I. Podstawy matematyki finansowej.

1. Rachunek procentowy.

jeden procent : 1% =

Wskaźnik procentowy (r%) jest ilorazem wartości bezwzględnych dwu wielkości

(A,B) pomnożonych przez 100:

r% =

gdzie:

A - suma procentowa (część całości),

O - całość (zasada, podstawa) procentowa.

____________________________________________________________________

Zadania.

1.1. Towar zakupiony w hurtowni kosztował 30000. Marża hurtownika wynosi 8%.

Podaj kwotową marżę hurtownika oraz cenę zakupu towaru przez hurtownika (P).

8% = P = = 27777.78

marża hurtownika: O = 30000-P = 2222.22

................................................................................................................................

1.2. Producent kupuje surowiec za 1000 zł. Koszt własny wynosi 40% ceny surowca.

Podatek akcyzowy wynosi 40% ceny sprzedaży, podatek VAT jest równy 22%

tejże ceny. Producent chce osiągnąć zysk w wysokości 15% kosztu własnego.

Oblicz cenę sprzedaży (K) produktu.

K = 1000+0.4⋅1000+0.4⋅K+0.22⋅K+0.15⋅0.4⋅1000

0.38K = 1460

K = 3842.11

................................................................................................................................

1.3. Towar kupiono za 15 zł. Przy zakupie udzielono 20% rabatu. Jaka jest jego cena

katalogowa (K) ?

20% = K = = 18.75 zł.

................................................................................................................................

1.4. Cena towaru (P) w kolejnych miesiącach zmieniała się następująco:

w pierwszym miesiącu zdrożał o 15% i cena była równa K₁,

w drugim miesiącu zdrożał o 10% i cena była równa K₂,

w trzecim miesiącu staniał o 25% i cena była równa K₃.

O ile procent zmieniła się cena towaru w trzecim miesiącu (K₃) w porównaniu

z ceną początkową (P) ?

15% = K₁ = 1.15⋅P

10% = K₂ = 1.15⋅K₁ = 1.265⋅P

25% = K₃ = 0.75⋅K₂ = 0.94875⋅P

r = = 0.05125 = 5.125%

lub:

K₃ = (1+0.15)⋅(1+0.1)⋅(1-0.25)⋅P = 0.94875⋅P

Towar staniał (K₃<P) o 5.125%.

................................................................................................................................

5. Cena towaru z marżą 20% - ową jest równa 18000 zł. Jaka jest cena towaru

(C_s) bez marży.

C_s = 15000 zł.

................................................................................................................................

6. Jaka powinna być cena sprzedaży towaru, którego koszt własny produkcji

wynosi 500 zł., aby udzielając 5% rabatu i 2.5% upustu gatunkowego osiągnąć

10% zysku w stosunku do kosztu własnego.

C_s = 593.79 zł.

___________________________________________________________________

2. Obecna i przyszła ilość pieniądza.

2.1. Rachunek odsetek prostych.

0 t T

gdzie:

P - ilość obecna (w chwili obecnej) pieniądza,

K - ilość przyszła pieniądza (końcowa), po upływie czasu t=T,

K_t - ilość przyszła pieniądza, po upływie czasu równym t,

O - odsetki (przrost ilości kapitału) naliczane po upływie czasu t=T.

O_t - odsetki naliczane po upływie czasu t,

r = =

r - stopa procentowa (rentowność) dla okresu czasu t=T

(stopa procentowa dostosowana).

O = P⋅r

K = P⋅(1+r) = P+O

P = K⋅

- współczynnik dyskontujący.

Dla okresu czasu 0 ≤ t ≤ T jest:

O = P⋅r⋅

P = K = P+O_t = P⋅(1+r)

Dla okresu czasu t = n⋅T jest:

O = P⋅n⋅r

K = P⋅(1+n⋅r) = P+O

P = K⋅

Przyjmując T=360 dni kwotę odsetek można zapisać następująco:

O =

gdzie:

L% - liczby procentowe: L% =

2.1.1. Średnia stopa procentowa.

Niech n_i oznacza liczbę okresów czasu w których obowiązuje stopa procentowa

r_i (i=1l).

Średnia (przeciętna) stopa procentowa (r_s) w okresie czasu N = :

r_s =

Średnia stopa procentowa (r_w) przy uwzględnieniu kwot kapitału A_i :

r_w =

____________________________________________________________________

2.2. Oprocentowanie nominalne.

Stopę procentową którą stosuje się do wyznaczenia odsetek przy wykorzystaniu

rachunku odsetek prostych nazywać będziemy dalej nominalną stopą procentową

(nominalnym oprocentowaniem).

Oprocentowanie nominalne określone jest na ogół dla jednego roku.

Wzory wiążące wartość obecną (P), wartość końcową (K) oraz stopę procentową r

podano w I.2.1.

Dla okresu czasu t = stopa procentowa (r_m) jest równa: r_m =

r_m - zgodna (dostosowana) stopa procentowa dla okresu czasu t, przy

stopie oprocentowania nominalnego r (dla okresu czasu = T).

O = P⋅ r_m = P

K = P(1+ r_m) = P(1+) = P+O

P = =

____________________________________________________________________

Zadania.

2.1.1. Ulokowano 1000 na trzy miesiące przy stopie procentowej 17% w skali roku.

Jaka kwota będzie do dyspozycji po powyższym okresie utrzymywania lokaty?

K_t = 1000(1+0.17) = 1042.50

................................................................................................................................

2.1.2. Zaciągnięto pożyczki w czterech bankach:

- w banku A 2000 na 3 miesiące, oprocentowanie (stopa procentowa) 17%

(w skali roku),

- w banku B 4000 na 4 miesiące, stopa procentowa: 16%,

- w banku C 3000 na 6 miesiące, stopa procentowa: 18%,

- w banku D 1000 na 1 miesiące, stopa procentowa: 19%.Wyznacz średnie oprocentowanie.

r_s = = 17.29%

r_w = = 17.10%

Kwota odsetek od zaciągniętych pożyczek:

O = 2000⋅0.17+4000⋅0.16+3000⋅0.18+1000⋅0.19 = 584.14

................................................................................................................................

2.1.3. Po uwzględnieniu skonta (zmniejszenie należności z tytułu wcześniejszej niż usta-

lono realizacji zapłaty) zwrócono 300 zł. za zrealizowanie zapłaty o 7 dni wcześniej.

Skonto obliczono według stopy procentowej 12% w skali roku.

Jaka była uzgodniona kwota zapłaty (P)?

Stopa procentowa dostosowana (dla siedmiu dni) r : r = = 0.2(3)%

Skonto (s): s = = 0.23279%

s⋅K = 300

K = 128871.43

................................................................................................................................

2.1.4. Obroty na rachunku bankowym przedstawiały się jak poniżej:

daty	wpłaty	wypłaty	saldo	dni	dni
					kalend.
1.I	-	-	700	15	15
15.I	-	200	500	46	45
1.III	600	-	1100	96	98
7.VI	-	300	800	23	23
1.VII	-	-	800	45	46
15.VIII VIII	-	1200	-400	36	37
21.IX	800	-	400	84	85
15.XII	300	-	700	15	16

Oblicz odsetki na koniec roku przyjmując, że:

- w pierwszym półroczu stopa procentowa wynosi 13% w skali roku,

w drugim - 12%,

- oprocentowanie kredytu (debet, ujemny stan konta) jest, odpowiednio,

dwa razy większe.

O = (700⋅15+500⋅46+1100⋅96+800⋅23)+(800⋅45+400⋅84+700⋅15)

-400⋅36 = 56.88+26.70-9.60 = 73.98

W przypadku uwzględnienia dni kalendarzowych otrzymujemy:

O = (700⋅15+500⋅45+1100⋅98+800⋅23)+(800⋅46+400⋅85+700⋅16)

-400⋅37 = 56.70+26.96-9.73 = 73.93

Naliczając odsetki co pół roku i dopisując je do rachunku otrzymujemy:

O = 56.88+(856.88⋅45+456.88⋅84+756.88⋅15)-(400-56.88)⋅36 =

= 56.88+29.43-8.23 = 78.08

oraz odpowiednio, uwzględniając dni kalendarzowe:

O = 56.70+29.71-8.35 = 78.06

................................................................................................................................

2.1.5. Kupiono urządzenie za 10000 zł. Zapłatę odroczono o 45 dni przy stopie

procentowej 27%. Jaką kwotę (K) zapłacono regulując zobowiązanie.

K = 10000(1+0.27) = 10337.50

Jeżeli odsetki liczone są od wartości końcowej to kwota do uregulowania będzie

równa:

K = = 10349.29

...............................................................................................................................

2.1.6. Zapłacono 100 odsetek za odroczenie o dwa miesiące zapłaty za zakupiony

towar, przy oprocentowaniu z góry w wysokości 24%. Ile zapłacono (K) i jaka

była cena towaru (P) w chwili jego zakupu?

K2500

P = K(1-r= K-O = 2500-100 = 2400

................................................................................................................................

2.1.7. a. Ile maksymalnie można zapłacić za weksel o wartości nominalnej 100

i terminie wykupu za trzy miesiące, przy stopie procentowej (rentowności) 24%.

P = 94.34

b. Jak wyżej, lecz przewiduje się, że weksel zostanie wykupiony z czteromiesięcznym

opóźnieniem. Odsetki karne są równe 0.14%/dzień.

K = 100(1+0.0014⋅120) = 116.8

P = = 102.46

c. Jak w a., lecz należy wyznaczyć przez ile dni (x) weksel nie powinien być

wykupiony aby osiągnięta została założona rentowność przy cenie zakupu = 100.

100 =

x = 82

d. Jak w a., lecz weksel zostaje wykupiony dwa lata po terminie zakupu. W między-

czasie jest sprzedawany co pół roku. Kolejny nabywca odsetki nalicza od kwoty za

którą kupił weksel.

Podaj kwotę za którą weksel winien być wykupiony po w/w terminie.

K₁ = 100(1+90⋅0.0014) = 112.6

K₂ = K₁(1+180⋅0.0014) = 140.98

K₃ = 140.98(1+180⋅0.0014) = 176.51

K₄ = 176.51(1+180⋅0.0014) = 220.99

____________________________________________________________________

2.3. Oprocentowanie składane.

W rachunku oprocentowania składanego (złożonego) odsetki dopisywane są do kapitału początkowego (kapitalizacja odsetek). Od tak powiększonej kwoty kapitału naliczane są odsetki w kolejnym terminie.

0 1 2 .................................... n (i=1n - terminy kapitalizacji)

jeżeli:

p - stopa procentowa (stopa zmiany ilości kapitału)

to:

K₁ = P(1+p)

K₂ = K₁(1+p) = P(1+p)²

^{.....................................................}

K_n = K = K_n-1(1+p) = P(1+p)ⁿ = P⋅(K/P,p,n)

P = K(1+p)^-n = K⋅(P/K,p,n)

gdzie:

(K/P,p,n) = (1+p)ⁿ

(P/K,p,n) = (1+p)^-n

(1+p)^-n - współczynnik dyskontujący

2.3.1. Efektywna stopa procentowa.

Jeżeli:

- stopa oprocentowania nominalnego jest równa r,

- dopisywanie (kapitalizacja) odsetek realizowane jest m razy (dla m podokresów

o równych czasach trwania) w okresie czasu równym T dla którego określona

jest stopa oprocentowania nominalnego,wtedy stopa oprocentowania kapitału dla jednego podokresu jest równa ,

dla końcowej ilości kapitału mamy więc:

K = P()^m

Stopę procentową (p) określającą zmianę ilości kapitału w całym okresie

nazywamy efektywną stopą procentową :

p = (1+)^m -1

stąd:

r = m[(p+1)^1/m-1]

Stopa procentowa równoważna (skorygowana ) p_r - jest to stopa procentowa dla każdego z m podokresów dająca tę samą efektywność (przy kapitalizacji odsetek na koniec każdego podokresu czasu) co nominalna stopa procentowa r (określona dla całego okresu czasu).

Z zależności: P(1+p_r)^m = P(1+r) otrzymujemy więc:

(1+p_r)^m = r+1

stąd:

p_r = (1+r)^1/m -1

Stopa procentowa równoważna dla k podokresów jest więc równa: (1+r)^k/m -1

Jeżeli okres utrzymywania kapitału jest niezgodny z terminem kapitalizacji,

to znaczy:

t = n⋅T +k T - okres kapitalizacji; k<T

wtedy:

K = P(1+p)^n+k/T = P⋅(K/P,p,n+k/T)

lub:

K = P(1+p)ⁿ (1+p) = P⋅(K/P,p,n) (1+p)

Obie formuły nie są oczywiście sobie równoważne. W pierwszym przypadku przyrost kapitału wyznaczono w oparciu o stopę oprocentowania równoważnego (oprocentowanie składane),

w drugim - o stopę oprocentowania nominalnego (rachunek odsetek prostych).

2.3.2 Przeciętna stopa procentowa.

Niech w l podokresach o czasie trwania n_i (jednostek czasu) stopa procentowa

wynosi (dla każdej jednostki czasu) p_i.

Stopa procentowa p w całym okresie czasu N= jest równa:

p =-1

Przeciętna stopa procentowa (p_s) w jednostce czasu jest równa:

p_s = (p+1)^1/N -1

____________________________________________________________________

2.4. Oprocentowanie ciągłe.

Oprocentowanie ciągłe (p_c) jest graniczym oprocentowaniem efektywnym przy

liczbie kapitalizacji (m) dążącej do nieskończoności:

p_c =^m -1 = e^r -1

Stopa oprocentowania ciągłego dla okresu czasu t (przy oprocentowaniu nominalnym

równym r w okresie czasu T) jest równa:

p_c(t) = -1 = -1

Stąd ilość końcowa (K) kapitału po okresie czasu równym t jest:

K = P(1+p_c(t)) = P⋅

dla ilości obecnej jest więc:

P = K⋅ - współczynnik dyskontujący

Jeżeli = n to: p_c(n) = e^r⋅n - 1

Ilość końcowa (K) kapitału przy oprocentowaniu ciągłym dla n okresów (t=n⋅T) jest

więc równa:

K = P(1+p_c(n))ⁿ = P⋅e^r⋅n

stąd, dla ilości obecnej jest:

P = K⋅e^-r⋅n

____________________________________________________________________

2.5. Oprocentowanie z góry.

Jeżeli jest stopą procentową przy oprocentowaniu z góry określoną następująco:

=

to wtedy:

O = K⋅

K = P⋅

P = K⋅(1-)

Zależności między oprocentowaniem nominalnym (r) a stopą procentową dla oprocentowania z góry (), dającymi tę samą wartość końcową przy tej samej

wartości początkowej, są jak poniżej:

r =

=

Dla n terminów kapitalizacji odsetek jest:

K = P(1-)^-n = P⋅(K/P, , n) ( < 1)

P = K(1-)ⁿ = K⋅(P/K, , n)

(1-)^-n - współczynnik dyskontujący

Dla m terminów kapitalizacji odsetek w okresie czasu dla którego określona jest stopa

oprocentowania z góry oraz n okresów czasu zachodzi:

K = P⋅ = P⋅(1-)^-n⋅m

P = K⋅(1-)^n⋅m

____________________________________________________________________

2.6. Oprocentowanie zmienne.

Jeżeli w danym okresie czasu obowiązują różne stopy procentowe (w określonych podokresach czasu) to wyżej podane zależności dla wyznaczenia wartości przyszłej (lub obecnej) mogą być stosowane tylko w tych podokresach. Wyznaczenie wartości przyszłej (obecnej) dla danego okresu czasu dokonuje się wykorzystując oczywistą zależność,że wartość przyszła dla danego podokresu jest jednocześnie wartością obecną dla następnego kolejnego podokresu czasu (patrz: zadanie I.2.1.).

____________________________________________________________________

Zadania.

