ALGEBRA LINIOWA

Macierze i działania

Definicja- niech dane będą 2 liczby naturalne m,n ∈N oraz niech X={ i ∈N i<=m}, Y= { j ∈N j<=m}

Funkcję odwzorowującą X *Y nazywamy macierzą

Zbiór wartości f zwanej macierzą jest skończony i zapisujemy go w postaci prostokątnej tablicy liczb zawierającej m wierszy i n kolumn

a _ij

Jeśli m=n to taką macierz nazywamy kwadratową

Jeśli m=1 tzn. że mamy tylko jeden wiersz (jest to wektor wierszowy)

Jeśli n=1 to macierz ta jest wektorem kolumnowym

Macierz jednostkowa

Macierz nazywamy trójkątną jeżeli wszystkie elementy nad lub pod przekątna główną są równe 0

Macierz diagonalna a,b,c=1=>macierz jednostkowa

Przynajmniej jeden z elementów głównych przekątnej będzie różny od zera. ij=1,m,...,n

Macierz kwadratowa (symetryczna)

A_mxn = [a _ij]_mxn będziemy nazywać kwadratową dla a _ij = a _ij

Dwie macierze A i B są równe ten sam wymiar i odp wyrazy sorówne

Działania na macierzach

Suma macierzy o wyrazach m x n A_mxn = [a _ij]_mxn i B_mxn = [b _ij]_mxn

Nazywamy takie macierze C= A+B że c _ij = a _ij + b _ij

Własności sumy macierzy

Dodawanie macierzy jest przemienne A+B = B+A

Dodawanie macierzy jest łączne (A+B) +C = A+(B+C)

Mnożenie macierzy przez liczby

Mnożenie macierzy przez macierz

Własności mnożenia macierzy

• Mnożenie macierzy nie jest przemienne

• Jeżeli mnożymy iloczyn macierzy przez liczbę

α (A*B)= (αA)+B=(α B)+A

• Łączność (AB) C = (AC) B

• Rozdzielność A (B+C) = AB + AC

Potęga macierzy

Potęgą o wykładniku k macierzy A_mxn nazywamy macierz A^k= A A^k-1

Definicja- macierz jest idempotentną jeśli AA =A np. A²= A

Definicja- macierz B_mxn nazywamy transpozycją macierzy o wymiarach m x n albo macierzą transponowaną do macierzy A_mxn jeśli zachodzi warunek B_mxn = A_mxn i oznaczamy B=A^T

Własności transpozycji

• transpozycja macierzy transponowanej jest równa macierzy

(A^T )^T=A

• (A+B )^T= A^T + B^T

• (AB )^T= A^TB^T

Twierdzenie- jeśli macierz A spełnia A^T =A to jest symetryczna

Definicja- macierz kwadratową B_mxn nazywamy macierzą odwrotną do macierzy A_mxn jeśli spełnione są warunki:

• AB = I macierz jednostkowa

• BA = I

• A^-1= B

Definicja- macierz kwadratowa która nie posiada macierzy odwrotnej nazywamy macierzą osobliwą `(W=0)', a macierz kwadratowa która posiada macierz odwrotna nazywamy macierzą nieosobliwą.

Twierdzenie- jeśli macierz A jest macierzą osobliwą to

1. (A^-1 )^-1=A

2. (A^-1 )^T=(A^T )^-1

3. (αA)^-1=1/α A^-1

4. (AB )^-1= B^-1*A^-1

Definicja- macierz kwadratową A_mxn nazywamy ortogonalną jeśli spełnia warunki

1. A^T A= I

2. A A^T = I

Metody wyznaczania macierzy odwrotnych

Jeśli A jest m nieosobliwą toA^-1=[1/detA]*D^T

Układy równań liniowych:

Def: Układem równań liniowych nazywamy układ równań postaci:

a11 x1 + a12 x2 +.....+a1n xn = b1

a21 x2 + a22 x2 +.....+a2n xn = b2 (1)

.......................................................

am1 x1 + am2 x2 +.....+amn xn = bn

Układ równań (1) mozemy przedstawic w postaci rownoważnej Ax = b (1a)

Def: Wyznacznik macierzy A we wzorach (1) (1a) nazywamy wyznacznikiem układu równań(1)(1a).

Def: Rozwiązaniem układu równań (1)(1a) nazywamy układ liczb x1…xn spełniających ten układ równań.

Def: Układ Równań (1) nazywamy sprzecznym jeżeli nie posiada rozw.

