VI. badanie funkcji

6.4 Badanie funkcji - Podsumowanie

Warunki, które spełniają pochodne funkcji na przedziale lub w punkcie			Własności funkcji	Wykres funkcji
f′	f″	f^(3)
f′(x)>0	f″(x)>0		rosnąca i wypukła
f′(x)>0	f″(x)<0		rosnąca i wklęsła
f′(x)<0	f′′(x)>0		malejąca i wypukła
f′(x)<0	f″(x)<0		malejąca i wklęsła
f′(x)=0	f″(x)>0		minimum lokalne właściwe
f′(x)=0	f″(x)<0		maksimum lokalne właściwe
	f″(x)=0	f^(3)(x)≠0	punkt przegięcia

6.4 Badanie funkcji - Schemat badania

I. Analiza funkcji f(x)

1. Dziedzina funkcji: D₁

2. Granice na krańcach dziedziny D₁

Wnioski: Asymptoty pionowe, poziome i ukośne

3. Miejsca zerowe funkcji i wartość f(0)

4. Własności: np. parzystość i nieparzystość, okresowość

Wnioski: Symetrie (osiowe i środkowa) wykresu funkcji

------------------------------------------------------------------------------------------

II. Analiza pierwszej pochodnej f′(x)

1. Dziedzina pierwszej pochodnej: D₂ ⊂ D₁

2. Miejsca zerowe pierwszej pochodnej. Warunek konieczny istnienia ekstremum funkcji f(x) - (WKIE)

3. Zmiana znaku pierwszej pochodnej w otoczeniu jej miejsc zerowych. Pierwszy warunek dostateczny istnienia ekstremum funkcji f(x) - (1WDIE)

Wnioski: Monotoniczność i ekstrema funkcji f(x)

------------------------------------------------------------------------------------------

III. Analiza drugiej pochodnej f′′(x)

1. Dziedzina drugiej pochodnej: D₃ ⊂ D₂ ⊂ D₁

2. Miejsca zerowe drugiej pochodnej. Warunek konieczny istnienia punktu przegięcia wykresu funkcji f(x) (WKIPP)

3. Zmiana znaku drugiej pochodnej w otoczeniu jej miejsc zerowych. Warunek dostateczny istnienia punktu przegięcia wykresu funkcji f(x) - (WDIPP)

4. Znak drugiej pochodnej dla miejsc zerowych 1-szej. Drugi warunek dostateczny istnienia ekstremum funkcji f(x) - (2WDIE)

Wnioski: Istnienie punktu przegięcia i kształt wykresu

funkcji, ekstremum (o ile nie wyznaczono wcześniej)

------------------------------------------------------------------------------------------

IV. Tabela przebiegu zmienności funkcji f(x), np.

x	...	x1	...	0	...	x2	...
f(x)	rośnie	∞	rośnie	0	maleje	f(x2)	maleje
f′(x)	+	∞	+	0	-	-	-
f′′(x)	+	∞	+	+	+	0	-
Uwagi:	y=0	x=x1		max		pp

V. Szkic wykresu funkcji f(x), [dobór skali, oszacowania]

VI. Wnioski z wykresu funkcji f(x)

• Zbiór wartości funkcji	• Kształt wykresu i znak funkcji
• Monotoniczność i znak funkcji	• Wartości przybliżone funkcji

6.4 Badanie funkcji

Przykład 1 Zbadać przebieg zmienności funkcji:

I. Analiza funkcji f(x)

1. Dziedzina D₁ = R = (- ∞,+∞)

2. Granice

------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

3. Miejsca zerowe i wartość w zerze:

------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

II. Analiza pierwszej pochodnej funkcji f(x)

1. Dziedzina D₂ = R = (- ∞,+∞)

------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

2. Miejsca zerowe 1-szej pochodnej (WKIE):

3. Znak 1-szej pochodnej w otoczeniu 0, 1 oraz 2 (1WDIE):

Wnioski:

• Monotoniczność funkcji:

• Ekstremum funkcji:

III. Analiza drugiej pochodnej funkcji f(x)

1. Dziedzina D₃ = R = (- ∞,+∞)

------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

2. Miejsca zerowe 2-ej pochodnej (WKIPP):

------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

3. Znak 2-ej pochodnej w otoczeniu
(WDIPP):

Wnioski:

• Kształt wykresu funkcji:

wykres f(x) wypukły ↓
wykres f(x) wypukły ↑

• Punkt przegięcia wykresu funkcji:

------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Oszacowania:

------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

IV. Tabela przebiegu zmienności funkcji f(x) = x⁴ - 4x³ + 4x²

x	...	0	...		...	1	...		...	2	...
f(x)	...	0	...		...	1	...		...	0	...
f′(x)	-	0	+	+	+	0	-	-	-	0	+
f′′(x)	+	+	+	0	-	-	-	0	+	+	+
	+ ∞	min		pp		max		pp		min	+ ∞

V. Wykres funkcji f(x) = x⁴ - 4x³ + 4x²

VI. Wnioski z wykresu funkcji f(x) = x⁴ - 4x³ + 4x²

• Y = R₊ ∪{0}

•

•

•

•

Źródło:

L.Siewierski: Ćwiczenia z analizy matematycznej z zastosowaniami, Tom 1, zad.10.1, s.158.

---