowych wzorem jawnym, wzorem rekurencyj- Umiej�tnoĘci: sposoby, wypisuje kilka początkowych
nym, opisem s"ownym.  podaje przyk"ady ciągów (UP); wyrazów ciągu i odgaduje kolejne wyra-
 wypisuje kolejne wyrazy ciągu (UP); zy bądę teŻ wzór ogólny.
 podaje nast�pne wyrazy ciągu, mając kilka
początkowych wyrazów (UP);
 podaje wzór na n-ty wyraz ciągu (UPP).
2. MonotonicznoĘ� ciągu liczbo- Definiujemy monotonicznoĘ� ciągu WiadomoĘci: �wiczy sprawdzanie, czy dany ciąg jest
wego (przypomnienie monotonicznoĘci funk-  definiuje ciąg rosnący, malejący, sta"y (WP). monotoniczny, po zdefiniowaniu mono-
cji liczbowej) i badamy monotonicznoĘ� Umiej�tnoĘci: tonicznoĘci ciągu.
ciągów liczbowych.  podaje przyk"ady ciągów monotonicznych
(UP);
 sprawdza, czy dany ciąg liczbowy jest mono-
toniczny (UP).
3. Ciąg arytmetyczny Definicja ciągu arytmetycznego, przy- WiadomoĘci: Podaje definicj� ciągu arytmetycznego,
k"ady ciągów arytmetycznych, monoto-  rozpoznaje ciąg arytmetyczny (WP). rozpatruje przyk"ady ciągów arytmetycz-
nicznoĘ� ciągu arytmetycznego, wzór Umiej�tnoĘci: nych, bada monotonicznoĘ� ciągu aryt-
na n-ty wyraz ciągu arytmetycznego,  podaje przyk"ady ciągów arytmetycznych (UP); metycznego, odgaduje wzór na n-ty wy-
wzór na sum� n pierwszych wyrazów  bada monotonicznoĘ� ciągu arytmetyczne- raz ciągu arytmetycznego, wyprowadza
ciągu arytmetycznego. go (UP); wzór na sum� n pierwszych wyrazów cią-
 oblicza sum� wyrazów ciągu arytmetyczne- gu arytmetycznego.
go (UP);
 wyznacza ciąg arytmetyczny, mając typo-
we dane (UP).
4. Zadania z ciągiem arytme- Proste przyk"ady z ciągiem arytmetycz- Umiej�tnoĘci: Rozwiązuje rozmaite zadania z ciągiem
tycznym nym (wyznaczanie ciągu); równania,  rozwiązuje proste przyk"ady z ciągiem aryt- arytmetycznym, w tym zadania rachun-
w których wyst�puje ciąg arytmetyczny; metycznym (UP). kowe, na dowodzenie i zadania teksto-
zadania tekstowe z ciągiem arytmetycz- we z róŻnych dziedzin.
nym.
35
5. Ciąg geometryczny Poj�cie ciągu geometrycznego, przyk"a- WiadomoĘci: Podaje definicj� ciągu geometrycznego,
dy ciągów geometrycznych, wzór na  rozpoznaje ciąg geometryczny (WP). rozwaŻa przyk"ady ciągów geometrycz-
n-ty wyraz ciągu geometrycznego, mo- Umiej�tnoĘci: nych, odgaduje wzór na n-ty wyraz cią-
notonicznoĘ� ciągu geometrycznego,  podaje przyk"ady ciągów geometrycznych gu geometrycznego, bada monotonicz-
wzór na sum� n pierwszych wyrazów (UP); noĘ� ciągu geometrycznego i wyprowa-
ciągu geometrycznego.  wyznacza ciąg geometryczny na podstawie dza wzór na sum� n pierwszych wyra-
typowych danych (UP); zów danego ciągu geometrycznego.
 bada monotonicznoĘ� ciągu geometrycz-
nego (UP);
 oblicza sumy wyrazów ciągów geometrycz-
nych (UP).
6. Zadania z ciągiem geome- Proste zadania na wyznaczanie ciągu Umiej�tnoĘci: Rozwiązuje rozmaite zadania z ciągiem
trycznym geometrycznego, zadania tekstowe  wyznacza ciągi geometryczne, mając typowe geometrycznym: rachunkowe, na dowo-
z ciągiem geometrycznym. dane (UP); dzenie, tekstowe z róŻnych dziedzin.
 rozwiązuje zadania tekstowe z róŻnych dzie-
dzin z ciągiem geometrycznym (UPP).
7. Procent sk"adany Omówienie procentu sk"adanego i jego Umiej�tnoĘci: Omawia procent sk"adany i jego związek
związku z ciągiem geometrycznym.  pos"uguje si� ciągiem geometrycznym do z ciągiem geometrycznym oraz stosuje
obliczeł
związanych z procentem sk"ada- go do obliczeł
związanych z oprocento-
nym, z oprocentowaniem kredytów i lokat waniem lokat i kredytów bankowych.
bankowych (UP).
GEOMETRIA
I. Związki miarowe
I
.
Z
w
i
ą
z
k
i
m
i
a
r
o
w
e
Cele kszta"cenia i osiągni�cia ucznia Procedury osiągania celów
Has"o Realizowane treĘci
UCZEĄ: NAUCZYCIEL:
1. Twierdzenie sinusów Sformu"owanie twierdzenia sinusów (i je- WiadomoĘci: Formu"uje twierdzenie sinusów i dowo-
go dowód z zastosowaniem w"asnoĘci  formu"uje twierdzenie sinusów (WP). dzi go (stosuje definicj� funkcji trygono-
kątów wpisanych w ko"o oraz zastosowa- Umiej�toĘci: metrycznych kąta w trójkącie prostokąt-
niem definicji funkcji trygonometrycz-  wyjaĘnia dowód tego twierdzenia (przypo- nym i jeden ze wzorów redukcyjnych).
nych kąta w trójkącie prostokątnym). mni sobie wiadomoĘci z geometrii z klasy
pierwszej) (UP).
