Temat: CAŁKA NIEOZNACZONA

1) Całkowanie w oparciu o własności i wzory elementarne

Temat: CAŁKA NIEOZNACZONA

2) Całkowanie przez podstawienie

Temat: CAŁKA NIEOZNACZONA

3) Całkowanie przez części

u(x) = ...		u'(x) = ...	^-
v'(x) = ...				v(x) = v'(x)dx = ...

Temat: CAŁKA NIEOZNACZONA

4) Całkowanie funkcji zawierających trójmian kwadratowy

Typ całki :	Stosowane wzory :
1.	lub
2.	i jeden z powyższych
3.	lub
4.	lub

a² - 2ab + b² = ( a - b )² , a² + 2ab + b² = ( a + b )²,

Temat: CAŁKA NIEOZNACZONA

5) Całkowanie funkcji wymiernych

Typ całki :	Metoda rozkładu funkcji wymiernej na sumę ułamków prostych:
ułamek prosty I-go typu: ułamek prosty II-go typu:	Jeżeli n ≥m, to dzielimy wielomian Pn(x) przez Qm(x) otrzymując wielomian S(x) oraz resztę z dzielenia Rk(x). Wtedy Pn(x)/Qm(x) = S(x) + Rk(x)/Qm(x).
		Wielomian Qm(x) rozkładamy na czynniki metodą grupowania wyrazów lub z zastosowaniem twierdzeń o rozkładzie wielomianów.
		3) Rozkładamy funkcję wymierną na sumę ułamków prostych, np.:
		4) Doprowadzamy do równości wielomianu Pn(x) o znanych współczynnikach z otrzymanym po uporządkowaniu wielomianem o nieznanych współczynnikach, a następnie stosujemy twierdzenie o równości wielomianów.
		5 ) Uzyskujemy układ równań liniowych o niewiadomych Ai , Bj, Cj dla i=1,2,...α oraz j=1,2.,...,β; który rozwiązujemy metodą przeciwnych współczynników.
		6) Wykonujemy całkowanie otrzymanych funkcji w postaci ułamków prostych.

Temat: CAŁKA NIEOZNACZONA

6) Całkowanie funkcji trygonometrycznych z wykorzystaniem wzorów funkcji sum i różnic kątów

Typ całki :	Stosowane wzory :
1.
2.
3.

Zastosowanie wzorów :

sin(α+β) = sinα ⋅cosβ + cosα ⋅sinβ, cos(α+ β) = cosα ⋅cosβ - sinα ⋅sinβ

sin(α-β) = sinα ⋅cosβ - cosα ⋅sinβ, cos(α- β) = cosα ⋅cosβ + sinα ⋅sinβ

Temat: CAŁKA NIEOZNACZONA

7) Całkowanie funkcji trygonometrycznych z wykorzystaniem wzorów funkcji kąta podwojonego

Typ całki :	Stosowane wzory :
, gdy m, n są parzyste
, gdy jedna z liczb m, n jest parzysta, a druga - nieparzysta	lub

Zastosowanie wzorów funkcji trygonometrycznych kąta podwojonego:

Temat: CAŁKA NIEOZNACZONA

8) Całkowanie funkcji trygonometrycznych - przypadek ogólny

Typ całki :	Stosowane podstawienia :
gdzie R - to funkcja wymierna o argumentach sinx oraz cosx
Wyprowadzenie:

Temat: CAŁKA NIEOZNACZONA

9) Całkowanie funkcji niewymiernych - całka funkcji dwumiennej

Typ całki :	Przypadek:	Stosowane podstawienia :	Uwagi:
gdzie m, n, p ∈ W, a, b ∈ R			N - wspólny mianownik ułamków m oraz n
				s - mianownik ułamka p

Temat: CAŁKA NIEOZNACZONA

10) Całkowanie funkcji niewymiernych - metodą współczynników nieoznaczonych

(1) gdzie Wn(x) i Qn-1(x) są wielomianami stopni n i n-1, gdzie λ∈R. Wielomian Qn-1(x) ma nieznane współczynniki, które trzeba wyznaczyć.

Krok 1: Różniczkowanie obustronne względem x równości (1)

(2)

Krok 2: Mnożenie obustronne równości (2) przez

(3)

Krok 3: Porównanie współczynników wielomianów Wn(x) i Pn(x) i utworzenie układu równań liniowych, z którego wyznacza się nieznane współczynniki wielomianu Qn-1(x) i λ.

Krok 4: Podstawienie uzyskanych, z badanego układu równań liniowych, współczynników do równości (1). Wyznaczenie całki po prawej stronie równości (1), która zawiera trójmian kwadratowy.

---