Ekstremum funkcji

Zakładamy, że funkcja
jest określona przynajmniej w otoczeniu punktu
. (Założenie to dotyczy wszystkich definicji i twierdzeń wprowadzonych na tym wykładzie)

Definicja. Mówimy, że funkcja
ma w punkcie

1. minimum lokalne właściwe
   
   .

2. minimum lokalne niewłaściwe
   
   .

3. maksimum lokalne właściwe
   
   .

4. minimum lokalne niewłaściwe
   
   .

Przykład: 1. Korzystając z definicji wykazać, że funkcja
ma maksimum lokalne właściwe w punkcie
.

Przykład 2.Korzystając z definicji wykazać, że funkcja
ma minimum lokalne właściwe w punkcie
,

Tw.1 ( warunek konieczny istnienia ekstremum)

ZAŁ: (1) funkcja
ma ekstremum lokalne w punkcie

(2) istnieje

TEZA :
,

Uwaga 1. Twierdzenie odwrotne nie jest prawdziwe, to znaczy z faktu, że
nie wynika, że w
jest ekstremum. Świadczy o tym przykład funkcji
. Dla
,
, ale funkcja nie ma w punkcie
ekstremum.

Uwaga 2. Założenie istnienia pochodnej w punkcie
jest istotne. Świadczy o tym przykład funkcji
, która ma ekstremum w punkcie
, ale
nie istnieje.

Uwaga 3. Funkcja ma ekstremum lokalne tylko w punktach, w których pochodna jest równa zeru albo w punktach , w których pochodna nie istnieje.

Przykład 3. Dla funkcji

a)
, b)

wskazać punkty, w których funkcja może mieć ekstremum.

TW.2.( pierwszy warunek dostateczny istnienia ekstremum)

ZAŁ: (1)

(2) istnieje sąsiedztwo punktu
o promieniu
takie, że

dla każdego
oraz
dla każdego

TEZA: funkcja
ma w punkcie
maksimum lokalne właściwe.

Uwaga 1. Jeśli w założeniu 2 przyjąć, że
dla każdego
oraz
dla każdego
, to funkcja ma w punkcie
minimum lokalne właściwe

Uwaga 2. Zamiast założenia 1 tego twierdzenia można przyjąć, że funkcja jest ciągła.

Przykład 4. Znaleźć ekstremum funkcji
.

TW.3. (drugi warunek dostateczny istnienia ekstremum)

ZAŁ: (1)

(2)
(lub
)

TEZA: funkcja
ma w punkcie
maksimum ( lub minimum ).

Przykład 5. Korzystając z drugiego warunku dostatecznego znaleźć ekstremum funkcji

Funkcje wklęsłe i wypukłe

Definicja 1. Funkcję
określoną w przedziale
nazywamy wypukłą, jeżeli wykres tej funkcji jest położony nad styczną poprowadzoną w dowolnym punkcie

Definicja 2. Funkcję
określoną w przedziale
nazywamy wklęsłą, jeżeli wykres tej funkcji jest położony pod styczną poprowadzoną w dowolnym punkcie
.

TW.1.(warunek dostateczny wypukłości)

ZAŁ:
dla każdego

TEZA: funkcja
jest wypukła na

Dowód: Niech
. Wówczas równanie stycznej w punkcie
ma postać

Natomiast z wzoru Maclaurina mamy

;
lub
.

Jeżeli
oznacza punkt leżący na krzywej taki, że
, a
punkt leżący na stycznej, to

Z definicji, funkcja jest wklęsła w
, jeżeli wykres funkcji leży nad dowolną styczną poprowadzoną w dowolnym punkcie
, w szczególności nad styczną poprowadzoną w punkcie
. Zatem, ażeby udowodnić, że funkcja jest wklęsła, wystarczy wykazać, że
.

Istotnie
. Z założenia wynika, że
(
, a druga pochodna jest dodatnia w każdym punkcie przedziału) i oczywiście
. A to oznacza, że
. Stąd
. .

Analogicznie: Jeżeli
dla każdego
, to funkcja
jest wklęsła.

Przykład 1. Znaleźć przedziały, wklęsłości i wypukłości funkcji

a)
b)

Zakładamy, że funkcja
jest określona na przedziale
i ma pochodną właściwą (lub niewłaściwą) w każdym punkcie przedziału

Definicja 3. Punkt
nazywamy punktem przegięcia (skrót p.p.) wykresu funkcji
wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje sąsiedztwo
punktu
o promieniu
takie, że funkcja jest wypukła na
oraz wklęsła na

lub na odwrót

funkcja jest wklęsła na
oraz wypukła na
.

Uwaga 1. Punkt jest punktem przegięcia, jeżeli funkcja zmienia w nim rodzaj wypukłości

Uwaga.2 Geometrycznie oznacza to, że punkt wykresu funkcji jest punktem przegięcia , jeżeli wykres funkcji przechodzi w tym punkcie z jednej strony stycznej na drugą.

TW.2. (warunek konieczny istnienia punktu przegięcia)

ZAŁ: (1) punkt
jest punktem przegięcia wykresu funkcji

(2) istnieje

TEZA:
.

Uwaga 1 Twierdzenie odwrotne nie jest prawdziwe, to znaczy z faktu, że
nie wynika, że w
jest punkt przegięcia. Świadczy o tym przykład funkcji
, która spełnia warunek
, ale punkt
nie jest punktem przegięcia wykresu funkcji.

Uwaga 2. Funkcja może mieć punkt przegięcia tylko w punktach, które zerują drugą pochodną albo w punktach, w których ta pochodna nie istnieje.

TW.3 (pierwszy warunek dostateczny istnienia punktu przegięcia)

ZAŁ: (1) funkcja
ma pochodną właściwą (lub niewłaściwą) w punkcie
.

(2) istnieje sąsiedztwo
punktu
o promieniu
takie, że

dla każdego
oraz
dla każdego

TEZA: Punkt
jest punktem przegięcia wykresu funkcji
.

Uwaga. Tw.3 jest prawdziwe także, jeżeli w założeniu 2 przyjmiemy, że
dla każdego
oraz
dla każdego
.

Przykład 2. Znaleźć punkt przegięcia funkcji

a)
b)

---