dr inż. krzysztof chodnikiewicz Rok akademicki: 2009 - 2010

ZADANIA + PODPOWIEDZI DOTYCZĄCE ROZWIĄZAŃ

A. Zadania do podrozdziałów 1.1 i 1.2

1. Poniżej pokazano wykres obrazujący zmianę prędkości suwaka v pewnej maszyny funkcji czasu t. Masa suwaka wynosi 120kg. Jaka siła działa na ten suwak w chwili t = 5s?

Rozwiązanie:

Prowadzimy styczną do wykresu w punkcie t = 5 s. Obliczamy przyspieszenie

Siła działająca na suwak i wywołująca to przyspieszenie wynosi

2. Równanie ruchu ma postać

gdzie J = 10kgm² zaś M = 15Nm. W chwili t = 0 jest α = 0, ω = 0. Narysować wykresy funkcji α(t) oraz ω(t).

Jak zmienią się wykresy jeżeli w chwili t = 0 będzie α = 120⁰ oraz n = 100 obr/min?

Równanie
opisuje ruch jednostajnie przyspieszony. Wykres α(t) powinien być parabolą, wykres ω(t) - linia prostą. Należy pamiętać żeby podstawiać ω w rad/s, a nie obroty na minutę.

3. Równanie ruchu ma taką samą postać moment bezwładności taką samą wartość jak w poprzednim zadaniu. Jednakże

gdzie moment M wyrażony jest w Nm, gdy czas t jest podstawiony jest w sekundach. Rozwiązać równanie ruchu dla obydwu warunków początkowych podanych w poprzednim zadaniu. Narysować wykresy funkcji α(t) oraz ω(t).

W przedziale 0 ≤ t ≤7,5s równanie ruchu ma postać
. Należy je rozwiązać. Będąca rozwiązaniem funkcja α(t) powinna być parabolą trzeciego stopnia, funkcja ω(t) - parabola drugiego stopnia. Należy obliczyć wartości α i ω dla t = 7,5 s. W przedziale t > 7,5 równanie ruchu ma postać jak w zadaniu A2. Wartości α i ω dla t = 7,5 s należy wykorzystać jako warunki początkowe rozwiązania dla t > 7,5 s. Wykonując wykres w Excelu należy zadbać aby program „znał” wartości α i ω dla t = 7,5 s. Jeżeli w tablicy Excela wartości te zostaną pominięte, to na wykresach pojawią się niczym nie uzasadnione skoki.

4. Naszkicować wykresy obrazujące funkcje x(t) oraz dx/dt (t), które są rozwiązaniami równania

Jeżeli m jest masą ciała zawieszonego na sprężynie o sztywności k, to równanie opisuje nietłumione drgania harmoniczne.

5. Naszkicować układ wykonujący ruch obrotowy, analogiczny do układu pokazanego na rys.1.2.1. Napisać równanie ruchu naszkicowanego układu.

Wyobraźmy sobie długi metalowy pręt. Jeden koniec pręta niech będzie unieruchomiony, a do drugiego niech będzie zamocowana tarcza. W równaniu ruchu takiego układu należy zamiast masy m wpisać …, a zamiast sztywności liniowej k wpisać … .

B. Zadania do podrozdziału 1.3

1. Obliczyć moment bezwładności stalowego krążka pokazanego na poniższym rysunku względem osi otworu Ø50. Grubość krążka wynosi 50mm.

Rozwiązanie:

Moment bezwładności krążka względem jego osi

Masa krążka

Moment bezwładności krążka (bez otworu) względem osi otworu Ø50

Masa walca, który odpowiada otworowi Ø50

Moment bezwładności otworu względem jego osi

Moment bezwładności krążka z otworem względem osi otworu

2. Obliczyć moment bezwładności części pokazanych na poniższych rysunkach względem osi 0-0.

Wał z pogrubieniem składa się z cylindra o średnicy 200 mm i dwóch cylindrów o średnicy 50 mm. Należy obliczyć momenty bezwładności tych cylindrów i je dodać, gdyż mają one tę samą oś.

Wał ze szprychami składa się z pręta o średnicy 60 mm, tulei o średnicy zewnętrznej 150 mm, szprych i kul. Moment bezwładności dwóch pierwszych elementów należy obliczyć jak dla wału z pogrubieniem. Następnie obliczamy moment bezwładności kul względem ich osi i korzystając ze stosownego wzoru redukujemy momenty do osi 0-0. Podobnie postępujemy ze szprychami (patrz zadanie B5.

