5. Pochodne wyższych rzędów.

(5.1)Definicja

Jeżeli pochodna
funkcji f jest różniczkowalna, to jej pochodną nazywamy pochodną drugiego rzędu (drugą pochodną) i oznaczamy symbolem
.

Mamy więc

Uwaga. Podobnie określamy pochodne wyższych rzędów:

(5.2)Definicja

Jeżeli funkcja f ma w pewnym punkcie pochodną rzędu n ( i co za tym idzie także wszystkie poprzednie pochodne), to mówimy, że jest w tym punkcie

n - krotnie różniczkowalna.

(5.3)Fakt (wzór Leibniza)

Jeżeli funkcje f i g mają pochodne właściwe n - tego rzędu w punkcie
, to

przy czym

(5.4)Definicja

Jeżeli funkcja f ma pochodną rzędu (n -1) w otoczeniu punktu
oraz pochodną rzędu n w punkcie
, to

(dx- przyrost zmiennej niezależnej)

nazywamy różniczką n - tego rzędu.

(5.5)Twierdzenie (wzór Taylora)

Jeżeli funkcja f ma ciągłe pochodne do rzędu (n -1) włącznie w przedziale
oraz ma pochodną rzędu n w
to istnieje taki punkt
że

• Uwaga. Twierdzenie powyższe jest prawdziwe także dla przedziału
  , wtedy
  Ponadto, w przypadku, gdy n = 1, twierdzenie Taylora jest identyczne z twierdzeniem o przyrostach. Wzór przyjmuje bowiem postać

• Przy oznaczeniach
  oraz
  wzór Taylora jest postaci:

gdzie
oznacza k -tą różniczkę funkcji f . Wzór Taylora stanowi zatem związek między przyrostem
wartości funkcji f oraz jej różniczkami do rzędu n włącznie.

• Ostatni składnik wzoru Taylora nazywamy resztą wzoru Taylora i oznaczamy symbolem
  Zatem

• Resztę tę zapisaną w postaci

gdzie 0 < * < 1.

nazywamy resztą Lagrange'a.

• Podstawiając do wzoru Taylora
  otrzymujemy wzór Maclaurina

• Powyższy wzór można zapisać w postaci
  

gdzie

• Jeśli pominiemy
  , to otrzymamy wzór przybliżony

6. Ekstrema lokalne i globalne funkcji

Niech funkcja f będzie określona w pewnym otoczeniu U punktu
.

(6.1)Definicja

Mówimy, że funkcja f ma w punkcie
maksimum lokalne (krótko maksimum), jeżeli

(6.2)Definicja

Mówimy, że funkcja f ma w punkcie
minimum lokalne (krótko minimum, jeżeli

Uwaga. Jeżeli zamiast powyższych nierówności słabych spełnione są odpowiednio
albo
, to maksimum (minimum) lokalne nazywamy właściwym.

Maksima i minima funkcji nazywamy ekstremami (od słowa łac. ekstremus - najdalszy, krańcowy).

Uwaga. Pojęcia maksimum (minimum) lokalnego nie należy mylić z pojęciem wartości największej (najmniejszej) funkcji ( tzw. ekstremów globalnych). Maksimum może, ale nie musi być największą wartością funkcji w danym przedziale.

(6.3)Twierdzenie (Fermata) (warunek konieczny istnienia ekstremów)

Jeżeli funkcja f ma w punkcie
ekstremum i ma w tym punkcie pierwszą pochodną, to

Uwaga. Warunek
jest warunkiem koniecznym na to, aby funkcja f, różniczkowalna w punkcie
, miała w tym punkcie ekstremum. Nie jest jednak wystarczający. Na przykład funkcja
jest różniczkowalna w punkcie
, ale nie ma w nim ekstremum.

(6.4)Wniosek (o lokalizacji ekstremów funkcji)

Funkcja może mieć ekstremum jedynie w tych punktach, w których jej pochodna jest równa zero, bądź, w których jej pochodna nie istnieje.

(6.5)Twierdzenie

Jeżeli funkcja f jest ciągła w punkcie
oraz ma pochodną w pewnym sąsiedztwie
, a ponadto jeśli:

a)

to funkcja f ma w punkcie
minimum (właściwe);

b)

to funkcja f ma w punkcie
maksimum (właściwe).

(6.6)Twierdzenie (drugi warunek wystarczający istnienia ekstremum)

Jeżeli funkcja f ma w pewnym otoczeniu
punktu
pochodne do rzędu n włącznie, pochodna
jest ciągła w punkcie
, n jest liczbą parzystą, a ponadto

(k = 1,2,..., n-1) oraz

to funkcja f ma w punkcie
maksimum właściwe, gdy
, natomiast - minimum właściwe, gdy

Uwaga. Z drugiego warunku wystarczającego ekstremum korzystamy szczególnie często w przypadku, gdy n = 2. Brzmi ono wówczas:

Jeżeli funkcja f ma w pewnym otoczeniu drugą pochodną, która jest ciągła

w punkcie
,a ponadto
oraz
to funkcja f ma w

punkcie
minimum właściwe, gdy
, natomiast maksimum

właściwe, gdy
.

7. Wypukłość , wklęsłość i punkty przegięcia funkcji

Niech funkcja f ma w przedziale (a, b) drugą pochodną ciągłą.

(7.1)Definicja

Krzywa o równaniu
nazywa się wypukłą w przedziale (a, b), jeżeli jest położona nad styczną poprowadzoną do niej w dowolnym punkcie o odciętej z tego przedziału.