36
2. Zastosowanie twierdzenia si- Twierdzenie sinusów w zadaniach zwią- Umiej�toĘci: Rozwiązuje trójkąty oraz dowodzi roz-
nusów zanych z rozwiązywaniem trójkątów  rozwiązuje kaŻdy trójkąt z zastosowaniem maitych związków miarowych w trójką-
oraz w zadaniach na dowodzenie związ- twierdzenia sinusów (UP); cie.
ków miarowych w trójkącie (np. wzór na  dowodzi związków miarowych w trójkącie
pole trójkąta S=abc/4R). (UPP).
3. Twierdzenie cosinusów Twierdzenie cosinusów i jego dowód WiadomoĘci: Formu"uje twierdzenie cosinusów, do-
(z zastosowaniem definicji funkcji trygono-  formu"uje treĘ� twierdzenia cosinusów wodzi go (przez rzutowanie wierzcho"-
metrycznych kąta w trójkącie prostokąt- (WP). ków trójkąta na jego boki i zastosowanie
nym), zastosowanie twierdzenia cosinu- Umiej�toĘci: definicji funkcji trygonometrycznych ką-
sów do wyprowadzenia charakteryzacji  dowodzi twierdzenia cosinusów (jest Ęwia- ta w trójkącie prostokątnym) oraz wycią-
ostrokątnoĘci, prostokątnoĘci i rozwarto- domy, Że jest to uogólnienie twierdzenia Pi- ga wnioski z tego twierdzenia.
kątnoĘci trójkąta. tagorasa) (UP).
4. Zastosowania twierdzenia co- Wzór Herona na pole trójkąta, twierdze- WiadomoĘci: Pokazuje liczne zastosowania twierdze-
sinusów nie Ptolemeusza o czworokącie wpisa-  poznaje nowe fakty, które otrzymuje przez nia cosinusów w geometrii.
nym w okrąg, twierdzenie o równoleg"o- zastosowanie twierdzenia cosinusów (WPP).
boku. Umiej�toĘci:
 aktywnie uczestniczy w wyprowadzaniu
dowodów (UPP).
5. Zastosowania twierdzenia co- Rozwiązujemy trójkąty oraz stosujemy Umiej�toĘci: Rozwiązuje rozmaite zadania rachunko-
sinusów  c.d. twierdzenie cosinusów do innych zadał
 stosuje twierdzenie cosinusów w prostych we z geometrii, na przyk"ad wyznaczanie
rachunkowych z geometrii. zadaniach rachunkowych z geometrii d"ugoĘci Ęrodkowych trójkąta, dwusiecz-
(rozwiązywanie trójkątów) (UP). nych kątów trójkąta w zaleŻnoĘci od d"u-
goĘci boków.
II. Wektory
I
I
.
W
e
k
t
o
r
y
Cele kszta"cenia i osiągni�cia ucznia Procedury osiągania celów
Has"o Realizowane treĘci
UCZEĄ: NAUCZYCIEL:
1. Wektor, wektor swobodny Poj�cie wektora, jego kierunku, zwrotu WiadomoĘci: Wprowadza poj�cie wektora i jego para-
i dzia"ania na wektorach i d"ugoĘci, równoĘ� dwóch wektorów,  wyjaĘnia poj�cie wektora związanego (WP); metry (bazuje tutaj na intuicji, gdy defi-
wektor swobodny, dodawanie i odejmo-  wyjaĘnia poj�cie wektora swobodnego (WP). niuje zwrot wektora), pokazuje w"asnoĘ�
wanie wektorów. Umiej�tnoĘci: dodawania wektorów (przemiennoĘ�,
 porównuje dwa wektory (UP); "ącznoĘ�).
 dodaje i odejmuje wektory (UP).
37
2. Iloczyn wektora przez liczb� MnoŻenie wektora przez skalar, w"asno- WiadomoĘci: Wprowadza poj�cie iloczynu wektora
Ęci tego dzia"ania, charakteryzacja rów-  interpretuje mnoŻenie wektora przez liczb� przez liczb� oraz pokazuje w"asnoĘci te-
noleg"oĘci wektorów. (WP). go iloczynu.
Umiej�tnoĘci:
 rozpoznaje wektory do siebie równoleg"e (UP);
 przedstawia wektor w postaci liniowej kom-
binacji pary wektorów (UPP).
3. Zastosowania wektorów do Twierdzenie Talesa (raz jeszcze), twier- Umiej�tnoĘci: Pokazuje, w jaki sposób wykorzystywa�
geometrii dzenia o odcinku "ączącym Ęrodki bo-  stosuje w"asnoĘci dzia"ał
na wektorach do w"asnoĘci iloczynu wektora przez liczb�
ków trójkąta, twierdzenie o linii Ęrodko- dowodzenia prostych faktów z geometrii do dowodzenia twierdzeł
znanych juŻ
wej czworokąta. (UPP). uczniowi, z wczeĘniejszej nauki.
Definicja kąta dwóch wektorów, defini- WiadomoĘci: Wprowadza iloczyn skalarny wektorów
4. Iloczyn skalarny wektorów cja iloczynu skalarnego wektorów, naj-  wyjaĘnia poj�cie iloczynu skalarnego (WPP). i jego w"asnoĘci (warto dowodzi� przy-
prostsze w"asnoĘci tego iloczynu. Umiej�tnoĘci: najmniej niektórych), pokazuje zastoso-
 stosuje w"asnoĘci iloczynu skalarnego do wanie tego iloczynu do prostych prze-
przekszta"cania prostych wyraŻeł
(UPP). kszta"ceł
.