2.2.1. Ulokowano 100 zł na sześć lat. Stopa oprocentowania zmieniała się co dwa

lata i wynosiła, odpowiednio: 17%, 15%, 13%. Jaką kwotą (K) dysponowano po

w/w okresie utrzymywania lokaty w przypadku:

a. oprocentowania prostego,

b. kapitalizacji rocznej,

c. oprocentowania ciągłego,

d. oprocentowania z góry?

ad. a. K = 100(1+2⋅0.17+2⋅0.15+2⋅0.13) = 190

ad. b. K = 100(1+0.17)²(1+0.15)²(1+0.13)² =

100(K/P,17%,2)(K/P,15%,2)(K/P,13%,2) = 231.17 zł.

ad. c. K = 100e^{2⋅0.17+2⋅0.15+2⋅0.13} = 245.96

ad. d. K = 100(1-0.17)^-2(1-0.15)^-2(1-0.13)^-2 = 265.44

................................................................................................................................

2.2.2. Wyznacz efektywną stopę procentową (p_e) jeżeli nominalna stopa procentowa

= 18% przy czestotliwości kapitalizacji odsetek jak w poniższej tabeli.

częstotliwość	efektywna stopa procentowa
kapitalizacji	oprocentowanie (%)
odsetek	składane	z góry
ciągła	19.722
1 dzień	19.72	19.73
1 tydzień	19.68	19.76
2 tygodnie	19.65	19.80
1 miesiąc	19.56	19.89
2 miesiące	19.41	20.05
3 miesiące	19.25	20.22
4 miesiące	19.10	20.40
5 miesięcy	18.95	20.58
6 miesięcy	18.81	20.76
9 miesięcy	18.39	21.33
12 miesięcy	18	21.95

(1 rok = 52 tygodni = 360 dni)

................................................................................................................................

2.2.3. Lokujesz 1000 zł na dwa lata. Pięć banków oferuje poniższe warunki dla lokat:

1. oprocentowanie proste, stopa oprocentowania: 20%, kapitalizacja na koniec

okresu oszczędzania,

2. oprocentowanie nominalne: 19%, kapitalizacja kwartalna,

3. oprocentowanie efektywne: 20.5%,

4. oprocentowanie nominalne: 18.5%, kapitalizacja ciągła,

5. oprocentowanie z góry: 17.5%, kapitalizacja półroczna.

Jaką kwotą będziesz dysponować po podanym okresie utrzymowania lokaty?

Która oferta jest najkorzystniejsza?

ad.1. K = 1000(1+2⋅0.2) = 1400.00

p_e - stopa oprocentowania efektywnego w skali roku:

p_e = (1+)^1/2 -1= (1+)^1/2 -1 = 18.32%

ad.2. p_e = (1+)⁴ -1 = (1+)⁴ -1 = 20.4%

K = 1000(1+p_e)² = 1449.55

ad.3. p_e = 20.5%

K = 1452.02

ad.4. p_e =e^r⋅ -1 = e^0.185 -1 = 20.32%

K = 1447.73

ad.5. p_e = -1 = 20.10%

K = 1000(1+p_e)² = 1442.40

................................................................................................................................

2.2.4. A. Po trzech latach na rachunku jest 1000 zł.

Jaką kwotę (P) wpłacono przy stopie procentowej: 16% jeżeli kapitalizacja była:

a. roczna,

b. półroczna,

c. kwartalna,

d. miesięczna,

e. ciągła.B. Na rachunek wpłacasz 1000 zł. Jaką kwotą (K) będziesz dysponować po dwu

latach przy stopie procentowej:16% jeżeli kapitalizacja jest jak powyżej.

ad. A. a. P = K(1+)^-n⋅m = 1000(1+0.16)^-3 = 640.66

b. P = 1000(1+0.08)^-6 = 630.17

c. P = 1000(1+0.04)^-12 = 624.60

d. P = 1000(1+)^-36 = 620.75

e. P = 1000e^-3⋅0.16 = 618.78

ad. B. a. K = P(1+)^n⋅m = 1000(1+0.16)²= 1345.60

b. K = 1000(1+0.08)⁴= 1360.49

c. K = 1000(1+0.04)⁸= 1368.57

d. K = 1000(1+)²⁴ = 1374.22

e. K = 1000e^2⋅0.16 = 1377.13

................................................................................................................................

2.2.5. Wpłacasz pewną kwotę na rachunek o stopie oprocentowania nominalnego:

16%, kapitalizacja kwartalna. Po jakim okresie czasu kwota na rachunku będzie

dwukrotnie większa.

2 = (1+)^x x = 17.7 → n = 18 kwartałów = 4.5 lat

................................................................................................................................

2.2.6. Ilość pieniędzy złożona na rachunku wzrosła po półtora roku o 50%, przy

kapitalizacji miesięcznej.

Jaka była stopa oprocentowania efektywnego (p) i nominalnego (r).

p = (1+0.5)^2/3 -1 = 31.04%

r = 12[(1+p)^1/12 -1] = 27.34%

................................................................................................................................

2.2.7. Lokujesz na rok 1000 zł. Stopa oprocentowania nominalnego: 17%.

Naliczanie odsetek co pół roku. Odsetki dopisywane są do rachunku o oprocen-

towaniu prostym 11%. Jaką kwotą (K) będziesz dysponować po w/w okresie.

K = 1000+2⋅1000+1000⋅ = 1170.00+4.68 = 1174.68

................................................................................................................................

2.2.8. Wpłacasz 100 zł na pięć lat. Jaka stopa oprocentowania efektywnego zapewni

podwojenie oszczędności przy kapitalizacji kwartalnej.

200 = 100(1+)²⁰

r = 14.11%

p_e = (1+)⁴ = 14.87%

................................................................................................................................

2.2.9. Wpłacono 100 na trzy lata przy stopie procentowej 18% oraz kwartalnej

kapitalizacji odsetek. Po roku zmieniono oprocentowanie ze składanego na

oprocentowanie z góry oraz półroczną kapitalizację odsetek.

Jaka winna być stopa procentowa (p) dla oprocentowania z góry aby kwota

końcowa lokaty nie uległa zmianie.

100()¹² = 100⋅()⁴⋅

p = 16.85%

................................................................................................................................

2.2.10. Ulokowano pewną kwotę pieniędzy na trzy lata przy zmiennej stopie

procentowej oraz kwartalnej kapitalizacji odsetek. Stopa procentowa w

kolejnych trzech latach była równa, odpowiednio: 18%, 16%, 14%.

Czy bardziej opłacalna była lokata przy stałej stopie procentowej 16%

i kwartalnej kapitalizacji odsetek?

(1+)⁴(1+)⁴(1+)⁴ -1 = 60.09%

(1+)¹² -1 = 60.10% > 60.09%

................................................................................................................................2.2.11. Pożyczasz 100 zł na jeden tydzień. Po tygodniu odbierasz 110 zł.

Jaka jest rentowność tej operacji ?

w skali tygodnia: = 10%

w skali roku: (1+0.1)⁵² = 14204% (przy kapitalizacji odsetek)

...............................................................................................................................

2.2.12. Na rachunku umieszczasz 100 zł.

Kapitalizacja kwartalna, stopa oprocentowania efektywnego: 15%.

Pieniądze wycofujesz po 8-u miesiącach? Jaką kwotę (K) otrzymasz?

Nominalna stopa procentowa:

r = 4[(1+0.15)^1/4 -1] = 14.22%

K= 100(1+)²⋅(1+⋅) = 109.78

lub:

K = 100(1+)²⋅(1+)^2/3 = 109.77

Na ogół za nieutrzymanie wkładu do terminu kapitalizacji odsetek stosuje się niższą stopę procentową (w części drugiej formuły dla wyznaczenia wartości przyszłej).

................................................................................................................................

2.2.13. Uzgodniono: cena produktu = 50 mln. zł., termin realizacji umowy - 2 lata,

płatność po w/w terminie. Dodatkowo uzgodniono pobranie przez producenta

kwot zaliczkowych: 10% w/w kwoty teraz, 30% po roku.

Ile (P) producent otrzyma po zakończeniu (terminowym) kontraktu, jeżeli dla

kalkulacji przyjęto stopę procentową: 8%?

P = 50-5(1+0.08)²-15(1+0.08) = 27.968 mln. zł.

____________________________________________________________________

3. Równoważność przepływów pieniędzy.

Niech zbiór elementów (w_i, t_i) określa przepływ pieniędzy, gdzie: w_i - kwota pieniędzy (wpłaty, wypłaty) w czasie t_i. Dwa tak określone przepływy są równoważne jeżeli wartości obecne (P₁, P₂) wyznaczone dla tego samego terminu są sobie równe:

P₁ (T, w_i¹, t_i¹, M ¹) = P₂ (T, w_j², t_j², M ²) (i=1l₁, j=1l₂)

gdzie:

T - termin dla którego wyznaczane są wartości obecne,

M - metoda (sposób) wyznaczania zmiany ilości pieniędzy w czasie

(oprocentowanie składane, ciągłe, z góry).

Ogólną zasadę wyliczania wartości obecnej pieniędzy (P) można zapisać

następująco:

P = _i⋅d(t_i ,M_i)

d(⋅) - współczynnik dyskontujący, którego wartość zależy od terminu (t_i)

oraz od sposobu naliczania odsetek (zmiany ilości pieniędzy w czasie).

Przypadek gdy l₁=l₂=1 przedstawiono wcześniej (I.2.). Teraz omówione zostaną

inne, bardziej ogólne przepływy, często występujące w praktyce.

3.1. Model równych rat.

3.1.1. Oprocentowanie proste.

^{0 1/m 2/m ........ ....................... (N-1)/m N/m ....................................... 1}

gdzie:

1 - termin kapitalizacji odsetek,

0 - termin dla wartości obecnej (P),

m - ilość rat pomiędzy dwoma kolejnymi terminami kapitalizacji odsetek,

N - ilość rat zrealizowanych,

A - kwota raty (wpłaty, wypłaty) w terminach i/m (i=1N),

K - wartość końcowa dla N kolejnych rat,

P - wartość obecna dla N kolejnych rat.

Niech r będzie stopą oprocentowania nominalnego, wtedy:

K = A+A(1+r)+A(1+r)+..........+A(1+r)

stąd:

K = A⋅N⋅(1+r) = A⋅N⋅

Przy ratach (wpłaty, wypłaty) z góry mamy:

K = A⋅N⋅(1+r) = A⋅N⋅

A =

+ dla rat z góry,

- dla rat z dołu.

P = K(1+r)^-1 = A⋅N⋅

A =

Jeżeli m=N wtedy:

K = A

A =

P = A

A = P

3.1.2. Oprocentowanie składane.

3.1.2.1. Raty zgodne.

^{0 1 2 3 ............................... n-1 n n+1}

gdzie:

1,2,......,n-1,n,n+1 - terminy kapitalizacji odsetek.

Niech p będzie stopą procentową, wtedy:

K = A+A(1+p)+A(1+p)²+...........+A(1+p)^n-2+A(1+p)^n-1

= A= A

K = A = A⋅(K/A,p,n)

gdzie: (K/A,p,n) =

A = K = K⋅(A/K,p,n)

P = A = A⋅(P/A,p,n)

A = P = P⋅(A/P,p,n)

Dla rat z góry ilość obecna () i ilość przyszła () są, odpowiednio, równe:

= P⋅(p+1)

= K⋅(p+1)

Dla ciągu rat dążącym do nieskończoności otrzymujemy następującą wartość dla A

(wiecznej raty, wiecznej renty):

A = = P⋅p

P =

3.1.2.1.1. Oprocentowanie ciągłe.

W przypadku oprocentowania ciągłego wcześniejsze wzory wiążące

wartości K, P, A są następujące:

K = A A = K

P = A

A = P

3.1.2.1.2. Wzory przybliżone.

Metoda wskaźnika stałego:

A = [r(N+1)+2m]

Metoda wskaźnika bezpośrednigo:

A =

Metoda wskaźnika N:

A =

P = A⋅N⋅

r =

Z każdym kolejnym wzorem dokładność przybliżenia zwiększa się.

Dokładną wartość otrzymamy rozwiązując równanie: P = A(P/A, , N)

3.1.2.2. Raty niezgodne.

3.1.2.2.1. Raty częstsze niż kapitalizacja.

^{0 1/m 2/m .............................. 1 1+1/m ......................................... n n+k n+1}

dla powyższego przepływu jest:

K = A′(K/A, p, n)

gdzie:

A′ = A⋅[m+]

A′ - wartość końcowa dla m rat, przy oprocentowaniu prostym.

Przy obliczaniu wg. oprocentowania równoważnego otrzymujemy:

A′ = A⋅(K/A, (p+1)^1/m-1, m)

Wartość końcowa (K') w terminie n+k (k<1):

K′ = K(1+p⋅k) - przy oprocentowaniu prostym w przedziale (n,n+l),

K′ = K(1+p)^k - przy oprocentowaniu składanym.

3.1.2.2.2. Kapitalizacja częstsza niż raty.

Przyjmując, że wpłaty dokonywane są n razy co k terminów kapitalizacji

odsetek, przy stopie procentowej p, otrzymujemy:

K = A⋅(K/A, (p+1)^k -1, n)

____________________________________________________________________

3.2. Raty tworzące ciąg arytmetyczny.

0 1 2 3 4 .................................................. n

Kwoty rat stanowią ciąg arytmetyczny dla którego:

a₁ = 0 oraz: a_i+1=a_i+G (i=1|n-1).

wtedy:

K = G(1+p)^n-2+2G(1+p)^n-3+.................+(n-2)G(1+p)+(n-1)G

Pomnóżmy powyższe równanie przez p+1:

K(p+1) = G(1+p)^n-1+2G(1+p)^n-2+.................+(n-2)G(1+p)²+(n-1)G(1+p)

Od tak otrzymanego równania odejmijmy równanie wyjściowe, jest wtedy:

K(1+p)-K = G[(1+p)^n-1+(1+p)^n-2+...................+(1+p)²+(1+p)+1]-n⋅G

Z powyższego równania otrzymujemy:

K = G

P = G = G⋅(P/G, p, n)

A = G = G⋅(A/G, p, n)

A - kwota równej raty; ciąg n równych rat o wielkości A jest równoważny

przepływowi o ratach tworzących ciąg arytmetyczny (o różnicy równej G),

przy stopie procentowej równej p.

____________________________________________________________________

3.3. Raty tworzące ciąg geometryczny.

0 1 2 3 ................................................ n

Kwoty rat stanowią ciąg geometryczny dla którego:

a₁ = A₁ oraz: a_i+1=a_i⋅(q+1) (i=1|n-1).

Dla wartości obecnej (P) jest więc:

P = A₁(1+p)^-1+A₁(1+p)^-1()+A₁(1+p)^-1()² +.......+ A₁(1+p)^-1()^n-1

Pomnóżmy powyższe równanie przez :

P = A₁(1+p)^-1+A₁(1+p)^-1()²+A₁(1+p)^-1()³ + .......

.....+ A₁(1+p)^-1()^n-1+ A₁(1+p)^-1()ⁿ

Od równania wyjściowego odejmijmy tak otrzymane równanie, jest wtedy:

P-P⋅= A₁(1+p)^-1 - A₁(1+p)^-1⋅()ⁿ

stąd:

P = A₁⋅= A₁(P/G,q,p,n) dla: (p≠q)

P = A₁⋅n(1+p)^-1 dla: (p=q)

Jeżeli n → ∞ oraz 0≤q<p to: P =

____________________________________________________________________

Zadania.

3.1. Przyjmując - dla poniższych, graficznie przdstawionych, przepływów środków pieniężnych, oprocentowanie składane oraz kapitalizację zgodną - wynacz wartości zaznaczonych (znakiem ?) parametrów.

Przyjmij dla wszystkich zadań stopę oprocentowania p = 10%.

a.

X+X(P/A,10%,4)+X(P/K,10%,4) = 100(P/A,10%,4)

X = = = 65.32

................................................................................................................................

b.

P = 100(A/K,10%,2)(P/A,10%,6)(K/P,10%,1) = 100⋅0.4762⋅4.355⋅1.1 = 228.12

................................................................................................................................

c. d.

