Witold Kazimierski_Matematyczne
Podstawy Kartografii  Wykład dla II GiK
Akademia Morska w Szczecinie
odwzorowanie Merkatora
odwzorowanie poprzeczne Merkatora
funkcje odwzorowawcze jako funkcje wielkości B, l
funkcje odwzorowawcze jako funkcje wielkości B0, b, l
1/53
Gerard Kremer (Merkator)  (1512­1594)
05.03.1512  urodził się w Rupelmonde, jako siódme dziecko
Huberta i Emerentii Kremer
ojciec był raczej ubogim szewcem, ale stryj Gisbert ukończył
Uniwersytet w Lueven i był księdzem w Rupelmonde
w 1518 r. Hubert z rodziną przeprowadził się na stałe do
Rupelmonde, gdzie zmarł 1526 roku
opiekunem Gerarde stał się Gisbert , który zadbal o edukację
bratanka
w 1527 roku po śmierci matki, Gerard przybiera łacińska
wersje swego nazwiska  Mercator (z Å‚ac. kupiec) i zaczyna
podpisywać się Gerardus Mercator de Rupelmonde
w 1532 roku Merkator kończy Uniwersytet w Lueven z
2/53
dyplomem magistra
1
2011­01­01
2011­01­01
Witold Kazimierski_Matematyczne
Podstawy Kartografii  Wykład dla II GiK
Akademia Morska w Szczecinie
po zdobyciu dyplomu Merkator zrezygnował z dalszej
nauki na Uniwersytecie
rozpoczął podróże, które miały rozwiać jego wątpliwości
dotyczące rozbieżności między biblijnym a naukowym
(opartym na Arsytotelesie i innych filozofach greckich)
poglądzie na powstanie i rozwój świata
podróże zaowocowały fascynacja geografią, która mogła
opisywać odpowiednio świat stworzony prze Boga
po powrocie do Louven w 1534 roku podjÄ…Å‚ studia
matematyczne pod okiem Gemmy Frisiusa (autora
triangulacji)
matematyka ogólna nie przypadła do gustu Merkatorowi,
dzięki Frisiusowi skoncentrował się więc na wykorzystaniu
matematyki do geografii i astronomii
3/53
jednocześnie podjął naukę miedziorytnictwa u Gaspara
van der Heydena
podjął także stałą pracę nauczyciela matematyki dla
studentów Uniwerystetu
dodatkowo zajÄ…Å‚ siÄ™ wytwarzaniem precyzyjnych
instrumentów astronomicznych
w latach 1535­1536 Merkator braÅ‚ udziaÅ‚ w
konstruowaniu wspólnie z Frisiusem i Heydenem globusa,
wykonanego w technice miedziorytniczej
w 1537 roku ukończył pierwsze samodzielne dzieło 
mapę Ziemi Świętej, na którą naniósł ponad 400 nazw i
oznaczył biblijną trasę wyjścia Izraelitów z Egiptu do Ziemi
Obiecanej
w 1538 roku Merkator opublikował mapę świata, w której
4/53
jako pierwszy użył nazwy Ameryka do obu Ameryk
2
2011­01­01
2011­01­01
Witold Kazimierski_Matematyczne
Podstawy Kartografii  Wykład dla II GiK
Akademia Morska w Szczecinie
w 1540 roku Merkator rozpoczÄ…Å‚ zbieranie danych do
mapy Europy, która miała być pierwszą z
długoterminowego cyklu, którego rezultatem miała być
mapa świata
niedokładność, a czasem nawet sprzeczność
pozyskiwanych danych uświadomiła Merkatorowi
problem różnic pomiędzy loksodromą i ortodromą, a więc
niewiernokątności odwzorowań
1541 roku wykonał nowy globus  pierwszy na którym
zaznaczono loksodromy
w 1544 roku aresztowano Merkatora pod zarzytem
herezji  podejrzenia wzbudziły jego protestanckie
przekonania i liczne podróże
współtowarzyszy aresztowania spalono na stosie, jednak
Merkatora po dochodzeniu uznano za wzorowego
5/53
Katolika i wypuszczono z więzienia po 7 miesiącach
po tym jak Merkator opłacił (!) koszty własnego
uwięzienia jego sytuacja materialna była fatalna  rzucił
siÄ™ w wir pracy ze zdwojonÄ… energiÄ…
1551  wyprodukował globus ciał niebieskich, w którym
wykorzystał obliczenia Kopernika
w 1552 roku przeprowadził się do Duisburga, gdzie snuto
plany powołania nowego Uniwersytetu
w 1554 roku opublikował mapę Europy, którą powrócił
na salony kartografów
w latach 1559­1562 uczyÅ‚ matematyki i kontynuowaÅ‚
prace kartograficzne
w 1564 został mianowany nadwornym kosmografem
księcia Wilhelma z Cleve
w tym okresie rozpoczÄ…Å‚ pracÄ™ nad nowym
odwzorowaniem wiernokÄ…tnym
6/53
3
2011­01­01
2011­01­01
Witold Kazimierski_Matematyczne
Podstawy Kartografii  Wykład dla II GiK
Akademia Morska w Szczecinie