(7.2)Definicja

Krzywa o równaniu
nazywa się wklęsłą w przedziale (a, b), jeżeli jest położona pod styczną poprowadzoną do niej w dowolnym punkcie o odciętej z tego przedziału.

(7.3)Twierdzenie (warunek wystarczający wypukłości, wklęsłości krzywej)

1. Warunkiem wystarczającym na to, aby krzywa o równaniu
   była w przedziale (a, b) wklęsła jest
   dla każdego
   .

2. Warunkiem wystarczającym na to, aby krzywa o równaniu
   była w przedziale (a, b) wypukła jest
   dla każdego
   .

(7.4)Definicja

Punkt
gdzie
nazywamy punktem przegięcia krzywej o równaniu
jeżeli krzywa ta jest:

a) wypukła w sąsiedztwie
i wklęsła w sąsiedztwie

b) wklęsła w sąsiedztwie
i wypukła w sąsiedztwie

(7.5)Twierdzenie (warunek konieczny istnienia punktu przegięcia)

Warunkiem koniecznym na to, aby punkt
był punktem przegięcia krzywej o równaniu
o jest

Uwaga. Warunek ten nie jest wystarczający, na przykład dla funkcji

druga pochodna
, ale punkt
nie jest punktem przegięcia wykresu tej funkcji.

(7.6)Twierdzenie ( I warunek wystarczający istnienia punktu przegięcia)

Warunkiem wystarczającym na to, aby punkt
był punktem przegięcia krzywej o równaniu
jest

dla każdego x z pewnego sąsiedztwa
punktu
.

Uwaga. Warunek w powyższym twierdzeniu orzeka, że styczna do krzywej, poprowadzona w punkcie przegięcia, przechodzi z jednej strony na drugą stronę tej krzywej.

(7.7)Twierdzenie ( II warunek wystarczający istnienia punktu przegięcia)

Jeżeli funkcja f ma w pewnym otoczeniu
punktu
pochodną do rzędu n włącznie, pochodna
jest ciągła w punkcie
, n jest liczbą nieparzystą (n * 3), a ponadto

(k = 1,2,..., n-1) oraz

to
jest punktem przegięcia jej wykresu.

8. Asymptoty funkcji

Asymptoty pionowe.

Niech funkcja f jest określona w pewnym przedziale (a, b) z wyłączeniem punktu
tego przedziału.

(8.1)Definicja

Prostą o równaniu
nazywamy:

1. asymptotą pionową lewostronną krzywej
   *

lub

2. asymptotą pionową prawostronną krzywej
   *

lub

(8.2)Definicja

Prostą
nazywamy asymptotą pionową obustronną krzywej
* jest ona jednocześnie asymptotą pionową lewostronną i prawostronną danej krzywej.

Asymptoty pochyłe i poziome.

Niech funkcja f będzie określona w jednym z przedziałów (-*, a), (b,+ *) lub (-*, a)* (b,+ *).

(8.3)Definicja

Prostą o równaniu
( gdy n * 0 ) nazywamy

1. asymptotą ukośną (pochyłą) lewostronną krzywej
   *

2. asymptotą ukośną (pochyłą) prawostronną krzywej
   *

3. asymptotą ukośną (pochyłą) obustronną krzywej
   , jeżeli jest ona jednocześnie asymptotą ukośną lewostronną i prawostronną danej krzywej.

Jeżeli m= 0, to prostą o równaniu
nazywamy odpowiednio asymptotą poziomą lewostronną (prawostronną, obustronną).

(8.4)Twierdzenie

Jeżeli krzywa o równaniu
ma asymptotą ukośną prawostronną o równaniu
, to

(1)
oraz

Analogicznie: Jeżeli krzywa o równaniu
ma asymptotą ukośną lewostronną o równaniu
, to

(2)
oraz

Wniosek: Jeżeli dla
którakolwiek z granic (1), (2) nie istnieje (albo jest niewłaściwa), to nie istnieje asymptota lewostronna (prawostronna).

(8.5)Twierdzenie (warunek istnienia asymptot pochyłych)

Jeżeli obie granice (1), (2) istnieją i są właściwe, to krzywa o równaniu
ma asymptotę pochyłą
, gdy
natomiast asymptotę poziomą
, gdy

( lewostronną, gdy granice (1), (2) są obliczane dla
natomiast prawostronną, gdy dla
).

9. Badanie przebiegu zmienności funkcji

Badanie funkcji ma na celu uzyskanie wyczerpujących informacji o tej funkcji.

Schemat badania funkcji:

1. Analiza funkcji: znajdowanie dziedziny, granic na krańcach dziedziny; asymptot, punktów przecięcia z osiami oraz sprawdzenie czy funkcja ma istotne cechy szczególne np.: parzystość, nieparzystość, okresowość.

2. Analiza pierwszej pochodnej: znajdowanie punktów stacjonarnych, ekstremów oraz przedziałów monotoniczności funkcji,

3. Analiza drugiej pochodnej: znajdowanie punktów przegięcia, przedziałów wypukłości i wklęsłości funkcji,

4. Sporządzenie tabeli (tzw. tabela zmienności funkcji),

5. Sporządzenie wykresu funkcji.

Podany schemat ma charakter ramowy i nie zawsze najzręczniej prowadzi do celu. Wiemy na przykład, że do znalezienia ekstremum wygodnie jest niekiedy posłużyć się pochodną drugiego lub wyższego rzędu itp.

13

---