LINIE UGIĘCIA BELEK

Przy obliczeniach wytrzymałościowych zginanych układów belkowych, obok określenia naprężenia, istotnym zagadnieniem jest wyznaczenie wartości odkształceń w poszczególnych punktach oraz wartości największych przemie­szczeń liniowych lub kątowych.

W niektórych konstrukcjach narzuca się wy­magania, aby największe przemieszczenia zginanej belki nie przekraczały ustalonej wcześniej wartości przemieszczeń dopuszczalnych.

Potrzeby praktyki inżynier­skiej wymagają zatem ustalenia zależności między ugięciem belki, a współ­rzędną mierzoną wzdłuż nieodkształconej osi belki, która określa położenie wybranego punktu osi odkształconej.

W formie ogólnej postać równania linii ugięcia belki dla zginania prostego można wyrazić następującym związkiem

gdzie w oznacza ugięcie mierzone w kierunku osi x₂, natomiast f(x) stanowi funkcję położenia punktów wzdłuż osi belki. Równanie to nazywane jest także równaniem odkształconej osi belki.

Ilustracja charakterystycznych wielkości przy analizie linii ugięcia belki

Pod wpływem przyłożonego obciążenia oś belki ulegnie zakrzywieniu, określo­nemu funkcją zmiany promienia krzywizny ρ(x₁). Z rozważań teoretycznych, dotyczących czystego zginania belek prostych, wynika, że następstwem działania momentu zginającego jest obrót przekrojów poprzecznych belki względem ich osi obojętnej.

Obroty poszczególnych prze­krojów wywołują zakrzywienie geometrycznej osi belki, która pierwotnie była linią prostą.

Zagadnienie wyznaczania odkształceń w belkach zgina­nych jest problemem niezmiernie istotnym z uwagi na bezpieczeństwo funkcjonowania konstrukcji.

METODA ANALITYCZNA OKREŚLANIA LINII UGIĘCIA BELEK ZGINANYCH

Rozpatrzmy belkę swobodnie podpartą na dwóch podporach i obciążoną obciążeniem ciągłym o stałym natężeniu q. Dla przekroju poprzecznego belki, którego położenie wyznacza współrzędna x1 punkt C położony w środku ciężkości przekroju osi belki po odkształceniu dozna prze­mieszczenia pionowego określonego przez odcinek CC'.

Długość tego odcinka nazywać będziemy ugięciem belki w rozpatrywanym przekroju i oznaczać jako CC' = w = f(x₁). Znajomość tej funkcji umożliwi wyznaczenie ugięcia w dowolnie wybranym przekroju poprzecznym osi belki - także i ugięcia maksymalnego.

Największe ugięcie belki w rozpatrywanym przedziale zmienności funkcji w = f(x₁) nazywamy strzałką ugięcia i oznaczamy literą f.

Z analizy odkształcenia belki zginanej wiadomo, że oś belki znajdująca się w warstwie obojętnej nie zmienia swojej długości. Ponadto łatwo zauważyć, że dowolny punkt osi belki oprócz przemieszczenia pionowego doznaje prze­mieszczenia poziomego. Ponieważ przemieszczenia poziome są wielkościami bardzo małymi, w przypadku analizy ugięć belek zginanych wprowadza się założenie o ich pominięciu.

W trakcie odkształcania belek zginanych ich przekroje poprzeczne ulegają obrotowi w stosunku do swoich położeń początkowych. Kąt Ψ, o który obró­ci się każdy przekrój poprzeczny belki w stosunku do swojego pierwotnego położenia, nazywamy kątem obrotu przekroju.

Łatwo zauważyć, że kąt ten jest jednocześnie kątem pochylenia stycznej do osi odkształconej belki wzglę­dem poziomej osi układu współrzędnych. Wynika stąd, że dla jego określenia należy wyznaczyć tangens kąta, jaki styczna do krzywej w = f(x₁) tworzy z osią x₁.