w 1569 roku Merkator opublikował wielka ścienną mapa świata
(21 arkuszy o Å‚Ä…cznych wymiarach 1240 x 2120 mm), opracowana
w nowym odwzorowaniu(wzrastających długości)  walcowe
wiernokątne odwzorowanie kuli, w którym wszystkie loksodromy
sÄ… liniami prostymi
w 1578 roku opublikował poprawione wersje map Ptolemeusza,
jako pierwszą część swojego atlasu  jest uznawany za autora tej
nazwy, gdyż po raz pierwszy zastosował ją do zbioru map
prace nad atlasem były kontynuowane po śmierci Merkatora
w 1590 roku Merkator doznał udaru mózgu, w wyniku którego
lewa część jego ciała została sparaliżowana
rekonwalescencja przebiegała powoli, ale w dobrym kierunku,
niestety kolejny udar w 1592 roku pozbawił Merkatora mowy, a
trzeci w 1594 był bezpośrednią przyczyną śmierci
7/53
Gerard Merkator powszechnie uznawany jest za najważniejszą
postać kartografii renesansowej (a czasem nawet w historii),a
przez współczesnych nazywany był Ptolemeuszem XVI wieku
Wielka Mapa Åšwiata Merkatora (1569 r)
8/53
z
ródło: www.geography.org.uk
4
2011­01­01
2011­01­01
Witold Kazimierski_Matematyczne
Podstawy Kartografii  Wykład dla II GiK
Akademia Morska w Szczecinie
Merkator opublikował mapę
konstrukcji 
geometryczna
swobodne korzystanie z mapy
roku brytyjski matematyk i
kartograf Edward Wright
sztuczne wydłużenie
aby taka sama była długość
odcinka południka i równoleżnika
9/53
warunki wiernokątności:
ortogonalna siatka równoleżników i południków
' 90 F' 0
równe skale parametryczne
E' F' G'
dx 1
E F G
Rd cos
po rozdzieleniu zmiennych
d d
dx R x( ) R C
cos cos
po scałkowaniu
x R ln tg 45 Cx
2
x na równiku wynosi 0, zatem C = 0, więc y R
x R ln tg 45 2,302585R log tg 45
2 2
10/53
5
2011­01­01
2011­01­01
Witold Kazimierski_Matematyczne
Podstawy Kartografii  Wykład dla II GiK
Akademia Morska w Szczecinie
skala długości w kierunku południków
R 1
(wydłużenie)
1
R cos cos
skala długości w kierunku równoleżników
R 1
(wydłużenie)
1
R cos cos
znieksztaÅ‚cenie kÄ…tów ­ brak
zniekształcenie pól (powiększenie)
1
p 1
cos2
11/53
prostoliniowość loksodrom
spowodowała powszechne
wykorzystanie siatki
Merkatora do celów
nawigacyjnych
w kartografii nawigacyjnej
najczęściej
wykorzystywane jest
sieczne odwzorowanie
Merkatora
w kartografii
wielkoskalowej często
wykorzystywane sÄ…
poprzeczne odmiany tego
odwzorowania 
odwzorowanie Gaussa­
Krugera i UTM
12/53
6
2011­01­01
2011­01­01
Witold Kazimierski_Matematyczne
Podstawy Kartografii  Wykład dla II GiK
Akademia Morska w Szczecinie
jeżeli powierzchnią oryginału w odwzorowaniu
jest powierzchnia elipsoidy obrotowej
spłaszczonej to skale parametryczne wynoszą:
dx dy ad a
Md rd rd N cos
z warunku wiernokątności:
a  dłuższa półoś elipsoidy
dx a M d
dx a
Md N cos N cos
funkcje odwzorowawcze mają postać:
M d
x a
N cos
y a
13/53
w kartografii nawigacyjnej wartość funkcji x przyjęto
oznaczać literą V i nazywać powiększona
szerokością
powiększona szerokość to odległość na mapie w
odwzorowaniu Merkatora od równika do danego
równoleżnika, wyrażona w minutach długości
M d
V x a
geograficznej
N cos
po podstawieniu i scałkowaniu
e / 2
1 e sin
V a ln tg 45
2 1 e sin
wartości V są stabelaryzowane i można je znalez
ć w
tablicach kartograficznych i nawigacyjnych, co
znacznie ułatwia obliczenia i kreslenie 14/53
7
2011­01­01
2011­01­01
Witold Kazimierski_Matematyczne
Podstawy Kartografii  Wykład dla II GiK
Akademia Morska w Szczecinie
odwzorowania walcowe
poprzeczne są szczególnym
przypadkiem odwzorowań
walcowych ukośnych
walec jest styczny do kuli wzdłuż
południka dobranego tak, aby
0
przechodził przez środek obszaru,
który zostaje odwzorowany
oÅ› walca przecina kulÄ™ ziemskÄ… na
równiku w punktach odległych od
siebie o 180°
w celu konstrukcji odwzorowania
walcowego poprzecznego
najwygodniej jest zastosować
współrzędne prosokątne sferyczne
15/53
układ współrzędnych płaskich można
zdefiniować następująco:
początek układu znajduje się w wybranym punkcie
leżącym na równiku (PG)
oś x pokrywa się z obrazem południka punktu PG
16/53
z
ródło: Gajderowicz, 2009
8
2011­01­01
2011­01­01
Witold Kazimierski_Matematyczne
Podstawy Kartografii  Wykład dla II GiK
Akademia Morska w Szczecinie
obrazy wertykałów są prostopadłe do osi x, zaś
obrazy almukantaratów są równoległe do osi x
południk przechodzący przez punkt PG nazywany
jest południkiem środkowym sfery
wertykały i almukantaraty wyznaczają kierunki
główne
ogólne wzory odwzorowawcze maja postać:
x Rg y y(h)
skale długości w kierunku wertykałów i
almukantaratów są określone wzorami:
dy 1
17/53
1 2
Rdh cosh
warunki wiernokątności:
ortogonalna siatka wertykałów i almukantaratów
równe skale parametryczne (w kierunkach wertykałów i
almukantaratów)
dy 1
Rdh cosh
po rozdzieleniu zmiennych
dh
dy R
cosh
i scałkowaniu R ln tg Cy
h
y
4 2
y na południku środkowym wynosi 0, zatem Cy = 0
h
x Rg y R ln tg
18/53
4 2
9
2011­01­01
2011­01­01
Witold Kazimierski_Matematyczne
Podstawy Kartografii  Wykład dla II GiK
Akademia Morska w Szczecinie
biorąc po uwagę zależności między
współrzędnymi geograficznymi, a prostokątnymi
tg
sferycznymi tgg
cos
0
sinh cos sin
0
funkcje odwzorowawcze przyjmują postać
tg 1 1 cos sin
0
x Rarctg y R ln
cos 2 1 cos sin
0 0
w przypadku zadania odwrotnego
tgh
arcsin sin g cosh arctg
0
cos g
y
x
g h 2arctg eR
R 2
19/53
szeroko stosowane w różnych postaciach we współczesnej kartografii
1822  J.H. Lambert ­ odwzorowanie walcowe poprzeczne równokÄ…tne dla
kuli
1820  1830  C.F. Gauss  odwzorowanie walcowe poprzeczne równokątne
dla elipsoidy (elipsoida na kulę, kula na płaszczyznę)
1912  J.H.L. Krüger  rozwinÄ…Å‚ odwzorowanie Gaussa i podaÅ‚ wzory
bezpośredniego przejścia z elipsoidy na pobocznicę walca
1947  armia USA opracowuje wielkoskalowe mapy wojskowe w
odwzorowaniu siecznym (Universal Transverse Mercator)
1951  Międzynarodowa Unia Geodezyjna i Geofizyczna podejmuje uchwałę
zalecającą wprowadzenie we wszystkich krajach świata jednolitego
odwzorowania kartograficznego do analitycznego opracowania wyników
pomiarów geodezyjnych (triangulacji) oraz do map topograficznych  za
najodpowiedniejsze uznano poprzeczne uniwersalne odwzorowanie
Merkatora dla elipsoidy
20/53
10
2011­01­01
2011­01­01
Witold Kazimierski_Matematyczne
Podstawy Kartografii  Wykład dla II GiK
Akademia Morska w Szczecinie
Carl Friedrich Gauss (1777  1855)
książę matematyków
jeden z twórców geometrii nieeuklidesowej
opisał geometrię dowolnej powierzchni
opracował metodę najmniejszych kwadratów
dyrektor obserwatorium astronomicznego w
Getyndze
odkrył rozkład normalny zmiennej losowej
opracował odwzorowanie elipsoidy na kulę i kuli na
elipsoidÄ™
opracował równokątne walcowe poprzeczne
odwzorowanie powierzchni elipsoidy obrotowej na
płaszczyznę, znane jako odwzorowanie Gaussa
Krugera
21/53
Carl Friedrich Gauss (1777  1855)
30.04.1777 urodził się w Brunszwiku jako syn prostego
robotnika
jako malec sam nauczył się czytać, a  rachować umiał
zanim nauczył się mówić
za wstawiennictwem matki został wysłany do szkoły
na jednej z pierwszych matematyki błyskawicznie
rozwiązał zadanie, które nauczyciel zaplanował na
całą lekcję (suma liczb od 1 do 40)
jako genialny matematyk został przedstawiony księciu
Karolowi Wilhelmowi Ferdynandowi, który do końca
swego życia wspierał go wypłacając stypendium
22/53
11
2011­01­01
2011­01­01
Witold Kazimierski_Matematyczne
Podstawy Kartografii  Wykład dla II GiK
Akademia Morska w Szczecinie
w czasie nauki w Collegium Carolinum, Gauss
samodzielnie opanował dzieła najwybitniejszych
matematyków  Eulera, La Grange a i Newtona
tam opracował metodę najmniejszych kwadratów
w wieku 18 lat wstąpił na Uniwersytet w Getyndze,
który porzucił po 3 latach
w 1796 udowodnił, że jest możliwa konstrukcja
foremnego 17­kÄ…ta przy użyciu cyrkla i linijki, czyli tzw.
