WYKŁAD 3

CAŁKA NIEOZNACZONA.

Definicja 1 Funkcja
jest funkcją pierwotną
na przedziale
, jeżeli

dla każdego

Przykład 1:
jest funkcją pierwotną
dla każdego
, ponieważ
.
jest również funkcją pierwotną funkcji
.

Przykład 2. Sprawdzić, że
jest funkcją pierwotną funkcji
w przedziale

Tw 1.(podstawowe o funkcjach pierwotnych)

Zał. Funkcja
jest funkcją pierwotną funkcji f na przedziale

Teza: (1) Funkcja
,
jest również funkcją pierwotna funkcji
na

(2) każdą inną funkcję pierwotną funkcji
na
można przedstawić w postaci
, gdzie
jest stosownie dobraną stałą

Przykład 3 .
i
są funkcjami pierwotnymi
w przedziale
.Wobec tego funkcja
można przedstawić w postaci
. Istotnie
.

Definicja 2. Całką nieoznaczoną funkcji
na
nazywamy zbiór funkcji pierwotnych
, gdzie
na
.

Całkę nieoznaczoną funkcji
oznaczamy przez

Uwaga! Z definicji funkcji pierwotnej i całki nieoznaczonej wynika, że

dla każdego

(2)

, gdzie
,

(3)

Powstaje pytanie, jakie warunki musi spełniać funkcja
, ażeby miała ona funkcję pierwotną, czyli pytanie o warunek dostateczny istnienia funkcji pierwotnej (i tym samym całki nieoznaczonej). Odpowiedzią na to pytanie jest następujące twierdzenie.

Tw.2. Jeżeli funkcja jest ciągła na przedziale, to ma na tym przedziale funkcję pierwotną

Tw.3 (o liniowości całki nieoznaczonej)

Jeżeli funkcje
i
mają funkcje pierwotne na
to

(1)

(2)
.

Z wzorów na pochodne i definicji całki nieoznaczonej wynikają, między innymi, następujące wzory

	+C ,
+C
=

Pochodnej iloczynu w rachunku całkowym odpowiada wzór na całkowanie przez części.

Mamy
, czyli

Stąd
=

Przykład 4.

=

Tw.4 (o całkowaniu przez podstawianie

Jeżeli (1) funkcja
jest ciągła na przedziale

(2) funkcja
ma ciągłą pochodną na przedziale
,

przekształca
na
wzajemnie jednoznacznie

(3) funkcja
ma funkcję pierwotną
na

to

,

Gdzie
jest funkcją odwrotną do funkcji
.

Przykład 5.Obliczyć
.

Podstawiamy

.Stąd
.

=
=
.

Całkowanie funkcji wymiernej

Definicja 1. Funkcją wymierną nazywamy iloraz wielomianów
.

Jeżeli
, to funkcję nazywamy funkcją wymierną właściwą

Jeżeli
, to funkcję nazywamy funkcją wymierną niewłaściwą

Każdą funkcję wymierną niewłaściwej możemy przedstawić jako sumę wielomianu stopnia
i funkcji wymiernej właściwej.

Przykład 1.
.

Definicja 2. Ułamkiem prostym I - go rodzaju nazywamy funkcję wymierną postaci
, gdzie
.

Ułamkiem prostym II - go rodzaju nazywamy funkcję wymierną postaci
, gdzie
,
.

Całkowanie ułamków prostych II - go rodzaju (na przykładach) dla

Przykład 2 .

=

Przykład 3.

=
.

Wyprowadzenie wzoru rekurencyjnego

Całkując przez części obliczymy




.

Podstawiając
do
otrzymujemy wzór

.

Przykład 3. Napisać wzór rekurencyjny dla
,
.

Przykład 4. Obliczyć

---