POCHODNA FUNKCJI

1. Podstawowe pojęcia

Niech funkcja f będzie określona w pewnym otoczeniu
.
(1.1)Definicja

Ilorazem różnicowym funkcji f w punkcie
dla przyrostu
zmiennej niezależnej x (gdzie
) nazywamy stosunek

,

przy
.

(1.2)Definicja

Granicę właściwą ilorazu różnicowego, gdy
, nazywamy pochodną funkcji f w punkcie
i oznaczamy symbolem
. Mamy więc

(1)
.

Jeżeli nie istnieje granica ilorazu różnicowego dla
, to mówimy że pochodna
nie istnieje.

Pojęcie pochodnej wprowadził do matematyki Izaak Newton w drugiej połowie XVII w. Współtwórcą rachunku pochodnych (r. różniczkowego) był matematyk niemiecki Gottfryd Leibniz (1646-1716).

Interpretacja geometryczna:
Jeżeli
, to geometrycznym odpowiednikiem istnienia granicy (1) jest istnienie granicznego położenia siecznej do wykresu funkcji
, czyli istnienie stycznej do tego wykresu w punkcie o odciętej
i rzędnej
. Pochodna funkcji f w punkcie
jest równa
, gdzie
oznacza kąt nachylenia do osi Ox stycznej, poprowadzonej do krzywej
w punkcie

.

Interpretacja fizyczna:
Niech punkt P porusza się po osi liczbowej Os. Współrzędna s punktu P jest funkcją czasu t, s =s (t). Wtedy iloraz różnicowy

przedstawia prędkość średnią tego ruchu między chwilą
i chwilą
.
Granicę właściwą tego ilorazu, gdy
nazywamy prędkością v punktu P w chwili
,

.

Uwaga. Jeżeli pochodna funkcji f istnieje w każdym punkcie pewnego zbioru X, to każdej liczbie
przyporządkowana jest dokładnie jedna liczba
, a więc w zbiorze X określona jest nowa funkcja, zwana funkcją pochodną funkcji f i oznaczona symbolem

(1.3)Definicja

Granicę właściwą

nazywamy pochodną lewostronną (prawostronną) funkcji f .

Uwaga. Analogicznie do granic funkcji można też mówić o pochodnych niewłaściwych funkcji f w punkcie
.

(1.4)Definicja

Jeżeli
to mówimy, że funkcja f ma w punkcie
pochodną niewłaściwą. Piszemy przy tym

Geometrycznie oznacza to, że styczna do wykresu funkcji f w punkcie o odciętej
jest prostopadła do osi Ox.

(1.5)Twierdzenie (warunek konieczny i dostateczny istnienia pochodnej)
Funkcja f ma pochodną w punkcie
*

(1.6)Definicja (różniczkowalności na zbiorze)
Jeżeli funkcja f posiada pochodną w (a, b), a ponadto istnieją pochodne jednostronne
, to mówimy, że istnieje pochodna
w przedziale domkniętym <a, b>.

2. Różniczka funkcji

(2.1)Twierdzenie (o przedstawieniu przyrostu funkcji)
Jeżeli funkcja f , określona w pewnym otoczeniu
ma pochodną
, to dla każdego przyrostu
takiego, że
, odpowiadający mu przyrost funkcji
można przedstawić następująco:
przy czym
gdy

Wniosek. Jeżeli funkcja f ma pochodną w punkcie
, to jest w tym punkcie ciągła. (różniczkowalność jest warunkiem silniejszym niż ciągłość)

Uwaga. Funkcja ciągła w punkcie może nie mieć w tym punkcie pochodnej.

Przykład: funkcja
jest ciągła w punkcie
, ale nie jest w nim różniczkowalna.

(2.2)Definicja

Funkcję f nazywamy różniczkowalną w punkcie
, jeżeli jej przyrost
można dla każdego
dostatecznie bliskiego zeru przedstawić w postaci

(2)

gdzie A - stała,
jest nieskończenie małą rzędu wyższego niż
, gdy
.

Z twierdzenia (X.2.1) wynika, że jeżeli istnieje
, to funkcja
jest w punkcie
różniczkowalna, przy czym
. Na odwrót jeśli funkcja f jest różniczkowalna w punkcie
, to wobec (2) istnieje
.

(funkcja f ma pochodną w
jest w tym punkcie różniczkowalna przy czym
)

(2.3)Definicja

Różniczką funkcji f w punkcie
dla przyrostu
zmiennej niezależnej x nazywamy iloczyn
.

Uwaga. Różniczkę funkcji można zastosować między innymi do obliczeń przybliżonych, znajdowania przybliżonych rozwiązań równań, szacowania błędów pomiarów, itd.

3. Obliczanie pochodnych

Pochodne podstawowych funkcji

10) 11) 12) 13) 14) 15) 16)

(3.1)Twierdzenie (o działaniach arytmetycznych na pochodnych)
Jeżeli istnieją pochodne
i
, to:
a)

b)

(a-stała)
c)
przy

(3.2)Twierdzenie (o pochodnej funkcji odwrotnej)
Jeżeli funkcja
jest ściśle monotoniczna i posiada pochodną
to funkcja
odwrotna do niej posiada pochodną

, przy czym
.

Rozważmy funkcję złożoną
, przy czym
, zaś
.

(3.3)Twierdzenie ( o pochodnej funkcji złożonej)
Jeżeli funkcja
ma pochodną
, natomiast funkcja
ma pochodną
, to funkcja złożona
ma pochodną

4. Twierdzenia o wartości średniej i ich zastosowania

(4.1)Twierdzenie (Rolle'a)
Jeżeli funkcja f spełnia warunki:
1. jest ciągła w <a, b>,
2. ma pochodną właściwą (lub niewłaściwą) w (a, b),

3. f(a) =f (b),
to istnieje punkt c* (a, b) taki, że

(4.2)Twierdzenie (Lagrange'a)
Jeżeli funkcja f spełnia warunki:
1. jest ciągła w <a, b>,
2. ma pochodną właściwą w (a, b),

to istnieje punkt c* (a, b) taki, że

.

Wnioski:
a) Jeżeli
dla każdego x* (a, b), to f stała w <a, b>,
b) jeżeli
dla każdego x* (a, b), to f rosnąca w <a, b>,
c) Jeżeli
dla każdego x* (a, b), to f malejąca w <a, b>.

Uwaga. Twierdzenia odwrotne do b) i c) nie są prawdziwe. Na przykład funkcja
jest rosnąca w każdym przedziale, natomiast
.

(4.3)Twierdzenie (Cauchy'ego)
Jeżeli funkcje f i g spełniają warunki:
1. są ciągłe w <a, b>,
2. mają pochodne właściwe w (a, b),
3.
dla każdego x* (a, b),
to istnieje punkt c* (a, b) taki, że

Wniosek (reguła de L'Hospitala)
Jeżeli funkcje f i g są określone w pewnym sąsiedztwie S punktu
oraz spełnione są warunki:
1)

2) istnieją pochodne
i
dla każdego x* S,
3)
dla każdego x* S,
4) istnieje granica
(właściwa lub niewłaściwa),
to istnieje granica
(odpowiednio właściwa lub niewłaściwa), przy czym

Analogicznie, jeżeli:
1)

2), 3), 4) jak wyżej,
to istnieje granica
(odpowiednio właściwa lub niewłaściwa), przy czym

2

6

---