A_i =A=5

ad.c. K=A n== 11.53 n=12

ad.d. =A n= 25.16 n=26

................................................................................................................................

e.

X(P/A,10%,4)(P/K,10%,1)=50(P/A,10%,4)+10(P/G,10%,4)

X = 70.19

................................................................................................................................

f .

P = [50(P/A,10%,4)+10(P/G,10%,4)](P/K,10%,2) = 167.16

K = P(K/P,10%,6) = 296.14

................................................................................................................................

g.

1000 = x(P/G,10%,6)(K/P,10%,1)

x = 93.87

...............................................................................................................................

h.

1000(K/A,10%,3)(K/P,10%,2) = J(P/A,10%,3) lub: J=1000(K/P,10%,5)

J = 1610.48

...............................................................................................................................

i.

P = = 629.69

...............................................................................................................................

j. k.

ad.j. x⋅(P/G,10%,6)(K/P,10%,1) = 1000(P/A,10%,2)

x = 162.92

ad.k. 50(P/G,10%,5)(K/P,10%,1) = 4x⋅(P/A,10%,4) - x⋅(P/G,10%,4)

x = 45.46

................................................................................................................................

l.

[100(P/A,10%,3)+50(P/G,10%,3)](K/P,10%,5) = X(P/A,10%,4)

[100⋅2.487+50⋅2.329]⋅1.611 = X⋅3.1699

X = 185.52

................................................................................................................................

m. n.

ad.m. A = [1000-100(P/K,10%,5](A/P,10%,5) = 247.42

ad.n. A = [1000-100(P/K,10%,3](A/P,10%,5) = 243.98

................................................................................................................................

o.

1010 = 250⋅ = 250(P/A, p, 5)

Równanie powyższe (poszukiwane p) można rozwiązać tylko metodami przybliżonymi, praktycznie - z dowolną dokładnością.

Dla p=8% prawa strona równania jest równa 998.25, a dla p=7% jest równa 1025.00.

Skorzystajmy z aproksymacji liniowej w przedziale (7%,8%).

8% - 998.25

p% - 1010.00

7% - 1025.00

p = 7.6%

................................................................................................................................

p.

[400(P/K,10%,3)+100(P/K,10%,6)]= X(P/A,10%,9)

X = 61.98

................................................................................................................................

q.

A(P/A,10%,4) = [200(P/A,10%,3)-50(P/G,10%,3)](P/K,10%,1)

A = 109.25

...............................................................................................................................

r.

(400-X)(P/K,10%,3) = X(P/A,10%,9)

X = 46.16

................................................................................................................................

s.

P = (P/K,10%,2) = 826.4

...............................................................................................................................

t.

1000 =

p = 9.16%

................................................................................................................................

u.

Jaka winna być najmniejsza ilość rat (n), każda w kwocie 100, aby wartość końcowa była równa co najmniej 2000, przy stopie procentowej 15% ?

2000 < 100(K/A,15%,n)

Z tablic znajdujemy, że minimalną wartością n spełniającą powyższy warunek jest n=10:

2000 <100⋅20.304=2030.4

...............................................................................................................................

v.

100(P/A,10%,5) = x(P/A,10%,5)+x(P/G,10%,5)

x = 35.59

...............................................................................................................................

w.

P = (A/K,10%,2)[5(P/A,10%,8)+10(P/A,10%,10)(K/P,10%,1)] = 44.89

................................................................................................................................

x. y.

p = ?

ad.x.

p = 7.59%

ad. y.

p = 5.12%

............................................................................................................................

3.2.

Bierzesz kredyt w kwocie 10000 zł. Spłacasz go w równych ratach przez pięć

kolejnych lat. Wyznacz kwotę raty dla różnych poniższych warunków.

A. Stopa oprocentowania w skali roku wynosi 25% i jest to stopa oprocentowania:

a. nominalnego,

b. efektywnego,

c. ciągłego.

B. Spłaty dokonujesz na koniec każdego kolejnego:

a. miesiąca,

b. kwartału,

c. roku.

C. Kapitalizacji odsetek dokonuje się:

a. kwartalnie,

b. rocznie.

A.a.B.a.C.a. r = 25%

A = 10000= 290.49

b. A = 10000(A/P,25%,5) = 278.02

B.b.C.a. A = 10000(A/P,6.25%,20) = 889.62

b. A = 10000(A/P,25%,5) = 849.94

B.c.C.a. p= (1+)⁴-1 = 27.4429%

A = 10000(A/P,p,5) = 3906.21

b. A = 10000(A/P,25%,5) = 3718.47

A.b.B.a.C.a. r = 4[(1+0.25)^1/4-1] = 22.9485%

A = 10000= 279.11

b. jak dla A.a.B.a.C.b.

A.b.B.b.C.a. A = 10000(A/P,,20) = 853.33

b. A = 10000(A/P,25%,5) = 855.95

lub:

A = 10000(A/P, e^r/12-1, 60) = 279.17

A.b.B.c.C.a-b. jak dla A.a.B.c.C.b.

A.c.B.a.C.a. przy założeniu, że odsetki dla wpłat częstszych niż ich kapitalizacja

nalicza się według rachunku odsetek prostych:

0.25 = e^r-1

r = 22.3144%

p = e^r/4-1 = 5.7371%

A = 10000= 279.25

b. A = 10000(A/P,25%,5) = 281.12

lub (A.c.B.a.C.a.-b.):

A = 10000(A/P, e^r/12-1, 60) = 279.17

B.b.C.a-b. A = 10000(A/P,p,20) = 853.33

lub:

b. A = 10000(A/P,25%,5) = 857.83

B.c.C.a-b. jak dla A.a.B.c.C.b.

...............................................................................................................................

3.3. Warunki jak w zadaniu 3.2. lecz wpłaty dokonywane są z góry.

Rozważmy, przykładowo, trzy przypadki:

- raty są częstsze od kapitalizacji, np.: A.a.B.a.C.a.

A = 10000= 284.68

- raty zgodne, np.: A.a.B.b.C.a.

A = (A/P,6.25%,20) = 837.29

- kapitalizacja częstsza niż raty, np.: A.a.B.c.C.a.

A = (A/P,27.44%,5) = 3655.42

................................................................................................................................

3.4. Warunki jak w zadaniu 3.2.A.a.B.a.C.a., lecz spłaty dokonywane są po dwu

latach karencji.

A = 10000(1+)⁸⋅= 471.80

...............................................................................................................................

3.5. Kupiono towar o cenie 1000 zł. Przy zakupie płacisz 200 zł. Resztę spłacono w

miesięcznych ratach po 100 zł. Ile będzie rat (n) i jaka winna być wysokość ostatniej

raty (Y) przy stopie procentowej: 36%.

100(P/A,3%,n)≥1000-200≥100(P/A,3%,n-1)

x = 9.28 → n = 10

800 = 100(P/A,2%,8)+X(P/K,2%,9)

Y = = 28.75

...............................................................................................................................

3.6. Pożyczasz 10000 zł. przy stopie procentowej 24%. Dług spłacasz z dołu

w ośmiu miesięcznych równych ratach.

Wyznacz kwotę raty (A) jeżeli kapitalizacja jest:

a. miesięczna,

b. kwartalna,

c. roczna.

ad.a. A = 10000(A/P,2%,8) = 1365.1

ad.b. 10000 = P₁+P₂

P₁ - wartość obecna sześciu pierwszych rat,

P₂ - wartość obecna dwu pozostałych rat.

P₁ = A

P₂ można wyznaczyć na kilka sposobów:

a. P₂ = ()⋅1.06^-2

b. P₂ = [A(1-0.02)+A(1-0.04)]⋅1.06^-2

c. P₂ = ()⋅1.06^-2

Otrzymamy wtedy dla kwoty rat, odpowiednio:

a. A = 1362.68

b. A = 1363.00

c. A = 1362.56

ad.c. A = 10000= 1355.14

...............................................................................................................................

3.7. Kupując urządzenie usprawniające proces produkcyjny uzyskano roczne

oszczędności w kwocie 100. Okres eksploatacji urządzenia: 20 lat, po tym okresie

wartość końcowa urządzenia będzie równa 10% ceny zakupu.

Ile maksymalnie powinno kosztować (P) urządzenie aby inwestycja była opłacalna

przy przyjęciu stopy procentowej: 12%?

P ≤ 0.1P(P/K,12%,20)+100(P/A,12%,20)

P ≤ 1003.33

...............................................................................................................................

3.8. Przez 3 lata wpłacasz co miesiąc (z dołu) 500 do kasy mieszkaniowej.

Stopa procentowa dla oszczędności: 5.5%. Po okresie trzech lat bierzesz

kredyt (K₂) w wysokości 150% kwoty oszczędności (K₁). Kredyt ten spłacasz

w równych ratach miesięcznych przez kolejne 6 lat. Stopa procentowa dla spłaty

kredytu: 11%. Kapitalizacja, w obu przypadkach, półroczna.

Jaką kwotą (K) będziesz dysponować po okresie trzech lat (oszczędności+kredyt)?

Ile będą wynosić miesięczne spłaty (A) zaciągniętego kredytu?

K₁ = 500⋅= 19504.78

K₂ = 1.5K₁ = 29257.17

K = K₁ + K₂ = 48761.95

A = K₂ = 553.11

...............................................................................................................................

3.9. Na brakujące 10000 do zakupu samochodu bank A proponuje udzielenie kredytu

przy miesięcznych spłatach po 361 przez trzy lata. Natomiast bank B - półroczne

raty po 3100 przez dwa lata. Która oferta jest korzystniejsza?

r_A = = 17.94%

r_B = = 18.35%

p_A = (1+)¹² -1 = 19.49%

p_B = (1+)² -1 = 19.19%

................................................................................................................................

3.10. Firma ubezpieczeniowa zobowiązuje się wypłacić 1000 w przypadku

zaistnienia określonego zdarzenia losowego. Ubezpieczający się winien wpłacać

6 zł. miesięcznie (z góry). Stopa procentowa (reinwestycji) dla zgromadzonego

przez ubezpieczyciela kapitału: 16%, kapitalizacja roczna.

Po ilu (N), co najmniej, latach powinno nastąpić to zdarzenie aby umowa była

korzystna dla ubezpieczającego.

6⋅⋅ > 1000

n > 7.85 → N = 8

___________________________________________________________________

4. Inflacja.

Inflacja to proces ekonomiczny przejawiający się we wzroście cen towarów i usług.

Przyjmijmy:

p - stopa zmiany ilości kapitału (stopa procentowa) w danym okresie,

i - stopa inflacji, w tym samym okresie.

Po pierwszej kapitalizacji realna wartość kapitału o początkowej ilości P jest równa:

K_r = P⋅

Niech p_r oznacza realną stopę zmiany wartości kapitału, wtedy:

p_r = -1

p = p_r+p_r⋅i+i

Po n okresach kapitalizacji dla realnej wartości końcowej (K) i wartości początkowej jest:

K = P⋅(K/P, p_r, n)

P = K⋅(P/K, p_r, n)

4.1. Przeciętna stopa inflacji.

Analogicznie jak stopę procentową i średnią stopę procentową w danym okresie określa się następująco:

stopę inflacji (i) w danym okresie:

i = -1

średnią stopę inflacji w jednostce czasu (i_s):

i_s = (i+1)^1/N -1

gdzie:

l - liczba podokresów,

N =

n_i(i_i) - ilość jednostek czasu (stopa inflacji) dla i-tego podokresu (i=1l).4.2. Model równych rat z uwzględnieniem inflacji.

Niech przy wpłatach (wypłatach) z dołu pierwsza rata jest równa A₁. Kwoty kolejnych rat są zwiększane zgodnie ze stopą inflacji (i):

A_n = A_n-1⋅(i+1)

Kwoty nominalne rat tworzą ciąg geometryczny, mamy więc:

P = A₁⋅ = A₁(P/G,i,p,n)

K = P(K/P, p, n)

Jeżeli i<p oraz n→∞ to:

P = =

____________________________________________________________________

Zadania.

4.1. Stopa inflacji za trzy pierwsze kwartały roku wynosi 14%, w czwartym kwartale

wyniosła 5%. Jaka jest stopa inflacji w skali roku (i)?

Ile wynosi przeciętna miesiączna stopa inflacji (i_m)?

i = (1+0.14)(1+0.05)-1 = 19.7%

i_m= (1+i)^1/12 -1 = 1.51%

................................................................................................................................

4.2. Stopa inflacji po 8-u miesiącach jest równa 11%. Planowano inflację w skali

roku na poziomie 14%.

Jaka powinna być stopa inflacji (i) w pozostałych 4-ech miesiącach oraz średnia

miesięczna (i_m) inflacja w tym okresie?

i = -1= 2.7%

i_m = (1+i)^1/4 -1= 0.67%

................................................................................................................................

4.3. Lokujesz (teraz) 10000 na 10 lat. Stopa oprocentowania: 17%,

stopa inflacji: 14%.

Jaką nominalną kwotą (K) oraz jaką realną (o obecnej wartości) kwotą (K_r)

będziesz dysponować po podanym okresie czasu?

K = 10000(K/P,17%,10) = 48068.28 zł.

K_r = 10000(K/P, p_r, 10) = 10000(K/P,-1,10) = 10000(1+0.026)¹⁰

= 12966.12 zł.

................................................................................................................................

4.4. Lokuję przez 10 lat po 1000 zł.

a. na końcu każdego roku,

b. na poczatku każdego roku.

Pozostałe warunki i pytanie - jak w zadaniu 4.3.

ad.a. kwota nominalna:

K = 1000(K/A, 17%, 10) = 1000⋅= 22393.11

K_r,d = = 6040.40 zł. (kwota dokonanych wpłat = 10000)

ad.b. K_r,g = K_r,d⋅(1+0.17) = 7067.27 zł.

................................................................................................................................

4.5. Wpłacasz pewną kwotę, z dołu, przez pięć lat przy stopie procentowej dla

oszczędności:14%.

Jaką kwotą nominalną (K) będziesz dysponować po w/w okresie czasu jeżeli:

kapitalizacja jest:

A. kwartalna,

B. ciągła,

oraz wpłacasz:

a. co miesiąc 500,

b. co pół roku 3000.

Jaka będzie realna wartość oszczędności (K_r) przy stopie inflacji: 9%.

ad.A.a. K = 500⋅ = 42914.42

K_r = = 27841.43

ad.A.b. K = 3000(K/A, (1+)²-1, 10) = 41689.55

K_r = 27095.61

ad.B.a. K = 500⋅= 43193.6

K_r = 28072.88

ad.B.b. K = 3000⋅= 41943.65

K_r = 27260.49

................................................................................................................................

4.6. Jak w zadaniu 4.5.B.a., lecz dopisywanie odsetek realizuje się co pół roku.

K = 500⋅= 43167.01

K_r = 28055.6

................................................................................................................................

4.7. W trzech kolejnych latach przewidywana jest inflacja, odpowiednio:

15%, 11%, 9%. Stopa oprocentowania bankowego jest zmienna i wyższa o 1.5%

od stopy inflacji. Przy powyższych uwarunkowaniach wpłacasz corocznie 1000 zł.

Jaką kwotą nominalną (K) oraz jaką realną kwotą (K_r) będziesz dysponować

po trzech latach przy:

a. wpłatach z dołu,

b. wpłatach z góry?

ad.a. K = (1000*(1+0.125)+1000)(1+0.105)+1000 = 3348.13 zł.

K_r = = 2406.33 zł.

ad.b. K = ((1000*(1+0.165)+1000)(1+0.125)+1000)(1+0.105) = 3796.37 zł.

K_r = 2728.48 zł.

................................................................................................................................4.8. Ile powinienem ulokować w banku abym mógł kupić za 5 lat mieszkanie

o cenie obecnej 60000, jeżeli stopa procentowa dla oszczędności oferowana

przez bank to 16%. Przewidywana stopa inflacji (wzrostu ceny mieszkań): 9%.

