Naprężenia na dowolnie zorientowanej płaszczyźnie
osiowo rozciąganego pręta.
Jednowymiarowy stan naprężenia
W przyjętym do rozważań pręcie o jednostkowym przekroju poprzecznym Q, rozciąganym siłami P działającymi wzdłuż jego osi (rys. 1.1a), możemy określić wartości naprężeń działających w dowolnie zorientowanym przekroju pręta A poprzez ułożenie warunków równowagi na myślowo oddzielonej części pręta (rys. 1.1b). Rozpatrywany stan będziemy nazywać jednowymiarowym stanem naprężeń.
Rys. 1.1. Rozkład sił na dowolnie zorientowanym przekroju pręta
pod działaniem sił obciążających P:
a) oznaczenie orientacji płaszczyzny A,
b) układ sił po odrzuceniu prawej części pręta.
Kąt (dodatni) rozumiany jest jako kąt skręcenia normalnej do płaszczyzny A (liczony przeciwnie do ruchu wskazówek zegara) od kierunku działania obciążenia P
Działanie sił P wywołuje powstanie na przekroju A dwu składowych sił:
składowej siły N prostopadłej do tego pola, wywołującej naprężenie normalne σ,
oraz
składowej T równoległej do przekroju, powodującej powstanie naprężeń stycznych :
Zgodnie z rysunkiem 1.1 możemy zdefiniować:
Zatem po podstawieniu otrzymamy dwie składowe naprężenia, których wartości są uzależnione od położenia rozpatrywanej płaszczyzny przekroju próbki względem kierunku działania sił P
Korzystając ze związków trygonometrycznych, możemy zapisać:
Ekstremum funkcji znajdujemy, przyrównując ich pierwszą pochodną do zera. Zatem dla naprężeń normalnych σ zapisujemy:
Rozwiązując to równanie względem i podstawiając do wyrażenia na σ otrzymujemy ekstrema funkcji zgodnie z przebiegiem funkcji sin2
Przechodząc do składowej stycznej naprężenia , przyrównując pierwszą pochodną do zera, otrzymujemy
Warunek ten odpowiada położeniu płaszczyzny przekroju próbki z ekstremum naprężeń zgodnie z przebiegiem funkcji cos2.
Określimy wartości naprężeń stycznych w dwu wzajemnie prostopadłych przekrojach, położonych względem osi pręta pod kątami i + /2
zatem otrzymujemy
• Jest to prawo równości naprężeń stycznych.
Po analizie zmienności wartości naprężeń normalnych σ i stycznych w funkcji kąta określającego położenie normalnej do płaszczyzny przekroju A względem osi pręta, tj.: na podstawie wykresu:
|
Naprężenia jako funkcje kąta nachylenia interesującej nas płaszczyzny w układzie kartezjańskim, |
stan naprężenia w pręcie można uogólnić:
• Naprężenia normalne w przekrojach równoległych są równe.
• Naprężenia styczne w przekrojach prostopadłych są sobie równe.
• W przekrojach, w których naprężenia normalne osiągają ekstremum, naprężenia styczne są równe zero.
• Istnieje tylko jeden przekrój, w którym oba naprężenia są równe zero.
Przekształcając pierwsze z równań:
do postaci
czyli
otrzymujemy równania parametryczne funkcji a = f(σa), gdzie kąt jest parametrem. Po przekształceniach i podniesieniu do kwadratu obu równań otrzymamy:
Wyeliminowania parametru dokonujemy przez dodanie stronami równań
Wykresem tej funkcji jest tzw. koło Mohra dla naprężeń, którego promień jest równy r = 0,5σ, a współrzędne środka wynoszą B (0,5σ, 0).
