II. ciągi liczbowe
2.4 Twierdzenia o granicach niewłaściwych ciągów
Twierdzenie (O dwóch ciągach)
Jeżeli ciągi {an} i {bn} spełniają warunki:
|
(2.4.1) |
|
(2.4.2) |
Uwaga:
Prawdziwe jest także analogiczne twierdzenie dla ciągów zbieżnych do granicy niewłaściwej (-∞).
Ilustracja twierdzenia o dwóch ciągach
Przykłady:
|
|
|
|
2.4 Twierdzenia o granicach niewłaściwych ciągów
Twierdzenia (O granicach niewłaściwych ciągów)
|
|
(2.4.3) |
|
|
(2.4.4) |
|
|
(2.4.5) |
|
|
(2.4.6) |
|
|
(2.4.7) |
|
|
(2.4.8) |
|
|
(2.4.9) |
|
|
(2.4.10) |
ważniejsze Wyrażenia nieoznaczone
|
|
|
|
|
2.4 Twierdzenia o granicach niewłaściwych ciągów
Wyznaczanie granicy niewłaściwej ciągu
(Iloraz wielomianów)
Przykład 1
Przykład 2
2.4 Twierdzenia o granicach niewłaściwych ciągów
Wyznaczanie granicy niewłaściwej ciągu
(Iloraz wielomianów)
Przykład 3
Przykład 4
Przykład 5
2.4 Twierdzenia o granicach niewłaściwych ciągów
Wyznaczanie granicy niewłaściwej ciągu
(Wielomiany i potęgi)
Przykład 1
Przykład 2
2.4 Twierdzenia o granicach niewłaściwych ciągów
Wyznaczanie granicy niewłaściwej ciągu
(Potęgi)
Przykład 1
Przykład 2