60000 = X(K/P,p_r,5) = X()⁵

X = 43953.54

................................................................................................................................

4.9. Przyjmijmy, że:

- w kraju A stopa oprocentowania wkładów bankowych jest równa 7%,

stopa inflacji: 2.5%;

- w kraju B stopa oprocentowania wkładów bankowych jest równa 18%,

stopa inflacji: 14%.

Efektywne (realne) stopy procentowe są równe dla:

inwestora z kraju A w kraju A: p_A = -1= 4.39%

inwestora z kraju B w kraju B: p_B = -1 = 3.51%

inwestora z kraju A w kraju B: p_AB = -1= 15.12%

Jeżeli w międzyczasie w kraju B nastąpi 13.5%-owa dewaluacja waluty kraju A to mamy:

p_AB = -1= -0.42%

przy czym wartość P_B po dewaluacji nie ulega zmianie.

................................................................................................................................

4.10. Na koniec każdego kolejnego miesiąca wpłacasz do banku 500 zł.

Stopa oprocentowania oszczędności 15%, kapitalizacja kwartalna.

Jeżeli koszt mieszkania wynosi obecnie 60000 i rośnie corocznie o 9%, to po ilu

latach oszczędzania będziesz dysponować kwotą pozwalającą

na zakup mieszkania.

Koszt mieszkania po n latach:

60000⋅1.09ⁿKwota zaoszczędzona po n latach:

500(3+= 40500⋅(1.15865042ⁿ-1)

Kwota zaoszczędzona po jedenastu latach (164112.26 zł.) będzie wystarczająca dla zakupu mieszkania (jego koszt będzie wynosił: 154825.58).

................................................................................................................................

4.11. Przez 35 lat wpłacasz do kasy ubezpieczeniowej pewną część, zawsze tę samą,

otrzymywanego wynagrodzenia (wpłaty z dołu).

Przyjmijmy:

- wynagrodzenie w roku pierwszym: 1000 miesięcznie,

- wynagrodzenie jest stałe w ciągu roku,

- w latach 2-20 wynagrodznie wzrasta w tempie o 1.5% wyższym niż roczna

stopa inflacji, w latach 21-35 o 0.5%,

- roczna stopa inflacji w całym okresie oszczędzania: 4%,

- stopa oprocentowania oszczędności: 6%.

Po okresie oszczędzania przez 20 lat chcesz otrzymywać rentę miesięczną w

wysokości 70% zarobków z roku ostatniego (35-tego), utrzymując w kolejnych

latach jej wartość realną.

Jaką część (s) wynagrodzenia powinieneś wpłacać do kasy ubezpieczeniowej?

Miesięczne wpłaty przez pierwsze 20 lat (X_k,20):

X_k,20 = 1000⋅1.055^k-1⋅s

Kwota zgromadzona dla kolejnego roku, w okresie pierwszych 20 lat (Y_k,20):

Y_k,20 = 1000⋅1.055^k-1⋅s⋅ = 12027.50⋅1.055^k-1⋅s

Kwota zgromadzona po 20 latach (K₂₀):

K₂₀ = 12027.50⋅s⋅ = 696098.73⋅s

Miesięczne wpłaty przez kolejne 15 lat:

X_k,15 = 1000⋅1.055¹⁹⋅1.045^k⋅s = 2890.10⋅1.045^k-1⋅s

Kwota zgromadzona dla kolejnego roku, w okresie kolejnych 15 lat:

Y_k,15 = 2890.10⋅1.045^k-1⋅s⋅ = 34760.68⋅1.045^k-1⋅s

Kwota zgromadzona po kolejnych 15 latach:

K₁₅ = 34760.68⋅s⋅ = 1068950.58⋅s

Kwota zgromadzona po 35 latach (K):

K = 696098.73⋅s⋅(1+0.06)¹⁵ + 1068950.58⋅s = 2737191.69⋅s

Kwota miesięcznego wynagrodzenia w ostatnim roku oszczędzania (M):

M = 1000⋅1.055²⁴⋅1.045¹⁵ = 6995.25

Kwota miesięcznej renty w k-tym roku:

Rm_k = 6995.25⋅1.04^k-1⋅0.7 = 4896.68⋅1.04^k-1

Kwota wypłat w k-tym roku:

Rw_k = 4896.68⋅1.04^k-1⋅ = 58894.82⋅1.04^k-1

Kwota wypłat na koniec okresu ubezpieczenia (R):

R = 58894.82⋅ = 2991893.16

Z zależności:

R = K⋅1.06²⁰

otrzymujemy:

s = 0.3408 ≅ 34%

____________________________________________________________________

5. Dyskonto.

Dyskonto - opłata naliczana za prawo do korzystania z cudzego kapitału.

Dyskontowanie - naliczanie opłaty od danej wartości kapitału.

Przyjmijmy oznaczenia:

n - liczba lat (okresów czasu),

d - roczna (dla danego okresu czasu) stopa dyskontowa,

K - kwota (końcowa) kapitału,

P - kwota początkowa kapitału.

Dyskonto handlowe (bankowe) D_{H :}

D_H = K⋅d⋅n

P = K-D_H = K(1-d⋅n)

K = P+D_H =

d =

Dyskonto handlowe dla okresu czasu = t:

D_H = K⋅d⋅

P = K(1-d)

K =

d =

Kwota początkowa (P) dla szeregu równych rat realizowanych w równych

odstępach czasu, przy dyskontowaniu rat, jest równa:

P = A⋅N

gdzie:

m - ilość rat dla okresu dla którego określono stopę dyskontową d,

N - liczba rat zrealizowanych

+ dla rat z dołu,

- dla rat z góry.

dla N=m jest:

P = A

Dyskonto rzeczywiste ( r, proste, matematyczne) D:

dla n lat:

D = K-P = K-

K = P(1+r⋅n)

P =

r =

dla t dni:

D =

K = P(1+r)

P = K

r =

gdzie: r - stopa procentowa (rentowność)

Jeżeli: r = d to: D < D_H (r,d>0)

Jeżeli: D = D_H to: r = , lub: d =

Przykład.

Zestawienie dyskonta handlowego i matematycznego (P - wartość bieżąca,obecna) dla różnych okresów oczekiwania (t) na zapłatę, dla d=r=24%, K = 1000.

t	DH	P	DM	P
7	4.67	995.33	4.64	995.36
15	10.00	990.00	9.90	990.10
30	20.00	980.00	19.61	980.39
180	120.00	880.00	107.14	892.86
360	240.00	760.00	193.55	806.45
720	480.00	520.00	324.32	675.68
1800	1200.00 -	-	545.45	454.55

____________________________________________________________________

Zadania.

5.1. Bank oferuje 17% oprocentowanie oszczędności w skali roku przy kapitalizacji kwartalnej. Jaka, co najmniej, powinna być stopa dyskontowa (d), w skali roku, zakupu papierów wartościowych aby rentowność tej operacji była większa od rentowności lokaty bankowej.

efektywne oprocentowanie bankowe: p = (1+)⁴ -1 = 18.11%

stąd: d > = 15.33%

................................................................................................................................

5.2. Jaka jest rentowność oraz stopa dyskontowa zakupu za 900 papieru wartościowego o wartości nominalnej 1000 i terminie jego wykupu za 5 miesięcy.

r = = 26.67% d = = 24.0%

...............................................................................................................................

5.3. Za ile, co najwyżej, powinieneś kupić papier wartościowy o nominale 10000 i

terminie wykupu 15 dni aby osiągnąć rentowność 25%?

P < 10000-10000 = 9896.91

...............................................................................................................................

5.4. Możliwy jest zakup papieru wartościowego przy stopie dyskontowej: 25%

lub rentowności: 30%. Na ile dni przed terminem wykupu ta druga możliwość

jest korzystniejsza?

0.3 = → t < 240 dni

...............................................................................................................................

5.5. Przy zakupie towaru udzielono skonta 1.5% za przyśpieszenie zapłaty o co

najmniej 14 dni. Podaj stopę procentową dla udzielonego kredytu kupieckigo.

r = = 39.16%

Skonto - dostosowana stopa dyskonta dla danego okresu przyśpieszenia zapłaty.

____________________________________________________________________

II. Rozliczenia spłat kredytu.

Finansowanie bieżącej i rozwojowej działalności może być realizowane poprzez wykorzystanie kapitału własnego lub kapitału obcego. Kapitał obcy występuje, przede wszystkim, pod postacią kredytów lub pożyczek. Ze względu na specyfikę kredytów (sposób ich udzielenia oraz wykorzystania) określa się je jako: krótkoterminowe, średnioterminowe, długoterminowe, na rachunku bieżącym,na rachunku kredytowym, obrotowe, inwestycyjne, lombardowe, preferencyjne, itd. Pomiędzy pożyczką a kredytem istnieją istotne różnice prawno-ekonomiczne, jednakże podstawowe zasady ich rozliczania (spłacania) są podobne.

Szczegółowe warunki spłaty kredytu (pożyczki) reguluje umowa pomiędzy kredytobiorcą (pożyczkobiorcą) a kredytodawcą (pożyczkodawcą). W większości umów kredytowych wymaga się aby odsetki spłacane były w pierwszej kolejności, czyli według metody uzupełnieniowej.

Podstawowe wskźniki oceny sposobu spłaty kredytu przedstawione są poniżej.

Przyjmijmy, że pożyczony kapitał (S) jest spłacany w n ratach, w kwotach R_n :

R_n = T_n+O_n+G_n+X_n

gdzie:

n - numer kolejnej raty,

r - stopa oprocentowania nominalnego.

T_n - spłata pożyczonego kapitału w n-tej racie: S = ,

O_n - kwota odsetek,

G_n - opłata dodatkowa; na ogół - część T_n lub niespłaconego kapitału,

X_n - opłata stała, na ogół - nie zależy od n.

Nominalny koszt kredytu (S_n) jest równy:

S_n = - S

Efektywny (rzeczywisty) koszt kredytu (S_e):

S_e = - S = Jeżeli wszystkie raty są równe to:

S_e = R

gdzie:

r - nominalna stopa oprocentowania kredytu,

m - ilość rat spłacanych w okresie dla którego określone jest nominalne

oprocentowanie.

Efektywna stopa oprocentowania kredytu (r_e):

r_e = (1+)^m -1

Tak wznaczona stopa kredytu nie zależy od sposobu jego spłaty.

Rzeczywistą efektywną nominalną stopę oprocentowania kredytu (r_r) oraz

stopę rzeczywistego efektywnego oprocentowania kredytu można (r_er)

wyznaczyć jak poniżej:

wyznacz r_r z równania:

S =

Wyznacz r_er:

r_er = (1+)^m -1

Średni czas trwania kredytu (T_w):

T_w =

t_i - okres czasu od zaciągnięcia kredytu do spłaty i-tej raty.

Przykłady rozliczeń kredytu, dla różnych warunków, zostaną przedstawione w poniższych zadaniach (przykładach).

____________________________________________________________________

Zadania.

1.

A.a. Pożyczasz 10000 zł. przy poniższych warunkach:

- spłaty kredytu w równych ratach spłacanych na koniec kolejnego półrocza,

przez 3 lata,

- stopa oprocentowania nominalnego kredytu: 27%, kapitalizacja półroczna,

- przy każdej kolejnej racie wpłacasz dodatkowo 0.1% pozostałego do spłaty

kredytu oraz 5 zł. opłaty stałej.

Rozlicz kredyt, wyznacz stopę efektywnego oprocentowania.

A = 10000(A/P, , 6) = 2536.46 zł.

A - rata półroczna zawierająca spłatę kapitału i należnych odsetek.

Przyjmijmy oznaczenia:

Y_n - kapitał do spłacenia na początku kolejnego n-tego okresu

(w tym przypadku - kolejnego półrocza),

O_n - kwota odsetek,

T_n - kwota spłaty kapitału,

A_n - A_n=O_n+T_n

G_n - opłata dodatkowa,

X_n - opłata stała,

R_n - łączne koszty spłacania kredytu w n-tym okresie: R_n=A_n+G_n+X_n .

n	Yn	An	On	Tn	Yn+1	Gn	Xn	Rn
1	10000	2536.46	1350.00	1186.46	8813.54	8.81	5.00	2550.27
2	8813.54	2536.46	1189.83	1346.63	7466.91	7.47	5.00	2548.93
3	7466.91	2536.46	1008.03	1528.43	5938.48	5.94	5.00	2547.40
4	5938.48	2536.46	801.69	1734.77	4203.71	4.20	5.00	2545.66
5	4203.71	2536.46	567.50	1968.96	2234.75	2.23	5.00	2543.69
6	2234.75	2536.46	301.69	2234.77	0	0	5.00	2541.46
		-0.02		-0.02				-0.02
	razem	15218.74	5218.74	10000.00		28.65	30.00	15277.39

nominalny koszt kredytu: 15277.39-10000 = 5277.39 zł.

efektywny koszt kredytu: - S = 21466.15-10000 = 11466.15 zł.

stopę rzeczywistego efektywnego oprocentowanie kredytu (r_er):

wyznacz r_r z równania:

S - = 0

dla r_r = 0.135 lewa strona równania jest równa -41.05

dla r_r = 0.14 lewa strona równania jest równa 95.99

z aproksymacji liniowej otrzymamy: r_r = 13.65%

ostatecznie: r_er =1.1365² -1 = 29.2%

Stopa oprocentowania efektywnego wynikająca z przyjętej stopy oprocentowania nominalnego kredytu i częstości kapitalizacji jest równa: (1+0.135)-1 = 28.8%. Różnica pomiędzy tak wyznaczoną stopą a wyżej wznaczoną rzeczywistą stopą oprocentowania efektywnego (r_er) wynika z przyjęcia opłat dodatkowych i stałych

przy spłacie rat kredytu.

średni czas trwania kredytu: 1.93 roku

....................................A.b. Jak w A.a. przykładzie lecz:

- brak opłat dodatkowych i opłat stałych,

- spłaty zaokrągla się do kwoty 2550; równoważność zachowuje się

wyznaczając odpowiednią wartość dla ostatniej spłaty.

Plan spłaty kredytu:

n	Yn	An	On	Tn	Yn+1
1	10000	2550	1350	1200	8800
2	8800	2550	1188	1362	7438
3	7438	2550	1004.13	1545.87	5892.13
4	5892.13	2550	795.44	1754.56	4137.57
5	4137.57	2550	558.57	1991.43	2146.14
6	2146.14	2550	289.73	2260.27	0
		-114.13		-114.13
	razem	15185.87	5185.87	10000.00

...............................................................................

B. Warunki kredytu jak w wariancie A., z jedną zmianą

- pożyczony kapitał spłacany jest w równych ratach kapitałowych.

T_n == 1666.67

n	Yn	An	On	Tn	Yn+1	Gn	Xn	Rn
1	10000	3016.67	1350	1666.67	8333.33	8.33	5.00	3030
2	8333.33	2791.67	1125	1666.67	6666.66	6.67	5.00	2803.34
3	6666.66	2566.67	900	1666.67	4999.99	5.00	5.00	2576.67
4	4999.99	2341.67	675	1666.67	3333.32	3.33	5.00	2350
5	3333.32	2116.67	450	1666.67	1666.65	1.67	5.00	2123.34
6	1666.65	1891.65	225	1666.67	0	0	5.00	1896.65
				-0.02
	razem	14725	4725	10000		25.00	30.00	14780

nominalny koszt kredytu: 4780 zł.

efektywny koszt kredytu: 11460.80 zł.

efektywna rzeczywista stopa oprocentowania kredytu: 29.2%

średni czas trwania kredytu: 1.75 roku

................................................................................

W dalszych przykładach pominięto opłaty dodatkowe i opłaty stałe (stąd: R_n=A_n).

C.