5. Zastosowania iloczynu skalar- Twierdzenie o przecinaniu si� wysoko- Umiej�tnoĘci: Pokazuje zastosowania iloczynu skalar-
nego wektorów do geometrii Ęci w trójkącie, twierdzenie cosinusów  stosuje w"asnoĘci iloczynu skalarnego do nego do geometrii (warto przy tym wra-
(po raz drugi), rozwiązywanie trójkątów. dowodzenia znanych mu juŻ twierdzeł
ca� do twierdzeł
wczeĘniej dowodzo-
oraz do rozwiązywania trójkątów (UPP). nych inną metodą).
III. Przekszta"cenia geometryczne na p"aszczyęnie
I
I
I
.
P
r
z
e
k
s
z
t
a
"
c
e
n
i
a
g
e
o
m
e
t
r
y
c
z
n
e
n
a
p
"
a
s
z
c
z
y
ę
n
i
e
Cele kszta"cenia i osiągni�cia ucznia Procedury osiągania celów
Has"o Realizowane treĘci
UCZEĄ: NAUCZYCIEL:
1. Ogólne wiadomoĘci o prze- Poj�cie przekszta"cenia geometryczne- WiadomoĘci: Nawiązuje do wiedzy ucznia o funkcjach
kszta"ceniach geometrycznych go (przekszta"cenie geometryczne jako  okreĘla przekszta"cenie geometryczne (WP). i w tym kontekĘcie mówi o przekszta"ce-
funkcja), przyk"ady przekszta"ceł
, sk"a- Umiej�tnoĘci: niach, ilustrując poruszone zagadnienia
danie przekszta"ceł
, przekszta"cenie  podaje przyk"ady przekszta"ceł
geome- przyk"adami.
toŻsamoĘciowe, przekszta"cenie od- trycznych (UP);
wrotne do danego.  sprawdza, czy przekszta"cenie geome-
tryczne ma punkty sta"e, czy moŻna je od-
wróci� (UPP);
 sk"ada przekszta"cenia (UPP).
38
2. Przekszta"cenia izometryczne Definicja przekszta"cenia izometryczne- Umiej�tnoĘci: Bada, czym jest izometria mająca dwa
i figury przystające go, punkty sta"e izometrii, przyk"ady izo-  wskazuje wĘród przyk"adów przekszta"ceł
punkty sta"e (podaje model takiego
metrii, przystawanie figur. geometrycznych te, które zachowują odle- przekszta"cenia) i czym jest, gdy ma trzy
g"oĘ� (UP). niewspó"liniowe punkty sta"e; sk"ada
i odwraca izometrie, definiuje przysta-
wanie figur i bada, jakie w"asnoĘci ma ta
relacja.
3. Cechy przystawania trójkątów Sformu"owanie cech przystawania trój- Umiej�tnoĘci: Formu"uje cechy przystawania trójką-
kątów, zastosowanie tych cech do pro-  stosuje cechy przystawania trójkątów do tów, nawiązując do twierdzenia o struk-
stych zadał
na dowodzenie. prostych zadał
na dowodzenie (UPP). turze izometrii (warto o tym twierdzeniu
chociaŻ wspomnie�), dowodzi innych
twierdzeł
z zastosowaniem cech przy-
stawania trójkątów.
4. Obrazy figur w izometrii Obraz odcinka, prostej i pó"prostej, okr�- Umiej�tnoĘci: Bada obrazy typowych figur geome-
gu (ko"a), figury wypuk"ej, kąta, wielokąta.  otrzymuje obrazy typowych figur geometrycz- trycznych w izometrii.
nych w izometrii (UP).
5. Symetria osiowa Badanie przekszta"cenia, które ma dwa Umiej�tnoĘci: Omawia w"asnoĘci symetrii osiowej; ba-
punkty sta"e, obrazu punktu w tym prze-  rysuje obraz figury w symetrii osiowej (UP); dając ją, zwraca uwag� na rysowanie
kszta"ceniu, definicja symetrii osiowej,  konstruuje obraz punktu, obraz okr�gu, obrazów figur w symetrii; nawiązuje do
obraz figury w symetrii osiowej. wielokąta w symetrii osiowej (UP).  odbicia lustrzanego (warto teŻ omó-
wi� symetri� wzgl�dem osi uk"adu
wspó"rz�dnych).
6. OĘ symetrii figury, figury osio- Definicja osi symetrii figury i figury osio- Umiej�tnoĘci: Podaje przyk"ady figur mających oĘ sy-
wo symetryczne wo symetrycznej, przyk"ady takich figur.  wskazuje figur� mającą oĘ symetrii (UP); metrii (z róŻnych dziedzin, takŻe w ar-
 podaje przyk"ady figur osiowo symetrycz- chitekturze, sztuce malarskiej).
nych (UP).
7. Symetria Ęrodkowa i jej w"a- OkreĘlenie symetrii wzgl�dem punktu, Umiej�tnoĘci: Definiuje symetri� Ęrodkową i bada jej
snoĘci w"asnoĘci symetrii Ęrodkowej, obraz fi-  rozpoznaje symetri� Ęrodkową (UP); w"asnoĘci, zwraca uwag� na rysowanie
gury w symetrii Ęrodkowej.  przekszta"ca figur� przez symetri� Ęrodko- obrazów figur w symetrii Ęrodkowej, oma-
wą i rysuje obraz tej figury (UPP). wia takŻe symetri� wzgl�dem początku
uk"adu wspó"rz�dnych oraz wzgl�dem
dowolnego punktu w tym uk"adzie.