narzędzi Euklidesa  to spowodowało jego dalsza
fascynacje matematykÄ…
pod naciskiem sponsora w 1799 roku przedstawił w
Uniwersytecie w Helmsted rozprawÄ™ doktorskÄ…, w
której podał pierwszy w historii ścisły dowód
zasadniczego twierdzenia algebry i uzyskał
 eksternistycznie stopień doktora
23/53
w 1801 roku wydał siedmiotomowe dzieło  Badania
arytmetyczne o niebagatelnym znaczeniu dla rozwoju
matematyki
Gauss uważał matematykę za królową nauk, a teorię liczb
za królową matematyki
Gauss konsekwentnie posługiwał się liczbami zespolonymi,
interpretując je jako punkty płaszczyzny
w 1801 roku rozpoczęła się także przygoda Gaussa z
astronomiÄ…, gdy Piazzini odkryÅ‚ planetoidÄ™ Ceres ­ Gauss
przewidział jej trajektorię na podstawie bardzo krótkiej
obserwacji (9° Å‚uku w 6 tygodni), z wykorzystaniem metody
najmniejszych kwadratów
w 1809 roku wydał Teorię ciał niebieskich obiegających
Słońce po orbitach stożkowych, w której opublikowal
metodę najmniejszych kwadratów i która stała się  biblią
XIX wieku
24/53
12
2011­01­01
2011­01­01
Witold Kazimierski_Matematyczne
Podstawy Kartografii  Wykład dla II GiK
Akademia Morska w Szczecinie
w 1806 roku w wojnach napoleońskich zginął książę
Karol Wilhelm i Gauss, straciwszy sponsora przyjÄ…Å‚
posadÄ™ dyrektora nowoutworzonego obserwatorium
astronomicznego w Getyndze
od 1818 roku Gauss na dobre zajÄ…Å‚ siÄ™ geodezjÄ…, kiedy
to poproszono go o przeprowadzenie triangulacji
Hanoweru i dołączenie go do Duńskiej sieci
triangulacyjnej
prace przeprowadził w latach 1820  1830 wymyślając
przy okazji  heliotrop , rozkład normalny zmiennej
losowej i tworzÄ…c podstawy odwzorowania Gaussa
oraz kilku innych
po zakończeniu prac Gauss skupił się na badaniach z
zakresu fizyki (a zwłaszcza optyki, elektrostatyki i
magnetyzmu, teoria cieczy)
25/53
wśród wielu niezwykłych osiągnięć Gaussa kilka
wybranych (poza już opisanymi) to:
szybka transformata Fouriera (FFT)  stosowana przez
Gaussa do obliczania trajektroii planet, ponownie
odkryta w 1965 roku, stosowana obecnie miedzy
innymi np. do kompresji jpg
układ jednostek miar CGS
prawo Gaussa w elektrostatyce
jeden z twórców geometrii różniczkowej
wprowadził pojęcie kongruencji w teorii liczb
podstawy geometrii nieeuklidesowej
podstawy optyki geometrycznej
zbudował telegraf elektromagnetyczny
&
26/53
13
2011­01­01
2011­01­01
Witold Kazimierski_Matematyczne
Podstawy Kartografii  Wykład dla II GiK
Akademia Morska w Szczecinie
Gauss był dwukrotnie żonaty (pierwsza żona zmarła przy porodzie trzeciego
dziecka)
Gauss był niski (poniżej 160 cm), krępy, silny i muskularny, a uwagę zwracał
przenikliwe spojrzenie jego niebieskich oczu
nazywany był  księciem matematyków
powszechnie uznawany jest za jednego z trzech największych matematyków
świata obok Archimedesa i Newtona
sam Gauss utrzymywał, że gdyby inni zajmowali się matematyką tak starannie i
głęboko jak on, to dokonaliby tych samych odkryć
często podczas rozmów z przyjaciółmi nagle milkł, zatapiał się w myślach i
przestawał reagować na otoczenie, skupiając się na rozwiązaniu jakiegoś
problemu
na pytanie Aleksandra von Humboldta, kto jest największym matematykiem w
Niemczech, Laplace bez namysÅ‚u odparÅ‚: Pfaff. A Gauss? ­ zapytaÅ‚ zdziwiony