Spłaty kredytu dokonywane są w trzech równych ratach począwszy od końca

roku drugiego.

n	Yn	An	On	Tn	Yn+1
4	10000	6245.10	6245.10	0	10000
5	10000	6245.10	1747.41	4497.69	5502.31
6	5502.31	6245.10	742.81	5502.29	0
		+0.02		+0.02
	razem	18735.32	8735.32	10000

Wyznaczenie wielkości rat (A):

10000(K/P, 13.5%, 3) = A(P/A, 13.5%, 3)

A = 6245.10

O₄ = 10000(K/P, 13.5%, 4)-10000 = 6595.24

Ponieważ kwota odsetek jesr większa od kwoty raty: O₄ = A = 6245.10

O₅ = 10000⋅0.135+(6595.24-6245.10)⋅1.135 = 1747.41

nominalny koszt kredytu: 8735.32 zł.

efektywny koszt kredytu: 11378.40 zł.

średni czas trwania kredytu: 2.78 lat

................................................................................D.

W porównaniu z wariantem C. jedna zmiana

- spłaty dokonywane są w trzech ratach w kwotach: X, 2X, 3X.

Wtedy:

10000(K/P, 13.5%, 2) = X(P/G, 13.5%, 4)

X = 3259.78

n	Yn	An	On	Tn	Yn+1
4	10000	3259.78	3259.78	0	10000
5	10000	6519.56	5135.75	1383.81	8616.19
6	8616.19	9779.34	1163.19	8616.15	0
		+0.04		+0.04
	razem	19558.72	9558.72	10000

O₅ = 10000⋅0.135+(6595.24-3259.78)⋅1.135 = 5135.75

nominalny koszt kredytu: 9558.72 zł.

efektywny koszt kredytu: 11378.41 zł.

średni czas trwania kredytu: 2.93 lat

................................................................................

E.

W porównaniu z wariantem C.:

- spłaty dokonywane są w dwu równych ratach (A) na koniec drugiego i trzeciego

roku.

10000(K/P,13.5%,4) = A

A = 9342.79

n	Yn	An	On	Tn	Yn+1
4	10000	9342.79	6595.24	2747.55	7252.45
6	7252.45	9342.79	2090.34	7252.45	0
	razem	18685.58	8685.58	10000

nominalny koszt kredytu: 8685.58 zł.

efektywny koszt kredytu: 11378.41 zł.

średni czas trwania kredytu: 2.73 lat

....................................................................

F.

Jak w C., lecz spłaty dokonywane są w miesięcznych ratach.

Kwotę rat miesięcznych wyznaczamy z zależności:

A = P

wtedy:

A = 10000 = 400.23

nominalny koszt kredytu: 4408.28 zł.

efektywny koszt kredytu: 11840.40 zł.

stopa efektywnego rzeczywistego oprocentowania kredytu: 28.7%

(przy przyjęciu dostosowanej stopy procentowej = 2.25% w skali miesiąca)

Równoważną ratę (A=2536.46) w okresie kapitalizacji (półrocza) wyznacza się jak

w wariancie A., dalsze rozliczenie kredytu - identycznie jak w wariancie A.

.......................................................

Przeglądając wyniki kalkulacji dla wariantów A-E można zauważyć, że:

- efektywne koszty kredytu różnią się praktycznie nieistotnie,

- średni okres trwania kredytu i nominalny koszt kredytu są silnie dodatnio

skorelowane,

Stąd wniosek: jeżeli nie występują inne uwarunkowania, wybierz taki wariant spłaty

kredytu (pamiętając jednocześnie, że najważniejszym kryterium wyboru jest minimalizacja

efektywnej rzeczywistej stopy oprocentowania kredytu) który daje namniejszą wartość

nominalnego kosztu kredytu lub najmniejszy średni czas trwania kredytu.

........................................................

G.

Pożyczka w kwocie 10000 zł. spłacana jest po trzech latach, przy stopie

procentowej 27%. Należne odsetki spłacane są po każdym kolejnym półroczu.

średni czas trwania kredytu: 3 lata. n	Yn	An	On	Tn	Yn+1
1	10000	1350	1350	0	10000
2	10000	1350	1350	0	10000
3	10000	1350	1350	0	10000
4	10000	1350	1350	0	10000
5	10000	1350	1350	0	10000
6	10000	11350	1350	10000	0
	razem	18100	8100	10000

nominalny koszt kredytu: 8100 zł.

efektywny koszt kredytu: 11378.40 zł.

średni czas trwania kredytu: 3 lata

................................................................................................................................

2. A.

Pożyczasz 100 zł. na poniższych warunkach:

- spłaty kredytu w równych ratach kapitałowych, spłacanych na koniec

5-u kolejnych miesięcy,

- oprocentowanie nominalne kredytu: 24%,

- przy spłacie raty spłacasz oprocentowanie od pozostałego do zwrócenia kredytu.

Plan spłaty kredytu:

n	Yn	An	On	Tn	Yn+1
1	100	22	2	20	80
2	80	21.6	1.6	20	60
3	60	21.2	1.2	20	40
4	40	20.8	0.8	20	20
5	20	20.4	0.4	20	0
	razem	106	6	100

nominalny koszt kredytu: 6.00 zł.

efektywny koszt kredytu: 10.41 zł.

efektywne oprocentowanie: 26.8%

................................................................................

B. Jak w A., lecz spłaty kredytu następują w równych ratach.

n	Yn	An	On	Tn	Yn+1
1	100	21.22	2	19.22	80.78
2	80.78	21.22	1.62	19.60	61.18
3	61.18	21.22	1.22	20.00	41.18
4	41.18	21.22	0.82	20.40	20.78
5	20.78	21.22	0.42	20.80	0
		-0.02		-0.02
	razem	106.08	6.08	100

Kwotę raty wyznaczamy z zależności:

A =P(A/P, r, n)

dla: P=100, n=5, r=0.02 otrzymujemy: A = 21.2158

nominalny koszt kredytu: 6.08 zł.

efektywny koszt kredytu: 10.43 zł.

efektywne oprocentowanie: 26.8%

................................................................................

C. Warunki jak dla A., lecz kapitalizacja odsetek półroczna.

Korzystamy z zależności:

P = K(1+r)^-1 = A⋅N⋅otrzymujemy dla miesięcznej raty(A):

100 = A⋅5⋅

A = 21.15

łączna kwota odsetek:

O = 5⋅21.15-100 = 5.75

..............................................................................

D. Jak w C. lecz przyjmijmy, że wartość pożyczki jest równa teraz 10000,

kapitalizacja kwartalna.

Wartość obecna spłat jest równoważna sumie dwu wartości obecnych

wyznaczonych dla:

P₁ - trzech pierwszych rat,

P₂ - pozostałych rat.

wtedy:

P₁ = A⋅3⋅

P₂ można wyznaczyć na kilka różnych sposobów, np.:

a. P₂ = ()⋅1.06^-1

b. P₂ = [A(1-0.02+A(1-0.04)]⋅1.06^-1

c. P₂ = ()⋅1.06^-1

W zależności od tego który wzór zastosujemy otrzymamy następujące

wartości dla rat:

a. A = 2119.18

b. A = 2120.00

c. A = 2118.87

Wyznaczając w sposób przybliżony ratę, z wzoru wg. metody wskaźnika N,

otrzymujemy kwotę raty: A = 2120.81

................................................................................................................................

3. Wstępnie uzgodniono następujące warunki spłaty pożyczki:

- spłaty w sześciu równych miesięcznych ratach = 100, płaconych z góry,

- stopa procentowa = 24%,

- kwartalna kapitalizaca odsetek.

Później zmieniono warunki następująco:

- spłaty w czterech równych kwartalnych ratach,

- rozpoczęcie spłat w terminie o trzy miesiące późniejszym niż wstępnie

uzgodniono,

- kapitalizacja odsetek miesięczna.

Podaj kwotę raty (A) po zmianie warunków.

Podaj plan spłaty kredytu - przed i po zmianie warunków.

kwota kredytu (P):

P = 100 = 572.02

P⋅

A = 165.54

Plan spłaty kredytu po zmianie warunków:

n	Yn	An	On	Tn	Yn+1
1	572.02	165.54	35.01	130.53	441.49
2	441.49	165.54	27.02	138.52	302.97
3	302.97	165.54	18.54	147.00	155.97
4	155.97	165.54	9.55	159.99	0
		-0.02		-0.02
	razem	662.14	90.12	572.02

Plan spłaty kredytu przed zmianą warunków:

312

n	Yn	An	On	Tn	Yn+1
1	572.02	312	34.32	277.68	294.34
2	294.34	312	17.66	294.34	0
	razem	662.14	90.12	572.02

................................................................................................................................

4. Kredyt w kwocie 1200 spłacasz w 12 miesięcznych równych ratach kapitałowych

(czyli po 100). Dla spłaty kredytu przyjęto stopę procentową (koszt kredytu) =

24%. Należności wynikające z tego oprocentowania spłacasz w dwu równych

ratach - pierwszą w terminie pobrania kredytu, drugą przy spłacie ostatniej raty.

Podaj kwoty (X) tych rat dla dwu przypadków kapitalizacji odsetek:

a. miesięcznej,

b. rocznej.

ad.a. 100

X = 79.66

ad.b. 100+ X = (1200-X)⋅1.24

X = 69.64

................................................................................................................................

5. Jak w 2.4.b lecz odsetki (X, koszt nominalny kredytu) spłacasz jednorazowo

przy spłacie ostatnie raty kapitałowej.

100+ X = 1200⋅1.24

X = 156.00

____________________________________________________________________

III. Wycena papierów wartościowych.

1. Weksle.

Weksel to papier wartościowy, o ściśle określonej przez prawo formie, zobowiązujący wystawcę, albo osobę przez niego wskazaną, do zapłaty określonej kwoty pieniężnej w określonym terminie.

Niech:

W_a - wartość aktualna weksla (obecna cena zakupu),

W_n - wartość nominalna w chwili wykupu (suma wekslowa)

a. wycena wg. dyskonta handlowego:

W_a = W_n - D_H = W_n -W_n = W_n⋅(1-)

gdzie:

t - liczba dni do wykupu weksla,

d - stopa dyskontowa,

D_H - dyskonto handlowe (różnica między wartością nominalną a wartością

obecną)

b. wycena wg. dyskonta rzeczywistego (matematycznego):

W_a = W_n - D_M = W_n - W_n⋅ = W_n⋅

r - stopa dyskonta rzeczywistego,

D_M - dyskonto rzeczywiste (matematyczne).

c. wycena wg. rzeczywistego kosztu złożenia weksla do dyskonta (W_a,r):

W_a,r = W_n -D_r

gdzie:

D_r = D+R+W_n ⋅p_w ⋅ D_r - dyskonto wg. rzeczywistego kosztu złożenia weksla do dyskonta,

R - opłata ryczałtowa,

D - dyskonto (handlowe lub matematyczne),

p_w - współczynnik proporcjonalności.

Rzeczywista stopa zdyskontowania weksla (r):

r =

Z zależności:

r =

oraz:

d =

jest:

____________________________________________________________________

2. Bony skarbowe.

Bony skarbowe emitowane są przez skarb państwa z terminem wykupu nie przekraczającym jednego roku. Bony skarbowe są dokumentami na okaziciela. Bank określa każdorazowo maksymalną wysokość dyskonta która nie może być przekroczona w ofertach zakupu. Przy wcześniejszym wykupie stopa dyskontowa jest wyższa niż przyjęta przy zakupie.

Metody kalkulacji - analogicznie jak w przypadku weksli:

C_z = W_n -D = W_n⋅(1-)gdzie:

C_z - cena zakupu bonu,

W_n - wartość nominalna, otrzymywana przy wykupie bonu; w ofertach cenę

zakupu podaje się dla W_n =100 jednostek pieniężnych,

d - stopa dyskontowa,

t - liczba dni do wykupu bonu,

D - dyskonto.

____________________________________________________________________

3. Certyfikaty depozytowe.

Certyfikat depozytowy to dokument potwierdzający przyjęcie wkładów terminowych. Certyfikat jest dokumentem na okaziciela. Termin wykupu - od 7-u dni do kilku lat. Sprzedawane są wg. wartości nominalnej. Dochodem dla właściciela są odsetki kapitalizowane i wypłacane wraz z zainwestowanym kapitałem w terminie wykupu lub odsetki wypłacane w pewnych odstępach czasu. Atrakcyjność zakupu certyfikatów depozytowych wynika z ich dużego bezpieczeństwa oraz możliwości obrotu na rynku wtórnym, stąd często niższa ich rentowność niż lokat.

Podstawowe cechy certyfikatu, oprócz emitenta, czyli banku który przyjął depozyt, to:

- wartość nominalna (cena na rynku pierwotnym) W_n,

- okres trwania, czyli data początkowa i data wykupu (zapadłości),

- nominalna stopa procentowa (kupon) - zmienna lub stała, odsetki mogą być

kapitalizowane.

Wartość certyfikatu w dniu wykupu (W_x):

W_x = W_n (1+) = W_n + O

gdzie:

r - roczna stopa procentowa,

t - okres trwania (dni),

O - odsetki.

W przypadku zakupu certyfikatu na rynku wtórnym po cenie Wr_x, przy uzgodnionej

rentowności zakupu (stopie procentowej), do terminu wykupu, r_w zachodzi:

W_x = Wr_x()wtedy:

Wr_x = W_n =

gdzie:

t_w - liczba dni od dnia zakupu certyfikatu do dnia jego wykupu,

t - okres trwania (od ostatniego dnia odsetkowego).

Na rynku wtórnym wartość rynkową certyfikatu ze zmiennym kuponem (Wz) określa

się, minn., jak poniżej:

Wz = Wr_x - O

O - odsetki narosłe od terminu ostatniej ich płatności.

Wszystkie powyższe zależności dotyczą wyceny certyfikatu wg. oprocentowania prostego,

a więc dla okresu trwania nie dłuższego niż jeden rok.

____________________________________________________________________

4. Obligacje.

Obligacje to papier wartościowy (długoterminowy) przynoszący posiadaczowi określony dochód. W zależności od emitenta wyróżnia się obligacje: skarbu państwa, instytucji finansowych, organów samorządowych, przedsiębiorstw. Obligacje mogą być imienne bądź na okaziciela. Termin wykupu - od roku do kilkunastu lat.

Na dochód z obligacji mogą składać się: dochód z różnic kursowych oraz dochód z odsetek. Sposób wyceny na rynku pierwotnym regulują szczegółowe ustalenia zawarte w dokumentach emisyjnych. Poniżej podane zostaną ogólne, najczęściej stosowane, metody wyceny obligacji.

a. obligacje bezkuponowe (z kuponem zerowym):

P₀ =

gdzie:

P₀ - cena bieżąca obligacji,

r - rentowność (stopa dyskontowa, stopa procentowa) do dnia wykupu,

m - liczba płatności odsetek dla obligacji ze stałym kuponem,

realizowanych w ciągu roku,

n - liczba lat do wykupu obligacji,

W_n - wartość nominalna obligacji.b. obligacje wieczyste (konsole):

P₀ =

gdzie:

O - wartość kuponu:

r - rentowność (stopa procentowa, stopa dyskontowa).

c. obligacje o stałym oprocentowaniu:

P₀ =

gdzie:

O = W_n⋅r₁

r₁ - procentowa stopa odsetkowa obligacji w skali roku.

Stopa przychodu bieżącego obligacji (I):

I = 100%

d. Obligacje o stałym oprocentowaniu przy uwzględnieniu inflacji:

P₀ = =

= O⋅ + = O(P/G,i,r,n)+W_n(P/K,r_r,n)

gdzie:

i - stopa inflacji w danym okresie,

r - nominalna stopa procentowa (dyskontowa),

r_r - realna stopa rentowności obligacji:

r_r =

e. przykład wyceny obligacji (Państwowa Pożyczka Jednoroczna - 1.6.1992)

Cena obligacji w k-tym dniu m-tego miesiąca (C_k,m) :

C_k,m = C_e + β_k,m +A_q

gdzie:

C_e - cena emisyjna,

β_k-1,m - kwota zwiększenia, wynikająca z inflacji, za okres od początku

sprzedaży serii do k-tego dnia w m-tym miesiącu sprzedaży:

β_k-1,m = W_n⋅[(1+i_m)-1]

i_r - miesięczna stopa inflacji w r-tym miesiącu,

t - ilość dni w m-tym miesiącu,

A_q - marża odsetkowa:

A_q = W_n(q-1)

p - stopa procentowa,

q - ilość dni od dnia emisji obligacji.