39
8. �rodek symetrii figury, figury Definicja Ęrodka symetrii figury, figury Umiej�tnoĘci: Podaje przyk"ady figur mających Ęrodek
Ęrodkowo symetryczne Ęrodkowo symetrycznej, przyk"ady figur  wskazuje figur� mającą Ęrodek symetrii (UP); symetrii (pochodzących z róŻnych dzie-
Ęrodkowo symetrycznych.  podaje przyk"ady figur Ęrodkowo syme- dzin, np. w architekturze, sztuce malar-
trycznych (UP). skiej).
9. Obrót p"aszczyzny Kąt skierowany, obrót p"aszczyzny wo- Umiej�tnoĘci: Omawia poj�cie kąta skierowanego
kó" ustalonego jej punktu, sk"adanie ob-  omawia obrót i jego w"asnoĘci (UP); oraz dzia"ania na kątach skierowanych
rotów wokó" tego samego punktu.  wyjaĘnia poj�cie kąta skierowanego (UP); (nawiązując do poj�cia wektora i dzia"ał

 sk"ada obroty wokó" tego samego punktu dodawania i odejmowania wektorów 
(UPP); warto podkreĘli� pewne analogie), defi-
 bada obrazy figur w obrocie (UP). niuje obrót p"aszczyzny i bada jego w"a-
snoĘci.
10. Translacja p"aszczyzny Definicja translacji, w"asnoĘci translacji, Umiej�tnoĘci: Nawiązuje do poj�cia wektora i wektora
wzór analityczny na translacj�.  znajduje obraz figury w translacji (UP); swobodnego, okreĘla translacj� p"asz-
 podaje wspó"rz�dne obrazu punktu w trans- czyzny oraz bada jej w"asnoĘci, rysuje
lacji (UP); obrazy figur w translacji.
 podaje wspó"rz�dne wektora translacji, ma-
jąc wspó"rz�dne punktu i jego obrazu
w translacji (UP).
11. Sk"adanie symetrii osiowych Sk"adanie dwóch symetrii osiowych WiadomoĘci: Bada z"oŻenie dwóch symetrii osiowych
i badanie, czym jest to z"oŻenie.  wyjaĘnia, czym jest z"oŻenie dwóch syme- najpierw graficznie, po czym przechodzi
trii osiowych w zaleŻnoĘci od konfiguracji do formalnych dowodów i faktów otrzy-
osi (WPP). manych na drodze empirycznej.
12. Metoda przekszta"ceł
geome- Zastosowanie symetrii osiowej, symetrii Umiej�tnoĘci: Rozwiązuje rozmaite zadania, w tym
trycznych w zadaniach Ęrodkowej obrotu i translacji do zadał
 stosuje w"asnoĘci przekszta"ceł
izometrycz- o charakterze praktycznym (np. wybór
konstrukcyjnych i na dowodzenie. nych w zadaniach konstrukcyjnych (UP) i na miejsca pod budow� mostu przez rzek�,
dowodzenie (UPP). tak aby otrzyma� najkrótszą drog� z jed-
nego miasta do drugiego).
13. Jednok"adnoĘ� p"aszczyzny Definicja jednok"adnoĘci, obrazy figur Umiej�tnoĘci: Wprowadzając poj�cie jednok"adnoĘci,
w jednok"adnoĘci, sk"adanie jednok"ad-  rysuje obraz figury w jednok"adnoĘci (od- podaje je jako przyk"ad przekszta"cenia,
noĘci o wspólnym Ęrodku, jednok"ad- cinka, kąta, wielokąta, okr�gu) (UP); które nie jest izometrią. Zwraca uwag�
noĘ� we wspó"rz�dnych kartezjał
skich.  odnajduje niezmienniki jednok"adnoĘci (UPP); na podstawowy niezmiennik, jakim jest
 znajduje wspó"rz�dne obrazu punktu, ma- wspó"liniowoĘ� punktów i stosunek d"u-
jąc wspó"rz�dne punktu i Ęrodka jedno- goĘci odcinków.
k"adnoĘci (UP).
40
14. Figury jednok"adne Definicja jednok"adnoĘci figur i w"asnoĘci Umiej�tnoĘci: Zwraca uwag� na konstrukcj� Ęrodków
tej relacji, przyk"ady figur jednok"adnych.  podaje przyk"ady figur jednok"adnych (UP); jednok"adnoĘci figur jednok"adnych
 konstruuje Ęrodki jednok"adnoĘci pary (odcinków, wielokątów, okr�gów).
okr�gów (UP).
15. Podobieł
stwo Definicja i w"asnoĘci podobieł
stwa. Umiej�tnoĘci: Zwraca uwag� na to, Że podobieł
stwo
 rozpoznaje figury podobne (UP); jest uogólnieniem znanych juŻ prze-
 rysuje figury podobne (UP); kszta"ceł
: izometrii i jednok"adnoĘci.
 okreĘla w"asnoĘci figur podobnych (UP);
 podaje przyk"ady podobieł
stw (UP).
16. Podobieł
stwo figur, cechy po- Podobieł
stwo figur i jego w"asnoĘci. WiadomoĘci: Stara si�, aby uczniowie nabyli do-
dobieł
stwa trójkątów Podobieł
stwo trójkątów. Podobieł
stwa  okreĘla podobieł
stwo trójkątów i wielokątów Ęwiadczenia w zakresie stosowania
wielokątów. Stosunek pól figur podob- (WP). zdobytej wiedzy i umiej�tnoĘci takŻe
nych. Twierdzenie Talesa i jego związek Umiej�tnoĘci: w sytuacjach praktycznych (powi�ksza-
z podobieł
stwem.  wskazuje figury podobne (UP); nie, zmniejszanie figur).
 oblicza pola obrazów wielokątów w podo-
bieł
stwie (UP).