Można tego dokonać z następującej zależności:

Dla małych kątów obrotu danego przekroju zakłada się, że tangens kąta rów­ny jest wartości kąta, wyrażonej w radianach, a zatem możemy napisać:

Z zależności tej wynika, że kąt obrotu danego przekroju jest równy wartości pierwszej pochodnej funkcji ugięcia w = f(x₁) względem zmiennej x₁, która określa położenie rozpatrywanego przekroju.

Następnym krokiem rozważań dotyczących analizy ugięć i kątów obrotu przekrojów poprzecznych jest wyprowadzenie przybliżonego równania róż­niczkowego linii ugięcia belek zginanych. Zależność krzywizny osi belki z wartością momentu zginającego od sztywności belki dla przypadku prostego zginania bez udziału sił poprzecznych ma postać:

gdzie ρ(x₁) oznacza promień krzywizny osi belki w punkcie o współrzędnej x₁, natomiast M_x3(x₁) jest funkcją momentu gnącego, o wartości odpowiadają­cej rozpatrywanemu przekrojowi o współrzędnej x₁.

Krzywiznę belki z geometrii różniczkowej określa wzór:

Porównując prawe strony ww. związków dochodzimy do równania różniczkowego osi odkształconej belki:

W przypadku zginania belek przy obciążeniach wywołujących wyłącznie odkształcenia sprężyste, kąt nachylenia stycznej do osi ugiętej belki jest bar­dzo mały i dlatego wielkość (dw/dx₁)² można traktować jako małą w porów­naniu z jednością, tj. można założyć, że mianownik prawej strony wyrażenia równy jest jedności i wówczas:

która nazywana jest przybliżonym równaniem różniczkowym linii ugięcia. Dobór znaku w tym równaniu zależy od dwóch czynników:

• reguły znakowania momentu gnącego,

• orientacji układu osi współrzędnych.

Praktyczne schematy ustalania znaku w ww. równaniu linii ugięcia Dla obu schematów w równaniu tym należy przyjąć znak minus, ponie­waż występuje niezgodność znaków momentu zginającego i drugiej pochodnej ugięcia względem zmiennej niezależnej xr tj.

Aby uzyskać tę zgodność w obu przypadkach, należałoby zmienić zwrot osi x₂.

Przybliżone równanie różniczkowe linii ugięcia belek wykorzystuje się do określania zarówno równania linii ugięcia, jak i równania kątów obrotu prze­krojów belki zginanej. Do obu tych równań dochodzimy drogą całkowania ww. zależności.

Zakładając, że belka ma tylko jeden przedział zmienności funkcji momentów zginających, po jednokrotnym scałkowaniu otrzymujemy związek

Z kolei scałkowanie zależności (7.9) prowadzi do związku

Dokonując przekształceń otrzymujemy odpowied­nio równanie kątów obrotu przekroju:

oraz równanie osi odkształconej belki

Stałe całkowania C i D, występujące w zależnościach obliczamy z warunków brzegowych, zależnych od sposobu podparcia belki - warunków podporowych i warunków ciągłości linii ugięcia.

Warunki podporowe dotyczą tych przekrojów belki, w których jest ona podparta. W zależności od rodzaju podpory będziemy mieli różne ogranicze­nia na ugięcia i kąty obrotu przekrojów. W przypadku podpór przegubowych przesuwnych i stałych ugięcie belki musi mieć wartość zerową, natomiast kąt obrotu może przyjmować dowolne wartości.

Z kolei dla belek mających prze­kroje utwierdzone zarówno ugięcie, jak i kąt obrotu muszą przyjmować war­tość równą zeru w przekroju utwierdzonym.

PRZYKŁAD 1

Określić równanie linii ugięcia belki utwierdzonej jednym końcem i obcią­żonej na drugim końcu siłą skupioną 2P. Sztywność zginania belki jest znana i jednakowa na całej jej długości.