Humboldt. Oh, Gauss jest najwiÄ™kszym matematykiem w Å›wiecie ­ odrzekÅ‚
Laplace &
27/53
Gauss był zdania, że nauka matematyki, fizyki oraz innych
przedmiotów przyrodniczych powinna być traktowaną w sposób
wolny od automatycznego wykorzystywania danej wiedzy i
kierowania własnym rozsądkiem
Gauss, mimo wielkiej wiedzy matematycznej, każde nasuwające się
mu zagadnienie najpierw gruntownie przemyślał i dopiero gdy je
we własnej wyobraz
ni uznał za rozwiązane, ujmował pióro i starał
się nadać mu oprawę matematyczną
Gauss przestrzegał przed nadmiernym i bezcelowym
wykorzystywaniem matematyki, przy omawianiu zjawisk fizycznych
i przyrodniczych, zwÅ‚aszcza w szkoÅ‚ach ­ skomplikowane
doświadczenia i zawiłe obliczenia zaciemniają istotną wartość
samego zjawiska przyrodniczego!
28/53
14
2011­01­01
2011­01­01
Witold Kazimierski_Matematyczne
Podstawy Kartografii  Wykład dla II GiK
Akademia Morska w Szczecinie
Johann Heinrich Louis Krüger (1857­1923)
urodzony w Elze, jako syn ślusarza
miał kontynuować karierę ojca, ale namówiony przez
nauczycieli postanowił kontynuować naukę w szkole
średniej i na politechnice w Berlinie, gdzie studiował
matematykÄ™
wykazywał szczególne zainteresowania w kierunku
geodezji, więc podjął pracę w Pruskim Instytucie
Geodezyjnym w Berlinie, poczÄ…tkowo jako asystent,
następnie jako profesor, a w końcu dyrektor
w 1912 roku opublikował pracę Konforme Abbildung des
Erdellipsoides in der Ebene, w której przedstawił pełną
teoriÄ™ odwzorowania elipsoidy obrotowej na
płaszczyznę, korzystając z notatek Gaussa
29/53
odwzorowanie Gaussa­Krügera jest równokÄ…tnym,
walcowym, poprzecznym, stycznym odwzorowaniem
elipsoidy obrotowej spłaszczonej na płaszczyznę
istota odwzorowania Gaussa­Krügera jest taka sama jak w
przypadku poprzecznego odwzorowania Merkatora, z tÄ…
różnicą, że oryginałem jest elipsoida obrotowa, a nie kula
niekiedy odwzorowanie to jest nazywane
odwzorowaniem poprzecznym Merkatora elipsoidy
obrotowej
odwzorowanie to jest obecnie powszechnie stosowane do
opracowania map topograficznych i zasadniczych na
świecie
w Polsce odwzorowanie Gaussa­Krügera jest podstawÄ…
układów 1942, 1965 (tylko V strefa), 1992 i 2000
30/53
15
2011­01­01
2011­01­01
Witold Kazimierski_Matematyczne
Podstawy Kartografii  Wykład dla II GiK
Akademia Morska w Szczecinie
odwzorowanie Gaussa­Krügera jest opisywane przez trzy
warunki:
jest odwzorowaniem równokątnym
południk środkowy odwzorowuje się na odcinek linii prostej
południk środkowy odwzorowuje się bez zniekształceń (ź = 0)
wszystkie południki, poza południkiem środkowym
odwzorowują się na krzywe, symetryczne względem
południka środkowego
wszystkie równoleżniki odwzorowują się na krzywe
symetryczne względem równika
równik odwzorowuje się na odcinek linii prostej
31/53
ekwideformaty zniekształceń długości maja kształt
linii równoległych do południka środkowego
zniekształcenia rosną w miarę oddalanie się od
południka środkowego (ź e" 1)
zniekształcenia są niewielkie w wąskim pasie wokół
południka środkowego, w związku z tym w
zastosowaniach praktycznych elipsoida jest dzielona
na wąskie pasy południkowe i każdy z nich jest
oddzielnie odwzorowywany na płaszczyznę
