W15
Przykład 1
Dane jest zagadnienie poczÄ…tkowe
d
y = f (x , y) = y + x, y(0) = 1
dx
Za pomocą jawnej metody Eulera obliczyć y1 oraz y2 , gdy krok całkowania h = 0.1.
x0 = 0, x1 = x0 + h = 0.1, x2 = x0 +2h = 0.2
y0 = 1 y1 = y0 + hf(x0,y0) = y0 + h(y0 + x0) = 1 + 0.1 = 1.1
y2 = y1 + hf(x1,y1) = y1 + h(y1 + x1) = 1.1 + 0.1(1.1 + 0.1) = 1.22
Przykład 2
Dane jest zagadnienie poczÄ…tkowe
d
y = f (x , y) = 2Å"y + x, y(1) = 1
dx
h
oraz metoda Heuna rzÄ™du 2-go yi+1 = yi + Å" fi + f xi+1 , yi + hÅ"fi , i = 0,1, ....
( ( ))
2
y0 = 1, fi = f xi, yi
( )
Obliczyć y1, gdy krok całkowania h = 0.2.
x0 = 1, x1 = x0 + h = 1.2,
y0 = 1, f0 = f(x0,y0) = f(1,1) = 3
y1 = y0 + 0.1 ( f0 + f(x1,y0 + 0.2f0) ) = 1 + 0.1(3 + f(1.2,1.6)) = 1 + 0.1(3+ 3.2 + 1.2) = 1.74
Przykład 3
Napisać kilka pierwszych wyrazów rozwinięcia w szereg potęgowy
rozwiÄ…zania y = y(x) zagadnienia poczÄ…tkowego
2 2
d
y = f (x, y) = x + y , y(0) = 1
dx
Rozwinięcie to ma postać
2 3
y = a0 + a1Å"x + a2Å"x + a3Å"x + ........ (*)
(k)
y (0)
gdzie a0 = y(0) , ak = dla k = 1, 2, .....
k !
Bezpośrednio z danych zadania wynika, \
e a0 = 1, a1 = 1
Ró\
niczkując równanie ró\
niczkowe obliczamy y '' = 2x + 2yy' , y ''' = 2 + 2 (y ' )2 + 2yy ''
8
StÄ…d a2 = 1, a3 =
6
8
2 3
Ostatecznie y = 1 + x + x + Å"x + ........
6
Uwaga
. RozwiÄ…zanie rozwa\
anego zagadnienia jest rozwijalne w szereg potęgowy (*) w pewnym
otoczeniu punktu x = 0. Sumy częściowe rozwinięcia (*) stanowią przybli\
enia rozwiÄ…zania w
przedziałach domkniętych tego otoczenia.