Układ (1) nazywamy oznaczonym gdy posiada dokładnie jedno rozw.

Układ (1) nazywamy nieoznaczonym gdy posiada nieskonczenie wiele rozw.

Tw. (Kroneckera-Capellie'go)

Układ równań liniowych (1), zapisujemy w postaci macierzowej (1a)

Ax = b

Ponadto rozwiazanie wtedy i tylko wtedy gdy

rz A = rz [A b]

(rzad macierzy podstawowej jest równy rzędowi macierzy rozszerzonej) przy czym:

1. jeżeli rzA = rz [A b] = n, to układ ma dokladnie jedno rozw. (oznaczony)

2. jeżeli rzA = rz [A b] = r<n to układ ma nieskończenie wiele rozw. (nieoznaczony, zależny od n-r parametrow)

Tw: Jeżeli do układu równań (1) zachodzi rzA nie= rz [A b] to układ jest sprzeczny.

Def: Jeżeli dla układu (1) zachodzi warunek detA = 0, to układ nazywamy układem Cramera.

Tw: Jeżeli układ równań (1) jest układem Cramera to x=A (do potegi -1) b (2)

Tw: Jeżeli wyznacznik układu równań (1) jest różny od zera to układ ma dokładnie jedno rozw. Określone wzorami:

x1=detA1/detA; x2=detA2/detA (3); xn=detAn/detA

Def: Jeżeli w układzie równań (1) wektor wyrazów wolnych b jest wektorem zerowym, czyli b=0

układ ten ma postać

a11x1 +…..+ a1nxn = 0

am1x1 +….+amnxn = 0 (4)

to układ ten nazywamy jednorodnym. Jeżeli b nie=0 to układ (1) nazywamy niejednorodnym.

Tw: Układ równań jednorodnych nigdy nie jest układem sprzecznym.

Tw: Jednorodny układ równań liniowych posiada niezerow rozw. Gdy rząd macierzy rzA<n

Def: Operacjami elementarnymi dokonywanymi na układach równań nazywamy następujące przekształcenia: dodawanie stronami x stała, przestawienie miejscami, pomnożenie obu stron; tak jak na macierzy.

Def: Rozwiązaniem bazowym nieoznaczonego układu równań liniowych nazywamy kazde z rozw szczegółowych których co najmniej n-r składowych jest równych 0.

Tw: Jeżeli układ równań Ax=b ma rozwiazanie i r<n to liczba rozw. Bazowych tego układu jest mniejsza bądź równa (n `nad' r).

Pierwiastki charakterystyczne (wartości własne) i wektory własne macierzy.

Def. Wielomianem charakterystycznym macierzy symetrycznej A_nxn nazywamy funkcję postaci: Wn(alfa)=det[A-alfaI] gdzie alfa€R

Def. Równaniem charakterystycznym macierzy symetrycznej A_nxn nazywamy równanie postaci: det[A-alfaI]=0

Pierwiastki tego równania nazywamy pierwiastkami charakterystycznymi macierzy A

Def. Wektorem własnym macierzy A_nxm odpowiadającym pierwiastkowi charakterystycznemu alfa₀ tej macierzy nazywamy taki wektor x'nie='0 dla którego zachodzi: [A-alfaI]*x=0 (jest to układ równań ze względu na x)

Tw. Jeżeli A n x m jest rzeczywistą macierzą symetryczną to jej pierwiastki charakterystyczne są liczbami rzeczywistymi.

Wniosek: jeśli alfa₀=0, czyli jeżeli macierz posiada zerowy pierwiastek charakterystyczny, to jest to macierz osobliwa (jej wyznacznik równa się 0)

Tw. Jeżeli macierz A jest nieosobliwa , to żaden z jej pierwiastków charakterystycznych nie jest równy 0.

Tw. Jeżeli macierz A n x m jest symetryczna i rzeczywista to ma co najwyżej n pierwiastków charakterystycznych (z uwzględnieniem ich krotności).

Tw. Jeżeli A n x m jest macierzą diagonalną to jej pierwiastki charakterystyczne są równe elementom diagonalnym tej macierzy czyli lezącym na głównej przekątnej.