Otrzymane wyniki obliczeń wartości naprężeń możemy odpowiednio zobrazować na trzy sposoby:
a) naprężenia jako funkcje kąta nachylenia interesującej nas płaszczyzny w układzie kartezjańskim,
b) naprężenia jako wektory w układzie biegunowym,
c) naprężenia na kole Mohra
Trzy sposoby obrazowania działania naprężeń normalnych σ i stycznych na płaszczyźnie A w jednowymiarowym stanie naprężeń
Na wykresach: a), b), c) zastosowano regułę ich rysowania od kierunku działania naprężeń , do poszukiwanego położenia normalnej do płaszczyzny A, na której znajdujemy naprężenia (σ,):
a) naprężenia jako funkcje kąta nachylenia interesującej nas płaszczyzny w układzie kartezjańskim,
b) naprężenia jako wektory w układzie biegunowym,
c) naprężenia w przestrzeni σ, na kole Mohra.
Jest kwestią gustu, który z tych sposobów jest najtrafniejszy i najbardziej przekonujący.
Prawo Hooke'a w jednowymiarowym stanie naprężeń
Twierdzenie o stałości objętości materiału będącego pod wpływem naprężeń pozwala napisać, że stosunek odkształceń mierzonych na kierunku prostopadłym do odkształceń na kierunku działania tego obciążenia pozostaje wartością stałą:
gdzie zmienne T i L zdefiniowano zgodnie z oznaczeniami na rysunku l .3:
Rys. 1.3. Zmiany kształtu prostopadłościanu pod wpływem działania sił rozciągających P
Z definicji stałej Poissona
zatem dochodzimy do zależności
Odwołując się do klasycznego doświadczenia Hooke'a
możemy zapisać
Sens tego równania możemy ująć słownie:
Jednowymiarowemu stanowi naprężenia towarzyszy dwuwymiarowy stan odkształcenia.
Materiał pod działaniem dwu wzajemnie prostopadłych naprężeń. Dwuwymiarowy stan naprężeń wywołany naprężeniami głównymi
Rozpatrywany poniżej przypadek definiuje się jako dwuwymiarowy stan naprężeń, określony naprężeniami głównymi.
Układ naprężeń w dowolnie zorientowanym przekroju ciała będącego pod wpływem naprężeń głównych
Rzutując wszystkie siły na płaszczyzny równoległą i prostopadłą do dowolnie wybranego przekroju A, możemy przy założeniu jego jednostkowej powierzchni zapisać równania równowagi:
Następnie korzystając z prawa, że suma rzutów sił na obie płaszczyzny musi być równa zero, wyliczamy:
wprowadzając zależności trygonometryczne:
możemy poprzednio wyprowadzone równania przedstawić w formie:
oraz dla kąta przesuniętego o wartość /2
Są to równania parametryczne funkcji a = f(σa), gdzie kąt jest parametrem. Po przekształceniach i podniesieniu do kwadratu obu równań otrzymamy:
Wyeliminowania parametru dokonujemy przez dodanie stronami równań
Wykresem tej funkcji jest tzw. koło Mohra dla naprężeń, którego promień jest równy r = 0,5(σ1 -σ2), a współrzędne środka wynoszą B (0,5(σ1 + σ2), 0).
Tak więc wizualizację naprężeń σ i w dwuosiowym stanie dla konkretnych wartości naprężeń głównych można przedstawić w postaci:
a) naprężenia jako funkcje kąta nachylenia interesującej nas płaszczyzny w układzie kartezjańskim,
b) naprężenia jako wektory w układzie biegunowym,
c) naprężenia na kole Mohra
Trzy sposoby obrazowania działania naprężeń normalnych i stycznych na płaszczyźnie
Przykład 1.1
Cienka blaszka znajduje się pod działaniem naprężeń głównych σ1 = 70 MPa i σ2 = -10 MPa. Proszę wyznaczyć naprężenia normalne i styczne na ścianach myślowo wyodrębnionego prostopadłościanu pochylonego przeciwnie do wskazówek zegara w stosunku do osi działania naprężenia o kąt = 30°.