____________________________________________________________________

Zadania.

6.1. Dysponujesz trzema wekslami:

a. wartość nominalna 2000 zł., płatny za 30 dni, stopa dyskontowa 30%,

b. wartość nominalna 5000 zł., płatny za 35 dni, stopa dyskontowa 28%,

c. wartość nominalna 1000 zł., płatny za 20 dni, stopa dyskontowa 32%.

Czy opłaca się zamienić te trzy weksle na jeden o wartości nominalnej 8100 zł., płatny za 37 dni, o stopie dyskontowej 37%.

Obliczenia wykonaj dla dyskonta:

a. handlowego,

b. rzeczywistego,

ad.a. Wartość aktualna trzech posiadanych weksli (W_a):

W_a = 2000-2000+5000-5000+1000-1000= 7796.11 zł.

Wartość aktualna czwartego (co najmniej - równoważnego) W_a,4:

W_a,4 = 8100(1-)=7791.98 zł.

W_a,4 = 7791.98 zł. < W_a = 7796.11 zł.

ad.b. W_a=2000+5000+1000=7801.25 zł.

W_a,4 = 8100=7803.26 zł. > 7801.25 zł. > W_a

................................................................................................................................

6.2. Chcesz zdyskontować weksel o wartości nominalnej 1000 zł. płatny za 60 dni.

Dwa banki oferują poniższe warunki:

1. stopa dyskontowa: 25%, współczynnik proporcjonalności: 0.9%,

opłata ryczałtowa: 15 zł.,

2. stopa dyskontowa: 28%, współczynnik proporcjonalności: 0.5%,

opłata ryczałtowa: 10 zł.

Która oferta jest korzystniejsza ?

Rzeczywiste koszty złożenia weksla są, odpowiednio, równe (wg. dyskonta

handlowego):

D_n,1 = 1000+1000+15 = 58.17 zł.

D_n,2 = 1000+1000+10 = 57.50 zł.

Rentowność zdyskontowania weksla jest, odpowiednio, równa:

r₁ = = 37.06%

r₂ = = 36.6%

Rzeczywiste stopy dyskontowe są, odpowiednio, równe:

d₁ = = 34.9%

d₂ = = 34.5%

Zdyskontowanie weksla w drugim banku jest korzystniejsze, tak ze względu na rzeczywiste koszty zdyskontowania jak i rzeczywistą stopę dyskontową.

................................................................................................................................

6.3. Chcesz kupić bony 12-tygodniowe bony skarbowe.

Jaką maksymalnie cenę (C_a) możesz zapłacić aby uzyskać stopę rentowności nie

mniejszą niż 30%?

C_a = = 93.46

................................................................................................................................

6.4. Bony skarbowe kupiono za 95.50, do wykupu pozostało 50 dni.

Po 30 dniach sprzedano przy stopie procentowej: 25%.

Jaka była cena sprzedaży (C_s), stopa dyskontowa (d) oraz efektywna stopa (p)

procentowa (rentowność) tej operacji?

C_s == 98.63

d = = 24.66%

p = = 39.33%

...............................................................................................................................

6.5. Bony skarbowe kupiono za 95, do wykupu pozostało 60 dni. Po dwudziestu

dniach sprzedaję przy 30% rentowności operacji kupno-sprzedaż.

Przy jakim dyskoncie (D), stopie dyskontowej (d), stopie procentowej (r) oraz

cenie (C_s) dokonano sprzedaży.

0.3 =

C_s = 96.58

D = 100-96.58 = 3.42

d = = 30.78%

r = = 31.87%

...............................................................................................................................

6.6. Bon skarbowy kupuję z dyskontem D_H = 10, termin wykupu - 5 miesięcy.

Sprzedaję po dwu miesiącach przy stopie dyskontowej 20%.

a. Za jaką cenę sprzedałem (C_s) i jaka jest rentowność tej operacji (r).

Cena zakupu = 100-10 = 90

C_s = 100(1-0.2) = 95

r = = 33.33%

b. Jaka jest stopa rentowności (r₁) dla kupującego, jeśli utrzymał bon do terminu

wykupu?

r₁ = = 21.05%

................................................................................................................................

6.7. Stocznia lokuje 1 mln. zł kupując w banku centralnym bony skarbowe (transakcja

Reverse REPO), przy stopie kredytowej:17%, stopie dyskontowej: 32%.

Do wykupu bonów pozostało 90 dni.

Jaka będzie wartość nominalna zakupionych bonów (W_n) ? Jaka będzie cena

odkupienia przez bank centralny bonów po 12 dniach (C_s) ?

W_n = = 1086956.52 zł.

C_s = 1086956.52(1+) = 109311.5.94 zł.

................................................................................................................................

6.8 Kupujiono na rynku pierwotnym miesięczny certyfikat o kuponie 22%

i wartości nominalnej 1000 zł. Po 20-u dniach sprzedajesz go na rynku wtórnym

przy stopie procentowej 19%.

Jaka była cena sprzedaży (Wr_x) i jaką uzyskano rentowność (r)?

Wr_x = 1000= 1012.99 zł. r = = 23.38%

................................................................................................................................

6.9. Certyfikat o nominale 100 kupuję przy stopie procentowej 30%, termin wykupu

- cztery miesiące. Po miesiącu sprzedaję przy stopie procentowej 25%.

Jaka jest rentowność tego przedsięwzięcia?

cena zakupu = = 90.91

cena sprzedaży = = 94.12

r = = 42.37%

................................................................................................................................

6.10. Jaka jest cena obecna obligacji (P₀) o: wartości nominalnej 1000 zł., terminie

wykupu za 5 lat, oprocentowaniu 17%, kwartalnej kapitalizacji odsetek,

stopie dyskontowej 14%?

P₀ = 1000(P/K,, 20) + 1000(P/A, , 5⋅4) =

= 1000(1+)^-20 + 42.5⋅= 1106.59 zł.

................................................................................................................................

6.11. Oblicz cenę bieżącą obligacji z kuponem zerowym (P₀) o: wartości nominalnej

1000 zł., terminie wykupu za trzy lata, przy rentowności 19%, oraz przyjmując dla

obligacji ze stałym kuponem wypłaty półroczne.

P₀ = 1000(P/K,%, 3⋅2) = 1000(1+0.095)^-6 = 580.12 zł.

................................................................................................................................

6.12. Obligację o cenie nominalnej 100 kupujesz na rynku pierwotnym.

Stopa odsetkowa jest równa 16%, termin wykupu - 5 lat, wypłaty

odsetek - kwartalne. Jaka jest rentowność (r, stopa dyskontowa) tej inwestycji?

Niech: x = , wtedy:

100 = 100(P/K, x, 20)+4(P/A, x, 20)

100 =

x = 0.04

r = 0.16 =16%

Przy cenie zakupu mniejszej od wartości nominalnej rentowność będzie większa od stopy odsetkowej, przy większej - mniejsza.

................................................................................................................................

6.13. Kupujesz na rynku pierwotnym półroczny certyfikat depozytowy (C_z)

z kuponem 27%. Po trzech mesiącach sprzedajesz go na rynku wtórnym (C_s)

po 21%.

Czy bardziej opłacalna (rentowna) była lokata bankowa z oprocentowaniem 24%?

C_z = = 88.11

C_s = = 95.01

R_c = = = 31.32% > 24%

...............................................................................................................................

6.14. Aktualna stopa procentowa przy zakupie obligacji trzyletniej wynosi 12%.

Kurs emisyjny obligacji jest równy 75%. Czy zakup obligacji jest opłacalny?

= 0.7118 < 0.75

...............................................................................................................................

6.15. Kurs emisyjny (C_e) 5-letniej obligacji z kuponem 7% wynosi 93.

Jaką stopę procentową (p) przyjęto przy emisji tej obligacji?

Rozwiązując równanie:

C_n + C_n⋅r⋅- C_e⋅(1+p)ⁿ = 0

dla danych:

C_n = 100 - cena nominalna obligacji,

n = 5 - liczba lat do wykupu obligacji,

r = 0.07 - kupon,

C_e = 95 - kurs emisyjny.

otrzymujemy:

100 + 7⋅- 93⋅(1+p)⁵ = 0

Rozwiązaniem powyższego równania (uzyskanego iteracyjnymi metodami

przybliżonymi) jest:

p = 8.79%.

Dostatecznie dobre rowiązanie daje poniższa, prosta i dostatecznie dokładna dla

praktycznych zastosowań, zależność:

p =

Otrzymamy wtedy:

p = = 8.9%

____________________________________________________________________

IV. Analiza efektywności projektów inwestycyjnych.

Inwestowanie to podejmowanie decyzji o wydatkowaniu zgromadzonych lub otrzymanych kapitałów w celu nabycia wartości trwałych (ich odnowy), nabycia technologii i wiedzy (inwestycje bezpośrednie, rzeczowe), dokonania wkładów kapitałowych i lokat (inwestycje pośrednie, finansowe).

Podstawy oceny (kalkulacji) efektywności inwestycji pośrednich omówiono w rozdz. I. W tym rozdziale omówione zostaną kryteria i metody stosowane dla oceny efektywności inwestycji rzeczowych, mogą one być również wykorzystywane do oceny inwestycji finansowych. Przedsięwzięcia inwestycyjne rzeczowe można podzielić na: odtworzeniowe, modernizacyjne, innowacyjne, rozwojowe, strategiczne.

Wypracowanie decyzji o charakterze gospodarczym, a więc również decyzji inwestycyjnych, jest procesem złożonym, minn. z poniższych powodów:

- aspekt czasu; przy podejmowaniu decyzji inwestycyjnych należy przewidzieć

zachowanie systemu gospodarczego (również: ekonomicznego, finansowego,

prawnego), często z bardzo dużym wyprzedzeniem czasowym. Powoduje to,

że w przypadku wypracowywania decyzji o charakterze gospodarczym

winniśmy mówić raczej o ich racjonalizacji niż optymalizacji.

Decyzja optymalna przestaje być optymalną w chwili jej podjęcia.

O tym znanym paradoksie należy pamiętać przy podejmowaniu decyzji w tego

typu sytuacjach;

- istnieje, na ogół, wiele kryteriów oceny, przy jednoczesnym braku jasności (zgody)

co do ich ważności (hierarchii);

- złożoność problemu (obiektu modelowanego) - utrudnia, bądź wręcz

uniemożliwia, wiarygodne odwzorowanie obiektu rzeczywistego (jego struktury

informacyjnej i funkcjonalnej) w konsekwencji prowadzi to do podejmowania

mało wiarygodnych decyzji.

Podstawowe elementy procesu decyzyjnego to:

1. rozpoznanie problemu,

2. definicja celu,

3. zbieranie odpowiednich danych,

4. identyfikacja dopuszczalnych alternatyw,

5. selekcja kryteriów dla oceny alternatyw,

6. konstrukcja (wybór) modelu,

7. określenie wyników dla każdej alternatywy,

8. wybór najlepszej alternatywy zapewniającej ociągnięcie zamierzonego celu,

9. weryfikacja rezultatów (decyzji).

Wynikiem procedury decyzyjnej związanej z uruchomieniem inwestycji jest projekt (plan) inwestycyjny. Szczegółowość projektu zależy od bardzo wielu czynników, takich między innymi jak:

- przewidzianych dla jego realizacji środków finansowych oraz czasu,

- kwalifikacji kadry opracowującej projekt,

- możliwości (pracochłonności) odwzorowania struktury informacyjnej

i funkcjonalnej obiektu,

- możliwości przewidzenia i uwzględnienia uwarunkowań wewnętrznych oraz

zewnętrznych (otoczenia) obiektu rzeczywistego, zmiennych, na ogół, w czasie.

Dalej przedstawione zostaną kryteria oraz wskaźniki - przyjęte i stosowane powszechnie dla oceny efektywności pojedyńczego projektu inwestycyjnego, jak i wyboru ekonomicznie uzasadnionej alternatywy inwestowania bądź wariantu rozwoju (modernizacji) przedsiębiorstwa.

W niniejszym opracowaniu oparto się, głównie, na standardzie przyjętym przez UNIDO. Zgodnie z tym standardem - analizę efektywności projektu (przedsięwzięcia) przeprowadza się przy założeniu zmiany ilości pieniądza w czasie. Metodę tę zalicza się do metod dynamicznych (dyskontowych).

Założenia i oznaczenia.

Przyjmijmy:

B_i - dochód (nadwyżka finansowa, przepływ pieniędzy) w i-tym okresie

(terminie) czasu, będący różnicą pomiędzy wpływami (I_i) i wydatkami

(kosztami, O_i):

B_i=I_i-O_i (i =0n)

n - okres analizy (czas eksploatacji obiektu, czas `życia', `cykl życia';

useful life); jako jednostkę czasu przyjmuje się, jeśli nie jest to

określone inaczej, jeden rok.

p - stopa oprocentowania kapitału (stopa zmiany ilości kapitału, koszt kapitału,

żądana stopa zwrotu, minimalna atrakcyjna stopa zwrotu) w okresie roku;

w dalszych rozważaniach przyjmuje się oprocentowanie składane dla

wyznaczania zmiany ilości kapitału w czasie,

C_i - koszty inwestycyjne w i-tym okresie czasu (przyjmuje się dalej koszt = koszt

inwestycyjny, chyba, że zostanie wyraźnie określone o jaki koszt chodzi).

Wartości C_i oraz B_i określają więc roczny przepływ pieniędzy (annual cash flow).

a_i = - wpólczynnik dyskontujący.

Przy analizie konkretnych przedsięwzięć inwestycyjnych powyższe założenia mogą być zbyt ogólne. Przyjęty poziom ogólności umożliwia przedstawienie omawianych dalej wskaźników oraz kryteriów oceny przedsięwzięć inwestycyjnych w sposób pełny, a jednocześnie przejrzysty, unikając nieistotnych dla tej prezentacji komplikacji rachunkowych.

W licznych opracowaniach wskaźniki i metody analizy efektywności inwestycji

oparte są o wyróżnienie w strumieniu przepływu gotówki:

- wpływów gotówki (dodatnie przeływy, cash inflows),

- wydatków gotówki (ujemne przepływy, cash outflows),

bez wyróżniania pozycji kosztów inwestycyjnych. Ważniejsze wskaźniki oparte

o powyższe założenia zostaną również w tym opracowaniu podane.

1. Podstawowe wskaźniki oceny inwestycji.

1.1. Wartość obecna netto (NPV).

Wartość obecna netto (NPV - net present value):

NPV = PVB - PVC

gdzie:

PVB - wartość obecna dochodu:

PVB = =

PVC - wartość obecna kosztu (nakładów inwestycyjnych):

PVC = =

Jeżeli wartość obecna jest jest wartością kryterialną to z dwu alternatyw A i B

wbieramy tę która spełnia: max (NPV_A, NPV_B)

gdzie:

NPV_X - wartość obecna dla alternatywy (wariantu) X,

Jeżeli PVC_A = PVC_B wtedy wyboru korzystniejszej alternatywy dokonuje się

zgodnie z kryterium: max (PVB_A, PVB_B)

Jeżeli PVB_A = PVB_B wtedy wyboru korzystniejszej alternatywy dokonuje się

zgodnie z kryterium: min (PVC_A, PVC_B)

Jeżeli PVC_A < PVC_B oraz PVB_A > PVB_B to, oczywiście, bardziej korzystną

jest alternatywa A.

1.2. Wartość przyszła netto (NFV).

Wartość przyszła netto (wartość terminalowa, net future value):

NFV = FVB - FVC

gdzie:

FVB - wartość przyszła dochodu:

FVB = =

FVC - wartość przyszła kosztu (nakładów inwestycyjnych):

FVC = =

Stosowanie wartości przyszłej netto (NFV) jako wielkości kryterialnej

- analogicznie jak dla wartości obecnej netto.