szerokość pasa południkowego ("L) definiowana
jest jako różnica długości elipsoidalnych skrajnych
południków pasa i zależy od przyjętych
dopuszczalnych zniekształceń długości i pól
32/53
16
2011­01­01
2011­01­01
Witold Kazimierski_Matematyczne
Podstawy Kartografii  Wykład dla II GiK
Akademia Morska w Szczecinie
historia zastosowania odwzorowania Gaussa­Krügera w Polsce
sięga 1928 roku, kiedy to wykorzystano je do opracowania
triangulacji państwowej wyznaczanej na elipsoidzie Bessela z
punktem przyłożenia w Borowej Górze
w okresie powojennym zmodyfikowano skalę na południku
Å›rodkowym (ź = 0,999935) i wprowadzono szerokość pasa 3°
w 1952 roku zmieniono elipsoidÄ™ odniesienia na elipsoidÄ™
Krassowskiego, a oprócz pasa 3° dla map wielkoskalowych
wprowadzono pasy 6° dla map Å›rednio i maÅ‚oskalowych (ukÅ‚ad 1942
 wprowadzony w życie na pocz. lat 60.), powrócono tez do
jednostkowej skali długości
w 1965 roku odwzorowanie Gaussa­Krügera w pasie 3°
zastosowano w piątej strefie układu  1965 ze zmodyfikowana skala
33/53
długości południka środkowego (ź = 0,999983)
odwzorowanie
odniesienia w Polsce
Å›rodkowych 19°
równą 0,9993
autor: Radvid @ pl.wiki
34/53
0,99923
z
ródło: wpl.wikipedia.org
17
2011­01­01
2011­01­01
Witold Kazimierski_Matematyczne
Podstawy Kartografii  Wykład dla II GiK
Akademia Morska w Szczecinie
ukÅ‚ad współrzÄ™dnych pÅ‚askich w odwzorowaniu Gaussa­
Krügera:
początek układu współrzędnych znajduje się w punkcie
przecięcia obrazu południka środkowego L0 i obrazu równika
oś odciętych x pokrywa się z obrazem południka środkowego i
jest skierowana na północ
os rzędnych y pokrywa się z obrazem równika i jest
x F1(B,l)
x F2 (B,l)
l L L0
35/53
z
ródło: Gajderowicz, 2009
aby wyprowadzić równania odwzorowania
Gaussa­Krügera, które jest odwzorowaniem
konforemnym należy wprowadzić na elipsoidzie
współrzędne izometryczne q i l
e
1 esin B 2
q ln tan l=L­L0
4 2 1 esin B
zgodnie z twierdzeniem o odwzorowaniach
konforemnych, można je przedstawić w postaci
funkcji analitycznej zmiennej zespolonej
x iy f q il f z
z q il
36/53
18
2011­01­01
2011­01­01
Witold Kazimierski_Matematyczne
Podstawy Kartografii  Wykład dla II GiK
Akademia Morska w Szczecinie
ponieważ w odwzorowaniu Gaussa­Krügera poÅ‚udnik
środkowy odwzorowuje się na odcinek linii prostej i
pokrywa się z osią x, dla l = 0 wartość musi również wynosić
0
współrzędna xm punktu leżącego na południku środkowym
jest więc określona za pomocą wzoru
xm i0 f q i0 xm f q
ponieważ południk środkowy odwzorowuje się bez
zniekształceń, współrzędna xm jest równa długości łuku
południka (S) liczoną od równika do danego punktu o
B
szerokości B
xm S M B dB
0
z porównania obu wzorów wynika, że
f q S
37/53
funkcjÄ™ analitycznÄ… f(z) zmiennej zespolonej z = q + il
można rozwinąć w szereg Taylora w otoczeniu punktu z0
= q
1 2 3 k
2 3 k
df q il d f q il d f q il d f q il
x iy f q ...
dq 1! dq2 2! dq3 3! dqk k!
k 0
ponieważ f(q) = S
1 2 3 k
2 3 k
dS il d S il d S il d S il
x iy S ...
dq 1! dq2 2! dq3 3! dqk k!
k 0
po rozdzieleniu na część rzeczywista i urojoną
k
2 4 4 2n
d S l2 d S d S l2n
x S
q l ... 1
dq2 2! dq4 4! dq2n 2n !
k 0
k 1
2n 1
dS l1 d3S l3 d S l2n 1
y ... 1
38/53
dq 1! dq3 3! dq2n 1 2n 1 !