1. Wyznaczenie reakcji w miejscu utwierdzenia

2. Ustalenie funkcji momentów zginających w przedziale 0 < x < c

3. Określenie równania kątów obrotu przekroju (scałkowanie powyższego równania) oraz równania osi odkształconej belki (dwukrotne scałkowanie powyższego równania)

4. Określenie stałych całkowania C i D

Wprowadzając te warunki do otrzymanych równań, otrzymujemy

5. Ostateczne ustalenie zależności, wyrażających kąt obrotu przekroju oraz ugięcie belki

6. Określenie kąta obrotu przekroju końcowego belki oraz strzałki ugięcia dla tego przekroju

PRZYKŁAD 2

Określić wartość kąta obrotu przekroju w punkcie A belki oraz maksymal­ne ugięcie dla belki o długości c, podpartej na dwóch podporach i obciążonej siłą skupioną 2P w sposób pokazany na rysunku. Sztywność zginania belki jest znana i jednakowa na całej jej długości.

1. Określenie reakcji w podporach

2. Ustalenie funkcji momentów zginających

— w przedziale 0 < x₁⁽¹⁾ < a

— w przedziale a < x₁⁽²⁾ <c

3. Ustalenie równań różniczkowych linii ugięcia i ich scałkowanie

— w przedziale 0 < x₁⁽¹⁾ <a

— w przedziale a < x₁⁽²⁾ <c

4. Wyznaczenie stałych całkowania

— warunki ciągłości linii ugięcia:

— warunki podporowe:

Po uwzględnieniu warunków ciągłości linii ugięcia otrzymujemy

i stąd uzyskujemy

Z warunku

wynika, że D = O. Natomiast z warunku

otrzymujemy

i stąd

5. Określenie ostatecznych związków definiujących obrót przekroju belki i jej ugięcie (obliczone wartości stałych całkowania podstawiamy do równań)

— w przedziale 0 < x₁⁽¹⁾ <a

(*)

— w przedziale a < x₁⁽²⁾ <c

(**)

6. Obliczenie wartości kąta obrotu przekroju w punkcie A belki (korzystamy z pierwszego równania grupy związków (*), przyjmując x₁⁽¹⁾ = 0)

7. Obliczenie kąta obrotu w punkcie B belki (korzystamy z pierwszego rów­nania grupy związków (**) przyjmując x₁⁽¹⁾ = 0

Po przekształceniach dochodzimy do związku

8. Obliczenie największego ugięcia belki f = w_max przy założeniu, że a > b.

Współrzędną x₁⁽¹⁾ przekroju, w którym wystąpi maksymalne ugięcie wy­znaczamy z warunku

przy wykorzystaniu pierwszego z równań grupy (*)

Otrzymaną wartość x₁⁽¹⁾ wstawiamy do drugiej zależności z grupy (*) i po przekształceniach uzyskujemy związek określający strzałkę ugięcia:

W przypadku szczególnym, gdy siła 2P przyłożona jest w środkowej częś­ci belki, tj. gdy a = b = c/2, wartość strzałki ugięcia wynosi

METODA ANALITYCZNO-WYKREŚLNA

OKREŚLANIA LINII UGIĘCIA BELEK ZGINANYCH

Metoda analityczno-wykreślna, znana również pod nazwą metody momentów wtórnych, opracowana została przez Ch.Mohra (1868), a następnie - nieza­leżnie od niego - przez C.E.Greena (1874). Jest to metoda szczególnie przydatna w przypadku, gdy należy wyznaczyć ugięcia w konkretnie wybra­nych punktach osi belki. Istota tej metody zawiera się w fakcie podobieństwa równania różniczkowego linii sznurowej i przybliżonego równania linii ugię­cia belki.

Zajmijmy się na wstępie wyprowadzeniem równania różniczkowego krzy­wej sznurowej. W tym celu rozpatrzmy belkę obciążoną obciążeniem ciągłym q_x1 , które rozłożone jest wzdłuż osi belki na długości a < x_l < b.

