5Analiza-4B, Materiały z Uniwersytetu Szczecińskiego i PS (ZUT)


4.3 Pochodne funkcji elementarnych

Wzory pochodnych funkcji elementarnych

f(x)

f′(x)

Uwagi

C

0

xn

nxn-1

n∈N, n≥2, x∈R

xα

αxα-1

α∈R, x∈R

x

1

x∈R

x2

2x

x∈R

x3

3x2

x∈R

0x01 graphic

0x01 graphic

x∈R+

0x01 graphic

0x01 graphic

x∈ R\{0}

0x01 graphic

0x01 graphic

x∈R\{0}, a≠0

0x01 graphic

0x01 graphic

x∈R\{0}

ax

ax ⋅ln(a)

x∈R, a∈R+\{1}

ex

ex

x∈R

loga|x|

0x01 graphic

a∈R+\{1}, x∈R\{0}

loga(x)

0x01 graphic

a∈R+\{1}, x∈R+

ln|x|

0x01 graphic

x∈R\{0}

ln(x)

0x01 graphic

x∈R+

4.3 Pochodne funkcji elementarnych

Wzory pochodnych funkcji trygonometrycznych

f(x)

f′(x)

Uwagi

sin(x)

cos(x)

x∈R

cos(x)

-sin(x)

x∈R

tg(x)

0x01 graphic

0x01 graphic

ctg(x)

0x01 graphic

0x01 graphic

arcsin(x)

0x01 graphic

x∈(-1,1)

arccos(x)

0x01 graphic

x∈(-1,1)

arctg(x)

0x01 graphic

x∈R

arcctg(x)

0x01 graphic

x∈R

0x01 graphic

ch(x)

x∈R

0x01 graphic

sh(x)

x∈R

0x01 graphic

0x01 graphic

x∈R

0x01 graphic

0x01 graphic

x∈(-∞,0)∪(0,+∞)

0x01 graphic

0x01 graphic

x∈R

0x01 graphic

0x01 graphic

x≥1

0x01 graphic

0x01 graphic

|x|<1

0x01 graphic

0x01 graphic

|x|>1

4.4 Twierdzenia o pochodnych funkcji

Pochodne jednostronne funkcji w punkcie

Definicje (Pochodna właściwa funkcji w punkcie x0)

Niech x0∈R i niech funkcja f będzie określona przynajmniej na otoczeniu 0x01 graphic
. Pochodną lewostronną właściwą funkcji f w punkcie x0 nazywamy granicę właściwą:

0x01 graphic

(4.4.1)

Niech x0∈R i niech funkcja f będzie określona przynajmniej na otoczeniu 0x01 graphic
. Pochodną prawostronną właściwą funkcji f w punkcie x0 nazywamy granicę właściwą:

0x01 graphic

(4.4.2)

Twierdzenie (Warunek konieczny i dostateczny istnienia pochodnej)

Funkcja f ma pochodną w punkcie x0 wtedy i tylko wtedy, gdy

0x01 graphic

(4.4.3)

Definicje (Pochodna funkcji w przedziale, funkcja różniczkowalna)

Funkcja f ma pochodną w przedziale

jeżeli ma pochodną

(a,b) ,

w każdym punkcie tego przedziału

[a,b) ,

w (a,b) i prawostronną pochodną w a

(a,b] ,

w (a,b) i lewostronną pochodną w b

[a,b] ,

w (a,b), prawostronną pochodną w a

i lewostronną pochodną w b

(-,b] ,

w (-,b) i lewostronną pochodną w b

[a,+) ,

w (a,+) i prawostronną pochodną w a

4.4 Twierdzenia o pochodnych funkcji

Twierdzenia (O arytmetyce pochodnych funkcji)

Jeżeli funkcje f i g mają pochodne właściwe w punkcie x0, to

0x01 graphic

(4.4.4)

0x01 graphic

(4.4.5)

0x01 graphic

(4.4.6)