17. Zastosowanie jednok"adnoĘci Zastosowanie jednok"adnoĘci i podo- Umiej�tnoĘci: Rozwiązuje jak najwi�cej rozmaitych za-
i podobieł
stwa bieł
stwa do: zadał
konstrukcyjnych,  stosuje zdobyte wiadomoĘci (w"asnoĘci dał
, pokazując przydatnoĘ� zdobytej
zadał
na dowodzenie, zadał
na obli- jednok"adnoĘci i podobieł
stwa, a takŻe ce- wiedzy i umiej�tnoĘci.
czanie wielkoĘci geometrycznych. chy podobieł
stwa trójkątów) nie tylko do
zagadnieł
teoretycznych (UPP), ale i prak-
tycznych (UP).
Klasa III
K
l
a
s
a
I
I
I
ALGEBRA
Cele kszta"cenia i osiągni�cia ucznia Procedury osiągania celów
Has"o Realizowane treĘci
UCZEĄ: NAUCZYCIEL:
1. Pot�ga o wyk"adniku ca"kowi- Przypomnienie wiadomoĘci o pot�dze WiadomoĘci; Przypomina wiadomoĘci o pot�dze
tym o wyk"adniku ca"kowitym: definicja po-  podaje poj�cie pot�gi liczby rzeczywistej z klasy pierwszej, wykonuje jak najwi�-
t�gi o wyk"adniku naturalnym i ca"kowi- o wyk"adniku ca"kowitym (WP). cej �wiczeł
w dzia"aniach na pot�gach.
tym, dzia"ania na pot�gach. Umiej�tnoĘci:
 wykonuje dzia"ania na tych pot�gach (UP).
41
2. Pot�ga o wyk"adniku wymier- Przypomnienie wiadomoĘci o pierwiast- Umiej�tnoĘci: Przypomina poj�cie pierwiastka arytme-
nym kowaniu liczb rzeczywistych i dzia"a-  podnosi do pot�gi wymiernej liczb� rzeczy- tycznego liczby nieujemnej oraz jego
niach na pierwiastkach; pot�ga liczby wistą (UP); w"asnoĘci, a nast�pnie rozszerza poj�-
rzeczywistej o wyk"adniku wymiernym  wykonuje dzia"ania na pot�gach o wyk"ad- cie pot�gi oraz bada w"asnoĘci dzia"ał

i dzia"ania na tych pot�gach. niku wymiernym (UP); na pot�gach o wyk"adniku wymiernym.
 porównuje pot�gi o wyk"adniku wymiernym
(UP).
3. Dzia"ania na pot�gach o wy- Dzia"ania "ączne na pot�gach, porówny- Umiej�tnoĘci: Rozwiązuje jak najwi�cej róŻnorodnych
k"adniku wymiernym wanie pot�g.  osiąga wpraw� w dzia"aniach na pot�gach �wiczeł
podnoszących sprawnoĘ� ra-
i ich porównywaniu (UP). chunkową ucznia.
4. Funkcja pot�gowa o wyk"ad- Przyk"ady funkcji pot�gowych o wyk"ad- Umiej�tnoĘci: Podaje proste przyk"ady funkcji pot�go-
niku wymiernym niku: naturalnym, ca"kowitym, ujemnym,  sporządza wykresy prostych funkcji pot�- wych, sporządza ich wykresy i je oma-
wymiernym postaci 1/n, ich w"asnoĘci gowych (UP); wia.
i wykres.  odczytuje w"asnoĘci funkcji pot�gowych
z wykresów (UP).
5. Równania i nierównoĘci pot�- OkreĘlanie równania pot�gowego i nie- Umiej�tnoĘci: Rozwiązuje róŻne przyk"ady prostych
gowe równoĘci pot�gowej, proste przyk"ady  rozwiązuje proste równania i nierównoĘci równał
i nierównoĘci pot�gowych, sto-
takich równał
i nierównoĘci. pot�gowe (UP). suje zarówno przekszta"cenia równo-
waŻne, jak i podstawienia.
6. Funkcja wyk"adnicza, jej w"a- Definicja funkcji wyk"adniczej, jej dzie- Umiej�tnoĘci: Sporządza wykresy funkcji wyk"adni-
snoĘci i wykres dzina, wykres i w"asnoĘci.  sporządza wykresy funkcji wyk"adniczych czych i omawia w"asnoĘci tych funkcji.
(UP);
 odczytuje z vwykresów w"asnoĘci funkcji wy-
k"adniczych (miejsca zerowe, róŻnowartoĘcio-
woĘ�, monotonicznoĘ�, zbiór wartoĘci) (UP).
7. Równania i nierównoĘci wy- OkreĘlenie równania wyk"adniczego Umiej�tnoĘci: Stosuje w"asnoĘ� róŻnowartoĘciowoĘci
k"adnicze i nierównoĘci wyk"adniczej, rozwiązywa-  rozwiązuje proste równania i nierównoĘci funkcji wyk"adniczej do rozwiązywania
nie równał
i nierównoĘci wyk"adni- wyk"adnicze (UP). równał
, zaĘ monotonicznoĘ�  do roz-
czych. wiązywania nierównoĘci.
