Lista 2.

1. Całką Eulera drugiego rodzaju nazywa się całkę

Γ (p) =
x^p-1 * e^-x dx, dla x > 0 i p > 0 (p jest parametrem).

Całka istnieje i nazywa się ją funkcją gamma.

Pokazać, że:

a). Γ (p + 1) = p * Γ (p)

b). Γ (1) = 1

c). Γ (p + n) = n! dla p = 1.

Ponadto dla p = ½ Γ (½) = √π. Wykorzystując własności funkcji gamma obliczyć wartość całki

I =

e^-
x* dx, - ∞ < x < ∞

***

2. Podać rozkład zmiennej losowej, która przyjmuje wartości równe sumie oczek na dwóch kostkach do gry. Obliczyć P (5 ≤ x < ∞).

***

3. Zmienna losowa X przyjmuje wartości równe liczbom naturalnym k z prawdopodobieństwem

P (X = k) = k/(3^k) ,

gdzie c jest liczbą stałą. Wyznaczyć c i obliczyć P ( X ≥ 4).

***

4. Dystrybuanta zmiennej losowej X dana jest wzorem:

F(x) =

Obliczyć:

a). P ( 5 ≤ x ≤ 8)

b). P ( 5 ≤ x < 8)

c). P ( 5 < x < 8)

d). Określić funkcje prawdopodobieństwa f (x) tej zmiennej.

***

5. Mamy daną funkcję gęstości zmiennej losowej X:

f (x) =

Znaleźć:

a). dystrybuantę F (x) zmiennej losowej X.

b). Obliczyć P(3,6 ≤ X ≤ 4,7).

c). Podać graficzną postać funkcji gęstości f (x) i dystrybuanty F (x).

***

6. Zmienna losowa X podlega rozkładowi według gęstości danej wzorem:

f (x) =

a). Obliczyć C.

b). Podać dystrybuantę.

c). Obliczyć P (1 ≤ x ≤ 2).

d). Podać wykres gęstości f (x) i dystrybuanty F (x).

***

7. Zmienna losowa X podlega rozkładowi według funkcji gęstości

f (x) =

Obliczyć P (X > 1) i wyznaczyć dystrybuantę F(x) tej zmiennej.

***

8. Sprawdzić czy funkcja:

f (x) =

jest gęstością. Jeżeli tak, to wyznaczyć dystrybuantę F(x), obliczyć P (X ≤ - ½) i P (1 < X <2).

***

9. Zmienna losowa X ma rozkład według gęstości

f (x) =

Wyznaczyć A i obliczyć P (X > 1), P (X = 1)

***

10. Gęstością prawdopodobieństwa zmiennej losowej X jest:

f (x) =

Znaleźć dystrybuantę F (x). Obliczyć P(x > 2), P(2 ≤ x ≤ 4). Podać interpretację tych prawdo- podobieństw na wykresie gęstości i dystrybuanty.

---