Wykład stany naprężeń


Naprężenia na dowolnie zorientowanej płaszczyźnie

osiowo rozciąganego pręta.

Jednowymiarowy stan naprężenia

W przyjętym do rozważań pręcie o jednostkowym przekroju poprzecznym Q, rozciąganym siłami P działającymi wzdłuż jego osi (rys. 1.1a), możemy określić wartości naprężeń działających w dowolnie zorientowanym przekroju pręta A poprzez ułożenie warunków równowagi na myślowo oddzielonej części pręta (rys. 1.1b). Rozpatrywany stan będziemy nazywać jednowymiarowym stanem naprężeń.

0x01 graphic

Rys. 1.1. Rozkład sił na dowolnie zorientowanym przekroju pręta

pod działaniem sił obciążających P:

a) oznaczenie orientacji płaszczyzny A,

b) układ sił po odrzuce­niu prawej części pręta.

Kąt (dodatni) rozumiany jest jako kąt skręcenia normal­nej do płaszczyzny A (liczony przeciwnie do ruchu wskazówek zegara) od kierun­ku działania obciążenia P

Działanie sił P wywołuje powstanie na przekroju A dwu składowych sił:

składo­wej siły N prostopadłej do tego pola, wywołującej naprężenie normalne σ,

oraz

składowej T równoległej do przekroju, powodującej powstanie naprężeń stycznych :

0x01 graphic

Zgodnie z rysunkiem 1.1 możemy zdefiniować:

0x01 graphic

Zatem po podstawieniu otrzy­mamy dwie składowe naprężenia, których wartości są uzależnione od położenia rozpatrywanej płaszczyzny przekroju próbki względem kierunku działania sił P

0x01 graphic

Korzystając ze związków trygonometrycznych, możemy zapisać:

0x01 graphic

Ekstremum funkcji znajdujemy, przyrównując ich pierwszą pochodną do zera. Zatem dla naprężeń normalnych σ zapisujemy:

0x01 graphic

Rozwiązując to równanie względem i podstawiając do wyrażenia na σ otrzymujemy ekstrema funkcji zgodnie z prze­biegiem funkcji sin2

0x01 graphic

Przechodząc do składowej stycznej naprężenia , przyrównując pierwszą pochodną do zera, otrzymujemy

0x01 graphic

Warunek ten odpowiada położeniu płaszczyzny przekroju próbki z ekstremum naprężeń zgodnie z prze­biegiem funkcji cos2.

0x01 graphic

Określimy wartości naprężeń stycznych w dwu wzajemnie prostopadłych przekrojach, położonych względem osi pręta pod kątami i + /2

0x01 graphic

zatem otrzymujemy

0x01 graphic

• Jest to prawo równości naprężeń stycznych.

Po analizie zmienności wartości naprężeń normalnych σ i stycznych w funkcji kąta określającego położenie normalnej do płaszczyzny przekroju A względem osi pręta, tj.: na podstawie wykresu:

0x01 graphic

Naprężenia jako funkcje kąta nachylenia interesującej nas płaszczyzny w układzie kartezjańskim,

stan naprężenia w pręcie można uogólnić:

Naprężenia normalne w przekrojach równoległych są równe.

Naprężenia styczne w przekrojach prostopadłych są sobie równe.

W przekrojach, w których naprężenia normalne osiągają ekstremum, na­prężenia styczne są równe zero.

Istnieje tylko jeden przekrój, w którym oba naprężenia są równe zero.

Przekształcając pierwsze z równań:

0x01 graphic

do postaci

0x01 graphic

czyli

0x01 graphic

otrzymujemy równania parametryczne funkcji a = f(σa), gdzie kąt jest parametrem. Po przekształceniach i podniesieniu do kwadratu obu równań otrzymamy:

0x01 graphic

0x01 graphic

Wyeliminowania parametru dokonujemy przez dodanie stronami równań

0x01 graphic

Wykresem tej funkcji jest tzw. koło Mohra dla naprężeń, którego pro­mień jest równy r = 0,5σ, a współrzędne środka wynoszą B (0,5σ, 0).