8. Logarytmy i ich w"asnoĘci Definicja logarytmu, w"asnoĘci logaryt- Umiej�tnoĘci: Wprowadza poj�cie logarytmu (podkre-
mów, logarytmowanie wyraŻeł
.  wykonuje podstawowe obliczenia przy uŻy- Ęla przy tym, Że podstawa logarytmu mu-
ciu logarytmów (UP). si by� liczbą dodatnią, róŻną od 1, a licz-
42
ba logarytmowana  dodatnia), dowodzi
prostych w"asnoĘci logarytmu i wykonu-
je �wiczenia z ich zastosowaniem.
9. Funkcja logarytmiczna Definicja funkcji logarytmicznej, dziedzi- Umiej�tnoĘci: Definiuje funkcj� logarytmiczną i bada
na, zbiór wartoĘci, wykres, róŻnowarto-  sporządza wykresy funkcji logarytmicznych jej w"asnoĘci, sporządza wykresy funkcji
ĘciowoĘ� i monotonicznoĘ� funkcji lo- (UP); logarytmicznych.
garytmicznej.  odczytuje z wykresów w"asnoĘci funkcji lo-
garytmicznych (UP).
10. Proste równania i nierównoĘci OkreĘlenie równania logarytmicznego Umiej�tnoĘci: OkreĘla równanie i nierównoĘ� logaryt-
logarytmiczne oraz nierównoĘci logarytmicznej, roz-  rozwiązuje proste równania i nierównoĘci miczną; rozwiązuje równania, korzystając
wiązywanie równał
i nierównoĘci loga- logarytmiczne (UP). z równowartoĘciowoĘci funkcji logaryt-
rytmicznych. micznej i nierównoĘci, korzystając z mo-
notonicznoĘci funkcji logarytmicznej.
GEOMETRIA ANALITYCZNA
Cele kszta"cenia i osiągni�cia ucznia Procedury osiągania celów
Has"o Realizowane treĘci
UCZEĄ: NAUCZYCIEL:
1. Odleg"oĘ� dwóch punktów na Wzór na odleg"oĘ� dwóch punktów. Umiej�tnoĘci: Wyprowadza wzór na odleg"oĘ� dwóch
p"aszczyęnie kartezjał
skiej  wyznacza odleg"oĘ� dwóch punktów, mając punktów, korzystając z twierdzenia Pita-
ich wspó"rz�dne (UP); gorasa, rozwiązuje jak najwi�cej zadał

 wykonuje inne zadania, pos"ugując si� wzo- i �wiczeł
z zastosowaniem tego wzoru.
rem (np. sprawdza, czy dany punkt naleŻy do
odcinka, czy jest jego Ęrodkiem itp.) (UP).
2. Równanie (nierównoĘ�) okr�- Przypomnienie definicji okr�gu (ko"a) Umiej�tnoĘci: Wyprowadza równanie (nierównoĘ�)
gu (ko"a) oraz równanie (nierównoĘ�) okr�gu  odczytuje z równania (nierównoĘci) okr�gu okr�gu (ko"a) oraz rozwiązuje jak naj-
(ko"a). (ko"a) wspó"rz�dne Ęrodka okr�gu (ko"a) wi�cej zadał
z tym związanych.
i promieł
(UP);
 zapisuje równanie (nierównoĘ�) okr�gu
(ko"a), mając wspó"rz�dne Ęrodka i pro-
mieł
(UP);
 rozstrzyga, czy dany punkt leŻy wewnątrz,
na brzegu czy na zewnątrz ko"a (UP).
43
3. Prosta na p"aszczyęnie karte- RóŻne postaci równania prostej: ogólna, Umiej�tnoĘci: Omawia poj�cie kąta nachylenia prostej
zjał
skiej kierunkowa, odcinkowa.  zapisuje równanie prostej, mając dwa róŻ- do osi OX, nast�pnie ogólną posta�
ne punkty, które ją wyznaczają (UPP); równania prostej, wykonuje duŻo �wi-
 zapisuje równanie prostej, mając jej kąt na- czeł
w pisaniu równał
prostych na
chylenia do osi OX i punkt (UP). podstawie róŻnych danych.
4. Prostopad"oĘ� i równoleg"oĘ� Warunki prostopad"oĘci i równoleg"oĘci Umiej�tnoĘci: Podaje warunki prostopad"oĘci i równo-
dwóch prostych na p"aszczyę- prostych o równaniach: ogólnych, kie-  rozpoznaje równania prostych do siebie, leg"oĘci prostych zadanych równaniami:
nie kartezjał
skiej runkowych. prostopad"ych, równoleg"ych lub pokrywa- ogólnymi, kierunkowymi, rozwiązuje
jących si� (UP). wiele związanych z tym zadał
.
5. Odleg"oĘ� punktu od prostej Wzór na odleg"oĘ� punktu od prostej Umiej�tnoĘci: Wyprowadza wzór na odleg"oĘ� punktu
o równaniu ogólnym.  oblicza odleg"oĘ� punktu od prostej (UP); od prostej oraz rozwiązuje zadania z za-
 rozstrzyga wzajemne po"oŻenie na przy- stosowaniem tego wzoru.
k"ad prostej wzgl�dem okr�gu, mając rów-
nanie tej prostej oraz okr�gu (UP).
6. Prosta i okrąg na p"aszczyęnie Zadania z geometrii analitycznej związa- Umiej�tnoĘci: Wykorzystuje zdobyte wiadomoĘci z geo-
kartezjał
skiej ne z prostą i okr�giem.  rozwiązuje zadania z prostą i okr�giem (np. metrii analitycznej do rozwiązywania
zapisuje równanie okr�gu opisanego na trój- zadał
z okr�giem i prostą.
kącie) (UP).