Następnie wydzielmy obciążenie q(x₁\dx₁, działające w przekroju określo­nym przez współrzędną x₁. Jeżeli przyjmiemy teraz, że dx₁ dąży w granicy do zera, wówczas elementarne obciążenie q(x_l)dx₁ także dąży do wartości nieskończenie małej. Podzielmy całe obciążenie ciągłe na elementarne siły skupione i sporządźmy wielobok tych sił oraz wielobok sznurowy. Z kursu statyki wiadomo, że metoda wieloboku sznurowego służy do określania sił reakcji więzów ciał, bądź do sporządzania wykresów momentów gnących. Przy założeniu, że q(x_l)dx₁ dąży do 0 wielobok sznurowy staje się krzywą sznuro­wą o równaniu w = f(x₁). Załóżmy dodatkowo, że bok zamykający wielobok sił leży na osi x₁ Jeżeli na wieloboku sił zaznaczymy obciążenie q(x_l)dx₁ występujące w przekroju o współrzędnej x₁, wówczas odpowiedni promień na wieloboku sił będzie tworzył z promieniem poziomym kąt , który odpowiada kątowi nachylenia stycznej do krzywej sznurowej w punkcie o współrzędnej x₁.

Schemat do metody analityczno-wykreślnej; a) wielobok sił, b) ilustracja krzywej sznurowej Z wieloboku sil możemy określić tangens tego kąta

P oznacza wypadkową obciążenia ciągłego na długo­ści od a do x₁, natomiast Q — wypadkową obciążenia występującego z lewej strony przekroju o współrzędnej c. Wartości obu tych wypadkowych określa się z następujących zależności:

H określa odległość biegunową.

Stąd

którego zróżniczkowanie względem x₁ prowadzi do następującego równania różniczkowego krzywej sznurowej (przy różniczkowaniu należy pamiętać, że dla danego wieloboku sznurowego wielkość Q ma stałą wartość):

gdzie

PODSTAWY METODY ANALITYCZNO-WYKREŚLNEJ

Metoda analityczno-wykreślna opiera się na podobieństwie między przybliżonym równaniem różniczkowym linii ugięcia belki, a równaniem linii sznurowej. Przybliżone równanie różniczkowe linii ugięcia wyraża się nastę­pującym związkiem

Z porównania tego równania z równaniem różniczkowym linii sznurowej wynika, że krzywe odpowiadające obu równaniom są identyczne, jeśli przy stałej sztywności zginania będą spełnione następujące warunki:

Jeśli zatem zbudujemy krzywą sznurową dla obciążenia ciągłego, odpo­wiadającego funkcji momentów zginających danej belki rzeczywistej i odleg­łość biegunową dobierzemy w taki sposób, aby odpowiadała ona w skali wartości sztywności zginania belki, to wówczas wykreślona krzywa sznurowa będzie przedstawiać w skali linię ugięcia belki rzeczywistej. Zgodnie z tym spostrzeżeniem rozpatrzmy belkę rzeczywistą obciążoną według schematu:

Schemat ogólny dwóch podstawowych etapów obliczania ugięć i kątów obrotu prze­kroju belki przy użyciu metody analityczno-wykreślnej: a) belka z obciążeniem rzeczywistym, b) belka zastępcza z obciążeniem zastępczym w postaci wykresu momentów zginających od obciążenia rzeczywistego

Dobierzmy teraz belkę zastępczą, na którą działa obciążenie zastępcze w postaci momentów zginających obliczonych dla belki rzeczywistej, tj. q(x₁) = M_x3(x₁). Dla schematu belki rzeczywistej przy­bliżone równanie różniczkowe linii ugięcia ma znaną już postać:

Po dwóch kolejnych całkowaniach tego równania otrzymujemy kolejno równanie zmiany kątów obrotu przekroju poprzecznego belki

oraz równanie zmiany ugięć poszczególnych przekrojów wzdłuż belki

Rozpatrzmy teraz związki różniczkowe wiążące ze sobą natężenie obciąże­nia ciągłego, funkcję siły poprzecznej i funkcję momentów zginających dla belki zastępczej i obciążenia zastępczego:

W równaniu (7.21b) T(x₁) oznacza zastępczą siłę poprzeczną wywołaną obciążeniem zastępczym q(x₁) = M_x3(x₁), natomiast M_x3(x₁) oznacza zastępczy moment zginający, również od obciążenia zastęp­czego.