Otrzymane wyniki obliczeń wartości naprężeń możemy odpowiednio zobrazować na trzy sposoby:

0x01 graphic

a) naprężenia jako funkcje kąta nachylenia interesującej nas płaszczyzny w układzie kartezjańskim,

0x01 graphic

b) naprę­żenia jako wektory w układzie biegunowym,

0x01 graphic

c) naprężenia na kole Mohra

Trzy sposoby obrazowania działania naprężeń normalnych σ i stycznych na płaszczyźnie A w jednowymiarowym stanie naprężeń

Na wykresach: a), b), c) zastosowano regułę ich rysowania od kierunku działania naprężeń , do poszukiwanego położenia normalnej do płaszczyzny A, na której znajdujemy naprężenia (σ,):

a) naprężenia jako funkcje kąta nachylenia interesującej nas płaszczyzny w ukła­dzie kartezjańskim,

b) naprężenia jako wektory w układzie biegunowym,

c) naprężenia w przestrzeni σ, na kole Mohra.

Jest kwestią gustu, który z tych sposobów jest najtrafniejszy i najbar­dziej przekonujący.

Prawo Hooke'a w jednowymiarowym stanie naprężeń

Twierdzenie o stałości objętości materiału będącego pod wpływem naprężeń pozwala napisać, że stosunek odkształceń mierzonych na kierunku prostopadłym do odkształceń na kierunku działania tego obciążenia pozostaje wartością stałą:

0x01 graphic

gdzie zmienne T i L zdefiniowano zgodnie z oznaczeniami na rysunku l .3:

0x01 graphic

0x01 graphic

Rys. 1.3. Zmiany kształtu prostopadłościanu pod wpływem działania sił rozciągających P

Z definicji stałej Poissona 

0x01 graphic

zatem dochodzimy do zależności

0x01 graphic

Odwołując się do klasycznego doświadczenia Hooke'a

0x01 graphic

możemy zapisać

0x01 graphic

Sens tego równania możemy ująć słownie:

Jednowymiarowemu stanowi naprężenia towarzyszy dwuwymiarowy stan odkształcenia.

Materiał pod działaniem dwu wzajemnie prostopadłych naprężeń. Dwuwymiarowy stan naprężeń wywołany naprężeniami głównymi

Rozpatrywany poniżej przypadek definiuje się jako dwuwymiarowy stan naprężeń, określony naprężeniami głównymi.

0x01 graphic

Układ naprężeń w dowolnie zorientowanym przekroju ciała będącego pod wpły­wem naprężeń głównych

Rzutując wszystkie siły na płaszczyzny równoległą i prostopadłą do dowolnie wybranego przekroju A, możemy przy założeniu jego jednostkowej powierzchni zapisać równania równowagi:

0x01 graphic

Następnie korzystając z prawa, że suma rzutów sił na obie płaszczyzny musi być równa zero, wyliczamy:

0x01 graphic

wprowadzając zależności trygonometryczne:

0x01 graphic

możemy poprzednio wyprowadzone równania przedstawić w formie:

0x01 graphic

oraz dla kąta przesuniętego o wartość /2

0x01 graphic

Są to równania parametryczne funkcji a = f(σa), gdzie kąt jest parametrem. Po przekształceniach i podniesieniu do kwadratu obu równań otrzymamy:

0x01 graphic

Wyeliminowania parametru dokonujemy przez dodanie stronami równań

0x01 graphic

Wykresem tej funkcji jest tzw. koło Mohra dla naprężeń, którego pro­mień jest równy r = 0,5(σ1 -σ2), a współrzędne środka wynoszą B (0,5(σ1 + σ2), 0).