7. NierównoĘ� opisująca pó"- Ilustracja geometryczna nierównoĘci li- Umiej�tnoĘci: Podaje ilustracje geometryczne na p"asz-
p"aszczyzn� niowej z dwiema niewiadomymi.  ilustruje na p"aszczyęnie kartezjał
skiej czyęnie kartezjał
skiej zbiorów punktów
zbiory opisane za pomocą nierównoĘci li- o wspó"rz�dnych spe"niających daną
niowych z dwiema niewiadomymi (UPP). nierównoĘ� liniową z dwiema niewiado-
mymi.
STEREOMETRIA
Cele kszta"cenia i osiągni�cia ucznia Procedury osiągania celów
Has"o Realizowane treĘci
UCZEĄ: NAUCZYCIEL:
1. Poj�cie graniastos"upa, rodza- Definicje graniastos"upa i klasyfikacja WiadomoĘci: Kszta"tuje wyobraęni� przestrzenną, roz-
je graniastos"upów graniastos"upów, poj�cie wysokoĘci  definiuje poj�cie graniastos"upa (WP). waŻa róŻne rodzaje graniastos"upów,
graniastos"upa, wzory na obj�toĘ� i po- Umiej�tnoĘci: omawia wysokoĘ� graniastos"upa, obli-
le powierzchni graniastos"upa.  rozpoznaje graniastos"upy proste, prawi- cza obj�to� i pole powierzchni ca"kowi-
d"owe (UP); tej na podstawie podanych wzorów.
 oblicza obj�to� i pole powierzchni ca"ko-
witej graniastos"upa (UP).
44
2. Poj�cie ostros"upa, rodzaje Definicja ostros"upa i klasyfikacja ostro- WiadomoĘci: RozwaŻa róŻne rodzaje ostros"upów; ry-
ostros"upów s"upów, wysokoĘ� ostros"upa, wzory na  definiuje poj�cie ostros"upa (WP). suje ich modele; omawia wysokoĘ� ostro-
obj�toĘ� i pole powierzchni ostros"upa, Umiej�tnoĘci: s"upa, badając, gdzie znajduje si� jego
ostros"up Ęci�ty oraz wzór na jego obj�-  rozpoznaje ostros"up prawid"owy (UP); spodek; wyprowadza wzór na obj�toĘ�
toĘ�.  oblicza obj�toĘ� i pole powierzchni ca"ko- ostros"upa Ęci�tego, korzystając ze wzoru
witej ostros"upa (UP); na obj�to� ostros"upa.
 oblicza obj�toĘ� ostros"upa Ęci�tego (UPP).
3. Wzajemne po"oŻenie kraw�- Kąty nachylenia: Ęciany bocznej; kraw�- Umiej�tnoĘci: Bada po"oŻenie kraw�dzi i Ęcian grania-
dzi i Ęcian graniastos"upów dzi bocznej do p"aszczyzny podstawy;  wskazuje: kąty nachylenia liniowych ele- stos"upów oraz ostros"upów na mode-
i ostros"upów kąt mi�dzy wysokoĘciami Ęcian bocz- mentów graniastos"upów i ostros"upów do lach tych bry", a takŻe na ich rysunkach.
nych, kraw�dzie skoĘne czworoĘcianu, p"aszczyzny podstawy; kąty mi�dzy tymi
przekątne skoĘne. elementami; kąty dwuĘcienne Ęciany bocz-
nej i podstawy oraz Ęcian bocznych (UPP).
4. Bry"y obrotowe Poj�cie bry"y obrotowej i przyk"ady takich WiadomoĘci: DąŻy do tego, aby przy obliczaniu obj�-
bry": walec, stoŻek, kula; wzory na ich  rozpoznaje bry"y obrotowe (WP). toĘci i pól powierzchni ca"kowitej bry"
obj�toĘ� i pole powierzchni ca"kowitej. Umiej�tnoĘci: uczniowie stosowali funkcje trygonome-
 oblicza obj�to� i pole powierzchni ca"ko- tryczne i elementy geometrii p"aszczyzny.
witej bry" obrotowych (UP).
5. Siatki bry" Siatki graniastos"upów, ostros"upów, Umiej�tnoĘci: Wykonuje �wiczenia, które powinny do-
bry" obrotowych.  wykonuje siatki bry" (UP); prowadzi� do tego, aby uczniowie potrafili
 rozpoznaje bry"� na podstawie jej siatki narysowa� siatk� odpowiedniego modelu
(UPP). bry"y i na podstawie przedstawionej siatki
umieli rozpozna� bry"� bądę stwierdzi�, Że
nie odpowiada Żadnej z poznanych bry".
6. Zadania z bry"ami z zastoso- Zadania na: obliczanie obj�toĘci i pól po- Umiej�tnoĘci: W rozwiązywaniu zadał
ze stereometrii
waniem trygonometrii wierzchni ca"kowitych wybranych bry";  rozwiązuje róŻne proste zadania ze stereo- odnosi si� do przyk"adów z Życia co-
wyznaczanie miar kątów nachylenia, ką- metrii, pos"ugując si� wiedzą z geometrii dziennego, np. kubatury budynków, po-
tów dwuĘciennych itp.; dowodzenie pro- p"aszczyzny i trygonometrią (UP). jemnoĘci basenów itp.
stych zaleŻnoĘci mi�dzy elementami bry".
45
RACHUNEK PRAWDOPODOBIEĄSTWA
Cele kszta"cenia i osiągni�cia ucznia Procedury osiągania celów
Has"o Realizowane treĘci
UCZEĄ: NAUCZYCIEL:
1. Poj�cie silni, permutacji zbioru Definicja silni, permutacji zbioru, liczba Umiej�tnoĘci: Wykonuje jak najwi�cej �wiczeł
.
permutacji zbioru.  oblicza i przekszta"ca wyraŻenia z silnią (UP);
 wyznacza permutacje zbiorów i ich liczby
(UP).