k 0
19
2011­01­01
2011­01­01
Witold Kazimierski_Matematyczne
Podstawy Kartografii  Wykład dla II GiK
Akademia Morska w Szczecinie
koniecznym do określenia w ten sposób funkcji
odwzorowawczych jest wyznaczenie pochodnych
k
d S
, k 1,2,3,...
dqk
pamiętając, że
M
dq dB
ds MdB
N cos B
pierwszą pochodna można wyznaczyć z zależności:
ds ds dB N cos B
M N cos B
dq dB dq M
druga pochodna ma postać:
2
d s d ds d N cos B dB N cos B
M sin B N sin Bcos B
dq dq dB dq M
dq2
39/53
trzecia pochodna ma postać:
3
d s d N sin B cos B dB N
N cos3 B tan2 B
dB dq M
dq3
ponieważ
3
N a 1 e2 sin2 B 1 e2 sin2 B
1 e'2 cos2 B
M
a 1 e2 1 e2
1 e2 sin2 B
pochodne można przedstawić w postaci
2 3
ds d s d s
Nc Nc3 t 1
Nc2t
dq dq3
dq2
gdzie
c cos B, t tgB, e'2 cos2 B
40/53
20
2011­01­01
2011­01­01
Witold Kazimierski_Matematyczne
Podstawy Kartografii  Wykład dla II GiK
Akademia Morska w Szczecinie
kolejne pochodne można wyznaczyć z wzoru
n
n 1 n 2
d s
r r k
Ncn nk t
dqn k 0 r 0
gdzie współczynnik liczbowy nk wyznacza się z
rekurencyjnego wzoru
r r 1
r
nk n 1 k 2r n 2 n 1 k 2r n 1
k 1 k 1
r r 1
k 1 n 1 n 1
k 1 k 1
41/53
przy założeniu sześciostopniowych pasów
południkowych i dopuszczalnej dokładności obliczenia
współrzędnych 0,001 m, wzory można ograniczyć do 7
pierwszych wyrazów szeregu Taylora:
l2 l4
2 4
x S N sin B cos B N sin B cos3 B 5 t2 9 4
2 24
l6
N sin B cos5 B 61 58t2 t4
720
l3
2
y lN cos B N cos3 B 1 t2
6
l5
2 2
N cos5 B 5 18t2 t4 14 58 t2
120
42/53
21
2011­01­01
2011­01­01
Witold Kazimierski_Matematyczne
Podstawy Kartografii  Wykład dla II GiK
Akademia Morska w Szczecinie
przy założeniu sześciostopniowych pasów
południkowych i dopuszczalnej dokładności obliczenia
współrzędnych 0,001 m, wzory można ograniczyć do 7
pierwszych wyrazów szeregu Taylora:
l2 l4
2 4
x S N sin B cos B N sin B cos3 B 5 t2 9 4
2 24
l6
N sin B cos5 B 61 58t2 t4
720
l3
2
y lN cos B N cos3 B 1 t2
6
l5
2 2
N cos5 B 5 18t2 t4 14 58 t2
120
43/53
funkcje odwzorowawcze odwzorowania Gaussa­Krügera
można również przedstawić w postaci funkcji B0, b, l
w tym celu należy obrać punkt pomocniczy P0 (B0, L0)
tak, aby leżał w pobliżu punktów, dla których będą
wyznaczane współrzędne płaskie
dodatkowo wprowadza się wielkość pomocniczą b,
obliczoną według wzoru
współrzędne prostokątne punktu P0 są równe
x0 S B0
y0 0
44/53
22
2011­01­01
2011­01­01
Witold Kazimierski_Matematyczne
Podstawy Kartografii  Wykład dla II GiK
Akademia Morska w Szczecinie
funkcje odwzorowawcze odwzorowania Gaussa­Krügera
można również przedstawić w postaci funkcji B0, b, l
w tym celu należy obrać punkt pomocniczy P0 (B0, L0)
tak, aby leżał w pobliżu punktów, dla których będą
wyznaczane współrzędne płaskie
dodatkowo wprowadza się wielkość pomocniczą b,
obliczoną według wzoru
współrzędne prostokątne punktu P0 są równe
x0 S B0
y0 0
45/53
funkcje odwzorowawcze można zapisać w postaci
takich wielomianów, które zapewniają symetrię
względem obrazu południka środkowego
x a00 a01b a02b2 a03b3 ...
a20 a21b a22b2 a23b3 ... l2
a40 a41b a42b2 a43b3 ... l4 ...
y a10 a11b a12b2 a13b3 ... l
a30 a31b a32b2 a33b3 ... l3
a50 a51b a52b2 a53b3 ... l5 ...