0x01 graphic

(4.4.7)

0x01 graphic

(4.4.8)

Twierdzenie (O pochodnej funkcji złożonej)

Jeżeli:

1. funkcja f ma pochodną właściwą w punkcie x0

2. funkcja g ma pochodną właściwą w punkcie f(x0), to

0x01 graphic

(4.4.9)

Twierdzenie (O pochodnej funkcji odwrotnej)

Jeżeli funkcja f spełnia warunki:

1. jest ciągła na otoczeniu O(x0),

2. jest ściśle monotoniczna na otonczeniu O(x0),

3. ma pochodną właściwą f′(x0) ≠ 0, to

0x01 graphic

(4.4.10)

Uwaga:

Powyższe wzory są prawdziwe dla pochodnych jednostronnych.

4.4 Twierdzenia o pochodnych funkcji

Twierdzenie (O pochodnych funkcji elementarnych)

Pochodne funkcji elementarnych są funkcjami elementarnymi.

Twierdzenie (O pochodnej funkcji niejawnej)

Jeśli funkcja różniczkowalna y=f(x) jest przedstawiona równaniem F(x,y)=0, to pochodna tej funkcji y′=f′(x) może być wyznaczona z równania:

0x01 graphic

(4.4.11)

Twierdzenie (O pochodnej funkcji parametrycznej)

Jeśli funkcja y=f(x) jest przedstawiona równaniami parametrycznymi:

0x01 graphic

(4.4.12)

gdzie x(t) i y(t) są funkcjami różniczkowalnymi i x′(t)≠0, to pochodna y′=f′(x) wyraża się wzorem:

0x01 graphic

(4.4.13)

Twierdzenie (O pochodnej funkcji potęgowo-wykładniczej)

Pochodną funkcji potęgowo-wykładniczej y=[f(x)]g(x), gdzie funkcje f oraz g są różniczkowalne przedstawia wzór:

0x01 graphic

(4.4.14)



Wyszukiwarka

Podobne podstrony:
5Analiza-7B, Materiały z Uniwersytetu Szczecińskiego i PS (ZUT)
5Analiza-6C, Materiały z Uniwersytetu Szczecińskiego i PS (ZUT)
5Analiza-4A, Materiały z Uniwersytetu Szczecińskiego i PS (ZUT)
5Analiza-7C, Materiały z Uniwersytetu Szczecińskiego i PS (ZUT)
5Analiza-6B, Materiały z Uniwersytetu Szczecińskiego i PS (ZUT)
5Analiza-3B, Materiały z Uniwersytetu Szczecińskiego i PS (ZUT)
5Analiza-7D, Materiały z Uniwersytetu Szczecińskiego i PS (ZUT)
5Analiza-5A, Materiały z Uniwersytetu Szczecińskiego i PS (ZUT)
5Analiza-Przykłady-3, Materiały z Uniwersytetu Szczecińskiego i PS (ZUT)
5Analiza-4D, Materiały z Uniwersytetu Szczecińskiego i PS (ZUT)
5Analiza-6D, Materiały z Uniwersytetu Szczecińskiego i PS (ZUT)
5Analiza-Przykłady-4, Materiały z Uniwersytetu Szczecińskiego i PS (ZUT)
5Analiza-3D, Materiały z Uniwersytetu Szczecińskiego i PS (ZUT)
5Analiza-2C, Materiały z Uniwersytetu Szczecińskiego i PS (ZUT)
5Analiza-5C, Materiały z Uniwersytetu Szczecińskiego i PS (ZUT)
5Analiza-7A, Materiały z Uniwersytetu Szczecińskiego i PS (ZUT)
5Analiza-7E, Materiały z Uniwersytetu Szczecińskiego i PS (ZUT)
5Analiza-3A, Materiały z Uniwersytetu Szczecińskiego i PS (ZUT)
5Analiza-1B, Materiały z Uniwersytetu Szczecińskiego i PS (ZUT)

więcej podobnych podstron