2. Symbol Newtona OkreĘlenie symbolu Newtona oraz dowo- Umiej�tnoĘci: Wprowadza symbol Newtona i jego pod-
dzenie jego podstawowych w"asnoĘci.  pos"uguje si� symbolem Newtona (UP). stawowe w"asnoĘci oraz wykonuje �wi-
czenia rachunkowe.
3. Kombinacje i wariacje OkreĘlenie kombinacji zbioru oraz wa- WiadomoĘci: Stara si�, aby uczeł
zrozumia" nowe
riacji z powtórzeniami i bez powtórzeł
.  odróŻnia wariacje z powtórzeniami i bez po- poj�cia, umia" odróŻnia� oraz wyzna-
wtórzeł
elementów danego zbioru (WP); cza� kombinacje i wariacje (warto usta-
 odróŻnia kombinacje od wariacji (WP). li� zaleŻnoĘ� mi�dzy liczbą kombinacji
Umiej�tnoĘci: danego zbioru a liczbą wariacji bez po-
 wyznacza kombinacje zbioru skoł
czonego wtórzeł
tego zbioru).
(UP);
 wyznacza liczb� kombinacji i wariacji (UP).
4. Proste zadania kombinato- Rozwiązywanie zadał
związanych z po- Umiej�tnoĘci: Odnosi si� do zadał
z róŻnych dzie-
ryczne j�ciami kombinatorycznymi.  rozwiązuje zadania kombinatoryczne (UP). dzin, na przyk"ad związane z grami licz-
bowymi, talią kart do gry, numeracją ta-
blic rejestracyjnych itp.
5. Zdarzenie elementarne, zda- J�zyk rachunku prawdopodobieł
stwa; WiadomoĘci: Stara si� nawiązywa� (w realizacji za-
rzenie i dzia"ania na zdarze- poj�cie zdarzenia i dzia"ania na zdarze-  rozumie j�zyk rachunku prawdopodobieł
- gadnieł
) do wiadomoĘci z teorii zbio-
niach niach: koniunkcja, alternatywa, róŻnica, stwa i kojarzy poj�cie zdarzenia oraz dzia"ania rów; rozwaŻa jak najwi�cej przyk"adów.
zdarzenie przeciwne do danego. na nich z poj�ciami nauki o zbiorach (WP).
Umiej�tnoĘci:
 podaje przyk"ady zdarzeł
(UP).
Bada w"asnoĘci poj�cia cz�stoĘci, defi-
6. Poj�cie prawdopodobieł
stwa Poj�cie cz�stoĘci zdarzenia i jej związek WiadomoĘci:
niuje (za Ko"mogorowem) prawdopodo-
i jego w"asnoĘci z prawdopodobieł
stwem; definicja  definiuje prawdopodobieł
stwo (WP);
bieł
stwo i dowodzi jego podstawowych
prawdopodobieł
stwa i jego w"asnoĘci.  poznaje funkcj�, której argumentami są
zbiory (zdarzenia) (WPP).
46
Umiej�tnoĘci: w"asnoĘci; rozwiązuje takŻe proste za-
 wykazuje proste jego w"asnoĘci (UP). dania związane z nowym z poj�ciem.
7. Klasyczna definicja prawdo- Twierdzenie o rozk"adzie prawdopodo- Umiej�tnoĘci: Formu"uje twierdzenie o rozk"adzie praw-
podobieł
stwa bieł
stwa, klasyczna definicja prawdo-  rozwiązuje najprostsze zadania (z rzutem dopodobieł
stwa, a nast�pnie rozwaŻa
podobieł
stwa; obliczanie prawdopodo- kostką, dwiema kostkami, monetą, dwiema przypadek jednakowo prawdopodob-
bieł
stw w skoł
czonych przestrzeniach monetami, kostką i monetą) z zastosowa- nych zdarzeł
elementarnych, otrzymując
probabilistycznych. niem klasycznej definicji prawdopodobieł
- klasyczną definicj� prawdopodobieł
-
stwa (UP). stwa.
8. Zadania z zastosowaniem kla- Permutacje, kombinacje, wariacje z po- Umiej�tnoĘci: W rozwiązywanych zadaniach zwraca
sycznej definicji prawdopodo- wtórzeniami i bez powtórzeł
w zada-  rozwiązuje zadania z rachunku prawdopo- uwag� na: opis przestrzeni zdarzeł
ele-
bieł
stwa niach z zastosowaniem klasycznej defi- dobieł
stwa z zastosowaniem elementów mentarnych (moŻliwych wyników do-
nicji prawdopodobieł
stwa. kombinatoryki i klasycznej definicji prawdo- Ęwiadczenia losowego), wyznaczanie ich
podobieł
stwa (UPP). liczby, opis interesującego zdarzenia,
wyznaczanie liczby zdarzeł
elementar-
nych sprzyjających temu zdarzeniu.
9. Elementy statystyki opisowej �rednia arytmetyczna, Ęrednia waŻona, Umiej�tnoĘci: Interpretuje jakoĘciowo informacje za-
mediana, wariacje i odchylenia standar-  odczytuje dane statystyczne z tabel, dia- warte w tabelach, diagramach i wykre-
gramów i wykresów (UP);
dowe. sach oraz ustala i formu"uje proste za-
 przedstawia dane empiryczne w postaci ta-
leŻnoĘci mi�dzy nimi; wykorzystuje te
bel, diagramów i wykresów (UP);
informacje w toku badania typowych sy-
 przeprowadza analiz� iloĘciową przedsta-
tuacji problemowych.
wianych danych (UP);
 oblicza Ęrednie danych liczbowych oraz
odchylenia od nich (UP).
47