Przy dokonanym już założeniu, że q(x₁) = M_x3(x₁) i dalej zakładając
zauważamy, że prawe strony ww. równań są tożsamościowe równe. Stąd z drugich równań uzyskujemy równania wykorzystywanego do obliczeń kątów obrotu przekroju:

które po przekształceniu ma postać

Postępując podobnie z trzecimi równaniami otrzymujemy równanie osi odkształconej belki

a stąd po dokonaniu przekształceń, uzyskujemy związek pozwalający na okre­ślenie ugięcia belki w dowolnym jej punkcie

Powyższe związki spełnione są wówczas, gdy wartości zastępczej siły poprzecznej i momentu zastępczego są wyznaczone dla takiego przekroju belki zastępczej (odpowiadającemu przekrojowi belki rzeczywistej), w którym wyznaczamy wartości kąta obrotu i ugięcia.

Wyprowadzone związki zostały otrzymane przy założeniu, że odpowiednie stałe całkowania występujące w zależnościach dla belki rzeczywistej i zastęp­czej są sobie równe, tj.
. Ażeby tak było, muszą być spełnio­ne stosowne warunki brzegowe dla belki zastępczej. Zagadnienie sprowadza się zatem do odpowiedniego doboru schematu belki zastępczej.

Metoda analityczna wyznaczania linii ugięcia belki

Przybliżone równanie różniczkowe linii ugięcia belki służy bezpośrednio do okre­ślenia równania linii ugięcia w postaci funkcji y=f(x). Do równania tego do­chodzimy drogą całkowania równania

Po jednokrotnym całkowaniu otrzy­mamy

Równanie określa kąt ugięcia przekroju.

Po powtórnym całkowaniu równanie to przyjmuje postać:

Równanie określa równanie osi odkształconej belki.

Stałe całkowania wyznaczamy z warunków brzegowych, które zależą od sposobu podparcia rozpatrywanej belki.

Przykład Belka o długości l utwierdzona jednym końcem w punkcie B jest obcią­żona na drugim końcu w punkcie A siłą skupioną P i momentem M = Pl. Sztywność zginania jest na całej długości stała i wynosi EI_z = const. Określić równania kąta ugięcia i linii ugięcia oraz wartości kąta ugięcia i ugięcia belki w punkcie A.

Rozwiązanie

Ustalamy funkcje momentów gnących w przedziale zmienności O < x < l/

Równanie różniczkowe linii ugięcia belki ma postać

Całkując dwukrotnie to równanie, otrzymamy

Stałe całkowania C₁ i C₂ wyznaczymy z warunków brzegowych.

W utwierdzeniu w punkcie B za­równo ugięcie, jak i kąt ugięcia przekroju muszą być równe zeru, a wiec dla x = l mamy

Po wprowadzeniu tych warunków brzegowych do poprzednich równań otrzymamy

Ostatecznie, zależności określające kąt ugięcia i ugięcie belki wynoszą

Kąt ugięcia w punkcie A belki ϑa i strzałkę ugięcia y_A otrzymamy po podstawieniu do powyższych związków współrzędnej punktu A, a wiec x = 0

Metoda Maxwella-Mohra obliczania przemieszczeń konstrukcji

Cechą charakterystyczną metody Maxwella-Mohra jest obciążenie rozpatrywanej konstrukcji jednostkową siłą uogólnioną działającą w kierunku poszukiwanego przemieszczenia.

W przypadku wyznaczania ugięć przykładamy siłę jednostkową P' = l do punktu konstrukcji, którego ugięcie obliczamy.

Jeżeli wyznaczamy kąt ugięcia, będzie to moment jednostkowy M' = l, przyłożony do punktu przekroju konstrukcji, którego kąt ugięcia obliczamy.

W przypadku obliczania zmiany odle­głości pomiędzy dwoma dowolnymi punktami konstrukcji, obciążamy tę konstruk­cję dwiema siłami P' = l, skierowanymi przeciwnie, działającymi na rozpatrywane punkty wzdłuż łączącej je linii prostej.