Rozwiązanie
Wartości σ wyznaczymy z zależności:
Na ściance prostopadłej naprężenia σ+90 wyznaczamy z równania:
Naprężenia styczne obliczamy posługując się równaniem:
Układ naprężeń głównych dla przykładu 1.1
Jak to jest widoczne na rysunku, zastosowano następujące reguły:
obliczenia dotyczą ścianki interesującego nas prostopadłościanu, której normalna jest obrócona o kąt (jako dodatni), przeciwnie do wskazówek zegara licząc od kierunku działania naprężeń σ,
obecność na tej ściance dodatnich naprężeń stycznych jest zaznaczona strzałką obracającą ten element w kierunku zgodnym z ruchem wskazówek zegara,
na ściankach prostopadłych do ścianki wymienionej wcześniej opisujemy naprężenia normalne jako σ+90, a naprężenia styczne jako komplementarne oznaczamy strzałkami o zwrocie przeciwnym do ruchu wskazówek zegara. Podobnie na kole Mohra kąt 2 jako dodatni odmierzamy od kierunku działania naprężeń σ w kierunku przeciwnym do ruchu wskazówek zegara.
Materiał pod wpływem czystego ścinania
Naturalną reakcją na działanie naprężeń stycznych będzie pojawienie się na przekroju A elementu naprężeń równoważących σ i .
Układ naprężeń w dowolnie zorientowanym przekroju ciała będącego pod wpływem czystego ścinania.
Rzutując siły na płaszczyznę prostopadłą do wybranego przekroju A, uzyskujemy równanie równowagi prowadzące do wyliczenia naprężenia σ normalnego do tego przekroju
Korzystając z prawa o równości naprężeń stycznych, możemy poprzednie równanie przekształcić do postaci:
stąd
z wartościami σa = |xy| przy = /4 i dalej co 90°.
Podobnie rzutując wszystkie naprężenia na płaszczyznę A, wyliczamy składową styczną
stąd
oraz
z wartościami maksymalnymi = |xy| dla kątów O, 90° i dalej co 90°.
Przekształcenie naprężeń czysto ścinających w naprężenia normalne przywołuje na myśl analogię do zjawisk występujących podczas wykręcania mokrej ścierki, kiedy naprężenia styczne, przekształcając się w naprężenia ściskające, wywołują kapanie wody.
Równoważność tych naprężeń pokazuje rysunek.
Równoważność naprężeń stycznych i normalnych
Zmiany wartości naprężeń w funkcji pochylenia płaszczyzny A przedstawia rysunek.
c)
Dwuwymiarowy stan naprężenia ciała określony ogólnymi składowymi naprężenia
Tym razem wybrany element ciała zostanie obciążony działającymi równocześnie naprężeniami normalnymi σx i σy oraz stycznymi xy.
Układ naprężeń w dowolnie zorientowanym przekroju ciała będącego pod wpływem ogólnie określonych składowych naprężenia
Układając warunki równowagi dla układu naprężeń opisanych na ww. rysunku
dochodzimy do dwu równań wyrażających naprężenia normalne σ i styczne w interesującym nas przekroju A :
Wychodząc teraz z definicji, że w obciążonym ciele istnieje taki przekrój, w którym naprężenia = 0 (naprężenia główne), możemy wyliczyć występujące tam naprężenia normalne. Postępujemy w ten sposób, że po przyrównaniu lewej strony ww. równania do zera wyliczamy tangens kąta 2
Po zbudowaniu trójkąta prostokątnego o kącie ostrym 2, określonym ramionami: -2xy i (σx - σy) wyznaczamy przeciwprostokątną z twierdzenia Pitagorasa ((σx - σy)2 + 4xy2 ), co pozwała nam w prosty sposób wyznaczyć funkcje sinus i cosinus kąta 2, które wprowadzamy do równań na σ i .
Rysunek pomocniczy służący do wyliczenia wartości sin 2 i cos 2
Wyznaczamy, w znany już z sposób, ekstrema naprężeń normalnych zwanych głównymi:
Podobnie postępujemy teraz przy wyliczaniu naprężeń stycznych
lub zapisując inaczej
Z inżynierskiego punktu widzenia wyprowadzone zależności są bardzo użyteczne, umożliwiają bowiem przy znajomości naprężeń głównych σ1, σ2 obliczenie, na dowolnie nachylonej płaszczyźnie przekroju danego ciała, składowych naprężeń: σx,σy,xy
i odwrotnie znając te składowe, wyliczyć kąt położenia naprężeń głównych (względem np. kierunku działania naprężeń σx) oraz wartości σ1,σ2.
