Akademia Górniczo-Hutnicza

im. Stanisława Staszica

Wydział Inżynierii Mechanicznej I Robotyki

TEORIA MECHANIZMÓW MASZYN

Piotr Leśniak

Rok II C, Grupa 17 B

Rok akademicki: 2007/08

ANALIZA MECHANIZMU DŹWIGNIOWEGO

1. Synteza strukturalna i geometryczna mechanizmu.

1.1. Budowa łańcucha kinematycznego - schemat ideowy.

Symboliczny zapis struktury i parametrów projektowanego mechanizmu przedstawia Tabela 1.

Tabela 1:

Zakres danych	Parametry mechanizmu
1. Struktura mechanizmu.
2. Parametry kinematyczne członu napędzającego.
3. Masy i parametry bezwładności członów (mi, JSi).
4. Obciążenie uogólnionymi siłami zewnętrznymi (Pi, Mi).
5. Uogólniona siła równoważąca do wyznaczenia (PR1 lub MR1).

Na podstawie symbolicznego zapisu struktury i parametrów łańcucha kinematycznego budujemy jego schemat ideowy (rys. 1).

Rys. 1. Schemat ideowy łańcucha kinematycznego mechanizmu.

1.2. Ruchliwość i klasa mechanizmu.

1.2.1. Ruchliwość mechanizmu.

w = 3n - 2p₅ - p₄

n = 3 - liczba członów.

p₄ = 0 - liczba par kinematycznych klasy 4.

p₅ = 4 - liczba par kinematycznych klasy 5; (0,1), (1,2), (2,3), (3,0).

w = 3*3 - 2*4 = 1 (1)

1.2.2. Klasa mechanizmu.

Po odłączeniu członu napędzającego 1, pozostałe człony 2 i 3 tworzą grupę strukturalną.

Rys. 2. Ruchliwość i klasa mechanizmu.

Badamy ruchliwość grupy strukturalnej po połączeniu jej członów ruchomych z podstawą (rys. 2):

n = 2,

p₅ = 3; (0,2), (2,3), (3,0).

w_gr = 3n - 2p₅ = 3*2 - 2*3 = 0.

Grupa strukturalna (2,3) jest grupą klasy 2 postaci 3.

Analizowany mechanizm składa się z członu napędzającego 1 oraz grupy strukturalnej klasy 2. Jest zatem mechanizmem klasy 2. Nazwa strukturalna mechanizmu: mechanizm suwakowo - jarzmowy.

1.3. Ograniczenia geometryczne.

Prawidłowe funkcjonowanie mechanizmu przedstawionego na rys. 1 uzależnione jest od odpowiedniego doboru długości jego członów oraz zakresu przemieszczenia (skoku) członu napędzającego. Na rys. 3 przedstawiono dwa charakterystyczne położenia mechanizmu.

s_A1 - lewe skrajne położenie zwrotne członu napędzającego 1.

s_A2 - prawe skrajce położenie zwrotne członu napędzającego 1.

s_A
(s_A1 s_A2) - człon 3 wykonuje obrót zgodnie z kierunkiem wskazówek zegara.

s_A
(s_A2 s_A1) - człon 3 wykonuje obrót przeciwnie do kierunku wskazówek zegara.

Obliczenia kinematyczne i kinetostatyczne zostaną przeprowadzone dla s_A1<s_A<s_A2. Skok członu napędzającego musi spełniać warunek
s
s_A2 - s_A1.

Dla przyjętych wymiarów członów mechanizmu maksymalny możliwy skok mechanizmu wynosi
s_max = s_A2 - s_A1 = 760 mm (wartość odczytana z rysunku 3).

Rys. 3. Analiza dopuszczalnego zakresu przemieszczenia (skoku)

członu napędzającego 1.

1.4. Model mechanizmu w programie SAM.

Rys. 4. Model mechanizmu w programie SAM.

Do obliczeń kinematycznych przyjmujemy dane:

s₀ = 100mm = 0,1m

v_A = 1000mm/s = 1m/s

s_A = s₀ + v_A*t = (100 + 1000t) [mm] = (0,1 + t) [m] (2)

Przyjmujemy czas ruchu członu 1: t₁ = 0,08s.

Obliczamy położenie członu napędzającego po czasie t₁:

s_A = 0,1 + 1*0,08 = 0,18m.

Wymiary mechanizmu:

l_AB = l₁ = 175mm = 0,175m

x₃=180 x₄=480 I obliczam z twierdzenia Pitagorasa

y₃=575 y₄=375

l_BC = l₃ = var. (w analizowanym położeniu l₃ = 360,56mm = 0,36056m)

l_B'C = l₃' = 525mm = 0,525m

l_CD = l₆ = 175mm = 0,175m

2. Analiza kinematyczna mechanizmu.

2.1. Analiza kinematyczna metodą grafoanalityczną.

W celu rozwiązania zadania metodą grafoanalityczną, mechanizm rysujemy w podziałce k_l w zadanym położeniu dla t = 0,08s. Położenie członu napędzającego

s_A = 0,18m, prędkość członu napędzającego v_A = 1m/s.