Tak więc wizualizację naprężeń σ i w dwuosiowym stanie dla konkretnych wartości naprężeń głównych można przedstawić w postaci:

0x01 graphic

a) naprężenia jako funkcje kąta nachylenia interesującej nas płaszczyzny w układzie kartezjańskim,

0x01 graphic

b) naprę­żenia jako wektory w układzie biegunowym,

0x01 graphic

c) naprężenia na kole Mohra

Trzy sposoby obrazowania działania naprężeń normalnych i stycznych na płasz­czyźnie

Przykład 1.1

Cienka blaszka znajduje się pod działaniem naprężeń głównych σ1 = 70 MPa i σ2 = -10 MPa. Proszę wyznaczyć naprężenia normalne i styczne na ścianach myślowo wyod­rębnionego prostopadłościanu pochylonego przeciwnie do wskazówek zegara w stosunku do osi działania naprężenia o kąt = 30°.

Rozwiązanie

Wartości σ wyznaczymy z zależności:

0x01 graphic

Na ściance prostopadłej naprężenia σ+90 wyznaczamy z równania:

0x01 graphic

Naprężenia styczne obliczamy posługując się równaniem:

0x01 graphic

0x01 graphic

0x01 graphic

Układ naprężeń głównych dla przykładu 1.1

Jak to jest widoczne na rysunku, zastosowano następujące reguły:

  1. obliczenia dotyczą ścianki interesującego nas prostopadłościanu, której normalna jest obrócona o kąt (jako dodatni), przeciwnie do wskazówek zegara licząc od kierunku działania naprężeń σ,

  2. obecność na tej ściance dodatnich naprężeń stycznych jest zaznaczona strzałką obracającą ten element w kierunku zgodnym z ruchem wskazówek zegara,

  3. na ściankach prostopadłych do ścianki wymienionej wcześniej opisujemy naprężenia normalne jako σ+90, a naprężenia styczne jako komplementarne oznaczamy strzałkami o zwrocie przeciwnym do ruchu wskazówek zegara. Podobnie na kole Mohra kąt 2 jako dodatni odmierzamy od kierunku działania naprężeń σ w kierunku przeciw­nym do ruchu wskazówek zegara.

Materiał pod wpływem czystego ścinania

Naturalną reakcją na działanie naprężeń stycznych będzie pojawienie się na przekroju A elementu naprężeń równoważących σ i .

0x01 graphic

Układ naprężeń w dowolnie zorientowanym przekroju ciała będącego pod wpły­wem czystego ścinania.

Rzutując siły na płaszczyznę prostopadłą do wybranego przekroju A, uzyskujemy równanie równowagi prowadzące do wyliczenia naprężenia σ normalnego do tego przekroju

0x01 graphic

Korzystając z prawa o równości naprężeń stycznych, możemy poprzednie równa­nie przekształcić do postaci:

0x01 graphic

stąd

0x01 graphic

z wartościami σa = |xy| przy = /4 i dalej co 90°.

Podobnie rzutując wszystkie naprężenia na płaszczyznę A, wyliczamy składową styczną

0x01 graphic

stąd

0x01 graphic

oraz

0x01 graphic

z wartościami maksymalnymi = |xy| dla kątów O, 90° i dalej co 90°.

Przekształcenie naprężeń czysto ścinających w naprężenia normalne przywołuje na myśl analogię do zjawisk występujących podczas wykręcania mokrej ścierki, kiedy naprężenia styczne, przekształcając się w naprężenia ściskające, wywołują kapanie wody.

Równoważność tych naprężeń pokazuje rysunek.

0x01 graphic

Równoważność naprężeń stycznych i normalnych

Zmiany wartości naprężeń w funkcji pochylenia płaszczyzny A przedstawia rysunek.

0x01 graphic

0x01 graphic

c)

0x01 graphic

Dwuwymiarowy stan naprężenia ciała określony ogólnymi składowymi naprężenia

Tym razem wybrany element ciała zostanie obciążony działającymi równocześnie naprężeniami normalnymi σx i σy oraz stycznymi xy.

