III. Granice funkcji

3.1 Definicje sąsiedztwa i otoczenia punktu

Definicje (Sąsiedztwo punktu)

Sąsiedztwem o promieniu r>0 punktu x₀∈R nazywamy zbiór

(3.1.1)

Sąsiedztwo lewostronne o promieniu r>0 punktu x₀∈R to zbiór

(3.1.2)

Sąsiedztwo prawostronne o promieniu r>0 punktu x₀∈R to zbiór

(3.1.3)

Definicja (Sąsiedztwo w nieskończoności)

Sąsiedztwem -∞ nazywamy zbiór

(3.1.4)

Sąsiedztwem +∞ nazywamy zbiór

(3.1.5)

Definicje (Otoczenie punktu)

Otoczeniem o promieniu r>0 punktu x₀∈R nazywamy zbiór

(3.1.6)

Otoczenie lewostronne o promieniu r>0 punktu x₀∈R to zbiór

(3.1.7)

Otoczenie prawostronne o promieniu r>0 punktu x₀∈R to zbiór

(3.1.8)

3.2 Definicja ciągowa granicy funkcji

Definicje według Heinego - Granice funkcji w punkcie

Definicja (granica obustronna właściwa funkcji w punkcie)

(3.2.1)

Definicje (granice obustronne niewłaściwe funkcji w punkcie)

	(3.2.2)
	(3.2.3)

Definicje (granice jednostronne właściwe funkcji w punkcie)

	(3.2.4)
	(3.2.5)

Definicje (granice jednostronne niewłaściwe funkcji w punkcie)

	(3.2.6)
	(3.2.7)
	(3.2.8)
	(3.2.9)

3.2 Definicja ciągowa granicy funkcji

Definicje według Heinego

Granice funkcji w nieskończoności

Definicje (granica właściwa funkcji w nieskończoności)

	(3.2.10)
	(3.2.11)

Definicje (granica właściwa funkcji w nieskończoności)

	(3.2.12)
	(3.2.13)
	(3.2.14)
	(3.2.15)

Zestawienie definicji Heinego granic funkcji

Niech a i A oznaczają symbole podane w tabelach:

a						A
			+∞	-∞		g	+∞	-∞

wtedy wszystkie powyższe granice można zapisać w formie:

(3.2.16)

3.3 Twierdzenia o granicach właściwych funkcji

Twierdzenia (O arytmetyce granic funkcji)

Jeżeli funkcje f i g mają granice właściwe w punkcie x₀, to

	(3.3.1)
	(3.3.2)
	(3.3.3)
	(3.3.4)
	(3.3.5)
	(3.3.6)

Twierdzenie (O granicy funkcji złożonej)

Jeżeli funkcje f i g spełniają warunki:

	(3.3.7)
	(3.3.8)
	(3.3.9)

to

(3.3.10)

3.3 Twierdzenia o granicach właściwych funkcji

Twierdzenie (O trzech funkcjach)

Jeżeli funkcje f, g, h spełniają warunki:

	(3.3.11)
	(3.3.12)

to

(3.3.13)

Uwaga:

Powyższe twierdzenie jest prawdziwe dla granic właściwych jednostronnych i dla granic właściwych w nieskończoności.

Twierdzenie (Warunek konieczny i wystarczający istnienia granicy)

Funkcja f ma w punkcie x₀ granicę właściwą (niewłaściwą) wtedy i tylko wtedy, gdy

(3.3.14)

a wspólna wartość granic jednostronnych jest wtedy granica funkcji.

Twierdzenie (O nieistnieniu granicy funkcji w punkcie)

Jeżeli istnieją ciągi
i
spełniające warunki:

	(3.3.15)
	(3.3.16)
	(3.3.17)

to granica

(3.3.18)

(właściwa ani niewłaściwa) nie istnieje.

3.3 Twierdzenia o granicach właściwych funkcji

Twierdzenie (Granice podstawowych wyrażeń nieoznaczonych)

	(3.3.19) (3.3.20)
	(3.3.21) (3.3.22)
	(3.3.23) (3.3.24)
	(3.3.25)
	(3.3.26)
	(3.3.27)
	(3.3.28)
	(3.3.29)
	(3.3.30)
	(3.3.31)
	(3.3.32)

3.3 Twierdzenia o granicach właściwych funkcji

(Iloraz wielomianów - granica funkcji w punkcie)

Przykład 1

Przykład 2

3.3 Twierdzenia o granicach właściwych funkcji

(Iloraz wielomianów - granica funkcji w nieskończoności)

Przykład 1

Przykład 2

Przykład 3

Przykład 4

3.3 Twierdzenia o granicach właściwych funkcji

(Iloraz wielomianów - wzory skróconego mnożenia)

xⁿ - aⁿ = (x - a)(x^n-1 + x^n-2a + x^n-3a² + … + xa^n-2 + a^n-1)

Przykład 1

Przykład 2

Przykład 3

Przykład 4

Przykład 5

Przykład 6

3.3 Twierdzenia o granicach właściwych funkcji

(Różnica pierwiastków stopni drugich)

Przykład 1

Przykład 2

Przykład 3

Wskazówka:

3.3 Twierdzenia o granicach właściwych funkcji

(Suma i różnica pierwiastków stopni trzecich)

Przykład 1

Przykład 2

Wskazówki:

3.3 Twierdzenia o granicach właściwych funkcji

(Różnica pierwiastków stopni trzecich)

Przykład 3

Wskazówki:

3.3 Twierdzenia o granicach właściwych funkcji

(Wielomian i różnica pierwiastków stopni drugich)

Przykład 1

Przykład 2

Przykład 3

3.3 Twierdzenia o granicach właściwych funkcji

(Funkcje trygonometryczne - 1)

Przykład 1

Przykład 2

Przykład 3

Przykład 4

Przykład 5

Wskazówki:

3.3 Twierdzenia o granicach właściwych funkcji

(Funkcje trygonometryczne - Różnica pierwiastków st.2)

Przykład 1

Przykład 2

Przykład 3

Przykład 4

Przykład 5

Przykład 6

Wskazówka:

3.3 Twierdzenia o granicach właściwych funkcji

(Funkcje trygonometryczne - Różnica funkcji)

Przykład 1

Przykład 2

Wskazówki:

Eduard Heinrich Heine ( 1821 - 1881), matematyk niemiecki.

---