RÓWNANIE FOURIERA

Dotyczy analizy wymiany ciepła w stanie nieustalonym przez przegrodę płaską.

rys.

Równanie przewodnictwa:
q=-λ⋅∂T/∂x.

Prawo zachowania energii cieplnej:

∂q/∂x = -c_p⋅ρ⋅∂T/∂τ. (λ - wsp. przewodzenia ciepła charakt. dla danego materiału [W/(mK)]; c_p - ciepło właściwe materiału, z którego wykonana jest przegroda [J/kgK]; ρ - gęstość materiału [kg/m³]; q - gęstość strumienia cieplnego [W/m²]). Różniczkując równanie przewodnictwa po x i wstawiając do pr. zach. energii cieplnej otrzymujemy równanie różniczkowe Fouriera: λ⋅∂²T/∂x² = c_p⋅ρ⋅∂T/∂τ (inna postać: a⋅∂²T/∂x² = ∂T/∂τ, gdzie a = λ/c_p⋅ρ. Żeby to równanie rozwiązać, potrzebne są warunki brzegowe. Do rozwiązania stosuje się metodę różnic skończonych.

WSPÓŁCZYNNIKI a I b
(Z ROZWIĄZANIA RÓWNANIA FOURIERA).

Rozwiązujemy równanie Fouriera (dot. nieustalonej wymiany ciepła przez przegrodę płaską) o postaci: λ⋅∂²T/∂x² = = c_p⋅ρ⋅∂T/∂τ metodą różnic skończonych dla następujących założeń:

Otrzymujemy:

λ⋅∂T/∂x_i ≈ λ_i ⋅ {T_i - T_{(i - 1)}}/Δx_i

λ⋅∂T/∂x_{i + 1} ≈ λ_{i + 1}⋅ {T_{i +1} - T_i}/Δx_{i +11}

λ⋅∂²T/∂x² = ∂/∂x⋅(λ⋅∂T/∂x) _i ≈

≈ {λ _{i +1}⋅(T_{i + 1} - T_i )/Δx_{i + 1} - λ_i ⋅ (T_i -
- T_{i - 1})/Δx_i }/Δx_{i + 1}

c_p⋅ρ⋅∂T/∂τ_i ≈c_{p i} ⋅ρ_i ⋅(T_i - T_i)/Δτ; gdzie: λ_i - współczynnik przewodzenia ciepła i-tej elementarnej warstwy,

c_{p i} - ciepło właściwe materiału, z którego wykonana jest i-ta elementarna warstwa,

Δx_i - grubość i-tej elementarnej warstwy,

ρ_i - gęstość materiału i-tej elementarnej warstwy,

T_i - temperatura w i-tej płaszczyźnie podziału przegrody,

T_i - temperatura w i-tej płaszczyźnie podziału przegrody, w chwili wcześniejszej.

Po przekształceniach otrzymujemy równanie różnicowe dla i-tej płaszczyzny podziału przegrody (i = 2,3,..,n-2; ponieważ dla przegród skrajnych są dane warunki brzegowe):

h_i ⋅ T_{i - 1} + r_i ⋅ T_{i + 1} - k_i ⋅ T_{i + 1} = T_i, gdzie: h_i = {Δτ/Δx_i ⋅Δx_{i +1} }⋅λ_i/ / c_{p i} ⋅ ρ_i ;

k_i = {Δτ/(Δx_{i +1} )²}⋅λ_{i + 1} / c_{p i} ⋅ ρ_i;

r_i = 1 + h_i + k_i.

h_i , k_i , r_i - bezwymiarowe liczby Fouriera.

Dla pierwszej płaszczyzny podziału równanie ma następującą postać:

r₁ ⋅ T₁ - k₁ ⋅ T₂ = T₁ + h₁ ⋅ T₀. Stąd:

T₁ = k₁/r₁ ⋅T₂ + (T₁ + h₁ ⋅ T₀)/r₁.

Wprowadzając oznaczenia: a₁ = k₁/r₁ ; b₁ = (T₁ + h₁ ⋅ T₀)/r₁ otrzymujemy:

T₁ = a₁ ⋅ T₂ + b₁ i podstawiamy do równania dla drugiej płaszczyzny podziału. Po przekształceniach otrzymujemy dalej:

T₂ = T₃ ⋅ k₂/(r₂ - h₂ ⋅ a₁) + (T₂ +
+h₂ ⋅ b₁)/ (r₂ - h₂ ⋅ a₁). Przyjmując takie same oznaczenia: a₂ = k₂/(r₂ - h₂ ⋅ a₁);
b₂ = (T₂+ h₂ ⋅ b₁)/ (r₂ - h₂ ⋅ a₁), a więc:

T₂ = a₂ ⋅ T₃ + b₂. Uogólniając dla pozostałych płaszczyzn: T_i = a_i ⋅ T_{i + 1} + + b_i , przy czym: a₀ =0 , b₀ = T₀ , a_i= k_i/r_i ; b_i = (T_i + h_i ⋅ b_{i - 1})/r_i (a_i oraz b_i dla i = 1 , 2 , . . . , n - 1 )
gdzie r_i = 1 + (1 - a_{i -1})h_i + k_i.

---