Zadanie rozwiążemy wykreślnie korzystając z programu AutoCAD.

Podziałka rysunkowa mechanizmu:

ANALIZA PRĘDKOŚCI

Przyjmujemy podziałkę prędkości:

Analizę prędkości przeprowadzamy na podstawie równania:

(3)

gdzie:

Rozwiązujemy wykreślnie równanie prędkości (3) na rysunku 6. Odczytujemy z rysunku 6 wartość rysunkową (V_B3), a następnie obliczamy wartość prędkości V_B3. Analogicznie postępujemy z prędkością V_B3B2:

(V_B3) = 55,47mm V_B3 = (V_B3)*k_v = 0,5547 m/s

(V_B3B2) = 83,21mm V_B3B2 = (V_B3B2)*k_v = 0,8321 m/s

Rys. 5. Łańcuch kinematyczny mechanizmu w zadanym położeniu w podziałce

długości k_l.

Rys. 6. Plan prędkości mechanizmu

Obliczamy prędkość kątową jarzma 3:

Prędkości punktów D oraz S₃ obliczamy ze wzorów:

ANALIZA PRZYSPIESZEŃ

Przyjmujemy podziałkę przyspieszeń:

Analizę przyspieszeń przeprowadzamy na podstawie równania:

(4)

Rozwiązujemy wykreślnie równanie przyspieszeń (4) na rysunku 7. Odczytujemy z rysunku 7 wartości rysunkowe poszczególnych przyspieszeń, a następnie obliczamy wartości tych przyspieszeń:

Rys. 7. Plan przyspieszeń mechanizmu.

Obliczamy prędkość kątową jarzma 3:

Przyspieszenie punktu D znajdziemy z równania:

gdzie:

Przyspieszenie punktu S₃ znajdziemy wyznaczając jego położenie na planie przyspieszeń z proporcji:

obliczoną wartość a_s3 nanoszę na wykres2.2. Analiza kinematyczna metodą analityczną.

Rys. 8. Wielobok wektorowy mechanizmu.

Dane:

s_A = s₀ + v_A*t = (0,1 + t) [m]

l₁ = 0,175m, l₄ = 0,48m, l₅ = 0,025m, l₆ = 0,175m,
,
,
,
.

Należy obliczyć:

,
,
,
,
,
.

Mechanizm opisujemy wielobokiem wektorowym (rys. 8).

(5)

Mechanizm jest opisany przez n = 5 wektorów. Należy zatem przyjąć do obliczeń

2n - 2 = 8 parametrów mechanizmu.

Po zrzutowaniu na osie mamy:

s_A + l₃cos
₃ - l₄ = 0

l₁ + l₃sin
₃ + l₅ = 0 (6)

Przekształcamy układ równań do postaci:

l₃cos
₃ = l_4­­ - s_A

l₃sin
₃ = - l₅ - l₁ (7)

Po podniesieniu układu równań (7) do kwadratu i dodaniu stronami długość jarzma l_3­ wynosi:

(8)

Dzieląc stronami równania (7) otrzymujemy:

(9)

Obliczenia przeprowadzamy dla t = 0,08s, co odpowiada położeniu s_A = 0,18m, przyjmując wartości: l₁ = 0,175m, l₄ = 0,48m, l₅ = 0,025m, l₆ = 0,175m,
,
,
,
. Otrzymujemy:

W celu wyznaczenia prędkości kątowej i liniowej jarzma 3 różniczkujemy pierwsze z równań (6), podstawiając
:

(10)

W celu wyznaczenia prędkości względnej V_B3B2 =
obracamy układ współrzędnych o kąt
. Równanie (10) przyjmuje wówczas postać:

stąd:

(11)

Prędkość kątową jarzma
znajdziemy, obracając układ współrzędnych o kąt
:

stąd:

(12)

Prędkość liniowa punktu B3 wynosi:

W celu wyznaczenia przyspieszeń liniowych oraz kątowych różniczkujemy równanie (10), podstawiając
oraz uwzględniając, zgodnie z tematem,
. Otrzymujemy:

(13)

W celu wyznaczenia przyspieszenia względnego
obracamy układ współrzędnych o kąt
. Równanie (13) przyjmuje wówczas postać:

stąd:

(14)

Obracając układ współrzędnych o kąt
otrzymamy przyspieszenie kątowe jarzma
:

stąd:

(15)

W celu wyznaczenia parametrów kinematycznych dowolnego punktu mechanizmu, tzn. jego toru, prędkości i przyspieszenia należy napisać równanie jego wektora promienia wodzącego. Przykładowo, aby wyznaczyć parametry ruchu dla punktu D, znajdujemy jego promień
na podstawie rysunku 9.