0x01 graphic

Układ naprężeń w dowolnie zorientowanym przekroju ciała będącego pod wpły­wem ogólnie określonych składowych naprężenia

Układając warunki równowagi dla układu naprężeń opisanych na ww. rysunku

0x01 graphic

dochodzimy do dwu równań wyrażających naprężenia normalne σ i styczne w interesującym nas przekroju A :

0x01 graphic

Wychodząc teraz z definicji, że w obciążonym ciele istnieje taki przekrój, w którym naprężenia = 0 (naprężenia główne), możemy wyliczyć występujące tam naprężenia normalne. Postępujemy w ten sposób, że po przyrównaniu lewej strony ww. równania do zera wyliczamy tangens kąta 2

0x01 graphic

Po zbudowaniu trójkąta prostokątnego o kącie ostrym 2, określonym ramionami: -2xy i (σx - σy) wyznaczamy przeciwprostokątną z twierdzenia Pitagorasa ((σx - σy)2 + 4xy2 ), co pozwała nam w prosty sposób wyznaczyć funkcje sinus i cosinus kąta 2, które wprowadzamy do równań na σ i .

0x01 graphic

Rysunek pomocniczy służący do wyliczenia wartości sin 2 i cos 2

Wyznaczamy, w znany już z sposób, ekstrema naprężeń normalnych zwanych głównymi:

0x01 graphic

Podobnie postępujemy teraz przy wyliczaniu naprężeń stycznych

0x01 graphic

lub zapisując inaczej

0x01 graphic

Z inżynierskiego punktu widzenia wyprowadzone zależności są bardzo użyteczne, umożliwiają bowiem przy znajomości naprężeń głównych σ1, σ2 obliczenie, na dowolnie nachylonej płaszczyźnie przekroju danego ciała, składowych naprężeń: σx,σy,xy

i odwrotnie znając te składowe, wyliczyć kąt położenia naprężeń głównych (względem np. kierunku działania naprężeń σx) oraz wartości σ1,σ2.

Wartości poszczególnych wektorów naprężeń można jak poprzednio wizualizować w układach: kartezjańskim (a) lub biegunowym (b) oraz za pomocą koła Mohra (c).

0x01 graphic

0x01 graphic

0x01 graphic

Trzy sposoby obrazowania działania naprężeń normalnych i stycznych na płaszczyźnie A w złożonym stanie naprężeń

Połączenie punktu o współrzędnych (σ,) z punktem (σ,) na kole Mohra, pokazuje rzeczywisty kierunek działania naprężenia głównego σ w elemencie konstrukcyjnym w stosunku do kierunku działania naprężeń σx. Można go porównać z wykresem biegu­nowym b)

Warte jest przypomnienia, że każdy złożony układ naprężeń (suma działań naprężeń normalnych i stycznych) może być przekształcony po odpowiednim obróceniu układu o kąt do ekwiwalentnego systemu naprężeń zwanych głów­nymi:

0x01 graphic

Przekształcenie uogólnionego układu naprężeń w układ naprężeń głównych

Pamiętamy, że naprężenia styczne w płaszczyźnie działania naprężeń głównych są równe zero.

Przykład 1.2

Cienką blaszkę poddano działaniu naprężeń: σx = 40 MPa, σy = -120 MPa i xy = 60 MPa. Proszę określić w sposób analityczny i graficzny kierunki główne oraz wartości naprężeń głównych.

0x01 graphic

Element z przykładu 1.2 z zaznaczonymi zadanymi naprężeniami oraz wartościa­mi i kierunkami naprężeń głównych

Rozmazanie

Kierunki główne określimy analitycznie z zależności:

0x01 graphic

drugi kierunek główny określimy z zależności 2+180° = 143.14°

Wartości naprężeń głównych otrzymamy z zależności:

0x01 graphic

0x01 graphic

Jako metodę graficzną wy­znaczania wartości naprężeń głównych i położenia ich kierunków działania użyto metodę koła Mohra.