3. Obliczyć moment bezwładności koła zębatego

Dodajemy do momenty bezwładności tulei Ø78/ Ø55 x 75 (a) i pierścienia Ø200/ Ø200 x 35 (b). Odejmujemy (c) moment bezwładności otworu Ø55 x 75. Obliczamy moment bezwładności otworu Ø40 x 35 względem jego osi, a następnie względem osi koła zębatego (d). Wynik ostateczny: (a) + (b) - (c) - 4 x(d).

Dokładniejsze obliczenie wymaga wniknięcia w analityczny opis geometrii uzębienia. Pozostawiam to osobom, które chciałyby sobie przypomnieć zarówno geometrię analityczną jak i zasady całkowania.

4. W jakich jednostkach podawane są wartości GD²?

5. Obliczyć moment bezwładności pręta względem osi x1 równoległej do osi x. Znane są:

- długość pręta l = 500 mm

- średnica pręta d = 5 mm

- materiał: stal (gęstość 7850 kg/m³)

Obliczamy kolejno:

C. Zadania do podrozdziału 1.4

1. Wyprowadzić równanie

Jakiego układu ono dotyczy?

Wyprowadzenie analogiczne do podanego w punkcie 1.4 wykładów. Różnica polega na rodzaju ruchu wykonywanego przez rozpatrywany układ.

2. Podać przykłady obiektów technicznych, których elementy mają (a) zmienną masę, (b) zmienny moment bezwładności.

D. Zadania do podrozdziału 1.5

1. Układ jak na rys.1.5.1, część wykładowa. Dane: J_S = 0.5kgm², J_M = 2.5kgm², z₁ = 28, z₂ = 60, M_e = M_O = 10Nm. Obliczyć moment obrotowy przenoszony przez przekładnię zębatą.

Należy: (a) Zredukować moment bezwładności J_M do wału silnika. (b) Obliczyć moment bezwładności J_Z . (c) Obliczyć zredukowany do wału silnika moment oporowy M_Z . Powinno być M_e > M_Z . (d) Obliczyć przyspieszenie
. (e) Zredukować to przyspieszenie do wału MR. Oznaczmy przyspieszenie po redukcji do wału MR symbolem ε_MR . (f) Przekładnia przenosi na wał MR moment M₀ oraz moment dynamiczny J_M ε_MR .

2. Układ jak na rys.1.5.2, część wykładowa. Obliczyć moment zastępczy M_Z dla dwóch przypadków różniących się współczynnikiem tarcia jeżeli wiadomo, że z₁ = 20, z₂ = 80, F = 1000N, d = 46mm, h =8mm zaś współczynnik tarcia pomiędzy śrubą i nakrętką wynosi: przypadek a) 0,00; przypadek b) 0,1. Która z tych wartości jest bliższa warunkom istniejącym w śrubie pociągowej tocznej?

Do pokonania siły F jest potrzebny moment obrotowy (na śrubie) równy

Moment ten należy zredukować do wału silnika. Kąty występujące we wzorze - patrz wykład.

3. Zredukować na wał silnika masę suwaka m = 250kg. Pozostałe dane liczbowe jak w poprzednim zadaniu.

Masa m zredukowana na wał silnika jest równoważna momentowi bezwładności równemu

4. Na rysunku obok pokazano szkic frezarki

sterowanej numerycznie. Jakie wielkości należy

znać, aby obliczyć zredukowane do wału każdego silnika

(a) momenty oporowe wynikające z sił skrawania,

(b) zredukowane do wału każdego silnika

momenty bezwładności.

Odpowiedź wynika z zadań D2 i D3.

5.Podać cechy układu napędowego frezark , której szkic

pokazano obok w porównaniu z układem napędowym

frezarki FWA-32M, której zdjęcie i schemat

kinematyczny pokazano w dodatku D6.

E. Zadania do podrozdziału 1.6

1. Moc silnika wynosi 2,2 kW, obroty nominalne 2800 obr/min, iloraz M_k / M_n = 2,9. Jaką postać ma dla tego silnika wzór Klossa?

Wzór Klossa to następująca zależność pomiędzy poślizgiem s i momentem silnika M_e.

Trzeba: (a) obliczyć moment znamionowy M_n ; (b) moment krytyczny M_k; (c) poślizg znamionowy s_n ; (d) poślizg krytyczny s_k . Obliczone wartości podstawić do podanego wzoru.