Rys. 9. Promień wodzący punktu D.

(16)

Następnie wyznaczamy jego współrzędne (
):

(17)

Po podstawieniu cos(
) = - sin(
); sin(
) = cos(
) mamy:

(18)

Zależności (18) są parametrycznymi równaniami toru punktu D, czyli równaniami hodografu wektora promienia wodzącego
.

Różniczkując równania (18) znajdujemy współrzędne wektora prędkości punktu D:

(19)

Zależności (19) są parametrycznymi równaniami hodografu prędkości
.

Wartość wektora prędkości punktu D określimy z zależności:

(20)

Analogicznie wyznaczamy współrzędne wektora przyspieszenia
:

(21)

Zależności (21) są parametrycznymi równaniami hodografu przyspieszenia
.

Wartość wektora przyspieszenia punktu D określimy z zależności:

(22)2.3. Wykresy kinematyczne.

2.3.1. Wykresy kinematyczne w programie SAM.

Wykorzystując zbudowany w programie SAM model mechanizmu wyznaczamy wykresy kinematyczne poszukiwanych parametrów kinematycznych w funkcji czasu t lub w funkcji przemieszczenia liniowego jego członu napędzającego s_A.

W rozważanym mechanizmie są to przebiegi:

,
,
,
lub

,
,
,

Przebiegi w funkcji czasu oraz przemieszczenia mają w tym wypadku taki sam charakter, ze względu na stałą prędkość liniową v_A członu napędzającego.

Dodatkowo wyznaczamy np. prędkość i przyspieszenie całkowite punktu D, tzn.
,
lub
,

Wykresy kinematyczne (z SAMa) analizowanego mechanizmu przedstawiono na rysunkach: 10, 11, 12, 13.

Rys. 10. Wykres

Rys. 11. Wykres
.

Rys. 12. Wykres
.

Rys. 13. Wykres
.

Rys. 14. Wykres
.

2.4. Porównanie wyników analizy kinematycznej dla zadanego położenia mechanizmu.

Wyniki analizy kinematycznej mechanizmu dla położenia członu napędzającego s_A(t₁=0,08s)=0,18m zestawiono w Tabeli 2.

Tabela 2:

Lp.	Parametr	SAM	Metoda Grafoanalityczna	Metoda Analityczna
1		146,282^o+180^o	326	326,3099
2		-	0,36056	0,360555
3		-1,541	1,538	-1,5385
4		-7,116	7,099	-7,1008
5		-	0,5547	-0,5547
6		-	0,8321	-0,83205
7		0,270	0,269	0,26924
8		-	0,277	-
9		-	2,6979	-
10		1,313	1,309	1,3098
11		-	1,9642	-

Porównanie obliczeń wyników w Tabeli 2 wskazuje na ich zgodność, co oznacza, że nie popełniono błędów obliczeniowych. Duża dokładność obliczeń metody grafoanalitycznej wynika z zastosowania do wykonywania rysunków programu AutoCAD. Różnice wartości kąta
otrzymanych w programie SAM i obliczeniach analitycznych oraz na rysunkach wynikają ze sposobu ich mierzenia w programie SAM. O poprawności obliczeń świadczy jednak wynik sum kontrolnych podanych w Tabeli 2.

3. Analiza kinetostatyczna mechanizmu.

3.1. Obliczenie mas i momentów bezwładności członów.

Zgodnie z wymaganiami zadania tylko człon 3 traktujemy jako masowy. Uwzględnimy wpływ siły ciężkości na obciążenie mechanizmu. Zakładamy, że człon 2 jest wykonany ze stali i ma kształt płaskowników o przekroju prostokątnym, zgodnie z rysunkiem 21.

Rys. 21. Schemat konstrukcyjny członu 3.

Do obliczeń przyjmujemy:

masa właściwa stali

Obliczamy masę członu 3:

Moment bezwładności członu przedstawionego na rysunku 21 względem środka masy obliczamy ze wzoru:

(23)

Jeśli
to stosujemy wzór uproszczony:

(24)

Obliczamy momenty bezwładności członu 3 względem środka masy, który znajduje się w połowie długości członu na podstawie wzoru (24):

3.2. Obliczenie siły ciężkości, siły bezwładności i momentu od siły bezwładności oraz przyjęcie zewnętrznych sił i momentów oporu.

Siła ciężkości członu 3:

Siła bezwładności członu 3:

Obliczam moment od sił bezwładności członu 3:

Masy członów 1 i 2 pomijamy. Przyjmujemy siłę zewnętrzną oporu P₃ = 10N oraz zewnętrzny moment oporu M₃ = 2Nm. Punkt przyłożenia oraz zwrot siły i zwrot momentu oporu przedstawiono na rysunku 22.