1.3. Wartość równych rocznych rat netto (NRR).

Wartość równych rocznych rat netto (NRR):

NRR = RRB - RRC

gdzie:

RRB - wartość równych rocznych rat dla dochodu (equivalent uniform annual

benefits):

RRB = PVB⋅(A/P, p, n) = FVB⋅(A/K, p, n)

RRC - wartość równych rocznych rat kosztu (nakładów inwestycyjnych)

(equivalent uniform annual cost):

RRC = PVC⋅(A/P, p, n) = FVC⋅(A/K, p, n)

jest więc również:

NRR = (PVB-PVC)(A/P, p, n) = (FVB-FVC)(A/K, p, n)

Stosowanie wartości równych rocznych rat netto jako wielkości kryterialnej

- analogicznie jak dla wartości obecnej netto.

Uwaga: Jeżeli przy wyborze najkorzystniejszej inwestycji okresy analizy (useful life) są różne to należy stosować kryteria jak dla równych rat (NRR), a nie kryteria wg. NPV lub NFV.

1.4. Okres zwrotu kosztów (nakładów inwestycyjnych).

Okres zwrotu kosztów inwestycyjnych (PP - payback period) jest to okres czasu

po którym osiągnięte od początku inwestycji dochody (przed lub po opodatkowaniu, zysk, zysk po opodatkowaniu + amortyzacja) są równe poniesionym nakładom inwestycyjnym.

PP = k1 + k2

gdzie: k₁ i k₂ określa poniższe równanie:

+ k2⋅(C_k1+1-B_k1+1) = 0 ( k1>0 , k2>0 )

Zdyskontowany okres zwrotu (DPP - discounted payback period):

DPP = k1 + k2

gdzie: k₁ i k₂ określa równanie:

+ k2⋅(C_k1+1-B_k1+1)⋅a_k1+1 = 0 ( k1>0 , k2>0 )

Przy czym, dla poprawnego określenia okresu zwrotu (PP lub DPP) wybieramy te wartości k1 i k2

które dają minimalną jego wartość.

Jeżeli okres zwrotu jest wartością (zmienną) kryterialną to z dwu alternatyw A i B

wbieramy tę która spełnia: min (DPP_A, DPP_B).

Okres zwrotu winien być traktowany jako ważny wskaźnik oceny efektywności, lecz

raczej nie należy go stosować do wyboru najkorzystniejszej alternatywy (wariantu) inwestowania.

1.5. Współczynnik dochód/koszt (B/C).

=

Jeżeli współczynnik B/C (benefit-cost ratio) jest jest wartością kryterialną to z dwu alternatyw A i B wbieramy tę która spełnia: max (B/C_A, B/C_B)

Warunkiem przyjęcia projektu do realizacji jest: B/C > 1

Zbliżony do powyższego wskaźnik nazywany wskaźnikiem rentowności

(wskaźnik zyskowności, Profitability Index):

PI =

gdzie:

COF_j - ujemne przepływy (wydatki gotówki, cash outflows):

COF_j = B_j - C_j, B_j - C_j < 0

CIF_j - dodatnie przepływy (wpływy gotówki, cash inflows):

CIF_j = B_j - C_j, B_j - C_j > 0

1.6. Stopa zwrotu.

1.6.1. Wewnętrzna stopa zwrotu (IRR).

Wewnętrzna stopa zwrotu (internal rate of return) określa rzeczywistą stopę

dochodu uzyskiwanego z inwestycji w czasie jej całego życia ekonomicznego.

Wewnętrzna stopa zwrotu jest taką stopą procentową dla której wartość

obecna netto jest równa zeru:

NPV = 0

Wewnętrzną stopę zwrotu można również wyznaczyć z poniższych równań,

równoważnych równaniu NPV=0 :

PVC-PVB = 0

RRC-RRB = 0

IRR jest więc rozwiązaniem równania:

NPV = = = = 0

gdzie:

CF_i = B_i - C_i

Dla n≥5 równanie to można rozwiązać tylko (w większości przypadków) w sposób przybliżony, z dowolną praktycznie dokładnością. Liczba rozwiązań spełniających warunek IRR>0 może być liczbą całkowitą z przedział <0,n>.

Jeżeli liczba rozwiązań jest:

równa zeru - nominalna wartość dochodu jest mniejsza od nominalnej

wartości kosztów,

większa od jedności - przyjmij jako IRR rozwiązanie o wartości najmniejszej.

Wewnętrzna stopa zwrotu jest jednym z podstawowych parametrów oceny projektowanej inwestycji, tak dla oceny pojedyńczego projektu jak i dla wyboru najkorzystniejszej alternatywy inwestowania. Dodatkowa zaleta - umożliwia proste i czytelne porównanie inwestcji rzeczowych z inwestycjami finansowymi.

1.6.2. Zmodyfikowana wewnętrzna stopa zwrotu (MIRR).

Zmodyfikowaną wewnętrzną stopę zwrotu (MIRR - modified internal rate of return)

wyznaczamy z równania :

stąd:

MIRR = []-1

gdzie:

r - stopa procentowa osiągana z inwestowania przez inwestora dodatnich prze-

pływów pieniężnych (stopa procentowa reinwestycji, zewnętrzna stopa zwrotu).

Jeżeli MIRR > r to projekt może być przyjęty do realizacji.

Inne podejście do uwzględnienia inwestowania dodatnich przepływów pieniężnych z uwzględnieniem zewnętrznej stopy zwrotu (external rate of return) przdstawiono w zadaniu IV.1.4.

1.6.3. Minimalna atrakcyjna stopa zwrotu (MARR).

Przy prawie wszystkich przedstawionych wyżej kryteriach oceny projektu inwestycyjnego ważne jest określenie przyjmowanej (oczekiwanej) stopy zwrotu. którą dalej będziemy nazywać minimalną atrakcyjną stopą zwrotu (MARR).

Minimalna atrakcyjna stopa zwrotu powinna być nie mniejsza od trzech

następujących stóp procentowych:

- koszt (stopa procentowa) kredytu bankowego - r_b,

- koszt kapitału własnego - r_w,

- koszt wynikający z możliwości inwestowania.

Koszt kredytu bankowego można ocenić następująco:

r_b = p⋅(1-r_d)

gdzie:

p - bankowa stopa procentowa,

r_d - stopa podatku dochodowego.

Próbą teoretycznego podejścia dla oceny kosztu kapitału własnego jest sformułowanie, w latach sześćdziesiątych, modelu CAMP. Model ten stosowany był pierwotnie do oceny inwestycji finansowych. W zastosowaniu do inwestycji gospodarczych formułuje się go, i interpretuje, następująco:

r = r_f + β(r_m-r_f)

gdzie:

r - przyjmowana stopa zwrotu,

r_f - stopa zwrotu dla przdsięwzięć nie wykazujących żadnego ryzyka,

r_m - średnia rynkowa stopa zwrotu kapitału,

β - współczynnik ryzyka (również - element subiektywnej oceny) przy

inwestowaniu w danej branży.

Pewne metody oceny kosztu (stopy procentowej) na podstawie możliwości inwestowania podano w IV.3.

____________________________________________________________________Zadania.

1. Koszt zakupu środków trwałych (koszt inwestycyjny) jest równy 10000 zł. Po dziesieciu latach wartość tych środków jest równa 10% kosztu zakupu. Jaki jest średni równy roczny koszt inwestycyjny, przyjmując stopę zwrotu (minimalną atrakcyjną stopę zwrotu, koszt kapitału - MARR) 15%?

Na ogół przyjmuje się, że wartość końcowa S (salvage value, scrap value) zmniejsza koszt inwestycji; przyjmijmy, że wartość końcowa jest różnicą wartości odzysku i kosztów likwidacji środka trwałego. Wtedy:

RRC = P⋅(A/P, p, n)-S⋅(A/K, p, n)

lub:

RRC = (P-S)⋅(A/K, p,n) + P⋅ p

RRC = (P-S)⋅(A/P, p, n) + S⋅ p

gdzie:

n - okres analizy,

p - minimalna atrakcyjna stopa zwrotu (MARR).

W niektórych opracowaniach przyjmuje się, że wartość końcowa (S) jest

przychodem w terminie jej wystąpienia.

W przypadku warunków zadania jest:

RRC = (10000-10000⋅0.15)(A/K,15%,10)+10000⋅0.15

= 8500⋅0.0493+1500 = 1919.05 zł.

................................................................................................................................

2. Dysponujesz poniżej podanymi informacjami o przepływach finansowych dla sześciu alternatyw (wariantów, możliwości) inwestowania:

	koszty/dochód
rok B/C. d. stopę zwrotu.rok	A	B	C	D	E	F
0	-55	-105	-101	-80	-42	-75
1	0	35	0	0	0	21
2	20	35	20	0	25	19
3	20	35	30	0	20	-6
4	20	35	40	0	15	27
5	20	0	50	0	10	35
6	20	0	60	200	5	34

Przyjmując minimalną atrakcyjną stopę zwrotu nakładów inwestycyjnych (MARR)

równą 15% określ najkorzystniejszą alternatywę w oparciu o:

a. wartość obecną netto (NPV) projektu,

b. okres zwrotu, prosty i zdyskontowany,

c. wartość współczynnika B/C,

d. wewnętrzną stopę zwrotu (IRR),

e. równe raty dla dochodu (NRR).

Alt. A.

a. NPV = PVB-PVC

PVB = 20(P/A,15%,5)(P/K,15%,1) = 58.3

PVC = 55

NPV = -55+58.3 = 3.3

b.

rok	Bi	ΣBi	ai	Bi⋅ai	Σ Bi⋅ai
1	0	0	0.8696	0
2	20	20	0.7561	15.12	15.12
3	20	40	0.6575	13.15	28.27
4	20	60	0.5718	11.44	39.71
5	20	80	0.4972	9.94	49.65
6	20	100	0.4323	8.65	58.30

PP= 3+= 3.75 lat

DPP = 5+= 5.62 lat

c. B/C = = = = 1.06

d. dla p₁ = 15% NPV₁ = 3.3

dla p₂ = 18% NPV₂ = -2.0

Przyjmując liniowy przebieg funkcji NPV(p) w przdziale (15%,18%) otrzymujemy:

stąd:

IRR =

IRR = +15 = 16.9%

e. NRR = NPV(A/P,15%,6)

= [-55+20(P/A,15%,5)(P/K,15%,1)](A/P,15%,6) = 0.872

Alt. B.

a. PVB = 35(P/A,15%,4) = 99.92

PVC = 105

NPV = -105+99.92 = -5.08

b.

rok	Bi	ΣBi	Bi⋅ai	Σ Bi⋅ai
1	35	35	30.41	30.44
2	35	70	26.46	56.90
3	35	105	23.01	79.91
4	35	140	20.01	99.92

PP = 3

DPP - brak; zarówno prosty jak i zdyskontowany okres zwrotu mogą być nieokreślone

dla przyjętego okresu analizy, jeżeli nakłady inwestycyjne są większe od

sumy uzyskanych dochodów.

c. B/C = =0.9517

d. dla p₁ = 15% NPV₁ = -5.08

dla p₂ = 12% NPV₂ = 1.31

IRR = +15 = 12.6%

e. NRR = [-105+35(P/A,15%,4)](A/P,15%,6) = -1.34

Alt. C.

a. PVB = 10(P/A,15%,5)(P/K,15%,1)+10(P/G,15%,6) = 108.52

PVC = 101

NPV = 108.52-101 = 7.52

b.

rok	Bi	ΣBi	Bi⋅ai	Σ Bi⋅ai
1	0	0	0	0
2	20	20	15.12	15.12
3	30	50	19.73	34.85
4	40	90	22.87	57.72
5	50	140	24.86	82.58
6	60		25.94	108.52

PP = 4+= 4.22

DPP = 5+= 5.71

c. B/C = = 1.0646

d. dla p₁ = 15% NPV₁ = 7.32

dla p₂ = 18% NPV₂ = -3.66

IRR = +15 = 17.0%

e. NRR = 7.52(A/P,15%,6) = 1.99Alt. D.

a. PVB = 200(P/K,15%,6) = 86.46

PVC = 80

NPV = 86.46-80 = 6.46

b. PP = 5+= 5.4

DPP = 5+= 5.93

c. B/C = = 1.0808

d. dla p₁ = 15% NPV₁ = 6.46

dla p₂ = 18% NPV₂ = -5.92

IRR = +15 = 16.6%

e. NRR = 6.46(A/P,15%,6) = 1.71

Alt. E.

a. PVB = [25(P/A,15%,5)-5(P/G,15%,5)](P/K,15%,1) = 47.76

PVC = 42

NPV = 47.76-42 = 5.76

b. PP = 2.85

DPP = 4.27

c. B/C = = 1.1371

d. dla p₁ = 15% NPV₁ = 5.76

dla p₁ = 18% NPV₁ = 2.09

dla p₂ = 20% NPV₂ = -0.14

IRR = +18 = 19.9%

e. NRR=RRB-RRC=47.76(A/P,15%,6)-42(A/P,15%,6)=12.62-11.1= 1.52Alt. F.

a. PVB == 76.22

PVC = 75

NPV = 76.22-75 = 1.22

b. PP = 4.4

DPP = 5.92

c. B/C = = 1.0163

d. dla p₁ = 15% NPV₁ = 1.22

dla p₂ = 18% NPV₂ = -5.39

IRR = +15 = 15.6%

e. NRR = 1.22(A/P,15%,6) = 0.32

..............................................

Zestawienie wartości wskaźników dla alternatyw A-F:

wskaź-	alternatywy
niki zwrotu.rok	A	B	C	D	E	F
NPV	3.3	-5.06	7.52	6.46	5.76	1.22
PP	3.75	3	4.22	5.4	2.85	4.4
DPP	5.62	-	5.71	5.93	4.27	5.92
B/C	1.06	0.9517	1.0646	1.0808	1.1371	1.0163
IRR	16.9	12.6	17	16.6	19.9	15.6
NRR	0.872	-1.34	1.99	1.71	1.52	0.32

................................................................................................................................

3. Przy następujących danych dla trzech projektów inwestycyjnych:

	A	B	C
koszt inwestycji	500	450	560
dochód na koniec 1-go roku	200	200	200
dochód w kolejnych latach	100	125	100
wartość końcowa (S) po 5-ciu latach (%)	20	10	15
okres użytkowania (analizy) - lat	6	5	9

Przyjmując minimalną atrakcyjną stopę zwrotu nakładów inwestycyjnych (MARR)

równą 12% określ najkorzystniejszą alternatywę w oparciu o:

a. wartość obecną netto (NPV) projektu,

b. okres zwrotu, prosty i zdyskontowany,

c. wartość współczynnika B/C,

d. wewnętrzną stopę zwrotu (IRR),

e. równe raty dla dochodu (NRR).

Ponieważ okresy analizy dla projektów są różne, to wartość obecna projektu (NPV) może

być wielkością wskaźnikową lecz nie kryterialną.