2. Przekształcić równanie ruchu do postaci, w której zamiast prędkości kątowej występuje poślizg.

Należy wykorzystać wzór definiujący poslizg

3. Napisać wzór Klossa z następnie wykreślić zależność M(s) dla silnika STg90-2F, który cechuje się następującymi parametrami: moc - 4KM, obroty znamionowe - 2800 min^-1, przeciążalność = M_k / M_n = 3,5

F. Zadania do podrozdziału 1.7

1. Obliczyć czas rozruchu układu napędowego, o którym wiadomo, że jest napędzany jest silnikiem STg90-2F (patrz zadanie powyżej), moment oporowy zredukowany na wał silnika wynosi 5,8Nm, moment bezwładności układu zredukowany do wału silnika jest równy 1,1 kgm².

Korzystając z danych silnika, które są podane w punkcie 2.2 wykładów obliczamy M_n , M_r i M_k . Piszemy wzór Klossa i obliczamy poślizg, który odpowiada podanemu w zadaniu momentowi oporowemu, a następnie prędkość kątowa ω_u . Korzystamy ze wzoru podanego w punkcie 1.7 wykładu.

2. W podrozdziale 1.7 (część wykładowa), podano wzór, na podstawie którego można oszacować czas rozruchu. Określić kąt o jaki obróci się wirnik silnika w czasie rozruchu.

Należy rozpocząć od wyprowadzonej w punkcie 1.7 wykładu zależności

którą trzeba …

3. Silnik indukcyjny ma następujące parametry: Moc znamionowa 17 kW, obroty znamionowe 1460 obr/min, moment rozruchowy 128 Nm, moment krytyczny 220 Nm. Silnik jest początkowo obciążony momentem 50 Nm. W pewnej chwili obciążenie wzrasta gwałtownie do wartości 125 Nm. Narysować wykres obrazujący zależność prędkości kątowej od czasu aż do chwili, w której osiągnięta prędkość będzie wynosić 99,5% prędkości ω₂. Jakie wnioski wynikają z rozwiązania?

Należy skorzystać z zależności

która jest wyprowadzona w punkcie 1.7 wykładów.

4.Ocenić celowość wprowadzenia wzoru Klossa do analizy rozruchu silnika.

5. Ocenić celowość wprowadzenia wzoru Klossa do analizy zachowania się silnika w przypadku skokowej zmiany momentu oporowego.

G. Zadania do podrozdziału 1.9

1. Napisać równania ruchu dla układu pokazanego poniżej, który jest wyjaśniony w podrozdziale 1.9 (część wykładowa). Podać, w ogólnej postaci, warunki początkowe.

Wystarczy napisać zależności wynikające z rys.1.9.2.

2. Obliczyć sztywność liniową stalowego pręta o średnicy 10mm i długości 1m. Uwaga: Należy przypomnieć sobie zależność określającą wydłużenie pręta pod działaniem siły, której kierunek pokrywa się z osia pręta.

Odkształcenie bezwzględne (w mm) pręta pod wpływem przyrostu siły Δ F wyraża się wzorem

Sztywność to

3. Obliczyć sztywność skrętna (kątowa) wydrążonego stalowego wału o długości 600 mm, średnicy zewnętrznej 80 mm i średnicy wewnętrznej 70 mm.

Uwaga: kąt skręcenia wyraża się wzorem

natomiast sztywność kątową definiuje się następująco jako k_α = ΔM / Δα. W przypadku elementów sprężystych o charakterystyce liniowej, sztywność ma wartość stałą, a wiec wykres M(α) jest linią prostą. Zdarza się, że ktoś twierdzi, że tangens kąta nachylenia tej linii prostej do osi α jest sztywnością. Ocenić to stwierdzenie.

H. Zadania do podrozdziału 1.10

1. Model układu jak na rysunku zamieszczonym w podrozdziale 1.10 (część wkładowa) . Jak długo trwa proces zasprzęglania jeżeli M_sp = 10Nm, zaś, J_b = 1kgm² ? Przyjąć, że
. Nierówność ta pozwala nie uwzględniać zmian prędkości kątowej części czynnych. Przyjąć także, że M_C0 = M_b0 = 0.

