VI. badanie funkcji

6.2 Wykres funkcji ściśle wypukły (wklęsły)

Definicja (Wykres funkcji ściśle wypukły)

Mówimy, że wykres funkcji f jest ściśle wypukły na przedziale (a,b) wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego x₀∈(a,b) styczna poprowadzona do wykresu funkcji w punkcie (x₀,f(x₀)) jest położona (z wyjątkiem punktu styczności) pod tą krzywą.

Definicja (Wykres funkcji ściśle wklęsły)

Mówimy, że wykres funkcji f jest ściśle wklęsły na przedziale (a,b) wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego x₀∈(a,b) styczna poprowadzona do wykresu funkcji w punkcie (x₀,f(x₀)) jest położona (z wyjątkiem punktu styczności) nad tą krzywą.

Krzywa wypukła ku dołowi	Krzywa wypukła ku górze

Uwagi:

Fakt, że wykres funkcji jest ściśle wypukły (wklęsły) na pewnym przedziale zapisujemy symbolicznie ∪ (∩).

Fakt, że funkcja jest rosnąca (malejąca) oraz jednocześnie ma wykres wypukły (wklęsły) zapisujemy symbolicznie

VI. badanie funkcji

6.2 Wykres funkcji ściśle wypukły (wklęsły)

Twierdzenie (Warunek wystarczający wypukłości)

Niech A będzie dowolnym przedziałem. Jeżeli dla każdego x∈A funkcja f spełnia nierówność:

f″(x) > 0, to jest ściśle wypukła na A;	(6.2.1)
f″(x) ≥ 0, to jest wypukła na A;	(6.2.2)
f″(x) < 0, to jest ściśle wklęsła na A;	(6.2.3)
f″(x) ≤ 0, to jest wklęsła na A.	(6.2.4)

Twierdzenie (O ekstremach funkcji wypukłych)

Funkcja ściśle wypukła na przedziale [a,b] osiąga wartość najmniejszą tylko w jednym punkcie tego przedziału.

Funkcja ściśle wklęsła na przedziale [a,b] osiąga wartość największą tylko w jednym punkcie tego przedziału.

Uwaga:

Jeżeli f″(x)≥0 dla każdego x∈A, przy czym równość f″(x)=0 zachodzi jedynie dla skończonej liczby punktów przedziału A, to funkcja f jest ściśle wypukła.

Podobnie jest dla funkcji ściśle wklęsłej.

6.2 Wykres funkcji ściśle wypukły (wklęsły)

Przykład 1 Określić przedziały wypukłości i wklęsłości funkcji:

Przykład 2 Określić przedziały wypukłości i wklęsłości funkcji:

6.2 Wykres funkcji ściśle wypukły (wklęsły)

Przykład 3 Określić przedziały wypukłości i wklęsłości funkcji:

---