46/53
23
2011­01­01
2011­01­01
Witold Kazimierski_Matematyczne
Podstawy Kartografii  Wykład dla II GiK
Akademia Morska w Szczecinie
poszczególne współczynniki, począwszy od a11 można
wyliczyć ze wzoru rekurencyjnego
n
1
an 1,r kran,1 2kr 1an,2 3kr 2an,3 r 1 k0an,r 1
n 1
współczynniki kr są współczynnikami kolejnych wyrazów
rozwinięcia w szereg wyrażenia:
r N cos B
k k0 k1b k2b2 k3b3 ...
M M
aby móc skorzystać z podanego wzoru rekurencyjnego
konieczne jest wcześniejsze wyznaczenie
współczynników a00, a01, a02, a03, &
47/53
współrzędną xm punktów leżących na południku
środkowym można wyznaczyć z pierwszego wiersza funkcji
odwzorowawczej (pozostałe się zerują)
xm a00 a01b a02b a03b ...
jednocześnie zgodnie z warunkiem braku zniekształceń na
xm S(B)
południku środkowym , a po rozwinięciu w szereg
Taylora 2 3
2
dS d S B B0 d3S B B0
xm S(B0) B B0
dB dB2 2! dB3 3!
a po uproszczeniu zapisu
xm S(B0) f1b f2b2 f33
gdzie f1, f2, f3, & to kolejne pochodne długości łuku południka od
równika do danego punktu
48/53
24
2011­01­01
2011­01­01
Witold Kazimierski_Matematyczne
Podstawy Kartografii  Wykład dla II GiK
Akademia Morska w Szczecinie
z porównania wzorów wynika, że współczynniki zależą
od B0
a00 S B0 , a01 f1, a02 f2, a03 f3,...
po wprowadzeniu funkcji pomocniczych f i g takich, że
1 1
f B B0 g L L0
3 2
funkcje odwzorowawcze można przedstawić jako iloczyn
trzech macierzy:
T
T
1 a00 a20 a40
1 a10 a30 a50
f a01 a21 a41
f a11 a31 a51
1
2
2
f a02 a22 a42 f a12 a32 a52 1
x g2
3
f a03 a23 a43 y f 3 a13 a33 a53 g3
g4
4
4
f a04 a24 a44 f a14 a34 a54 g5
5
5
f a05 a25 a45
f a15 a35 a55 49/53
z porównania wzorów wynika, że
a00 S B0 , a01 f1, a02 f2, a03 f3,...
po wprowadzeniu funkcji pomocniczych f i g takich, że
1 1
f B B0 g L L0
3 2
funkcje odwzorowawcze można przedstawić jako iloczyn
trzech macierzy:
T
T
1 a00 a20 a40
1 a10 a30 a50
f a01 a21 a41
f a11 a31 a51
1
2
2
f a02 a22 a42 f a12 a32 a52 1
x g2
3
f a03 a23 a43 y f 3 a13 a33 a53 g3
g4
4
4
f a04 a24 a44 f a14 a34 a54 g5
5
5
f a05 a25 a45
f a15 a35 a55 50/53
25
2011­01­01
2011­01­01
Witold Kazimierski_Matematyczne
Podstawy Kartografii  Wykład dla II GiK
Akademia Morska w Szczecinie
ponieważ wszystkie współczynniki aij można obliczyć
znając B0, wzory można łatwo stabelaryzować
Odwzorowanie Gaussa­Krügera, elipsoida GRS80
B0 = 52°1
1
f B B0 g L L0
3 2
Dla wÄ…skiego pasa poÅ‚udnikowego, gdy |f|<1° i |g|<1° ­ bÅ‚Ä™dy nie przekroczÄ… 0,4 mm
T
1 5763343,5500 1889,1100 0,2461
f 333802,0599 49,0013 0,0653
1
2
f 85,5013 10,3708 0,0010
2
x g
3
f 0,7198 0,0879 0,0004
4
g
4
f 0,0786 0,0095 0
5
f 0,0004 0 0
T
1 137356,0322 6,7212 0,0054
f 9181,8146 2,3922 0,0005
1
2
f 190,1568 0,2368 0,0001
3
y g
3
f 4,1511 0,0064 0
5
g
4
f 0,0473 0,0005 0
51/53
5
f 0,0005 0 0
52/53
26
2011­01­01
2011­01­01
Witold Kazimierski_Matematyczne
Podstawy Kartografii  Wykład dla II GiK
Akademia Morska w Szczecinie
odwzorowanie Gaussa­Krügera jako rzut potrójny
funkcje odwzorowania odwrotnego
zbieżność południków
elementarne skale długości i pól
redukowanie długości i kierunków
53/53
27
2011­01­01