Alt. A.

a. PVC = 500-500⋅0.2⋅(P/K,12%,5) = 443.26

PVB = 100(P/A,12%,6)+100(P/K,12%,1) = 500.43

NPV = 57.17

b. PP = 4

DPP = 4.94

rok	Bi	ΣBi	ai	Bi⋅ai	Σ Bi⋅ai
1	200	200	0.8929	178.58	178.58
2	100	300	0.7972	79.72	258.3
3	100	400	0.7118	71.18	329.48
4	100	500	0.6355	63.55	393.03
5	200		0.5674	113.48	506.51
6	100		0.5066	50.66

c. B/C == 1.129

d. dla p₁ = 12% NPV₁ = 57.17

dla p₁ = 15% NPV₁ = 15.13

dla p₂ = 18% NPV₂ = -21.78

IRR = +15 = 16.2%

e. RRC = [500-500⋅0.2⋅(P/K,12%,5)](A/P,12%,6) = 121.7

RRB = [100(P/A,12%,6)+100(P/K,12%,1)](A/P,12%,6) = 107.8

NRR = RRB-RRC = 121.7-109.28 = 12.42

Alt. B.

a. PVC = 450-450⋅0.1(P/K,12%,5) = 424.47

PVB = 125(P/A,12%,5)+75(P/K,12%,1) = 517.57

NPV = 93.1

b. PP = 3

DPP = 4.03

c. B/C = 1.2193

d. dla p₁ = 12% NPV₁ = 93.1

dla p₁ = 18% NPV₁ = 24.13

dla p₁ = 20% NPV₁ = 4.41

dla p₂ = 25% NPV₂ = -39.09

IRR = 20.5%

e. RRB = 75(P/K,12%,1)(A/P,12%,5)+125 = 143.58

RRC = (450-45)(A/P,12%,5)+45⋅0.12 = 117.75

NRR = 143.58-117.75 = 25.83

Alt. C.

a. PVC = 560-560⋅0.15(P/K,12%,5) = 512.34

PVB = 100(P/A,12%,9)+100(P/K,12%,1) = 622.11

NPV = 109.77

b. PP = 4.33

DPP = 6.26

c. B/C = 1.2143

d. dla p₁ = 12% NPV₁ = 109.77

dla p₁ = 15% NPV₁ = 45.68

dla p₂ = 18% NPV₂ = -8.23

IRR = 17.5%

e. RRC = 512.34(A/P,12%,9) = 96.17

RRB = 622.11(A/P,12%,9) = 116.77

NRR = 20.6

..............................................

Zestawienie wartości wskaźników dla alternatyw A-C:

wskaź-	alternatywy
niki zwrotu.rok	A	B	C
NPV	57.17	93.1	109.77
PP	4	3	4.33
DPP	4.94	4.03	6.26
B/C	1.129	1.2193	1.2143
IRR	16.2	20.5	17.5
NRR	12.42	25.83	20.6

................................................................................................................................

4. Przyjmijmy przepływ pieniędzy jak w poniższej tabeli, kolumna (a):

rok	(a)	(b)	(c)
0	10	17.72	0
1	5	8.05	0
2	-40	-33.06	-22.4
3	-20	-15.03	-20
4	10	12.1	10
5	20	22	20
6	40	40	40

a. Wyznaczając stopę zwrotu dla tego przepływu - kolumna (a) - otrzymamy:

IRR = 22.7%

b. Przyjmijmy teraz stopę reinwestycji (zewnętrzną stopę zwrotu) równą 10%.

W kolumnie (b) mamy przeliczone wartości przepływów: dodatnich - na termin końcowy, ujemnych - na termin obecny (początkowy), przy przyjętej stopie reinwestowania pieniędzy. Wyznaczmy zmodyfikowaną stopę zwrotu (MIRR):

MIRR = -1 = 13.0%

c. W tym przypadku, przyjmijmy, że niewykorzystany początkowo kapitał może być reinwestowany na rynku zewnętrznym, przy przyjętej zewnętrznej stopie zwrotu (10%), lecz tylko do końca roku drugiego (ujemny przepływ).

Dla wartości przepływu w roku drugim mamy więc:

B₂ = -40+10⋅(1+0.1)² +5⋅(1+0.1) = -22.4

Dla tak zmodyfikowanego przepływu stopa zwrotu jest równa:

MIRR_II = 18.6%

................................................................................................................................

5. Koncern w pewnym kraju zainwestował 15 mln.$. W kolejnych sześciu latach dochód wynosił, odpowiednio (w mln.$): 9.5, 14, 19.8, 28.6, 42.7, 31.2.

Szacunkowo wyznaczono stopę zysku następująco:

(9.5+14+19.8+28.6+42.7+31.2) : 15 = 972%

Poprawnie wyliczona stopa zwrotu jest rozwiązaniem poniższego równania:

= 15

Rozwiązaniem jest IRR = 96.4%.

Zauważmy również, że jeżeli stopa dla reinwestycji (zewnętrzna stopa zwrotu) jest równa 12% to MIRR = 41.5%.

................................................................................................................................

6. Kupujemy samochód na warunkach kredytowych płacąc teraz 129.90 oraz

miesięcznie przez dwa lata 700, przy stopie procentowej 12%.

Ile kosztuje (NPV) samochód teraz?

NPV = 700(P/A,1%,24)+129.9 = 15000

................................................................................................................................

7. Co jest bardziej opłacalne:

a. wydać na zakup 10000 aby przez 5 lat uzyskiwać dochód w kwocie 200

miesięcznie,

b. ulokować pieniądze na 1% miesięcznie?

NFV_a = 200(K/A,1%,60) = 200⋅81.67 = 16334

NFV_b = 10000(K/P,1%,60) = 18170

................................................................................................................................

8. Inwestor kupił na rynku pierwotnym bon skarbowy za 1000 o wartości nominalnej 1000. Odsetki w wysokości 6% wypłacane są co pół roku. Termin wykupu: 10 lat. Po półtora roku sprzedał go za 900.

Wyznacz stopę zwrotu (r_a) dla pierwszego inwestora oraz stopę zwrotu dla drugiego (r_b) odkupującego bon, który utrzymał bon do terminu wykupu.

NPV_a = 900(P/K,r,3)+0.06⋅1000(P/A,r,3)-1000

r₁ = 2% NPV₁ = 21.11

r₂ = 3% NPV₂ = -6.67

r =+2 = 2.76%

r_a =(1+0.0276)²-1 = 5.6%

NPV_b = 60(P/A,r,17)+1000(P/K,r,17)-900

r₁ = 5% NPV₁ = 212.74

r₁ = 7% NPV₁ = 2.38

r₂ = 8% NPV₂ = -82.38

r =+7 = 7.08%

r_b =(1+0.0708)²-1 = 14.6%

................................................................................................................................

9. Lokujesz posiadane pieniądze na 4 lata w akcje. Oferowane warunki są jak poniżej:

	cena	roczna	wartość akcji
akcje	akcji	dywidenda	po 4-ech latach
	Ck	D	Cs
A	24	2	30
B	45	5	45
C	31	0	43
D	12	0	20
E	34	3	37

Zakup których akcji jest najkorzystniejszy przy kryterium:

- maksymalnej wartości obecnej (NPV), przyjmując MARR=10%,

- maksymalnej wewnętrznej stopie zwrotu (IRR).

NPV_x = D_x(P/A,10%,4)+Cs_x(P/K,10%,4)-Ck_x

akcje	NPV	IRR
A	2.49	13.05
B	1.58	11.11
C	-1.63	8.52
D	1.66	13.62
E	0.78	10.71

................................................................................................................................

10. Roczny przychód z wynajmu mieszkania wynosi 9000. Roczny koszt jego utrzymania: 500. Jeżeli mieszkanie może być sprzedane za 150000 po dziesięciu latach, to za ile (P) powinno się je kupić teraz, przyjmując MARR=9%?

PVB = 9000(P/A,9%,10)+150000(P/K,9%,10)

PVC = P+500(P/A,9%,10)

PVB > PVC → P < 181273

................................................................................................................................

11. Która z alternatyw sfinansowania zakupu samochodu jest korzystniejsza:

a. 15000 - wpłacane przy zakupie (teraz),

b. 5000 teraz, oraz 36 miesięcznych rat po 355,

c. 3000 teraz, oraz 48 miesięcznych rat po 350.

Kalkulację przeprowadź przy minimalnej atrakcyjnej stopie zwrotu: 18%.

PVC_a =15000

PVC_b = 5000+355(P/A,1.5%,36) = 14820

PVC_c = 3000+350(P/A,1.5%,48) = 14915

...............................................................................................................................

12. Który z trzech projektów służących ochronie środowiska jest ze względów ekonomicznych nakorzystniejszy:

	koszt	roczny koszt	roczny	wartość
projekt	projektu	eksploatacji	przychód	końcowa
A	30	9	1	20
B	50	7	2	10
C	100	3	3	0

Okres analizy: 20 lat, minimalna atrakcyjna stopa zwrotu: 6%.

NPV_A = -30-9(P/A,6%,20)+(P/A,6%,20)+20(P/K,6%,20) = -115.52

NPV_B = -50-7(P/A,6%,20)+2(P/A,6%,20)+10(P/K,6%,20) = -104.23

NPV_C = -100

____________________________________________________________________

2. Wybór kryterium oceny efektywności projektu inwestycyjnego.

Wybór metody oraz kryterium optymalizacji (kryterium racjonalnego wyboru) jest jedną z najważniejszych części teorii systemów.

Wcześniej przedstawione zostały pewne wskażniki i kryteria oceny efektywności projektów inwestycyjnych. Mogą być one stosowane również do wyboru najbardziej ekonomicznie uzasadnionej alternatywy, jeśli inwestor jest w sytuacji wyboru najkorzystniejszego wariantu inwestowania (modernizacji, rozwoju).

Przypomnijmy najważniejsze (najczęściej stosowane):

NPV - wartość obecna netto projektu,

PP (DPP) - okres zwrotu (zdyskontowany okres zwrotu),

B/C - wskaźnik: dochód/koszty,

IRR - wewnętrzna stopa zwrotu,

Można skonstruować taki przykład, że dla wyborów dokonanych o powyższe

wielkości orzymamy jako `optymalną' w każdym przypadku inną alternatywę.

W praktycznych zastosowaniach da się zauważyć, że wybory są zbliżone, bądź identyczne, dla dwu grup wskaźników i odpowiadających im kryteriów:

a. IRR, B/C, PP(DPP)

b. NPV

W przypadku a. wybrana zostanie alternatywa dla której z jednostki

zainwestowanego kapitału osiąga się najwyższy dochód.

W przypadku b. wybrana zostanie alternatywa dla której wartość obecna dochodu jest maksymalna.

(Powyższe dwa ostatnie sformułowania określają oczywiście ogólną tendencję a nie kryteria `wyższego poziomu').

____________________________________________________________________

3. Metody wyboru najkorzystniejszego zestawu projektów

inwestycyjnych.

Przedstawione zostaną tutaj pewne propozycje postępowania w sytuacji gdy istnieje kilka projektów inwestycyjnych i należy zadecydować które wybrać przy określonych możliwościach inwestowania (środkach finansowych).

a. wybór wg. wewnętrznej stopy zwrotu (IRR).

Dane dla sześciu alternatywnych projektów określono jak poniżej (dwa pierwsze wiersze - PVC oraz RD):

alternatywy	G	A	B	C	D	E	F
koszt inwest.: (PVC)	100	120	150	150	200	250	350
roczny dochód: (RD)	21	23	33	30	40	52	78
PVB	105.39	115.43	165.62	150.56	200.75	260.98	391.46
PVC/RD	4.76	5.22	4.56	5.00	5.00	4.81	4.49
kolejność	3	7	2	5	6	4	1

Okres analizy dla wszystkich projektów: 10 lat.

Posiadane środki inwestycyjne: 500 j.p.

Dla warunków zadania wewnętrzną stopę zwrotu (IRR) wyznaczyć można

z równania:

PVC = RD⋅(P/A, IRR, 10)

(P/A, IRR, 10)=

Wyznaczanie IRR jest czynnością kłopotliwą. W powyższym, prostym, przypadku

skorzystamy z zależności, że wartość funkcji (P/A,IRR,n) oraz IRR są wiekościami

odwrotnie proporcjonalnymi.

W wierszu ostatnim tabeli mamy wyznaczoną, w oparciu o powyższą zależność, kolejność doboru alternatyw, od najwyższej do najniższej wewnętrznej stopy zwrotu: F, B, G, E, C, D, A.

Sumując kolejno nakłady inwestycyjne otrzymujemy: 350_F + 150_B = 500

Przy posiadanych środkach finansowych najkorzystniejsze jest więc ich ulokowanie

w projektach F oraz B.

Powyższe postępowanie umożliwia jednocześnie oszacowanie minimalnej atrakcyjnej stopy zwrotu (MARR), co może być przydatne dla oceny pojawiających się nowych możliwości inwestowania. Jest uzasadnione przyjęcie, dla dalszych ewentualnych analiz, że MARR jest, w przybliżeniu, równe wewnętrznej stopie zwrotu dla ostatniego zaakceptowanego projektu.

W przedstawionym przykładzie jest to alternatywa B.

Wyznaczając IRR dla tej alternatywy otrzymujemy: IRR_B =17.7% ≅ MARR.

b. wybór w oparciu o wartość obecną projektu.

Przytoczę tutaj, tylko w zarysie, dwa postępowania stosowane dla wyboru zestawu

projektów. W obu w oparciu o wartość obecną projektu (NPV) i wartość obecną

kosztów (PVC) wyznacza się wskażnik W_i:

(A.) W_i = NPV_i - p⋅PVC_i p - mnożnik z przedziału (0,1)

(B.) W_i =

Algorytm doboru oparty jest na heurystycznej przesłance:

z dwu alternatyw korzystniejsza jest alternatywa z wyższą wartością wskaźnika W_i.

Szczególnie interesujące wydaje się być postępowanie oparte o pierwszy wskaźnik wyboru (A.).

(Lorie J.,Savage L., ”Three Problems in Rationing Capital”, Journal of Business, Oct., 1955).

____________________________________________________________________

Literatura.

[1]. M. Sobczyk, Matematyka finansowa, Agencja Wydawnicza, Warszawa 1995.

[2]. D.G. Newnan, Engineering Economic Analysis, Engineering Press Inc,

San Jose, Calfornia 1991.

[3]. Manual for Evaluation of Industrial Projects, UNIDO, Wiedeń 1986.

[4]. M. Dobija, E.Smaga, Podstawy matematyki finansowej i ubezpieczeniowej,

Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa-Kraków 1996.

[5]. K. Dziworska, A. Dziworski, Podstawy matematyki finansowej,

Wydawnictwo Uniwersytetu Gdańskiego, Gdańsk 1995.

[6]. M. Gottlieb, W. Lewczyński, Cash flows, Instytut Przedsiębiorczości,

Sopot 1993.

[7]. T. Waśniewski, W. Skoczylas, Cash flow, Fundacja Rozwoju Rachunkowości

w Polsce, Warszawa 1995.

[8]. W. Pluta, T. Jajuga, Inwestycje, Fundacja Rozwoju Rachunkowości

w Polsce, Warszawa 1995.

[9]. S. Marciniak [red.], Ekonomia dla inżynierów, Wydawnictwo Naukowe PWN,

Warszawa 1995.

Najobszerniejszą literaturę przedmiotu przedstawiono w pracy [1].

A. Tabele.

Załączone dalej tabele zawierają wartości poniższych funkcji dla zmiennych parametrów:

p - stopa oprocentowania składanego w przyjętym okresie czasu,

n - liczba okresów czasu.

a. dla pojedyńczych wpłat (rat, wypłat):

oznaczenie kolumny w tabeli:

(K/P, p, n) = (1+p)ⁿ K/P

gdzie:

P - ilość obecna pieniądza,

K - ilość końcowa (przyszła) pieniądza.

(P/K, p, n) = (1+p)^-n P/K

b. dla wpłat zgodnych w równych ratach:

A - kwota raty

(K/A, p, n) = K/A

(A/K, p, n) = A/K

(P/A, p, n) = P/A

(A/P, p, n) = A/P

c. dla rat tworzących postęp arytmetyczny:

G - różnica między wielkością kwot dla kolejnych rat (G>0)

(P/G, p, n) = P/G

(A/G, p, n) = A/G

Jeżeli w obliczeniach potrzebna jest (występuje) wartość końcowa to należy

z powyższych wzorów (c.) korzystać w powiązaniu z wzorami podanymi w a.

1

K

P

A

A

A

A

K

P

A

A

A

A

A

B₄

B_n

C₀

¹

⁰

²

³

⁴

⁵

₆

₇

⁸

ⁿ

^{...................}.

B₁

B₂

B₈

B₇

B₆

C₈

C₅

B₅

B₃

---