Tw. Jeżeli A jest symetryczną macierzą nieosobliwą i alfa₀ jest jej pierwiastkiem charakterystycznym to 1/alfa₀ jest pierwiastkiem charakterystycznym macierzy A^-1

Tw. jeżeli
są pierwiastkami charakterystycznymi macierzy symetrycznej A n x m, to: trA=
,

DetA=

Określoność macierzy:

Def. Formą kwadratową nazywamy funkcję postaci Q=x^TAx gdzie x
Rⁿ, a A jest macierzą formy kwadratowej A n x m.

Tw. Każdą formę kwadratową można przedstawić w postaci formy kwadratowej o macierzy symetrycznej.

Def. Formę kwadratową Q=x^TAx nazywamy dodatnio określoną jeżeli

Tw. Forma kwadratowa jest określona dodatnio wtedy i tylko wtedy, gdy wszystkie pierwiastki charakterystyczne macierzy tej formy są dodatnie.

Def. Formą kwadratową Q=x^TAx nazywamy ujemnie określoną gdy

Tw. Forma kwadratowa jest ujemnie określona wtedy i tylko wtedy gdy wszystkie pierwiastki charakterystyczne macierzy tej formy są ujemne.

Def. Formą kwadratową Q=x^TAx nazywamy pół dodatnio określoną jeżeli

Tw. Forma kwadratowa Q=x^TAx jest określona pół dodatnio wtedy i tylko wtedy gdy pierwiastki charakterystyczne macierzy tej formy kwadratowej są nieujemne i przynajmniej jeden z nich jest równy 0.

Def. Forma kwadratowa Q=x^TAx jest pół ujemnie określona jeżeli

Tw. Forma kwadratowa Q=x^TAx jest pół ujemnie określona gdy pierwiastki charakterystyczne macierzy tej formy kwadratowej są niedodatnie i przynajmniej jeden z nich jest równy 0.

Def. Formę kwadratową Q=x^TAx nazywamy nieokreśloną jeżeli nie zachodzą warunki podane w w/w definicjach.

Pierwiastki charakterystyczne macierzy tej formy kwadratowej nieokreślonej mają różne znaki.

Tw. (Sylwestra)

Niech A n x m będzie macierzą symetryczną. Macierz A jest:

1. Dodatnio określona wtedy i tylko wtedy gdy wszystkie minory główne są dodatnie:

,
,...,

2. Ujemnie określona wtedy i tylko wtedy gdy:
   ,
   ,
   ,...,
   

3. Pół dodatnio określona wtedy i tylko wtedy gdy:
   ,
   ,...,
   ,
   

4. Pół ujemnie określona wtedy i tylko wtedy gdy:
   ,
   ,
   ,...,
   

Tw. Jeżeli nie zachodzi żaden z w/w warunków to macierz A jest nieokreślona.

Twierdzenie Sylwestra: niech A_nxn będzie macierzą symetryczną. Macierz A jest: 1)dodatnio określona wtedy i tylko wtedy gdy wszystkie minory główne tej macierzy są +:

Δ₁>0, Δ₂>0, Δ_n>0 2)ujemnie określona wtedy i tylko wtedy gdy nieparzyste indeksy przy minorach to <, parzyste to > Δ₁<0, Δ₂>0, Δ₃<0 ... (-1)ⁿ Δ_n

• półdodatnio określona wtedy i tylko wtedy gdy:

Δ₁≥0, Δ₂≥0, Δ_n-1≥0, Δ_n=0

• półokreślona ujemnie wtedy i tylko wtedy gdy:

Δ₁≤ 0, Δ₂≥ 0, Δ₃≤ 0,..., Δ_n=0

Twierdzenie: jeśli nie zachodzi żaden z warunków od a) do d) z tw sylwestra to macierz A jest macierzą nieokreśloną.

Def: Odległością euklidesową dwóch punktów x i y ze zbioru R^k nazywamy wielkość

D_k (x,y )= gdzie x=(x₁….x_k ) , y=(y₁ ….y_k ).

Def: Punkt p₀ nazywamy punktem skupienia zbioru A jeżeli do dowolnego sąsiedztwa punktu p₀ należy nieskończenie wiele elementów zbioru A.

Def: Zbiór Ac Rⁿ nazywamy zbiorem otwartym jeżeli do każdego punktu należącego do zbioru A istnieje otoczenie tego punktu zawarte w A.

Tw. Schwarza

Jeżeli f: R^k=>R posiada w obszarze G pochodne mieszane drugiego rzędu ciągłe w punkcie x₀ cG to są one równe w tym punkcie.

Def: Minima i maksima noszą nazwę ekstremów lokalnych.

---