Wartości poszczególnych wektorów naprężeń można jak poprzednio wizualizować w układach: kartezjańskim (a) lub biegunowym (b) oraz za pomocą koła Mohra (c).
Trzy sposoby obrazowania działania naprężeń normalnych i stycznych na płaszczyźnie A w złożonym stanie naprężeń
Połączenie punktu o współrzędnych (σ,) z punktem (σ,) na kole Mohra, pokazuje rzeczywisty kierunek działania naprężenia głównego σ w elemencie konstrukcyjnym w stosunku do kierunku działania naprężeń σx. Można go porównać z wykresem biegunowym b)
Warte jest przypomnienia, że każdy złożony układ naprężeń (suma działań naprężeń normalnych i stycznych) może być przekształcony po odpowiednim obróceniu układu o kąt do ekwiwalentnego systemu naprężeń zwanych głównymi:
Przekształcenie uogólnionego układu naprężeń w układ naprężeń głównych
Pamiętamy, że naprężenia styczne w płaszczyźnie działania naprężeń głównych są równe zero.
Przykład 1.2
Cienką blaszkę poddano działaniu naprężeń: σx = 40 MPa, σy = -120 MPa i xy = 60 MPa. Proszę określić w sposób analityczny i graficzny kierunki główne oraz wartości naprężeń głównych.
Element z przykładu 1.2 z zaznaczonymi zadanymi naprężeniami oraz wartościami i kierunkami naprężeń głównych
Rozmazanie
Kierunki główne określimy analitycznie z zależności:
drugi kierunek główny określimy z zależności 2+180° = 143.14°
Wartości naprężeń głównych otrzymamy z zależności:
Jako metodę graficzną wyznaczania wartości naprężeń głównych i położenia ich kierunków działania użyto metodę koła Mohra.
Graficzny sposób rozwiązania problemu z przykładu 1.2
Prawo Hooke'a w dwuwymiarowym stanie naprężeń
Przy określaniu jednostkowych odkształceń w kierunku osi x, y, z zastosujemy zasadę superpozycji i prawo o przewężeniu poprzecznym. Rozpatrzmy na początku, że na element działają tylko naprężenia σx i oznaczmy odkształcenia dla wszystkich trzech kierunków, zapisując:
Oznaczenia składowych odkształceń, i naprężeń służących do wyprowadzenia prawa Hooke'a w dwuwymiarowym stanie naprężeń
Postąpując analogicznie dla kierunku y, przyjmując jedynie działanie naprężeń σy:
Dokonując teraz superpozycji obu stanów, sumujemy odkształcenia:
stąd
• Z przytoczonych rozważań wynika, że dwuwymiarowemu stanowi naprężenia towarzyszy trójwymiarowy stan odkształcenia.
Przykład 1.3
Element z cienkiej blachy stalowej poddano działaniu naprężeń σx =100 MPa. Jakie naprężenie σy należy dołożyć do boków blachy prostopadłych do kierunku działania sił, by jej wymiary w kierunku poprzecznym nie uległy zmianie.
Blaszka stalowa z zadanymi naprężeniami σx
Rozwiązanie
Wymiary na kierunku y nie ulegną zmianie, gdy odkształcenie y = 0, więc
stąd wyliczamy
• Zauważamy, że wyliczona wartość naprężeń nie zależy od modułu
Younga E.
Na pytanie, jakie odkształcenie wystąpi na kierunku x w obecności naprężeń σy, wyliczamy z równania
gdzie za σy wprowadzamy poprzednio wyliczoną wartość, co pozwala na zapis
Możemy uzyskany wynik porównać z wartością odkształcenia, jakie powstałoby na kierunku x bez przyłożenia naprężeń σy. Wynosiłoby ono
a więc byłoby nieco większe od tego jakie wystąpiło w obecności naprężeń σy.
Przedstawione na prostym przykładzie zjawisko hamowania odkształcenia (po przyłożeniu dodatkowych naprężeń oddziałujących na kierunku prostopadłym do działania głównego obciążenia) ma ogromne znaczenie praktyczne na przykład przy tłoczeniu blach karoserii samochodowych czy pakowaniu produktów z zastosowaniem folii termokurczliwej.