3.3. Wyznaczenie reakcji w parach kinematycznych oraz siły równoważącej metodą grafoanalityczną.

Rysujemy mechanizm w podziałce długości k_l zaznaczając na rysunku zwroty przyspieszeń kątowych członów oraz zwroty i kierunki przyspieszeń liniowych środków mas członów. Obciążamy mechanizm siłami ciężkości, siłami bezwładności i momentami od sił bezwładności oraz uogólnionymi siłami zewnętrznymi oporu, jak pokazano na rysunku 22. Rysunki wykorzystywane do analizy kinetostatycznej metodą grafoanalityczną wykonamy w programie AutoCAD.

Rys. 22. Mechanizm z układem sił zewnętrznych bez siły równoważącej.

3.3.1. Analiza sił działających na grupę strukturalną (2,3).

Uwalniamy od więzów grupę strukturalną (2,3) rozkładając reakcje w przegubach na składowe styczne i normalne dla członów z godnie z rysunkiem 23.

Rys. 23. Układ sił zewnętrznych i reakcji przyłożonych do grupy strukturalnej (2,3).

Zapisujemy wektorowe równania równowagi sił działających na człony 2 i 3.

(25)

Po dodaniu stronami równań (25) otrzymujemy warunek równowagi sił działających na grupę:

(26)

Równanie (26) zawiera trzy niewiadome, więc aby można je było rozwiązać korzystając z wieloboku wektorowego sił, należy w pierwszej kolejności wyznaczyć reakcje styczną
, układając warunki równowagi momentów wszystkich dla członu 3 względem punktu B, który należy do wspólnej pary kinematycznej grupy.

(27)

Równanie (26) zawiera teraz tylko dwie niewiadome
oraz
. W celu graficznego rozwiązania równania (26) przyjmujemy podziałkę rysunkową sił
. Otrzymujemy teraz równanie równowagi w postaci rysunkowej.

(28)

Rozwiązanie graficzne równania (28) przedstawiono na rysunku 24.

Rys. 24. Plan sił przyłożonych do grupy strukturalnej (2,3) zgodnie z równaniem (28).

Na podstawie rysunku odczytujemy:

Na podstawie planu sił (25) mamy:

3.3.2. Analiza sił działających na człon napędzający.

Człon napędzający uwalniamy od więzów zgodnie z rysunkiem 25 a.

Równanie równowagi sił, działających na człon napędzający w postaci rysunkowej ma postać:

(29)

Podziałka rysunkowa
.

Graficzne rozwiązanie równania (29) z uwzględnieniem podziałki k_R przedstawia rysunek 25.

1. b)

Rys. 25. Analiza sił działających na człon napędzający: a) człon napędzający uwolniony od więzów; b) plan sił członu napędzającego.

Z równania równowagi momentów względem punktu A wyznaczam moment utwierdzenia.

Na podstawie rysunku 25 obliczamy:

3.4. Obliczenie siły równoważącej metodą mocy chwilowych.

Mechanizm rysujemy w podziałce k_l i obciążamy wszystkimi obliczonymi siłami zewnętrznymi, do członu napędzającego przykładamy siłę równoważącą
o zwrocie zgodnym ze zwrotem prędkości liniowej członu. Rysujemy wektory prędkości liniowych wszystkich punktów przyłożenia sił oraz oznaczamy prędkość kątową członu 3 mechanizmu. Schemat obliczeniowy mechanizmu przedstawia rysunek 26.

Rys. 26. Schemat obliczeniowy mechanizmu metodą mocy chwilowych.

Równanie mocy chwilowych dla powyższego mechanizmu ma postać:

Po rozpisaniu iloczynów skalarnych mamy:

Stąd:

Po podstawieniu wartości liczbowych otrzymamy:

3.5. Wyznaczenie siły równoważącej w programie SAM.

Model mechanizmu w programie SAM uzupełniamy narzucając członowi 3 masę, moment bezwładności oraz przykładając zadaną siłę zewnętrzną i moment sił zewnętrznych (rys. 27).

Rys. 27. Model mechanizmu do analizy kinetostatycznej w programie SAM.

Rys. 28. Charakterystyka siły równoważącej P_R1(t) z programu SAM.

3.6. Porównanie wyników obliczeń siły równoważącej.

Wyniki obliczeń siły równoważącej dla mechanizmu w zadanym położeniu zestawiono w Tabeli 3.

Tabela 3:

Metoda grafoanalityczna P­R1 [N]	Metoda mocy chwilowych PR1 [N]	Obliczenia w programie SAM PR1 [N]
27,24	27,26	27,287

- 1 -

b3

b1, b2

---