W przypadku belek i ram płaskich, w których wprowadzenie siły jednost­kowej wywołuje stan napięcia w elementach konstrukcji: n - siły normalne, t - siły tnące i m - momenty gnące, przemieszczenie konstrukcji obliczamy ze wzoru Maxwella-Mohra

W przypadku ram przestrzennych, gdzie siła jednostkowa wywołuje na­stępujące siły i momenty: m - siły normalne, t₁ i t₁ - siły tnące, m₁ i m₂ - momenty gnące oraz m_s - momenty skręcające, przemieszczenie konstrukcji wyznaczamy ze wzoru

Wyrażenia podcałkowe mają dla układów prętowych o stałych sztywnościach postać iloczynu dwóch funkcji. W in­żynierskich zastosowaniach co najmniej jedna z tych funkcji jest liniowa. W takich przypadkach całkowanie można uprościć przy zastosowaniu wzoru Wereszczagina

gdzie Y(x) - dowolna funkcja nieliniowa (łamana, nieciągła itp.), na­tomiast y(x)=ax+b -funkcja liniowa.

Uproszczony sposób obliczania całki

Wartość całki jest iloczynem pola A nieliniowej funkcji Y(x) przez rzędną y_c funkcji liniowej y(x), która odpowiada odciętej x_c środka ciężkości pola A.

Przykład Belka o długości l utwierdzona jednym końcem A jest obciążona na dru­gim końcu B siłą P. Sztywność zginania jest na całej długości stała i wynosi EI_z. Obli­czyć kąt ugięcia i strzałkę ugięcia belki w punkcie B.

Rozwiązanie

Wykres momentów gnących od siły zewnętrznej P przedstawiono na rysunku.

Obli­czenie pionowego przemieszczenia punktu B rozpoczynamy od narysowania wykresu momentów gnących, pochodzącego od siły jednostkowej P' = l przyłożonej w tym punkcie.

Poszu­kiwane ugięcie belki w punkcie B wynosi

Kąt ugięcia belki w punkcie B obliczamy na podstawie wykresu momentów gnących otrzymanego od jednostkowego momentu M' = l.

Wartość tego kąta ugięcia jest równa

Linię ugięcia belki przedstawiono na rys.d.

Przykład Belka zamocowana na dwóch podporach została obciążona w punkcie A momentem skupionym M. Obliczyć kąty ugięcia w punktach A i B. Sztywność zginania belki wy nosi EI_Z.

Rozwiązanie

Wykres momentów gnących od momentu zewnętrznego M.

Obliczenia kątów ugięcia ϑ_B i ϑ_A dokonamy na podstawie wykresów momentów gnących od jed­nostkowych momentów M' = l

Linię ugięcia belki przedstawiono na rysunku.

Przykład Wyznaczyć ugięcie i kąt ugięcia przekroju w punkcie C ramy przedsta­wionej na rysunku, obciążonej momentem M. Sztywność zginania ramy jest stała i wynosi El_z.

Rozwiązanie

Wykres momentów gnących od obciążenia zewnętrznego momentem M

Obliczenia ugięcia w punkcie C ramy dokonamy na podstawie wykresów momen­tów gnących od jednostkowych sił P¹ = l przyłożonych poziomo i pionowo do tego punktu.

Stąd

Kąt ugięcia przekroju w punkcie C obliczymy na podstawie wykresu momentów gnących od jednostkowego momentu M' = l.

Ujemna wartość kąta ugięcia oznacza, że należy go odmierzyć przeciwnie do jednostkowego mo­mentu M' = 1.

Przykład Wyznaczyć poziome przemieszczenia punktów A i C oraz kąty ugięcia węzłów B i D statycznie wyznaczalnej ramy płaskiej, przedstawionej na rysunku. W obliczeniach pominąć wpływ sił tnących i normalnych. Sztywności zginania prętów są równe i wynoszą EI_z.

Rozwiązanie

Wykres momentów gnących otrzymany od obciążenia zewnętrznego (dwie siły poziome P i moment Pl).

Obliczenia poziomych przemieszczeń punktów A i C dokonamy na podstawie wykresów momentów gnących od jednostkowych sił P¹ = l przyłożonych poziomo do tych punktów.

Obliczenie kątów ugięcia węzłów B i D przeprowadzimy przy wykorzystaniu wykresów momentów gnących od jednostkowych momentów M' = l.

2

---