0x01 graphic

Graficzny sposób rozwiązania problemu z przykładu 1.2

Prawo Hooke'a w dwuwymiarowym stanie naprężeń

Przy określaniu jednostkowych odkształceń w kierunku osi x, y, z zastosujemy za­sadę superpozycji i prawo o przewężeniu poprzecznym. Roz­patrzmy na początku, że na element działają tylko naprężenia σx i oznaczmy odkształcenia dla wszystkich trzech kierunków, zapisując:

0x01 graphic

0x01 graphic

Oznaczenia składowych odkształceń, i naprężeń służących do wyprowadzenia prawa Hooke'a w dwuwymiarowym stanie naprężeń

Postąpując analogicznie dla kierunku y, przyjmując jedynie działanie naprę­żeń σy:

0x01 graphic

Dokonując teraz superpozycji obu stanów, sumujemy odkształcenia:

0x01 graphic

stąd

0x01 graphic

• Z przytoczonych rozważań wynika, że dwuwymiarowemu stanowi naprę­żenia towarzyszy trójwymiarowy stan odkształcenia.

Przykład 1.3

Element z cienkiej blachy stalowej poddano działaniu naprężeń σx =100 MPa. Jakie naprężenie σy należy dołożyć do boków blachy prostopadłych do kierunku działania sił, by jej wymiary w kierunku poprzecznym nie uległy zmianie.

0x01 graphic

Blaszka stalowa z zadanymi naprężeniami σx

Rozwiązanie

Wymiary na kierunku y nie ulegną zmianie, gdy odkształcenie y = 0, więc

0x01 graphic

stąd wyliczamy

0x01 graphic

• Zauważamy, że wyliczona wartość naprężeń nie zależy od modułu

Younga E.

Na pytanie, jakie odkształcenie wystąpi na kierunku x w obecności naprężeń σy, wyliczamy z równania

0x01 graphic

gdzie za σy wprowadzamy poprzednio wyliczoną wartość, co pozwala na zapis

0x01 graphic

Możemy uzyskany wynik porównać z wartością odkształcenia, jakie powstałoby na kierunku x bez przyłożenia naprężeń σy. Wynosiłoby ono

0x01 graphic

a więc byłoby nieco większe od tego jakie wystąpiło w obecności naprężeń σy.

Przedstawione na prostym przykładzie zjawisko hamowania odkształcenia (po przyłożeniu dodatkowych naprężeń oddziałujących na kierunku prostopadłym do działania głównego obciążenia) ma ogromne znaczenie praktyczne na przykład przy tłoczeniu blach karoserii samochodowych czy pakowaniu produktów z zasto­sowaniem folii termokurczliwej.



Wyszukiwarka

Podobne podstrony:
wyklad 1 stany nieustalone II rzedu cz1
wyklad 2 stany nieustalone II rzedu cz2
Stany naprężenia
ostre stany w alergologii wyklad 2003
Medycyna Ratunkowa, 5. Stany nagłe u dzieci, MEDYCYNA RATUNKOWA WYKŁAD 5
Derma wyklady calosc, STANY PRZEDRAKOWE I RAKI SKÓRY, STANY PRZEDRAKOWE I RAKI SKÓRY
Notatki z wykładów, Prawo Konstytucyjne - Wykład 13 - Stany Nadzwyczajne, IX
Notatki z wykładów, Prawo Konstytucyjne - Wykład 13 - Stany Nadzwyczajne, IX
Stany zagrożenia życia -pielęgniarki kurs, Ratownictwo Medyczne, wykłady
WYKŁAD NR 5 KB1a STANY GRANICZNE UŻYTKOWALNOŚCI
Stany zagrożenia życia, Ratownictwo Medyczne, wykłady
ostre stany w alergologii wyklad 2003
stany i urzedy z wykladu
Napęd Elektryczny wykład
wykład5
Psychologia wykład 1 Stres i radzenie sobie z nim zjazd B

więcej podobnych podstron