Należy rozwiązać drugie z równań podanych na str.14.(Przy założeniach jak w zadaniu, ruch części biernych jest ruchem jednostajnie przyspieszonym. Należy przyjąć, że części czynne mają prędkość ω_C0 i zażądać, aby ω_b(t) = ω_C0 .

2. Dane zadania jak w zadaniu 1. Pytanie: ile wynosi praca tarcia tracona podczas zasprzęglania?

3. Rozwiązać równania różniczkowe podane w podrozdziale 1.10 przy założeniu, że M_S0 = const, M_b0 = const oraz M_sp = const i rezygnacji założenia
. Naszkicować wykresy ω_c(t) oraz ω_b(t).

4. Zakładamy, że moment sprzęgła jest opisany funkcją M_sp = 100t , w której M_sp wyraża się w Nm jeżeli czas t podstawiany jest w sekundach. Pozostałe założenia jak w zadaniu 1. Obliczyć pracę tarcia traconą podczas zasprzęglania?

W tym przypadku ruch części biernych jest ruchem przyspieszonym, ale nie jednostajnie.

I. Zadania do podrozdziału 1.11

1. Uzupełnić poniższy rysunek rysując strzałki blokowe symbolizujące momenty działające na elementy układu pokazanego schematycznie poniżej. Wyjaśnienia symboli patrz podrozdział 1.11.1.

2. Napisać równania ruchu układu zadania 1 uwzględniając momenty bezwładności kół zębatych.

J. Zadanie do podrozdziału 2.2

1. Obliczyć czas, po którym temperatura modelowej bryły pokazanej na rys.2.2.3 osiągnie wartość 3/4
, jeżeli wiadomo, że temperatura ustalona odpowiada klasie izolacji F, stała czasowa Θ = 60 minut, zaś temperatura początkowa wynosi: a) 40⁰C, b) 20⁰C, c) 0⁰C, d) -20⁰C.

Temperatura uzwojeń odpowiadająca klasie izolacji F podana jest w punkcie 2.2. Korzystamy ze wzoru
który został wyprowadzony w tym samym punkcie.

K. Zadania do podrozdzialu 2.3

1. Korzystając z wykresu i tablicy zamieszczonych na początku podrozdziału 2.3, dobrać pompę i obroty silnika jeżeli wiadomo, że pompa ma pracować w sposób ciągły z wydajnością około 70 l/min przy ciśnieniu 180 bar. Obliczyć moc potrzebą do napędu dobranej pompy.

Można przyjąć, że strumień przepływu (wydajność) jest wprost proporcjonalny do obrotów pompy, a moc silnika potrzebna do jego napędu - wprost proporcjonalna do obrotów i ciśnienia.

2. Na podstawie tablicy podanej w podrozdziale 2.2 obliczyć znamionowe straty dla silnika STg90-2D.

3. Zakładamy, że pompa o wielkości znamionowej 045 (patrz tablica w podrozdziale 2.3) napędzana będzie silnikiem obracającym się z prędkością 1450 obr/min. Cykl pracy:

- ciśnienie robocze 170 bar 5 minut,

- ciśnienie robocze 140 bar 4 minuty,

- ciśnienie robocze 80 bar 1 minuta,

- ciśnienie robocze 150 bar 3 minuty.

Jak powinna być moc silnika napędzającego pompę? Obliczenia wykonać metodą momentu zastępczego.

Zastosować wzór

4. Treść zadania jak w zadaniu 3, tyle, że obliczenia mocy silnika wykonać metodą średnich strat mocy.

Zastosować wzór

8

450

Ø50 obie strony

Ø60

300

Materiał: żeliwo

Ø20

M

M

Koło zębate

Ø200

8 szprych

450

Ø200

500

Materiał: stal

Ø_kuli 60

300

Materiał: stal

40

75

Ø55

Ø78

4 x Ø40

Ø50

Ø250

36

pokazanego na poniższym rysunku. Materiał: stal. Przyjąć średnicę podziałową Ø200 jako obliczeniową średnicę zewnętrzną koła.

Jak dokładniej obliczyć moment bezwładności koła zębatego?

x1

x

l/2

l

2

J₂

1

J₁

ω₁

ω₂

k₁₂

M_S

M₀₂

0

3

J_S M_e k_S1 α₁ 1 z₁

S

Ø150

60

2 z₂

α_S

α₂

k₂₃

J₃

α ₃

0

0

0

Ø124

t

ω

ω_C

ω_b

Praca tarcia

---