VI. badanie funkcji

6.1 Ekstrema funkcji

Definicja (Minimum lokalne funkcji)

Funkcja f ma w punkcie x₀∈R minimum lokalne, jeżeli

(6.1.1)

Definicja (Maksimum lokalne funkcji)

Funkcja f ma w punkcie x₀∈R maksimum lokalne, jeżeli

(6.1.2)

Definicja (Minimum lokalne właściwe funkcji)

Funkcja f ma w punkcie x₀∈R minimum lokalne właściwe, jeżeli

(6.1.3)

Definicja (Maksimum lokalne właściwe funkcji)

Funkcja f ma w punkcie x₀∈R maksimum lokalne właściwe, jeżeli

(6.1.4)

Uwaga:

Minima i maksima lokalne funkcji (właściwe i niewłaściwe) nazywamy ekstremami lokalnymi.

6.1 Ekstrema funkcji • Interpretacja geometryczna

	Minimum lokalne funkcji
	Maksimum lokalne funkcji
	Minimum lokalne funkcji właściwe
	Maksimum lokalne funkcji właściwe

6.1 Ekstrema funkcji

Istnienie ekstremum funkcji (konieczność)

Twierdzenie Fermata

(Warunek konieczny istnienia ekstremum)

Jeżeli funkcja f ma:

ekstremum lokalne w punkcie x0,	(6.1.5)
pochodną f′(x0),	(6.1.6)
to f′(x0) = 0.	(6.1.7)

Uwagi:

• Implikacja odwrotna jest fałszywa. Świadczy o tym przykład funkcji f(x)=x³ która spełnia w punkcie x₀=0 warunek f′(x₀)=0 ale nie ma tam ekstremum lokalnego.

• Założenie istnienia pochodnej funkcji f jest istotne. Świadczy o tym przykład funkcji f(x)=|x| która w punkcie x₀=0 ma minimum lokalne właściwe, ale f′(x₀) nie istnieje.

Twierdzenie (O lokalizacji ekstremów funkcji)

Funkcja może mieć ekstrema lokalne tylko w punktach, w których jej pochodna równa się zero albo w punktach, w których jej pochodna nie istnieje.

• Interpretacja geometryczna tw. Fermata

Jeżeli funkcja ma ekstremum lokalne w punkcie oraz jeżeli w tym punkcie wykres funkcji ma styczną, to ta styczna jest pozioma.

6.1 Ekstrema funkcji

Istnienie ekstremum funkcji (dostateczność)

Pierwszy warunek

Twierdzenie

(Pierwszy warunek wystarczający istnienia ekstremum)

Jeżeli funkcja f spełnia warunki:

f′(x0) = 0	(6.1.8)
	(6.1.9)
to w punkcie x0 ma maksimum lokalne właściwe.	(6.1.10)

Twierdzenie

(Pierwszy warunek wystarczający istnienia ekstremum)

Jeżeli funkcja f spełnia warunki:

f′(x0) = 0	(6.1.11)
	(6.1.12)
to w punkcie x0 ma minimum lokalne właściwe.	(6.1.13)

Uwagi:

• Zamiast założenia (6.1.8) lub (6.1.11) można przyjąć, że funkcja f jest ciągła w punkcie x₀.

• Zamiast założenia (6.1.9) lub (6.1.12) można przyjąć, że funkcja f jest rosnąca i malejąca odpowiednio na sąsiedztwach

6.1 Ekstrema funkcji

Istnienie ekstremum funkcji (dostateczność)

Drugi warunek

Twierdzenie

(Drugi warunek wystarczający istnienia ekstremum)

Jeżeli funkcja f spełnia warunki:

f′(x0) = f″(x0) = … = f^(n-1)(x0) = 0	(6.1.14)
f^(n)(x0) < 0	(6.1.15)
n jest liczbą parzystą, gdzie n ≥ 2,	(6.1.16)
to w punkcie x0 ma maksimum lokalne właściwe.	(6.1.17)

Twierdzenie

(Drugi warunek wystarczający istnienia ekstremum)

Jeżeli funkcja f spełnia warunki:

f′(x0) = f″(x0) = … = f^(n-1)(x0) = 0	(6.1.18)
f^(n)(x0) > 0	(6.1.19)
n jest liczbą parzystą, gdzie n ≥ 2,	(6.1.20)
to w punkcie x0 ma minimum lokalne właściwe.	(6.1.21)

Uwaga:

Jeżeli założenie (6.1.16) lub (6.1.20) ma postać n jest liczbą nieparzystą, a założenie (6.1.15) lub (6.1.19) ma postać f⁽ⁿ⁾(x₀) ≠ 0, to funkcja w punkcie x₀ nie ma ekstremum lokalnego.

6.1 Ekstrema funkcji

Wartości najmniejsza i największa funkcji

Definicja (Wartość najmniejsza funkcji na zbiorze)

Liczba m∈R jest wartością najmniejszą funkcji f na zbiorze A⊂D_f, jeżeli

(6.1.22)

Definicja (Wartość największa funkcji na zbiorze)

Liczba m∈R jest wartością największą funkcji f na zbiorze A⊂D_f, jeżeli

(6.1.23)

Uwaga:

• Funkcja rosnąca na przedziale domkniętym [a,b] przyjmuje wartość najmniejszą w punkcie a oraz wartość największą w punkcie b. Odwrotnie jest dla funkcji malejącej.

• Wartości najmniejszą i największą funkcji na zbiorze nazywamy ekstremami globalnymi.

Wartość najmniejsza m i największa M funkcji f(x) na zbiorze A	Funkcja f nie przyjmuje na zbiorze A wartości największej ani najmniejszej

6.1 Ekstrema funkcji

Przykład 1 Znaleźć ekstrema lokalne właściwe funkcji:

6.1 Ekstrema funkcji

Przykład 2 Znaleźć ekstrema lokalne właściwe funkcji:

6.1 Ekstrema funkcji

Interpretacja geometryczna

Przykład 1

Przykład 2

Pierre de Fermat (1601 - 1665), matematyk francuski.

---